Géométrie. Ce que nous n'allons pas faire : # De la géométrie vectorielle ou de géométrie analytique (bijection du plan vectoriel avec 2 ).

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1 Géométrie I Introduction et historique e que nous n'llons ps fire : # e l géométrie vectorielle ou de géométrie nlytique (bijection du pln vectoriel vec ) e que nous llons fire : # Redéfinir les concepts de géométrie euclidienne # Revoir les théorèmes clssiques de l géométrie euclidienne # Etudier des problèmes de constructibilité à l règle et u comps # Revoir les polygones réguliers et leur ire # Revoir les polyèdres réguliers et leur volume Le nom grecque est composé de : (lire "guéo") de " " (lire "ê guê") qui signifie "l terre" (lire "métri") qui signifie "mesure" L géométrie et les nombres sont les fondements des mthémtiques L'origine de l géométrie remonte à l'ntiquité Les bbyloniens, les égyptiens vient déjà des notions vncées dns celle-ci Ses pplictions rchitecturles insi que dns l mesure des surfces étient nécessires dns de nombreux domines Nénmoins, ce sont les grecs qui donnèrent les lettres d'or à l géométrie : le théorème de Pythgore (connu pr d'utres mis ps nécessirement vec une démonstrtion), le théorème de Thlès (s légende : mesure de l huteur des pyrmides!) et, plus générlement, l géométrie euclidienne (Euclide) Question : omment un mçon peut-il fire pour construire une mison à bse rectngulire lors qu'il ne dispose que d'une corde? Réponse : Les digonles d'un rectngle ont même longueur n peut ussi utiliser des mesures prticulières des longueurs des cotés d'un tringle : ( ) insi que leurs multiples : l corde à treize noeuds (donc intervlles) étit dit-on encore utilisée u moyen âge! u début des mthémtiques, les problèmes vient souvent leur interpréttion géométrique insi l'utilistion des concepts et de l représenttion géométrique servient à leur résolution Même les nombres vient leur clssifiction géométrique : les nombres tringulires, les nombres crrés Enfin, certins nombres irrtionnels peuvent être vus comme l digonle d'un crré entier premier pr exemple p où p est un Remrquons enfin, qu'il n'y ps eu d'évolution notoire de l'écriture géométrique depuis les grecs Frncis Wlzinski

2 II Géométrie plne euclidienne L géométrie euclidienne dte des environs de 300 ns vnt J ns le trité "Eléments de géométrie", de l'époque, on peut trouver, à prtir d'un certin nombre d'xiomes (ppelés postults) les fondements d'une géométrie Premiers xiomes sur le pln et les droites P : Existence d'un ensemble ppelé pln (notion intuitive - modèle idél) dont les éléments sont ppelés points Un pln dmet des prties (sous-ensembles) prticulières ppelées droites qui vérifient les xiomes suivnts : : eux points différents du pln pprtiennent à une et une seule droite : Toute droite contient u moins deux points 3 : Il existe u moins trois points qui n'pprtiennent ps tous les trois à l même droite Lorsque trois points pprtiennent à l même droite, on dit qu'ils sont lignés e l droite qui contient deux points, on dit qu'elle psse pr ces points L droite pssnt pr les points et est notée () Lorsqu'un point pprtient à une droite, on dit ussi qu'il est situé sur cette droite Soient et deux droites Si et ont deux points communs, de l'xiome, on tire que n dit lors qu'elles sont confondues Si et sont différentes, elles n'ont donc que 0 ou point commun Si et ont un seul point commun, on dit qu'elles sont sécntes Si et n'ont ucun point commun, on dit qu'elles sont prllèles Postult d'euclide : Pr un point M non situé sur une droite psse une et une seule prllèle à ttention, ce postult est fux pour les géométries non euclidiennes : M utres propriétés : # orollire u postult d'euclide : Soient, et trois points du pln et une droite Si les droites () et () sont prllèles à lors, et sont lignés # irection clsse d'équivlence une droite et toutes ses prllèles En prticulier : Si deux droites sont prllèles à une même troisième lors elles sont prllèles entre elles n intègre ici confondues à prllèles # Si deux droites sont prllèles, lors toute droite sécnte à l'une est ussi sécnte à l'utre Frncis Wlzinski

3 onvexité Soient et deux points différents du pln Nous dmettrons l notion intuitive "être entre" ette reltion permet de définir le segment [] comme l'ensemble des points de l droite () qui sont entre et n peut ussi définir l demi droite [,) comme l réunion de l'intervlle [,] et de l'ensemble des points M tels que est entre et M Soient une droite et deux points et n'pprtennt ps à n s'intéresse à l position de et pr rpport à L'intersection de l droite () et de l droite est vide ou réduit à un point Si l'intersection est vide, on dit que les deux points et sont dns le même demi-pln de frontière Il en est de même si le point d'intersection de () et de n'est ps entre et ns le cs contrire, et sont dns deux demi-plns différents de frontière Une prtie F du pln ser dit convexe si et seulement si quelques que soient les points et de F, l'intervlle [,] est inclus dns F Question : Un demi-pln est-il convexe? Justifiction : Une utre fçon de crctériser les demi-plns est de remrquer que deux points et sont dns le même demi-pln si et seulement si ucun point du segment [] n'pprtient à Question : Montrer que l'intersection de deux ensembles convexes est convexe Question : onner des exemples d'ensembles convexes Question : L réunion de deux ensembles convexes est-elle convexe? Justifier votre réponse Un tringle est l donnée de trois points non lignés (tous les tringles de ce cours seront non-pltis) Si les points sont, et, le tringle est noté Les bords ou côtés du tringle sont les segments [], [] et [] Pr bus, c'est l'ensemble des bords du tringle qui est finlement ppelé le tringle Question : L'intérieur du tringle est-il une prtie convexe? Justifier votre réponse 3 istnce et mesure L notion de mesure est à dissocier de l notion de longueur Tout segment possède une seule longueur mis l mesure de cette longueur peut vrier Plus exctement, l mesure d'un segment est l distnce entre les sommets du segment Une distnce d est une ppliction des couples de points du pln dns qui vérifie : i ) d(,) 0 ii ) d(,) d(,) iii ) d(,) d(,) d(,) inéglité tringulire Frncis Wlzinski 3

