Nombres complexes COURS EXERCICES PROBLÈMES. Exercices 1 à 4

Transcription

1 0cours_79088 Page 7 Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees OBJECTIFS Utiliser la notation eonentielle d un nombre comlee Résoudre des équations dans Utiliser les nombres comlees our caractériser les transformations géométriques PRÉSENTATION DU CHAPITRE Dans, l équation de solution + 0 n a as Dans, ensemble des nombres comlees, elle en a deu : i et - i La notation i fut introduite ar Euler, le grand mathématicien suisse Dans ce livre, on notera j à la lace de i, notation utilisée our l intensité en électricité Les nombres comlees sont aussi très utilisés en géométrie, en articulier our caractériser les transformations onctuelles Raels 8 Notation eonentielle 0 Résolution dans des équations du second degré à coefficients dans Lignes de niveau Transformations géométriques 6 EXERCICES PROBLÈMES Avant d aborder le cours 0 Eercices d entraînement 0 Problèmes Travau ratiques Leonhard EULER (Bâle 707, Saint-Pétersbourg 78) AVANT D ABORDER LE Connaître les notions de base se raortant au nombres comlees : artie réelle et artie imaginaire, module et argument, forme algébrique et forme trigonométrique, oérations, affie d un oint M du lan comlee Voir aragrahe ➀ du cours consacré au raels Eercices à 7

2 0cours_79088 Page 8 Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees RAPPELS Définitions a Forme algébrique L ensemble des nombres comlees est l ensemble des nombres de la forme a + bj (notation des hsiciens, les mathématiciens notant lutôt a + bi, mais, en électricité, i rerésente souvent l intensité du courant), j vérifiant l égalité j, a et b étant des réels quelconques Soit a + bj Alors a e( ) et b m( ) Si b 0, alors est réel ( à ) Si a 0, alors est imaginaire ur Égalité : deu nombres comlees a + bj et a + b j sont égau si, et seulement si, a a et b b b Rerésentation géométrique Dans le lan muni d un reère orthonormal ( O ; u,, à tout comlee a + bj, on associe le oint Ma ( ; b) et réciroquement, à tout oint, on eut associer un nombre comlee Ma ( ; b) est l image de a + bj et est l affie de Ma ( ; b) ; est également l affie du vecteur OM au + bv B(bj ) v O ae imaginaire u r q M() A(a) ae réel c Forme trigonométrique Soit a + bj et M son image dans le lan raorté au reère ( O ; u, Le module de est le réel ositif r a + b Géométriquement, OM OM Un argument de ( π 0) est le nombre q défini à k ( k Œ ) rès ar Ï a cosq -- Ô r Ì Ô b sinq -- Ó r Géométriquement q est, à k rès, la mesure de l angle ( u, OM) On a alors r( cosq+ jsinq) : c est la forme trigonométrique de Eemles : Soit j Alors et arg k, sin j 8

3 0cours_79088 Page 9 Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees Soit + j Alors et arg -- + k Êcos Ë -- + jsin --ˆ Oérations a Comlee conjugué Définition Soit a + bj Le comlee conjugué de est a bj Géométriquement, l image M de est smétrique de l image M de ar raort à l ae ( ) On a et arg arg + k ' O ' M() M'() Proriétés immédiates e( ) -- ( + ) ; m( ) -- ( ) ; b Addition a + bj fi + ( a + a ) + ( b + b )j a + b j M'(') Géométriquement, si M et M sont les images de et, alors : Q(' ) le oint P image de + est le oint tel que ' O OP OM + OM et le oint Q image de est le oint tel que ' OQ OM OM MM est donc l affie du vecteur MM et MM M() P( + ') c Produit a + bj a + b j fi ( aa bb ) + ( ab + a b)j Il est souvent lus intéressant d utiliser la forme trigonométrique 9

4 0cours_79088 Page 0 Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees r( cosq+ jsinq) En effet r ( cosq + jsinq ) rr [( cosqcosq sinqsinq ) + ( cosqsinq sinqcosq )j] fi rr ( cos( q+ q ) + jsin( q+ q )) Proriétés arg arg + arg + k d Inverse et quotient En utilisant les formules ci-dessus, on vérifie que l on a : Proriétés ( π 0) arg -- arg + k ( π 0) arg --- arg arg + k e Puissance Soit r( cosq+ jsinq), ( π 0) En utilisant les roriétés du roduit, on montre ar récurrence que, our tout entier naturel n, on a : Proriété n r n ( cos( nq) + jsin( nq) ) Eercices 5 à 9 Eemles : j Ê --ˆ Êcos + j -- Ë Ë sin Ë Ê ˆ ˆ ( j) 0 ( ) 0 0 ÊcosÊ ˆ + j sin Ê ˆˆ Ë Ë Ë 0 ( cos( 5) + j sin ( 5) ) 0 NOTATION EXPONENTIELLE Formule de Moivre En aliquant la formule ci-dessus à un nombre comlee de module, cosq + jsinq, on obtient, our tout entier naturel n, la formule de Moivre : FORMULE DE MOIVRE ( cosq + jsinq) n cos( nq) + jsin( nq) 0

