Optique géométrique - Corrigés du TD 1

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1 Unversté Perre et Mare Cure - L - UE LP 03 - nnée Reza.Samad@obspm.fr Optque géométrque - Corrgés du TD ) Réflexon totale Sot un rayon provenant de l extrémté du clou et sot l angle que fat ce rayon avec la surface de l eau (vor Fgure ). Ce rayon subt une réflexon totale lorsque n sn() >. L angle de réflexon totale, a, est donc tel que sn(a) = /n. Sot l angle u que forme l extrémté du clou avec l extrémté du dsque (vor Fgure ). Les rayons tel que <u ne seront jamas vus quelque sot u et a. Les rayons tels que >u subront tous une réflexon totale lorsque u > a. Or tan(u)= R/b, par conséquent l extrémté du clou ne sera jamas vsble lorsque R/b > tan(a). Or tan² (a)= sn² (a)/ (-sn² a) = / (n² - ), le clou sera donc vsble lorsque (R/b)² < /(n²-). R u n b Fgure ) Incdence de Brewster 3) Le prsme La relaton d angle dans le trangle MQ permet d écrre la relaton r+r = (vor Fgure ). Par alleurs la relaton d angle dans le trangle MP donne D=-r + -r, d où ensute la relaton D=+ -. La lo de Descartes donne pour le passage ar verre: sn() = n sn (r) et pour le passage du verre à l ar : n sn (r ) = sn. On a les relatons dfférentelles suvantes : dd=d + d, cos() d = n cos(r) dr et n cos(r ) dr = cos( ) d et enfn dr+dr =0. u mnmum de dévaton dd=0, d où la relaton d /d= -. Par alleurs dr /dr=-. Par cos( ') cos( r') conséquent, au mnmum de dévaton, on a la relaton : =. Elevons cette cos( ) cos( r) sn²( ') sn²( r') relaton au carré, l vent : = sn²( ) sn²( r) Utlsons mantenant les relatons de Snell-Descartes qu lent à r et à r, on obtent ans : n²sn²( r') sn²( r') =. Posons x=sn(r ) et y=sn(r ), on établt alors l équaton : n²sn²( r) sn²( r) n² x² = ² ² x n y y ² qu se smplfe après calcul comme (-n²) (x² - y² ) =0. Cec mplque x=y, sot ² r=r. Pusque r+r =, on a r=/. Enfn pusque r=r, nos relatons de Snell-Descartes (sn = n sn r et sn = n sn r ) permettent d établr que =. Par conséquent : ( Dm + ) =. On a alors : sn [ (Dm+)/ ] = sn () = n sn (r) = n sn(/), d où la relaton recherchée : UE LP 03 Optque géométrque TD Corrgés - 6//09 /6

2 [ Dm+ )/] sn ( n= sn[ /] P D M r r' ' Q Fgure 4) Fasceau parallèle et mror sphérque a) D après la constructon géométrque de la Fgure 3, le trangle CMI est socèle. Sot le projeté orthogonal de M sur le segment CI : on a donc C=I=R/. Par alleurs C=cos () CM, donc CM=R//cos(). b) On a y=r sn (). CM²= R²/4/(- sn² )= R²/4/(- y²/r²). Par conséquent CM= R//(- y²/r²) /. Les condtons de Gauss mposent que les rayons soent très peu élognés de l axe. L échelle caractérstque du système optque est c le rayon R. Par conséquent peu élogné de l axe sgnfe c : y<<r. Dans ces condtons l expresson pour CM se smplfe et l on a CM=R/. On a dans ces condtons stgmatsme approché pusque M est l mage unque d un objet, c placé à l nfn. Ce pont M est le foyer mage - que l on note F - car l correspond à l mage d un pont à l nfn. c) On cherche un stgmatsme à 0% près. utrement dt on veut que le pont M sot à 0% près confondu avec le foyer mage F : on veut donc que CM γ CF CF. avec γ=0%.cec ( y / R)² mplque que : γ² sot enfn ( y / R)² y γ R + γ² UE LP 03 Optque géométrque TD Corrgés - 6//09 /6

3 y I y S x C M Fgure 3 5) Mesure de l ndce d un lqude Consdérons le rayon lumneux partant du pont M et arrvant après réflexon au pont. otons b l angle d ncdence de ce rayon avec la surface eau-ar et sot r l angle du rayon réfracté (vor Fgure 4). Une varaton de la hauteur du lqude (h) entraîne une varaton de l angle b et par conséquent de l angle r. Pour une hauteur quelconque r et sont dfférents. Lorsque l observateur regarde le pont, l vot alors deux ponts dstncts : le pont et le reflet du pont M. En revanche pour une poston donnée de h, l angle et r sont égaux et le reflet de M et le pont sont confondus. Dans ces condtons on a : n sn (b) = sn. Or tan (b) = a//h. Par alleurs tan² (b)=sn² b / cos² b = sn² / n² / (-sn² b)= sn² / ( n² -sn² ). On obtent alors la relaton n = sn () (+ 4 h²/a²) /. a r M h b Fgure 4 UE LP 03 Optque géométrque TD Corrgés - 6//09 3/6