4 Exemples de distnce : Soient M(x,y) et M'(x',y') deux points du pln euclidien muni d'un repère orthonormé (,, ) # d (M,M') ((x' x) (y' y) ) / d est ppelée l distnce euclidienne # d (M,M') x' x y' y # d 3 (M,M') sup( x' x, y' y ) Question : Si, dns le pln euclidien, on prend comme distnce l distnce euclidienne, qund -t-on l'églité dns iii)? Question : Peut-on générliser ce résultt? Une distnce étnt choisie, nous notons l distnce de à c'est-à-dire l longueur du segment [] Etnt donnés un point et un réel positif r, le cercle de centre et de ryon r est l'ensemble des points M du pln tels que M r Question : éterminer les cercles de centre et de ryon en utilisnt successivement les distnces d, d et d 3 4 Mesure lgébrique : orienttion et droite grduée Soit un point d'une droite n dmet que le cercle de centre et de ryon rencontre en deux points I et I Soit I l'un de ces deux points (pour choisir un sens positif) n peut définir une bijection entre et : à chque point M de l demi-droite [I), on ssocie le réel positif M et, à chque point M de l'utre demi-droite, on ssocie le réel négtif M Le réel correspondnt à un point insi obtenu est ppelé l'bscisse de ce point n obtient insi ce que l'on ppelle une droite grduée : I Soit un point M de, l mesure lgébrique M est l'bscisse du point M Soient et deux points de n définit l mesure lgébrique pr : = Plus simplement, ser égl à l distnce si l direction vers correspond u sens positif choisi et à son opposé dns le cs contrire 5 Projection Soient et ' deux droites sécntes Soit M un point du pln et soit '' l prllèle à ' qui psse pr M (cel peut être ') n ppelle projeté de M sur le point d'intersection de et '' Soient et deux points du pln Soient p() et p() les projetés respectifs de et sur prllèlement à ' L projection du segment [,] est le segment [p(),p()] Frncis Wlzinski 4

5 ' M '' p( ) p( ) III Les ngles ngle onsidérons dns un premier temps deux droites et ' sécntes (non confondues) en un point es droites définissent qutre prties du pln qui sont les intersections des demi-plns Soient mintennt un point de et un point de ' différents tous les deux de Soient P et P ' les demi-plns de frontière, P contennt et soient P et P ' les demi-plns de frontière ', P contennt n ppelle secteur ngulire sillnt (ou plus simplement ngle ) et on note l prtie du pln obtenue pr intersection de P et P n ppelle secteur ngulire rentrnt l prtie du pln obtenue pr réunion de P ' et P ' ' P P Si les droites et ' sont confondues, soient, et trois points de Le secteur sillnt est l demi-droite [) si pprtient à [) Sinon, le secteur sillnt est l'un des demi-plns de frontière Il y, dns ce dernier cs, églité entre le secteur sillnt et le secteur rentrnt Mesure d'un ngle Nous dmettrons que le périmètre d'un cercle de ryon est Soient [) et [) deux demi-droites et soit le cercle de centre et de ryon Soit ' le point d'intersection de [) et de et soit ' le point d'intersection de [) et de n ppelle mesure du secteur ngulire l longueur de l'rc d'extrémités et Si le secteur ngulire est sillnt, s mesure est inférieure à Si le secteur ngulire est rentrnt, s mesure est supérieure à n prler d'ngle plt lorsque l mesure est exctement Frncis Wlzinski 5

6 Un ngle droit est un ngle dont l mesure est / Un ngle est dit igu si s mesure est comprise entre 0 et / Un ngle est dit obtu si s mesure est comprise entre / et eux ngles sont dit supplémentires si l somme de leurs mesures vut eux ngles sont dit complémentires si l somme de leurs mesures vut / Pr bus, on identifier un ngle et s mesure Le degré (80 rdins) est une utre unité de mesure d'un secteur ngulire 3 ngles et droites eux droites sont dites perpendiculires (cs prticulier d'orthogonles de l'espce) si les ngles qu'elle définissent sont tous de mesure / Lorsque deux droites et ' sont perpendiculires, l projection sur prllèlement à ' est ppelée projection orthogonle Soit un point, l distnce de à une droite est l distnce ' où ' est le projeté orthogonl de sur Soient et ' deux droites prllèles et soit une droite sécnte vec et ' respectivement ux points et ' Les ngles entre les demi-droites de et ' issues de et et l droite sont soit supplémentires, soit égux (ce sont des ngles lternes-internes-externes) Réciproquement, si deux droites forment les mêmes ngles lternes-internes (ou externes) vec une même troisième lors elles sont prllèles onséquence L somme des mesures des ngles d'un tringle vut α β γ α β orollire eux droites perpendiculires à une même troisième sont prllèles entre elles Frncis Wlzinski 6