5 0cours_79088 Page Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees Par analogie avec les uissances, on ose ar définition : e jq cosq + jsinq Eemles : Pour q, e j Pour q --, e j -- j La formule de Moivre devient alors ( e jq ) n e jnq (roriété analogue à celle des uissances) Les formules donnant l argument d un roduit ou d un quotient deviennent : e jq e jq e j q+ q ( ) e jq e jq et e j( q q ) Remarque : La formule de Moivre est vraie aussi our n entier relatif Notation eonentielle d un nombre comlee Proriété Tout nombre comlee non nul de module r et d argument q eut s écrire re jq Eemle d utilisation : Calcul du module et de l argument de j j e j-- Ë j e j-- ; et arg -- [ ] e j -- e j -- Ê ˆ Formules d Euler e jq cosq + jsinq, d où e j q cos( q ) + j sin ( q) cosq jsinq En additionnant membre à membre, on obtient e jq + e j q cosq et en soustraant membre à membre on obtient e jq e j q jsinq D où : FORMULES D EULER Ï cosq Ô Ì Ô Ó sinq e jq e jq e j q e j q j Eercices 0 et

6 0cours_79088 Page Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees Alication : linéarisation de sinus et cosinus Eemle : Linéarisation de cos q et de sin q e jq e j cos q Ê q ˆ -- ( e Ë 8 jq + e jq + e j q + e j q ) sin e q Ê jq e j q ( e Ë j 8j jq + e jq + e j q e j q ) ˆ -- ( cosq + cosq) -- ( sinq + sinq) RÉSOLUTION DANS DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS DANS Équation a Si a 0, l équation 0 admet la solution «double» 0 Soit a re jq avec a π 0 On cherche sous forme trigonométrique : re j On a : Ï a r e j re jq r r r ( car r > 0) Ï r Ô Ì Ì q Ó q + k Ô -- + k Ó D où les solutions r e j q -- et r e j Êq Ë -- + ˆ soit r e j q -- e j r e j q -- Ces nombres et sont les racines carrées comlees de a, elles sont oosées Eemle : Résoudre l équation + j On a + j 5 D autre art, si q arg( + j), on a cosq -- et 5 sinq --, donc la mesure rinciale de q est dans l intervalle 0 ; et donc 5 -- q est tel que tanq -- D où les deu solutions : 5 e j q -- et 5 e j Êq -- + ˆ Ë 5 e j q --

7 0cours_79088 Page Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees Cette équation eut également se résoudre algébriquement : j ( + j) Ï + j + Ì Ó re méthode : Remarquons que et sont non nuls, car leur roduit vaut La deuième équation donne -- En remlaçant dans la remière, on obtient : (équation bicarrée) En osant X, on obtient X X 0 soit X : imossible soit X d où soit ou D où les solutions : { j ; + j} e méthode : On eut faciliter le calcul en combinant la remière équation avec une troisième qui est + 5 (en effet, comme + j, on a ) Ï 8 On obtient alors immédiatement Ì Ó Comme le roduit est ositif (égal à ), et sont de même signe, on a donc les deu solutions { + j ; j} Remarque : On eut généraliser le calcul et montrer que l équation solutions dans n a admet n Équation a + b + c 0 où a, b et c sont trois comlees donnés (a π 0) On a a + b + c a Ê b ˆ b ac (forme canonique du trinôme) Ë a a On sait qu il eiste deu comlees g et g tels que g D b ac (voir b g b + g ) et donc on a toujours deu solutions à l équation qui sont et a a Donc toute équation du second degré a deu solutions (distinctes ou confondues) dans

8 0cours_79088 Page Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees Remarque : Si a, b et c sont réels et si conjuguées Eemle : Résoudre dans l équation + 0 D ( j) Ï j ; S ; j Ì Ó Eemle : D < 0, les deu solutions sont deu comlees Résolution, dans, de l équation + ( + j) 5 ( + j) 0 : Il faut alors résoudre l équation g 0 + 8j D [ ( + j) ] + 0( + j) 0 + 8j g 0 + 8j ( + j) Ï 0 + 8j Ì 0 Ó 8 Comme récédemment, on eut combiner la remière équation avec une troisième qui est + 5 Ï 7 6 On obtient alors immédiatement Ì Ó 6 6 Comme le roduit est ositif (égal à ) on a donc les deu racines comlees de D : 6 + j et 6 j D où l ensemble des solutions de l équation + ( + j) 5 ( + j) 0 : S { + j ; j} Généralisation : On démontre, et nous l admettrons, que tout olnôme de degré n à coefficients dans admet n racines dans distinctes ou confondues Eercice LIGNES DE NIVEAU Définition Définition Dans un reère orthonormal ( O ; u,, la ligne de niveau N k d une fonction f de dans, est l ensemble des oints M d affie tels que f( ) k

