DS de Physique n 5 Thème : Mécanique du solide Durée : 3 heures

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1 DS de Physique n 5 Thème : Méanique du solide Durée : 3 heures Rappel des onsignes générales : Les andidats sont invités à porter une attention partiulière à la rédation : les opies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les résultats littéraux non enadrés ne seront pas pris en ompte. Toute appliation numérique ne omportant pas d unité ne donnera pas lieu à attribution de points. Il ne faudra pas hésiter à formuler les ommentaires (inluant des onsidérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l énoné ne le demande pas expliitement. Le barème tiendra ompte de es initiatives. Tout résultat fourni dans l énoné peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s il n a pas été démontré. Si, au ours de l épreuve, un andidat repère e qui lui semble être une erreur d énoné, il le signale sur sa opie et poursuit sa omposition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. Les diverses parties de e sujet sont indépendantes et peuvent être traitées dans l ordre hoisi par le andidat. Il prendra toutefois soin de bien les séparer dans ses opies et de bien numéroter les questions. DS n 5 : Méanique du solide 1

2 Problème 1 : Analyse d un mouvement ollé-glissé («stik-slip») Le frottement solide jour un rôle onsidérable dans de nombreuses situations, statiques ou dynamiques. Nous allons analyser ii quelques aspets du mouvement d un solide qui peut soit glisser («slip») soit adhérer («stik») sur son support. Ce phénomène a pour origine le fait que les oeffiients de frottement statique et inétique diffèrent. Il est ainsi responsable du grinement des portes, du rissement des raies sur le tableau noir, ou dans un registre plus harmonieux, de la mise en vibration d une orde de violon. Les parties 1 et 2 sont indépendantes. Dans tout le problème, on désigne par a la norme de tout veteur a, et par x la dérivée de au temps. xt par rapport Définitions et rappels : Lois du frottement solide/solide (lois de Coulomb) f et N étant respetivement les omposantes tangentielle et normale de l ation de ontat exerée par un solide sur un autre, s et les oeffiients de frottement «statique» et «inétique» ave s : si la vitesse de glissement est nulle, alors f s N ; si la vitesse de glissement est non nulle, alors f est de sens opposé à ette vitesse et de module f N. A. Prinipe du mouvement «ollé-glissé» Une poutre rigide et homogène, de longueur L, de masse m et de setion arrée s, est posée en équilibre à l horizontale sur deux supports (numérotés 1 et 2), séparés de la distane D 0 (figure 1). Les oeffiients de frottement statique et inétique entre ette poutre et haun des supports sont respetivement s et, ave s. Le entre de gravité G de la poutre se trouve initialement à la distane a 0 du support 1, ave D0 a0. 2 DS n 5 : Méanique du solide 2

3 1/ La poutre est immobile. Caluler les fores de réation vertiales des supports sur la poutre, R N1 et R N 2 fontion des données du problème. 2/ Les supports 1 et 2 sont maintenant animés l un vers l autre de vitesses horizontales et onstantes, v0 v0 respetivement et selon Ox. La poutre ne peut se déplaer qu en translation horizontale selon ette 2 2 même diretion. La distane entre les deux supports s érit don Dt D0 v0t. Que deviennent les fores RN1 t et RN2 t en fontion de support 1 à l instant t? at, distane horizontale entre le entre de gravité G de la poutre et le 3/ On suppose que la poutre glisse d abord par rapport à un seul des deux supports. Préiser lequel. Déterminer les fores horizontales de frottement, d intensités du mouvement. F1 t et F2, en t, qui agissent sur la poutre lors de ette phase 4/ Montrer que e mouvement ne peut se perpétuer, et qu il existe un instant t 1 où la poutre se met à glisser sur l autre support. Déterminer la distane D 1 D t1 en fontion de a 0, s et 5/ Justifier qu il existe alors une phase du mouvement où néessairement il y a glissement sur les deux supports. Exprimer alors la somme des fores de frottement en fontion de at,. Dt et des onstantes du problème. Dans quel sens agit-elle? Donner le ritère qui détermine la fin de ette seonde phase en préisant le support sur lequel le glissement esse. Soit t 1 l instant orrespondant. 6/ Dérire la phase suivante du mouvement. Elle se termine à l instant t 2. Montrer que : D t D t a t s 7/ On admettra que, pour une faible vitesse de rapprohement des supports et une distane a 0 suffisamment grande, les modifiations de Dt et de valeur relative. En les négligeant, montrer que : Dt D t 2 1 s at durant la phase transitoire (f. question 5/) restent faibles en En déduire un moyen simple d évaluer le rapport. s B. Analyse d un mouvement d osillation Masse sur un tapis roulant Dans ette partie, on onsidère le mouvement d une masse m posée sur un tapis roulant se déplaçant à une vitesse horizontale v0 v0ex ( v 0 0 ) par rapport au référentiel du laboratoire. La masse est soumise à une fore de rappel olinéaire au mouvement du tapis roulant et exerée par un ressort de raideur k. Les oeffiients de frottement statique et inétique entre la masse et le tapis sont notés respetivement s et. On repèrera la position de la masse par son absisse x dans le référentiel du laboratoire, l origine orrespondant à l absene de déformation du ressort. DS n 5 : Méanique du solide 3