4 6) Prncpe de Fermat et lo de Snell-Descartes pour la réfracton On peut attrbuer les coordonnées suvantes aux ponts, M et B: (0,y), M(x,0), B(x,y) Les dstances M et MB peuvent être exprmées avec les coordonnées données en haut: M = x ² + y et MB = ( x x) + y Le temps pour le passage de à B est égal à : M MB t = + V V avec Vet V les vtesses de la lumère dans le mleu et respectvement. Le prncpe de Fermat postule que le temps de parcourt de la lumère dot être mnmal. C'est-à-dre le pont M (.e. la coordonnée x) dot être tel que le temps t sot mnmal, ce qu revent à demander que : dt = 0 dx dt d x² y ( x x) y Or + + x x x = + = dx dx V V V x² + y V ( x x) + y dt x x x = dx V M V MB Par conséquent dt x x x = 0 = () dx V M V MB x x x Or sn = et sn r = () M MB sn sn r En njectant () dans () on obtent : = V V En posant n=c/v, on établt alors la relaton de Snell-Descartes pour la réfracton, à savor : n sn = n sn r 7) Doptre plan-sphérque a) La lo de Descartes s écrt pour le passage du verre à l ar n sn r= sn. Introdusons le pont P projeté orthogonal de I sur l axe optque (vor Fgure 5). On a h/p= tan(-r). Par alleurs S=P- R + OP = h/tan(-r) R + R cos (r). b) Il n y a plus de rayon réfracté lorsque n sn r >. L angle de réflexon totale est l angle b tel que sn b = / n. Or h = R sn (r), donc l n y a plus de rayon réfracté lorsque h> R/n. (h est ben <R car n>). Plaçons nous dans les condtons de Gauss : l angle r est dans ces condtons pett et l on a S = h/(-r). Par alleurs la relaton de Descartes se smplfe en n r =. Il vent alors S = SF = R/(n-). UE LP 03 Optque géométrque TD Corrgés - 6//09 4/6

5 R h r I O S Fgure 5 8) Fbre optque a) La lo de Descartes applquée à l nterface coeur-gane s écrt : n sn(π/- θ) = n sn(r) où r est l angle que fat le rayon réfracté avec la normale à la surface. Il y a donc réflexon totale lorsque n sn(π/- θ) > n,.e. lorsque cos(θ) > n/n.défnssons alors l angle β tel que cos(β)=n/n. Un fasceau est donc pégé dans la fbre lorsque θ<β. b) Le temps de parcourt mnmal est réalsé par le rayon passant par l axe de la fbre. Celu-c met pour parcourr la dstance L un temps L/v où v=c/n est la vtesse de parcourt de la lumère dans le mleu n. Le rayon qu effectue le trajet le plus long est celu dont l angle θ est le plus grand,.e. à la lmte l angle θ=β. On vot asément d après la fgure que ce rayon parcourt, avant d arrver à l extrémté de la fbre, un nombre p de segments de longueurs égales à la dstance OM (vor fgure). Le nombre P de segments est égal à p= L/O. Or cos(β)=o/om, donc la dstance parcourue par ce rayon est p OM=L/cos(β) et le temps ms par celu-c est donc égal à Ln/cos(β)/c. La dfférence de temps de parcourt entre le second et le premer rayon est alors égal à Dt = L n/c (n/n ). n M gane O θ θ n coeur L c) pour détermner la trajectore du fasceau on s nsprera de l exercce #6). 9) Doptre sphérque On a a = SI/S, c= - SI/SC et a = - SI/S. Sot et r les angles que font respectvement le rayon ncdent et le rayon réfracté avec la normale à la tangente à la surface du doptre au pont I. Les relatons d angles dans les trangles SI et SI permettent d établr les relatons : a-=c et r-a = -c. La relaton de Descartes applqué au pont I donne : n sn = n sn r.qu devent pour des angles petts : n = n r. Multplons la relaton a-=c par n et la UE LP 03 Optque géométrque TD Corrgés - 6//09 5/6

6 relaton r+a = -c par n et ajoutons membre à membre, l vent : n a n a = (n-n) c, n n ( n n ) ( n n ) d où la relaton de conjugason du doptre sphérque : = = S' S SC R Sor l angle que fat le rayon BS avec l axe optque et r l angle que fat le rayon SB avec celu-c. On a r=-b /S =-B/S et par alleurs n = n r, d où la relaton : ' B' n S' Γ = = B n S On en dédut alors la relaton de Lagrange-Helmholtz : n a B = n a B. Pour un objet stué à l nfn,.e. en pratque tel que S >>R, on a : n ( n n ) n = sot S' SF' = R, le pont mage ( ) correspond alors au foyer mage S' R ( n n ) (F ) du doptre sphérque. 0) Stgmatsme d un mror plan Un mror réfléch totalement la lumère. Pour construre l mage de consdérons le rayon orthogonal au mror. Ce rayon est réfléch dans la même drecton et dans le sens opposé. Consdérons mantenant un autre rayon ssu de et fasant un angle avec la normale au mror (vor fgure c-dessous). Ce rayon est réfléch selon une drecton fasant un angle avec la normale (vor fgure c-dessous). L ntersecton du premer rayon réfléch avec le second défnt l mage de. Cette mage est vrtuelle correspond à l ntersecton de rayons vrtuels (vor fgure). Cette mage est unque car le mror vérfé un stgmatsme rgoureux. En effet quelque sot l angle, l ntersecton entre le premer rayon et le second s effectue toujours au pont, le pont symétrque orthogonal de par rapport au mror plan. Pour construre l mage d un objet l sufft de consdérer son symétrque orthogonal par rapport au mror (vor fgure c-dessous). ' B ' ' B UE LP 03 Optque géométrque TD Corrgés - 6//09 6/6