9 0cours_79088 Page 5 Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees Eemles a Lignes de niveau de f : e() (artie réelle de ) + j ; e( ) k k Il s agit donc de la droite d équation k Eemle Ligne de niveau de f : définie ar e( ) b Lignes de niveau de f : m() (artie imaginaire de ) + j ; m( ) k k Il s agit donc de la droite d équation k Eemle Ligne de niveau de f : définie ar m( ) c e( ) m( ) O Lignes de niveau de f : (module de ) (k > 0) + j ; k + k + k Il s agit donc du cercle de centre O de raon k O d Lignes de niveau de f : a, a Œ, k > 0 + j ; a a + jb a k ( a) + ( b) k Il s agit donc du cercle de centre A d affie a et de raon k Eemle Ligne de niveau de f : a définie ar a et a j O A e Lignes de niveau de f : arg (argument de ) + j ; arg k ( u, OM) k Il s agit donc de la demi-droite d origine O, O eclu, et d angle olaire k f Lignes de niveau de f : arg ( a) (argument de ( a) ), a Œ + j ; a a + jb ; arg ( a) k ( u, AM) k Il s agit donc de la demi-droite d origine A, A eclu, et d angle olaire k v O u A k 5

10 0cours_79088 Page 6 Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees Eemle : Ligne de niveau de f : arg ( a) définie ar arg ( a) et a 5 j Eercice 5 TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES Soit une fonction f : Æ définie ar f : f( ) Soit, dans un reère orthonormal ( O ; u,, le oint M d affie et le oint M d affie f( ) On définit ainsi, dans le lan, la transformation géométrique associée à f qui, à tout oint M fait corresondre le oint M Transformation associée à f : + b (b a + b j) M ( ) M ( ) Ï + a + b Ì MM w a Ó + b Ë Ê b ˆ La transformation géométrique associée à f : + b est donc la translation de vecteur w a Ë Ê b ˆ v O M u M' w a b Transformation associée à f : M ( ) M ( ) Ï Ì Ó La transformation géométrique associée à f : est donc la réfleion (smétrie v O u M orthogonale) d ae ( O ; u) M Transformation associée à f : k (k réel donné non nul) M ( ) M ( ) Ï k k Ì Óarg arg + arg k M ( OM k OM) arg k 0 ou selon que k > 0 ou k < 0 La transformation géométrique associée à f : k est donc l homothétie de centre O et de raort k v O u M 6

11 0cours_79088 Page 7 Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees Transformation associée à f : e jq M ( ) M ( ) e jq Ï ÏOM OM Ì Ì Ó arg arg + q [ ] Ó( u, OM ) ( u, OM) + q [ ] ÏOM OM Ì Ó( OM, OM ) q [ ] La transformation géométrique associée à f : e jq est la rotation de centre O et d angle q M v q M O u 5 Transformation associée à f : a (a r e jq ) (a π 0) M ( ) M ( ) Ï r ÏOM r OM a Ì Ì Ó arg arg + q [ ] Ó( u, OM ) ( u, OM) + q [ ] ÏOM r OM Ì Ó( OM, OM ) q [ ] Cette transformation géométrique est donc la comosée de la rotation de centre O et d angle q et de l homothétie de centre O et de raort r ( r > 0) Cette transformation géométrique associée à f : a s aelle une similitude de centre O, de raort r et d angle q Eemle M' f : j e j -- La transformation géométrique associée à f est la similitude de centre O, de raort et d angle -- O q v u M Remarques : Si a, il s agit alors d une rotation Si arg( a) k, il s agit alors d une homothétie 7

12 0cours_79088 Page 8 Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees 6 Transformation associée à f : -- ( π 0 ) - Ï Ï Ô ---- Ô OM Ì OM Ì Ô Ó arg arg Ô Ó( u, OM ) ( u, OM) [ ] Cette transformation, associée à la fonction inverse définie dans { 0}, est aelée inversion comlee Le oint O n a jamais d image ar cette transformation et contrairement à toutes les transformations récédentes, l image d une droite n est généralement as une droite Eression analtique : - + j j Image d une droite : Ï j Ô Ì Ô Ó Soit une droite D d équation a + b + c 0 On remarque que, de même que la réfleion, l inversion comlee est involutive, c est-à-dire que si M est l image de M, alors M est l image de M, donc Ï Ô + on a Ì avec ( ; ) π ( 0 ; 0) Ô Ó + D où a ou b c 0 a b + c ( + + ) 0 Si c 0, c est-à-dire si la droite D asse ar O, alors la transformée de la droite D rivée de O est la droite D d équation a b 0, c est-à-dire la smétrique de D ar raort à l ae ( ), D étant aussi rivée du oint O Si c π 0, alors l image de D est l ensemble des oints M tels que a b c c On reconnaît l équation d un cercle ( + + a + b + g 0) qu il faut mettre sous forme canonique ( 0 ) + ( 0 ) R si l on veut en connaître les coordonnées du centre ( 0 ; 0 ) et le raon R On remarque au assage que l image de la droite n est as le cercle entier, mais le cercle rivé du oint O L image d une droite D qui ne asse as ar O est donc un cercle qui «asse ar O», mais rivé de O 8