7 IV ires L'ire ou superficie (terme utilisé plus souvent dns les domines non-mthémtiques) est une mesure de surfce Pr bus, on prle de surfce u lieu de l'ire d'une surfce (et ce n'est ps bien) L'ire des surfces est déterminée en supposnt vérifiée l propriété d'dditivité : si on coupe une surfce en, l somme des ires des deux prties est égle à l'ire totle n peut obtenir l'ire d'une surfce en postulnt que l'ire d'un crré de côté est égle à puis en effectunt des découpges Quelques vleurs connues et dmises : L'ire d'un crré de côté est L'ire d'un rectngle de longueur L et de lrgeur l est L l L'ire d'un prllélogrmme s'obtient grâce à l huteur issue de l'un de ses sommets H () H L'ire d'un tringle s'obtient ussi à prtir de l huteur issue d'un sommet H () H% L'ire d'un cercle de ryon r est r Quelques résultts sur des surfces en trois dimensions : L'ire de l surfce d'un cube de côté est 6 L'ire de l surfce d'un prllélépipède rectngle de côtés, b et c est (b c bc) L'ire de l surfce d'un cylindre de ryon r et de huteur h est r h L'ire de l surfce d'une sphère de ryon r est 4 r Frncis Wlzinski 7

8 V Le théorème de Pythgore Les ngles sillnts d'un tringle sont notés Â, ˆ et Ĉ Un tringle est dit rectngle en si et seulement si l'ngle  est droit Théorème Soit un tringle rectngle en lors on Réciproque Soit un tringle Si on, lors le tringle est rectngle en b b c b c c c c b b b c c c c VI Le théorème de Thlès Théorème Soient,,, n n (> ) droites prllèles Soient et ' deux droites sécntes non prllèles ux droites i Pour tout entier i compris entre et n, soit M i le point d'intersection de i et et soit M' i le point d'intersection de i et ' M i M j i,j,k n, vec i k, on : M i M = M im j k M i M k Plus précisément, près voir choisi un sens positif sur et ' : M i M j i,j,k n, vec i k, on : = M im j M i M k M i M k ' M' M i M' i M M' j j M M n M k j i M' k M' n k n Frncis Wlzinski 8

9 n peut démontrer ce théorème en utilisnt l propriété suivnte : orollire Soit un tringle Soit M un point de [] et soit l droite pssnt pr M et prllèle à () Soit N le point d'intersection de et de [] M n = N = MN Lorsque ce rpport est égle à du corollire, on prle de l droite des milieux M H' h' h N H Soit H le point de () tel que (H) soit l huteur de issue de Soit H' le point de (MN) tel que (H') soit l huteur de MN issue de (N) (M) cr même longueur pour l bse [] et même longueur de huteur qui vut HH' n (N) () (N) et (M) () (M) onc (N) (M) Soit h l longueur de l huteur issue de N des tringles N et MN (N) et (MN) % h% % h%m Soit h' l longueur de l huteur issue de M des tringles M et MN (M) et (MN) % h % % h % N 'où M = (MN) (N) = (MN) (M) = N Remrquons que l'on peut ppliquer l propriété dns les tringles H et MH' n donc : M = H H u encore si k M lors H k H' n donc k M k (H' MH' ) (k H') (k MH') H (k MH') Mis, on ussi H H onc H k MH' En fisnt de même dns les tringles H et H'N, on obtient H k NH' 'où H H k MH' k NH' k(mh' NH') k MN c'est-à-dire M = MN Frncis Wlzinski 9

10 Réciproque Soit un tringle Soit M un point de [] et soit N un point de [] Si M = N lors (MN) est prllèle à () orollire Soient et ' deux droites sécntes en un point Soient et deux points de sur des demi-droites issues de différentes Soient et deux points de ' sur des demi-droites issues de différentes Si () et () sont prllèles lors = = ' VII Trigonométrie Projection Soient et ' deux droites orthogonles se coupnt en un point Soit P un point du pln Pour tout point M du pln, on note M' son projeté orthogonl sur et M'' son projeté orthogonl sur ' ' P'' P M' M'' M' M P' M M'' Pour tout point M de (P) le rpport M est invrint (égl à P ) Il en est de même de M M P M Si M et M sont deux points de l droite (P) dns deux demi-droites issues de différentes lors les M M rpports et sont opposés M M M M Il en est de même des rpports et M M Frncis Wlzinski 0

11 ngles orientés n dopte une orienttion du pln c'est-à-dire un sens positif de mesure des ngles + n donc mes ([),[)) mes ([),[)) utrement dit : mes mes Le sens positif est communément le sens inverse des iguilles d'une montre qui est ppelé sens trigonométrique Les ngles orientés vérifient l reltion de hsles : mes ([),[)) mes ([),[)) mes ([),[)) 3 osinus, sinus et tngente Soient et ' deux droites orthogonles se coupnt en un point Soit le cercle de centre et de ryon (ppelé cercle trigonométrique) Soit I l'un des deux points d'intersection de vec et soit J le point d'intersection de ' et de tel que mes IJ Soit P un point du pln différent de et soit M le point d'intersection de [P) et de Soient M' le projeté orthogonl de M sur et M'' le projeté orthogonl de M sur ' Soit l'ngle orienté ([I),[P)) n ppelle cosinus de et on note cos l mesure lgébrique M n ppelle sinus de et on note sin l mesure lgébrique M Lorsque cos est non nul, on ppelle tngente et on note tn le réel sin cos ' J M'' M P M' I 4 Trigonométrie dns le tringle rectngle Soit un tringle rectngle en Le côté [] du tringle est ppelé hypoténuse du tringle Le côté [] est dit opposé à l'ngle ˆ et le côté [] est dit djcent à ˆ n cos ˆ =, et sin ˆ = tn ˆ = Frncis Wlzinski