4 8/ Montrer qu il existe une position d équilibre dont on déterminera l absisse x éq en fontion de, g et 2 k. m 9/ On pose X x xéq. Expliiter l équation du mouvement de la masse ; on distinguera les situations X v0 et X v0. Montrer qu une phase de mouvement ave ollage, pour laquelle X v0, peut s établir si X appartient à l intervalle X1, X 2 dont on déterminera les bornes. A quelle ondition peut-elle se maintenir? 10/ La masse est posée sur le tapis sans vitesse initiale à l absisse X 0, ave X0 0. Déterminer X t pour le début du mouvement. Montrer que e type de mouvement se maintient si X 0 est inférieur à une valeur l on déterminera. 11/ On utilise X m omme longueur aratéristique. On pose et q 2 en fontion de q éq et du rapport 12/ On pose q m s. X ave t. Exprimer X X m que xéq X qéq, 1 X q1 et 2 q2. Exprimer q 1 Xm Xm Xm dq q en fontion de X et v 0. Transrire pour d q les équations différentielles du mouvement obtenues à la question 9/. Dans le plan qq ;, traer le portrait de phase orrespondant au mouvement de onditions initiales 0,5 ; 0. Quel est alors le mouvement? 13/ On donne qéq 0, 5 et 2. Préiser dans le plan ; qq les points représentatifs des états ave ollage. 14/ En proédant par étapes, traer le portrait de phase orrespondant aux onditions initiales 2 ; 0. Préiser e qui se passe lorsque le point représentatif de l état du système franhit la ligne q 1 pour la première fois, puis la seonde fois. Montrer que le mouvement devient périodique et préiser le yle orrespondant dans le plan de phase qq ;. Ce yle dépend-il des onditions initiales? 15/ Dans le as général, aluler la période T de e yle ave ollage en fontion de ω et q 2. L étude préédente peut servir de modèle au fontionnement d un patin de frein s appuyant sur une roue en rotation, système pour lequel on désire savoir si l alternane éventuelle de ollage et de glissement nuit à son effiaité. 16/ Caluler le travail W des fores de frottement pendant un yle du mouvement en distinguant les deux types de yle (ave ou sans phase de ollage). En déduire, pour haun d eux, la puissane moyenne orrespondante et omparer les résultats. Quelle onlusion en tirez-vous? Pourquoi herhe-t-on à éviter le ollage? DS n 5 : Méanique du solide 4

5 Problème 2 : Chute d une heminée d usine Une heminée vertiale est modélisée par un ylindre homogène de masse M, de longueur D et de rayon très petit devant D. Pour une raison quelonque, l équilibre de la heminée est détruit ; ette dernière amore une rotation autour de sa base dans le plan vertial Oxy. On appelle θ l angle de la heminée ave la vertiale. On étudie le mouvement de la heminée dans le repère R G en projetion sur la base mobile de oordonnées polaires uv,, où u est porté par l axe de la heminée, v est perpendiulaire à u dans le sens de rotation de l angle θ et G est le entre de masse de la heminée. Les moments d inertie en G autour de l axe Gz et en O autour de l axe Oz sont respetivement JG 1 2 MD et 12 JO 1 2 MD. 3 La liaison pivot en O est parfaite. 1/ Déterminer, par appliation du théorème du moment inétique en O, l équation d évolution de l angle θ. 2/ Retrouver ette équation par un raisonnement énergétique. 3/ Exprimer, en fontion de l angle θ, les omposantes R u et et v. 4/ Pour quelle valeur de θ la heminée déolle-t-elle du sol? R v de la réation du sol en O en projetion sur u En réalité, une heminée peut se briser au ours de sa hute. L étude suivante va préiser les ontraintes subies par la heminée pendant sa hute. Une longueur OP d de heminée subit l ation du sol en O, l ation de son poids ainsi que l ation du reste de la heminée sur elle-même, en P. Cette ation assure la rigidité de la heminée. Le ontat en P n est pas pontuel. L ation du reste de la heminée sur la longueur d est modélisée par une fore S, de omposantes S u et S v, et un ouple C porté par l axe horizontal Oz. 5/ En appliquant le prinipe fondamental de la dynamique à la longueur d de la heminée, exprimer S v en fontion de M, g, θ, d et D. La grandeur donnant S v en fontion du rapport d D S v est appelée effort de isaillement. Traer qualitativement le graphe (θ est donné). 6/ Si la heminée perd sa rigidité, elle s effrite. Elle aura tendane à s effriter au point où l effort de isaillement S v est le plus important ; quel est e point? 7/ Montrer que le théorème du moment inétique en O, appliqué à la longueur d de heminée onduit à 2 1 d l expression suivante du moment (noté C) du ouple C : C Mgd 1 sin. 4 D DS n 5 : Méanique du solide 5

6 8/ Si e ouple est supérieur au ouple maximum que peut subir la heminée, elle-i se brise. En quel point la heminée se brisera-t-elle? Commenter à e sujet les deux photographies i-dessous. Fin DS n 5 : Méanique du solide 6