13 0cours_79088 Page 9 Lundi, novembre 00 0: 0 Nombres comlees Cas articulier : IMAGE D UNE DROITE PERPENDICULAIRE À L AXE ( ) Soit une droite d équation k D où ou + k k ( + ) 0 Si k 0, c est-à-dire si la droite asse ar O, alors la transformée de la droite est elle-même la droite d équation 0, rivée du oint O Si k π 0, alors le transformé de la droite est un cercle, centré sur ( ), assant ar O, rivé du oint O Eemle : Cherchons l image de la droite d équation ar l inversion comlee associée à l alication de { 0} dans { 0} : f : - Soit M ( ; ) et son image M ( ; ) - + j j Ï j Ô Ì Ô Ó On remarque que si M est l image de M, alors M est l image de M, donc on a Ï Ô + Ì Ô Ó + équivaut à avec ( ; ) π ( 0 ; 0) ( + ) ( + ) Ê -- + Ë L image de la droite d équation est le cercle de centre A -- ; 0 et de raon rivé du Ë Ê ˆ -- oint O Image d un cercle : L inversion comlee est involutive, on eut conclure directement que M l image d un cercle assant ar O O rivé de O, uisque O n a as d image, est une droite Par contre, il est facile de montrer, mais ceci est hors rogramme, que l image d un cercle ne assant as ar O est un cercle ˆ M Eercices à 9 9

14 0eo_79088 Page 0 Lundi, novembre 00 0:5 0 EXERCICES PROBLÈMES Nombres comlees C : eercice corrigé (voir corrections ages 06 à 0) * ** *** Niveau de difficulté des roblèmes AVANT D ABORDER LE Écrire sous la forme algébrique a+ bj, les nombres comlees : ( + j) 5 + j j ( j) ( + j) 6 + j j ( + j) ( 5j) j ( + j) + j j Donner le module et un argument des nombres comlees : + j j j 6 ( j) + j 7 0 0j j 8 j Écrire sous la forme algébrique a+ bj les nombres comlees de module r et d argument q : : r et q -- : r et q : r et q : r et q 5 : r et q : r et q ( O ; u, est un reère orthonormal du lan, lacer les oints d affie : M i j j 5 + j j i EXERCICES D ENTRAÎNEMENT CALCUL DANS 5 Soient -- ( + j ) et -- ( j ) Calculer ( ) ; le comarer à Calculer ( ) ; le comarer à Calculer ( ) et ( ) Calculer C Soient les nombres comlees a j ; a b b j et ---- Donner le module et un argument de a, b, a et b Donner la forme algébrique de a et b, uis de Calculer le module et un argument de 0

15 0eo_79088 Page Lundi, novembre 00 0:5 0 EXERCICES PROBLÈMES Nombres comlees Déduire des questions récédentes les valeurs eactes de cos ---- et de sin Écrire les nombres comlees ( + j), ( j), ( + j), ( j) à l aide de la notation eonentielle En déduire ( j) ( + j) 8 est un nombre réel, est le nombre comlee défini ar + 6j j M est l image du nombre comlee dans le lan comlee Calculer + Quel est l ensemble des oints M d affie tels que + lorsque décrit? C ÉQUATIONS, SYSTÈMES D ÉQUATIONS DANS Dans, donner l ensemble des solutions des équations et sstèmes d équations a j ; b 7+ j ; c + 0 ; d ; e + 0 ; f + j 5 0 ; g + 0 ; h 5 ( j) ( + j) 0 ; i + ( j) 6j 0 ; Ï j Ì + Ój est un nombre comlee quelconque On + j ose Z j Déterminer les arties réelles et imaginaires de Z Déterminer l ensemble des oints M d affie tels que : a Z est réel ; b Z est imaginaire ur 0 FORMULES D EULER LINÉARISATION À l aide des formules d Euler, retrouver les formules trigonométriques : cos a sin a -- ( + cosa) ; -- ( cosa) À l aide des formules d Euler, linéariser : cos cos5 ; cos sin ; sin sin LIGNES DE NIVEAU ( O ; u, est un reère orthonormal du lan comlee f est une fonction de dans, k Œ Déterminer les lignes de niveau k de f dans les cas suivants (on donnera les rerésentations grahiques de ces lignes de niveau) : a f( ) e( ) et k ; b f( ) m( ) et k ; c f ( ) et k ; d f( ) et k ; e f( ) arg( ) et k -- ; 6 f f( ) arg( j) et k -- TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES a e j Soient Ê + ˆ, b Ê+ e j ˆ et Ë Ë c j Écrire a et b sous forme algébrique