12 Remrque HSHT (csse-toi) sont les initiles de : cosinus () djcent (/) hypoténuse (;) sinus () opposé (/) hypoténuse (;) tngente () opposé (/) djcent VIII roites et tringles es droites prticulières éfinition L méditrice d'un segment [] est l droite perpendiculire à () qui psse pr le milieu de [] L méditrice d'un segment [] est l'ensemble des points équidistnts de et # Soit I le milieu de [] et soit un point de l méditrice de l droite [] différent de I Les tringles I et I sont rectngles en I n donc I I I I # Réciproquement, soit un point du pln tel que et I (cs trivil) Soit H le projeté orthogonl de sur () Les tringles H et H sont rectngles en H n donc H H et H H 'où H H ou encore H H c'est-à-dire H I et est sur l méditrice de [] Remrque Méthode de construction u comps onséquence Si et sont deux points d'un cercle de centre, lors l méditrice de [] psse pr En effet, le centre est à égle distnce des points du cercle Soient et deux points et soit une droite pssnt pr différente de () lors il existe un seul cercle pssnt pr et tel que soit l tngente à en L méditrice de [] n'est ps perpendiculire à L'unique point d'intersection de l méditrice de [] et l perpendiculire à qui psse pr donne le centre de Le ryon du cercle est Frncis Wlzinski

13 éfinition L bissectrice d'un ngle ([),[)) est l droite qui psse pr telle que, pour tout point de l'une des demi-droites de issue de, on mes ([),[)) mes ([),[)) L bissectrice d'un ngle ([),[)) est l'ensemble des points équidistnts ux droites () et () Soit un point d'une droite interceptnt l'ngle ([),[)) Soit son projeté orthogonl sur [) et E son projeté orthogonl sur [) n pose mes ([),[)) et ' mes ([),[)) n : équidistnt de () et () E sin E sin ' ' pprtient à l bissectrice de ([),[)) Remrque Méthode de construction u comps Les droites prticulières du tringles éfinition- Les méditrices d'un tringle sont les méditrices des segments [], [] et [] Elles sont concourntes en un point à égl distnce des sommets Il existe donc un cercle qui contient les sommets du tringle e cercle est ppelé cercle circonscrit u tringle Soit l méditrice de [] et soit l méditrice de [] es droites sont sécntes en un point Puisque pprtient à, on et, puisque pprtient à, on 'où et pprtient à l méditrice de [] Remrque Réciproquement, le centre d'un cercle circonscrit à un tringle est nécessirement sur chcune des méditrices ns un cs générl (tringle non plti), le cercle circonscrit u tringle et son centre sont donc uniques Frncis Wlzinski 3

14 Remrque : s prticulier du tringle rectngle Soit un tringle rectngle en L méditrice de [] est prllèle à () et l méditrice de [] est prllèle à () 'est donc, dns chque cs, l droite des milieux 'près le théorème de Thlès, le centre du cercle circonscrit est donc le milieu de [] Soit un cercle de dimètre [] Pour tout point du cercle, le tringle est rectngle en Soit le centre de n donc e qui signifie que les tringles et sont isocèles en onc mes () mes () et mes () mes () r mes () mes () mes () mes () mes () mes () mes () 'où mes () mes () mes () mes () Une tngente en un point du cercle est perpendiculire u ryon du cercle en ce point Le ryon peut être vu comme l distnce du centre cercle à l (droite) tngente Remrque ette propriété fournit ussi une méthode de construction à l règle et u comps d'une tngente à un cercle de centre : il suffit de prendre le symétrique de pr rpport u point où l'on veut l tngente et de trcer l méditrice du segment d'extrémités et son symétrique éfinition- Les bissectrices d'un tringle sont les bissectrices des ngles Â, ˆ et Ĉ Elles sont concourntes en un point à égl distnce des côtés du tringle Il existe donc un cercle tngent ux trois côtés du tringle qui est inclus dns celui-ci e cercle est ppelé cercle inscrit dns le tringle Soit l bissectrice de  et soit l bissectrice de ˆ es droites sont sécntes en un point Puisque pprtient à, on d(,()) d(,()) Et, puisque pprtient à, d(,()) d(,()) Frncis Wlzinski 4

15 'où d(,()) d(,()) c'est-à-dire pprtient à l bissectrice de Ĉ Remrque Réciproquement, le centre d'un cercle inscrit dns un tringle est nécessirement sur chcune des bissectrices ns un cs générl (tringle non plti), le cercle inscrit dns le tringle et son centre sont donc uniques éfinition- n ppelle huteur d'un tringle une droite qui psse pr un sommet et qui est perpendiculire u côté opposé Les huteurs sont concourntes en un point ppelé orthocentre titre d'exercice (n 40) Remrque Soit un tringle Soit H le point de () tel que (H) soit une huteur du tringle n dit que (H) est l huteur issue de Mis on prle ussi de huteur en prlnt de l longueur H ou du segment [H] En prticulier, H sin Ĉ sin ˆ H H Remrquons que si, pr exemple, l'ngle ˆ est obtu, on sin ( ˆ ) sin ˆ éfinition- n ppelle médine d'un tringle une droite qui psse pr un sommet et le milieu du côté opposé Les médines sont concourntes en un point ppelé centre de grvité e plus, le rpport entre l distnce du centre de grvité à un sommet et l distnce du centre de grvité u milieu du côté opposé à ce sommet est En outre, chque médine coupe le tringle en deux prties de même ire titre d'exercice (n 3) Frncis Wlzinski 5

16 (théorème de l médine) Soit un tringle et I le milieu du segment [] lors I I Soit H le point de () tel que (H) soit une huteur de H I Les tringles HI, H et H sont rectngles en H H H H H I H IH onc H H H H H I IH Il fut donc montrer que H H IH I ou encore H H IH I n H H H + H I + IH I + IH I %I%IH + IH I %I%IH + IH I I % I + I % IH + IH or I = I I + IH I IH ns un tringle (non plti), le centre de grvité, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre sont lignés (droite d'euler) titre d'exercice (n 4) ns un tringle (non plti), il existe un cercle pssnt pr les (3) milieux des côtés, les (3) pieds des huteurs et les (3) milieux des segments relint l'orthocentre ux sommets e cercle dit des neuf points est ussi ppelé cercle d'euler, cercle de Feuerbch, cercle de Terquem ou cercle médin 3 Tringles prticuliers Un tringle est dit isocèle s'il possède deux côtés de même longueur ns un tringle isocèle en, les ngles ˆ et Ĉ ont même mesure (il suffit de considérer l huteur issue du sommet relint les deux côtés de même longueur et les sinus fisnt intervenir cette huteur) L huteur issue de, l médine issue de, l méditrice de [] et l bissectrice de  sont confondues Un tringle est dit équiltérl si ses trois côtés ont même longueur ns un tringle équiltérl, les ngles sont tous égux Les huteurs, médines, méditrices et bissectrices sont confondues Frncis Wlzinski 6

17 IX ngles inscrits Soit un cercle de centre et et deux points différents du cercle et soit T ( ) un point de l tngente à en tel que et T soient dns le même demi-pln de frontière () lors mes mes T T Puisque le tringle est isocèle en, mes () mes () Mis mes () / mes (T) 'où ( / mes (T)) mes () c'est-à-dire mes (T) mes () 0 Soit un cercle de centre et, et trois points différents du cercle tels que et soient dns le même demi-pln de frontière () lors mes mes M M Les tringles et sont isocèles n donc et mes () mes () mes () mes () Soit M le symétrique de pr rpport à n mes (M) mes () et mes (M) mes () 'est-à-dire mes () mes (M) et mes () mes (M) En terme d'ngles orientés, on : mes () (mes () mes ()) mes (M) mes (M) mes () Frncis Wlzinski 7

18 orollire Soit un cercle de centre et, et trois points différents du cercle tels que et soient dns les deux demi-plns différents de frontière () lors mes ( mes ) ' Soit ' le symétrique de pr rpport à ' et sont dns le même demi-pln de frontière () onc mes () mes (') Les tringles ' et ' sont rectngles respectivement en et onc mes () mes (') / et mes () mes (') / 'est-à-dire mes (') mes (') mes (') / mes () / mes () mes () 'où le résultt orollire Soit un cercle de centre et,, et qutre points différents du cercle Si et sont dns le même demi-pln de frontière (), lors mes mes Sinon mes mes Réciproquement, si,, et sont qutre points différents du pln tels que trois d'entre eux ne soient ps lignés et vérifint mes mes lorsque et sont dns le même demi-pln de frontière () ou mes mes dns le cs contrire, lors les points,, et sont cocycliques Frncis Wlzinski 8

19 n mes mes ou mes ( mes ) suivnt que et soient dns le même demi-pln de frontière () e même pour Réciproque : Soient,, et qutre points différents du pln tels que mes mes et tels que et soient dns le même demi-pln de frontière () Soit le cercle circonscrit u tringle et soit ' le cercle circonscrit u tringle Soit T ( ) un point de l tngente à en tel que et T soient dns le même demi-pln de frontière () Soit T' ( ) un point de l tngente à ' en tel que et T' soient dns le même demi-pln de frontière () n donc mes T mes mes T e qui implique que (T) (T') Les cercles et ' pssent pr et et ont même tngente en : ils sont donc égux e qui signifie que,, et sont sur le même cercle X Loi des sinus, théorème d'l Kshi et formule de Héron Soit un tringle et soit r le ryon du cercle inscrit dns lors l'ire de est () r ( ) Soit le centre du cercle inscrit dns le tringle Soient H, H' et H'' les projetés orthogonux de sur respectivement (), () et () est l'intersection des bissectrices et est à équidistnce des droites (), () et () 'est-à-dire H H' H'' r I I'' I' n () () () () I I' I'' 'où le résultt Soit un tringle dont les ngles sont notés Â, ˆ et Ĉ L'ire de est () sin  sin sin ˆ Ĉ Si on note les ngles, et et si on pose, b et c, l reltion devient donc : () bc sin c sin b sin n utilise l formule initile de clcul d'ire n choisit une bse pr exemple et un ngle à cette bse pr exemple L huteur issue de pour longueur sin  (rppelons que sin ( x) sin x) Frncis Wlzinski 9