16 0eo_79088 Page Lundi, novembre 00 0:5 0 EXERCICES PROBLÈMES Nombres comlees 5 6 Le lan comlee est muni d un reère orthonormal ( O ; u, ; A, B et C sont les oints d affie a, b, c Donner le module et un argument de a, de b et de c En déduire que A, B et C sont sur un même cercle que l on déterminera A, B et C sont les oints d affie a, b, c Par quelle transformation géométrique asse-ton de A à A, de B à B et de C à C? Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ( A B C ) et donner son raon Le lan comlee est muni d un reère orthonormal ( O ; u, ; unité grahique cm Résoudre dans l équation : + 0 On aellera a la solution dont la artie imaginaire est négative et b l autre solution Soit R la transformation du lan qui à tout oint M d affie associe le oint M d affie e j Quelle est cette transformation? Soit A le oint d affie a, B celui d affie b Calculer l affie de A image de A ar R et de B image de B ar R Placer A et B, construire A et B Soit C le oint d affie Quelle est la nature du triangle ( ABC)? Le lan comlee est muni d un reère orthonormal C ( O ; u, On considère l alication f de dans définie ar f( ) j + M est le oint du lan comlee d affie + j et M celui d affie f( ) Calculer f( ) ; lacer les oints A et A d affie et f( ) Déterminer la solution c de l équation f( ) ; c a our image le oint C Donner le module et un argument de c Quelle est la nature du triangle ( CAA )? Calculer la artie réelle et la artie imaginaire de f( ) Déterminer l ensemble ( E) des oints du lan comlee tels que f( ) soit réel Déterminer l ensemble ( F) des oints du lan comlee tels que f( ) soit imaginaire ur Déterminer l ensemble ( G) des oints du lan comlee tels que f ( ) 7 Soit f : j + + j une alication de dans : Montrer que l équation f( ) admet une solution unique a En déduire que la transformation géométrique qui, à tout oint M ( ) associe le oint M ( f( ) ) admet un oint fie unique A dont on donnera les coordonnées Montrer que a j( a) En déduire que la transformation géométrique associée à f est une similitude dont on donnera le centre, le raort et l angle 8 Soit f l alication de dans définie ar f( ) ( + j) + j Résoudre l équation f( ) a Montrer que ( + ) ( + j) ( + ) b En déduire que la transformation géométrique associée à f est une similitude dont on donnera le centre, le raort et l angle À tout oint M d affie + j cette transformation géométrique associe le oint M d affie + j, erimer et en fonction de et de Déterminer une équation de la droite ( D ) image de la droite ( D) d équation : Soit f l alication de { 0} dans { 0} définie ar f( ) - Quelle est la nature de la transformation géométrique associée à f? Soient A, B et C les oints d affies resectives --, j et -- j Déterminer leurs images A, B et C ar cette transformation a Quelle est l image de la droite ( AB) ar cette transformation? b Quelle est l image du cercle de diamètre [ AB] ar cette transformation?

17 0eo_79088 Page Lundi, novembre 00 0:5 0 EXERCICES PROBLÈMES Nombres comlees PROBLÈMES/TRAVAUX PRATIQUES Module Travau ratiques du module Problèmes corresondants Nombres comlees TP Calcul dans et eemles de mise en œuvre des formules d Euler : Linéarisation de olnômes trigonométriques TP Résolution des équations du second degré à coefficients réels TP Eemles d études de transformations géométriques Problèmes : 0 à Problèmes : à 6 Problèmes : 7 à 0 CALCUL DANS j a e On considère le nombre comlee 5 ** On note I, A, B, C, D les oints du lan C comlee d affies, a, a, a, a Vérifier que a 5 et montrer que : IA AB BC CD DI Placer les oints I, A, B, C et D dans le lan comlee (unité : cm) a Vérifier que, our tout nombre comlee : 5 ( ) ( ) et en déduire que : + a+ a + a + a 0 b Montrer que a a et que a a et en déduire que : ( a+ a) + ( a+ a) 0 Résoudre l équation : + 0 et en déduire, à artir de ( ), la valeur eacte de cos Ë Ê 5 ˆ Le lan est raorté à un reère orthonormal * direct ( O ; u,, unité grahique cm Dans l ensemble des nombres comlees, j désigne le nombre de module, et d argument -- On aelle f l alication, qui, à tout nombre comlee différent de j, associe : + j Z f( ) j Si + j, et étant deu réels, erimer la artie réelle et la artie imaginaire de Z en fonction de et de * C * ** On vérifiera que e( Z) En déduire la nature de : a l ensemble E des oints M d affie, tels que Z soit un réel, b l ensemble F des oints M d affie du lan, tels que Z soit un imaginaire ur éventuellement nul, c rerésenter ces deu ensembles FORMULES D EULER LINÉARISATION À l aide des formules d Euler, linéariser cos et sin Linéariser cos sin ( + ) RÉSOLUTION D ÉQUATIONS Soit l alication f de dans définie ar f( ) + ( 5j) 5 ( + j) + 8j Démontrer que l équation f( ) 0 admet une solution qui est un nombre imaginaire ur que l on déterminera En déduire que f( ) eut s écrire sous la forme f( ) ( j) ( + a + b) où a et b sont deu comlees à déterminer Résoudre dans l équation f( ) 0 Résoudre l équation a 8 6j