20 (loi des sinus) Soit un tringle dont les ngles sont notés Â, ˆ et Ĉ n sin  = sin ˆ = sin Ĉ β c α γ H b Si on note les ngles, et et si on pose, b et c, l reltion devient donc : sin = sin = sin b c Soit h H l huteur issue de n sin = h c et sin = h c'est-à-dire c sin = sin 'où sin = sin c n obtient l'utre reltion en considérnt l huteur issue de ou celle issue de éfinition eux tringles sont dits semblbles s'ils ont deux ngles égux Remrques Puisque l somme des ngles d'un tringle est, il revient u même de dire que deux tringles ont deux ngles égux ou trois ngles égux n prle ussi de tringles homothétiques et proportionnels (du fit de l propriété qui suit) eux tringles semblbles ont leur côtés proportionnels Remrque el signifie que si et ''' sont deux tringles tels que  =  et ˆ = ˆ lors on : = = L preuve peut se fire en utilisnt le théorème de Thlès Mis ussi en utilisnt les reltions : sin  = sin ˆ et = sin Ĉ sin  = sin ˆ = sin Ĉ Puisque  = Â, ˆ = ˆ et Ĉ = Ĉ, il s'en suit que sin  = sin ˆ = sin Ĉ L propriété s'obtient en multiplint les églités précédentes pr sin  = sin ˆ = sin Ĉ Frncis Wlzinski 0

21 Si R est le ryon du cercle circonscrit u tringle et si S est son ire, on : sin = bc S = R Puisque S () bc sin, on bc S = sin Soit le centre du cercle circonscrit u tringle Si [] est le dimètre du cercle, lors est rectngle en, on bien sin, R et S bc Si [] n'est ps le dimètre du cercle, soit ' le symétrique de pr rpport à Le tringle ' est rectngle en et on sin sin  sin (corollire du théorème de l'ngle inscrit) Et sin = = R = R Théorème d'l Kshi (loi des cosinus) Soit un tringle dont les ngles sont notés Â, ˆ et Ĉ n cos  Remrque Si on note les ngles, et et si on pose, b et c, l reltion devient donc : b c b c cos n ussi : b c c cos c b b cos Remrque Si le tringle est rectngle en, lors cos  0 et on obtient le théorème de Pythgore β c α γ H b n H H H ( H) (c sin ) (b c cos ) Remrque c sin b bc cos c cos c b bc cos l'orienttion et à l position près, un tringle est entièrement déterminé pr : - L donnée de trois longueurs - L donnée de deux longueurs et d'un ngle - L donnée de une longueur et de deux ngles Frncis Wlzinski

22 (formule de Héron d'lexndrie) Soit un tringle L'ire d'un tringle de longueurs de côtés, b et c vut S demi-périmètre c'est-à-dire p ( b c) p(p )(p b)(p c) où p est le Remrquons que : p(p )(p b)(p c) ( b c)( b c)( b c)( b c) 6 [(b c) ][ (b c) ] 6 n S sin  c b sin 'où S b c sin 4 r cos b c (Théorème d'l Kshi) bc e plus, sin cos ( cos )( cos ) [(b + c) ][ (b c) ] 4b c onc S p(p )(p b)(p c) (loi des tngentes) Soit un tringle dont les ngles sont notés Â, ˆ et Ĉ tn  ˆ n = + tn  + ˆ Remrque b tn ette reltion peut ussi s'écrire : = + b tn + p + q p q Rppelons que : sin p sin q sin cos p q p + q et sin p sin q sin cos 'où b + b = et le résultt bc + b + c bc Puisque sin = sin = sin, on b sin b c c c sin + sin sin Et donc + b + c sin sin sin sin cos e même, on obtient que b + c sin sin sin sin cos sin cos + sin + cos bc + b c bc Frncis Wlzinski

23 XI Polygones Qudriltères Un qudriltère est l donnée de qutre points du pln ppelé sommets du qudriltère Si est un qudriltère, on ppelle côtés du qudriltère les segments [], [], [] et [] Pr bus, on identifier un qudriltère à ses côtés omme pour les tringles, nous négligerons le cs des qudriltères pltis Les digonles du qudriltère sont les segments [] et [] Un qudriltère est dit convexe si, quelque soit le côté choisi, les deux sommets restnts sont dns le même demi-pln de frontière ce côté Un qudriltère est dit croisé si deux segments non consécutifs sont sécnts Un qudriltère est dit concve s'il n'est ni convexe ni croisé (Formule de rhmgupt) Soit un qudriltère convexe inscriptible (les sommets sont cocycliques) dont les longueurs des côtés sont, b, c et d lors l'ire de est S (p )(p b)(p c)(p d) où p désigne le demi-périmètre c'est-à-dire p ( b c d) Remrque 'est une générlistion du Théorème de Héron dont on obtient le résultt en prennt deux points du qudriltère confondus ie l'une des longueurs est nulle α c δ d b γ β n : S ire() ire() ire() sin ˆ sin ˆ ou encore, en utilisnt les nottions de l figure ci-dessus : S d sin bc sin Frncis Wlzinski 3