18 0eo_79088 Page Lundi, novembre 00 0:5 0 EXERCICES PROBLÈMES Nombres comlees 5 * 6 *** C 7 * C Soit P la fonction olnôme définie sur ar : P ( ) + 6 Calculer P ( ) En déduire une factorisation de P ( ) Résoudre dans, l équation P ( ) 0 On considère les nombres comlees : 0, ( + j) et ( j) Calculer le module et un argument de 0, et Donner la forme trigonométrique du nombre comlee w Soit ( O ; u, un reère orthonormal du lan comlee (unité grahique cm) Placer les oints M 0, M et M d affies resectives 0, et Que eut-on en déduire our le triangle M 0 M M? D arès BTS Dans l ensemble des nombres comlees, on considère le olnôme + ( 8 + j) + 8j Calculer P ( ) En déduire une factorisation de P ( ) sous la forme : ( + )Q ( ) où Q ( ) est un olnôme comlee du e degré Démontrer que l équation Q ( ) 0 admet une solution imaginaire ure que l on calculera Achever la résolution dans de l équation P ( ) 0 Calculer les modules des quatre solutions 0,,, On notera 0 la solution de lus etit module Dans le lan comlee muni d un reère orthonormal, rerésenter les oints M, M, M, M 0 d affies resectives, j, 5 j et + j Montrer que M M M est un triangle isocèle dont le centre de gravité est M 0 TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES Eemle de transformation du te f : a b c + d P ( ) + ( j) +( 6 + 0j) 8 *** Soit f la fonction de {} j dans { 0} ( j) j définie ar f( ) j Monter que our tout de {} j, on a f( ) Ê j Ë j ˆ On considère les fonctions suivantes : f : Æ j f : Æ --- f : Æ + j f : Æ On aelle T la transformation géométrique associée à f On aelle I la transformation géométrique associée à f T On aelle la transformation géométrique associée à f On aelle H la transformation géométrique associée à f a Déterminer T, I, T et H b Erimer la transformation géométrique associée à f en fonction de T, I, T et H (On a j --- À l aide de la décomosition de f déterminée au b, montrer que l image ar la transformation géométrique associée à f de la droite D d équation est le cercle C de centre A( ; ) et de raon a En artant de l égalité ( j) j , j montrer que j( ) j b En osant + j et + j déterminer en fonction de c Déterminer alors l équation du cercle, image de la droite et vérifier que l on retrouve bien les résultats de la question ) D arès BTS e On considère le filtre où C désigne la caacité en farads) d un condensateur et la valeur (en + j ) R 0 k Ω C R s

19 0eo_79088 Page 5 Lundi, novembre 00 0:5 0 EXERCICES PROBLÈMES Nombres comlees ohms) d un résistor Le but de l eercice consiste à ajuster les valeurs de C et de R our obtenir un filtre dont les roriétés sont fiées La fonction de transfert du filtre, en régime harmonique, est T( w) a jaw, avec + jbw R a , a R,, et R + R C b a a 0 < a < w Œ ]0 ; + [ Partie A Montrer que our tout w, T( w) a + ( a) j bw Le lan P est muni d un reère orthonormal ( O ; u, Quel est l ensemble ( D) des oints M d affie j ? bw Soit f la fonction de * dans définie ar f( ) a a a + ( a) Ê et soit F la - ˆ Ë transformation onctuelle associée qui à tout oint M d affie du lan rivé du oint O associe le oint M d affie f( ) a En utilisant les roriétés de la transformation définir l ensemble des oints - ( C ) M d affie - obtenu quand M décrit ( D) b Quelle est la transformation onctuelle faisant asser de M à M d affie ( a) Ê? - ˆ Ë En déduire l ensemble ( C ) décrit ar M quand M décrit ( D) c Soit M le oint d affie f( ) a a a + ( a) Ê - ˆ Ë Quelle est la transformation onctuelle faisant asser de M à M? En déduire l ensemble ( C ) décrit ar M quand M décrit ( D) Soit q un argument de T( w), q Œ 0 ; -- 0, 0 - déterminer grahiquement le oint N de ( C ) 9 ** en lequel q est maimum On note A( w) la valeur maimum de cet argument Calculer sin( A( w) ) en fonction de a 5 Rerésenter ces ensembles dans le cas a --, on rendra une unité grahique de 9 cm Partie B Dans cette artie on se roose de calculer les valeurs de C et de R de sorte que A( w) -- 6 our une fréquence de kh De A( w) --, déduire la valeur corresondante de a, uis celle de R 6 En admettant que a --, sur la figure de la artie A construire le oint N de ( D) dont l image ar F est le oint N Calculer la distance HN ( H étant le oint d affie ) En déduire la valeur corresondante de b, uis celle de C D arès BTS On considère la fonction de transfert T de la ulsation w définie sur ]0, + [ ar K T( w) R + j ÊLw ˆ Ë Cw K est une constante comlee R, L et C sont des constantes réelles strictement ositives La ulsation w est erimée en radian/seconde On ose h( w) -- ÊLw ˆ avec R Ë Cw w Œ ]0, + [ K Dans ces conditions, T( w) R + jh( w) Étudier les variations de h Déterminer en fonction de R et C la valeur de w qui annule h On se roose d étudier l ensemble ( E) du lan comlee, décrit ar le oint d affie T( w) quand w arcourt ]0, + [ a Rerésenter dans le lan comlee l ensemble D des oints d affie + jh( w) 5

20 0eo_79088 Page 6 Lundi, novembre 00 0:5 0 EXERCICES PROBLÈMES Nombres comlees 0 *** C b En utilisant les roriétés de l inversion comlee, en déduire l ensemble G des oints d affie jh( w) c Préciser la nature de l ensemble ( E) Alication numérique : a Avec les données numériques récisées cidessous, rerésenter grahiquement l ensemble ( E) lorsque a 0 et colorier la artie de ( E) corresondant à des fréquences comrises entre 80 H et 00 H b À l aide de ces résultats traiter le cas a 6 Données numériques : L 0, ; C 0 ; R 50 ; K 0e a j D arès BTS On considère le filtre suivant : À l entrée de ce filtre on alique une tension sinusoïdale e de ulsation w À la sortie on recueille une tension sinusoïdale e de même ulsation On désigne ar w T( w) la fonction de transfert L alication des lois de l électricité ermet d écrire : T( w) Z ( w) Z ( w) Z ( w) R et Z jcw ( w) jcw R R et C sont des constantes réelles strictement ositives R ** C Montrer que : T( w) j ÊRCw ˆ Ë RCw On se roose d étudier l ensemble ( E) du lan comlee décrit ar le oint M d affie T( w) lorsque w arcourt ]0, + [ a On considère la fonction h : w RCw , w Œ ]0, + [ RCw Étudier les variations de la fonction h et réciser ses limites en 0 et en + b Quel est l ensemble ( D) décrit ar le oint m d affie + jh( w) lorsque w arcourt ]0, + [? c Quelle transformation associe au oint m d affie + jh( w) le oint M d affie Z T( w)? En déduire l ensemble ( E) décrit ar le oint M d Tracer sur une même figure les ensembles ( D) et ( E) On rendra our unité grahique 6 cm On rerésentera le oint m 0 d affie + j et son image ar la transformation envisagée M 0 D arès BTS Partie A On considère les nombres comlees et + j j Écrire et sous forme algébrique Placer les oints A d affie, C d affie --, M d affie dans le lan comlee (unité grahique 0 cm) Montrer que O, A, M et M aartiennent à un même cercle de centre C dont on récisera le raon e R C C e Partie B On se roose de démontrer géométriquement le résultat ci-dessus On ose, our tout réel a : + ja Lorsque a décrit l ensemble des nombres réels, quel est l ensemble ( D) des oints M du lan d affie? Soit la transformation géométrique du lan comlee rivé du oint O dans lui-même, qui 6