24 Les ngles et sont supplémentires Ils ont donc même sinus et leurs cosinus sont opposés Il s'en suit que S (d bc) sin et 4S (d bc) sin Le théorème d'l Kshi utilisé dns les tringles et ynt le côté [] commun nous donne : cos ˆ et cos ˆ u encore d d cos b c bc cos b c bc cos 'est-à-dire (d bc) cos d b c et donc 4 (d bc) cos ( d b c ) 'où 6S 4(d bc) sin 4(d bc) ( cos ) 4(d bc) 4(d bc) cos (d bc) ( d b c ) [(d bc) ( d b c )][(d bc) ( d b c )] [(b c) ( d) ][( d) (b c) )] ( b c d) ( b c d)( b c d)( b c d) n obtient le résultt cr : p ( b c d) ( b c d) p b ( b c d) p c ( b c d) p d ( b c d) Un qudriltère convexe est inscriptible (rppel : les sommets sont cocycliques) si et seulement si deux ngles opposés sont supplémentires Un qudriltère croisé est inscriptible si et seulement si deux ngles opposés sont égux Il s'git de corollires des propriétés des ngles inscrits (théorème de Ptolémée) ns un qudriltère convexe inscriptible, le produit des longueurs des digonles est égl à l somme des produits des longueurs des côtés opposés Soient un qudriltère convexe inscriptible et K le point de [] tel que mes (K) mes () K Frncis Wlzinski 4

25 n mes () mes (K) mes (K) (ngles orientés) mes () mes (K) mes (K) Et mes () mes () (points cocycliques) mes (K) Les tringles et K sont donc semblbles n donc K = n montre de même que les tringles K et sont semblbles Et on obtient K = 'où K K (K K) Remrque L réciproque est vrie mis l démonstrtion fit intervenir une propriété que nous n'vons ps vue Prllélogrmme éfinition n ppelle prllélogrmme tout qudriltère (convexe) dont les digonles se coupent en leur milieu Un qudriltère est un prllélogrmme si et seulement si ses côtés opposés sont prllèles Un qudriltère est un prllélogrmme si et seulement si ses côtés opposés ont même longueur Théorème de Thlès et s réciproque en considérnt les digonles du qudriltère éfinition Un rectngle est un prllélogrmme qui possède un ngle droit Les digonles d'un rectngle ont même longueur Théorème de Pythgore à prtir des côtés du rectngle (identité du prllélogrmme) Soit un prllélogrmme lors on Frncis Wlzinski 5

26 Soit le centre du prllélogrmme (intersection des digonles) L droite () est une médine du tringle et l droite () est une médine du tringle n donc et 'où 4 4 éfinition Un losnge est un prllélogrmme dont les digonles sont perpendiculires Les côtés d'un losnge ont même longueur Théorème de Pythgore à prtir des demi-digonles du losnge éfinition Un crré est un losnge-rectngle 3 Polygones éfinitions Un polygone est une suite finie 3 n de n ( 3) points du pln ppelés sommets (l'ordre des sommets de l'importnce dns le polygone) Les segments [ i, i ] vec l convention n relint les couples de sommets consécutifs sont ppelés les côtés du polygone hque sommet insi que les côtés qui s'y interceptent forment un ngle n dit que c'est un ngle du polygone Remrques # Un polygone à n sommets possède ussi n côtés et n ngles # Un segment relint deux sommets non consécutifs d'un polygone est ppelé une digonle de ce polygone Une digonle est donc un segment qui joint deux sommets et qui n'est ps un côté du n(n 3) polygone Un polygone à n côtés possède insi digonles # L notion de polygone se générlise en dimension 3 pr celle de polyèdre Nottion Un polygone à trois sommets est un tringle Un polygone à cinq sommets est un pentgone Un polygone à sept sommets est un heptgone Un polygone à neuf sommets est un nongone Un polygone à onze sommets est un hendécgone Un polygone à qutre sommets est un qudriltère Un polygone à six sommets est un hexgone Un polygone à huit sommets est un octogone Un polygone à dix sommets est un décgone Un polygone à douze sommets est un dodécgone Frncis Wlzinski 6

27 Il existe des noms pour les polygones qui suivent Nénmoins, u dessus de 0, nous utiliserons l'ppelltion "polygone à n côtés" éfinition Un polygone est dit convexe si son intérieur est convexe Remrque # Un polygone est convexe si et seulement si tous ses ngles sont sillnts # Un polygone est convexe si et seulement si, étnt donné une droite pssnt pr deux sommets consécutifs, tous les utres sommets sont dns le même demi-pln de frontière cette droite # Un polygone est convexe si et seulement si toutes ses digonles sont à l'intérieur de l surfce délimitée pr le polygone éfinition Un polygone est dit croisé si u moins deux de ses côtés non consécutifs sont sécnts éfinition Un polygone est dit concve s'il n'est ni convexe ni croisé L somme des ngles d'un polygone convexe à n côtés est égle à (n Soit M un point intérieur à un polygone 3 n L somme des ngles u sommet M des différents tringles i M i (vec l convention n ) est L somme des ngles du polygones est l somme des ngles des n différents tringles i M i moins l somme des ngles u sommet M c'est-à-dire n éfinition Un polygone convexe est dit régulier si tous ses côtés sont égux et si tous ses ngles sont égux Remrque Un polygone convexe est régulier si tous ses côtés sont égux et si tous ses sommets sont sur un cercle Un polygone régulier possède donc un centre et un cercle circonscrit (n ) Les ngles d'un polygone régulier à n sommets sont tous égux à n éfinition Un polygone est dit inscriptible si tous ses sommets se trouvent sur un même cercle ppelé cercle circonscrit u polygone Frncis Wlzinski 7

28 Exemples # Un tringle est inscriptible # Un prllélogrmme est inscriptible si et seulement si c'est un rectngle # Un polygone régulier est inscriptible éfinition Un polygone est dit circonscriptible si tous ses côtés sont tngents à un même cercle ppelé cercle inscrit dns le polygone Exemples # Un tringle est circonscriptible # Un prllélogrmme est circonscriptible si et seulement si c'est un losnge # Un polygone régulier est circonscriptible éfinition Les méditrices d'un polygone sont les méditrices des côtés du polygone Remrques Les méditrices d'un polygone régulier sont ppelées pothèmes : ce sont les droites pssnt pr le centre du polygone et les milieux de ses côtés n prle ussi d'pothèmes pour les segments et non les droites Le ryon du cercle inscrit dns un polygone régulier est l longueur d'un pothème Pour qu'un polygone convexe possède un cercle circonscrit, il fut et il suffit que ses méditrices soient concourntes Le centre d'un cercle pssnt pr tout les sommets d'un polygone est à égle distnce de ceux-ci Il pprtient donc toutes les méditrices des côtés Réciproquement, le point d'intersection des méditrices des côtés est à égle distnce des sommets éfinition Les bissectrices d'un polygone sont les bissectrices des ngles du polygone Pour qu'un polygone convexe possède un cercle inscrit, il fut et il suffit que ses bissectrices soient concourntes Le centre d'un cercle tngent à tous les côtés d'un polygone est à égle distnce de deux côtés consécutifs Il pprtient donc à l bissectrice de l'ngle défini pr ces deux côtés c'est-à-dire un des ngles du polygone Réciproquement, le point d'intersection des bissectrices est à égle distnce des côtés Frncis Wlzinski 8

29 XII ontructibilité à l règle et u comps Préliminires éfinition Un point M est dit constructible à l règle et u comps à prtir d'un point P s'il existe une succession d'opértions fisnt intervenir uniquement des droites et des cercles (dont on connît le centre et le ryon) qui permettent d'obtenir M à prtir de P Un réel x est dit constructible si l'on peut construire à l règle et u comps un segment de longueur x à prtir d'un segment de longueur Remrque n peut considérer des constructions vec seulement une règle (non grduée) Mis c'est ssez restrictif cr, pr exemple, il été montré que l'on ne peut ps représenter le milieu d'un segment ou trcer l prllèle à une droite pssnt pr un point donné vec uniquement une règle comme outil n peut ussi considérer des constructions vec seulement un comps Il été prouvé que tout nombre qui est constructible à l règle et u comps, l'est ussi uniquement u comps Exemple L construction du symétrique d'un point pr rpport à un droite ou l construction de l perpendiculire à une droite pssnt pr un point : Soit une droite et soit un point du pln qui n'pprtient ps à n choisit deux points et de de sorte que l'ngle soit obtu n trce ensuite les cercles de centre de ryon et de centre de ryon L'utre point ' d'intersection de ces cercles est le symétrique de pr rpport à l droite et l droite (') est perpendiculire à ' Exemple n cherche à construire un hexgone inscrit dns un cercle Soit un cercle de centre et de ryon r Soient et les points d'intersection de vec une droite qui psse pr L'intersection des cercles de centres et et de ryons r vec donnent 4 points E, F, G et H Les points,, E, F, G et H sont les sommets (non consécutifs) d'un hexgone régulier Frncis Wlzinski 9

30 Remrque Les trois grnds problèmes de constructibilité (à l règle et u comps) de l'ntiquité furent l dupliction du cube, l trisection de l'ngle et l qudrture du cercle (dont une expression est restée) Il été montré u XIXème siècle (P-LWntzel) que ces problèmes n'vient ps de solution L dupliction du cube : n sit construire un crré de surfce double d'un crré donné En effet, si l'ire d'un crré est (donc de côté ), le crré de côté pour ire Le réel est l longueur de l digonl du crré initil L trisection de l'ngle : L qudrture du cercle : n ne sit ps construire un cube dont le volume serit le double du volume d'un cube donné! n sit couper un ngle en (bissectrices) n ne sit ps construire deux droites qui prtgerient un ngle en 3 n ne sit ps construire un cercle ynt l même surfce qu'un crré donné ou inversement pértions L'ddition ou l soustrction de deux nombres constructibles est constructible E x y Si x et y lors x y et E x y onséquence Tous les entiers sont constructibles Frncis Wlzinski 30

31 L multipliction ou l division de deux nombres constructibles est constructible n c'est-à-dire = E E = % E Si, x et y lors E x / y Si, x et y lors E xy onséquence Toutes les frctions rtionnelles sont constructibles L rcine crrée d'un nombre constructible est constructible Soit x un nombre réel constructible tel que x n considère un cercle de centre un point et de ryon r x (qui est bien constructible ussi) Soit une droite qui psse pr et soient et les points d'intersection de vec Soit le point de intérieur à tel que Soit E un des deux points d'intersection de vec l perpendiculire à pssnt pr n : x Les ngles E = E et E sont supplémentires donc E = E e plus, tn E tn d'où E x E E = E Et, d'près le théorème de Pythgore, E E x x et donc E x E Pour générliser à tout nombre constructible x 0 (ps nécessirement plus grnd que ), on considère le nombre y x Le nombre y est constructible (division des nombres constructibles et x) et on y lorsque x n peut donc construire y et, pr suite, x puisque x y Frncis Wlzinski 3