21 0eo_79088 Page 7 Lundi, novembre 00 0:5 0 EXERCICES PROBLÈMES Nombres comlees ** au oint M d affie associe le oint M d affie tel que - Déterminer le module et un argument de en fonction de ceu de Quelle est l image de l ensemble ( D) ar la transformation donnée? Partie C On obtient le diagramme de Nquist d une fonction de transfert T en traçant dans le lan comlee la courbe rerésentative de T ; c està-dire qu à toute ulsation, (w réel ositif), on associe le oint d affie T( w) Construire dans un reère les diagrammes de Nquist des fonctions de transfert T et T définies sur ]0, + [ ar T ( w) + j w et w 0 T ( w) avec réel strictement + j w w 0 w 0 ositif w Préciser les images de w 0 et ar T et T et lacer les oints corresondants sur le grahique t D arès BTS Le lan comlee P est raorté au reère orthonormal ( O ; u, d unité grahique cm On note j le nombre comlee de module et d argument -- Soit f l alication qui à tout oint m du lan P d affie ( π ) associe le oint M d affie Z Déterminer l ensemble D des oints d affie -- + j, ( Œ ) Soit + Préciser la transformation géométrique t qui associe à un oint m d affie, le oint M d affie Quelle est l image, notée D, de D ar la transformation t? Soit la transformation géométrique qui à tout oint d affie ( π 0), associe le oint M d affie - Préciser la nature de t Quelle est l image, notée G, de D ar la transformation t? Soit la transformation géométrique qui au t oint d affie, associe le oint M d affie Préciser la nature de t Quelle est l image, notée G, de G ar la transformation t? 5 Déterminer l ensemble G des oints M d affie Z lorsque -- + j, + ( Œ ) 6 Rerésenter sur une même figure les ensembles successifs obtenus D arès BTS ** C ( O ; u, est un reère orthonormal du lan comlee ( P) On se roose d utiliser les nombres comlees et leur lien avec les transformations géométriques our construire sur un écran grahique une figure formée de carrés concentriques emboîtés à artir de la donnée d un oint Partie A Construction d un carré de centre O à artir d un oint A Soit A un oint du lan (A distinct de O) d affie A A + j A On se roose de calculer une rocédure ermettant de tracer le carré ( ABCD) de centre O direct c est-à-dire tel que ( OA, OB) -- Faire une figure dans le cas A + j On revient au cas où A est quelconque et on note B, C, D les affies des oints B, C, D Montrer que B j A uis calculer C et D en fonction de A On note ( B, B ) ; ( C, C ) ; ( D, D ) les coordonnées des oints B, C, D Calculer ( B, B ) ; ( C, C ) ; ( D, D ) en fonction de ( A, A ) On suose que l on disose d une rocédure TRACE ( M, M, N, N ) traçant le segment [ MN] Écrire une rocédure CARRE ( A, A ) traçant le carré ( ABCD) de sens direct de centre O et de sommet A Partie B Construction de carrés de centre O à artir d un oint Soit S l alication du lan comlee dans luimême qui à tout oint M d affie associe le 7

22 0eo_79088 Page 8 Lundi, novembre 00 0:5 0 EXERCICES PROBLÈMES Nombres comlees oint M d affie -- ( + j) Déterminer la nature géométrique de S Le carré ( ABCD) construit à artir du oint A dans la artie A) est suosé donné On note A, B, C, D les images resectives des oints A, B, C, D ar S a Montrer que A est le milieu de [ AB] b En déduire que B, C, D sont les milieu de [ BC], [ CD], [ DA] et que ( A B C D ) est un carré de centre O c Calculer les coordonnées ( A, A ) du oint A en fonction de celles du oint A On se roose de réaliser un dessin corresondant à la figure donnée avec 0 carrés emboîtés Le remier carré est ( A 0 B 0 C 0 D ) défini ar le oint A 0 de coordonnées ( k, 0) avec k réel strictement ositif Le deuième carré est ( A B C D ) et on itère jusqu au diième carré En utilisant la rocédure CARRE définie dans la artie A, question Donner un algorithme ermettant de réaliser un tel dessin ci-arès B C 0 A 0 O C D arès BTS ** ( O ; u, est un reère orthonormal du lan comlee ( P) Déterminer le module et un argument du nombre comlee a -- + j Soit S la transformation géométrique qui à tout oint M d affie associe le oint M SM ( ) d affie, a a Quelle est la nature de la transformation géométrique S? B 0 D 0 A D b Déterminer les coordonnées (, ) de M en fonction des coordonnées (, ) de M Soit w le vecteur unitaire tel que ( u, w) --, et [O) la demi droite de vecteur 6 directeur w A 0 est le oint d affie et A sa rojection orthogonale sur [O) a Montrer que A 0 A -- et que OA, montrer que SA ( 0 ) A b On ose A SA ( ) ; donner une mesure de l angle ( OA, OA ) ; et montrer que le triangle ( OA A ) est rectangle en A On définit la suite A 0, A, A,, A n de oints du lan de la façon suivante : ÏA 0 est le oin d affie Ì ÓA n + SA ( n ) On obtient une ligne olgonale aelée sirale P n de sommets successifs A 0 A A A n Rerésenter la sirale P 6 dans le lan comlee (unité grahique 8 cm) 5 Écrire un algorithme ermettant de tracer P 6 : On utilisera la rocédure TRACER-SEGMENT (,,, ) qui ermet de tracer le segment [ M M ] où M et M sont les oints de coordonnées (, ) et (, ) 6 On désigne ar n l affie de A n Montrer que n + n a ( n n ) our n Œ { 0} a On ose d n A n A n + our n Œ ; montrer que d n d our n n Œ { 0} b Quelle est la nature de la suite ( d n )? En déduire d n en fonction de n et de d 0 c Si l on suose que l on ne distingue lus oints distants de /00, jusqu à quelle valeur de n suffit-il de tracer la sirale? k n  7 On ose : D n A k A k + ; calculer D n k 0 en fonction de n En déduire que lim D n n Æ + P n 8