RDM : Résistance des Matériaux

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1 INSA de Rouen - MECA3 - Année RDM : Résistance des Matériaux Sommaire 1 Introduction Hypothèses fondamentaes Géométrie Déformations Contraintes Matériaux Notations Démarche de résoution Cacu des forces extérieures 4.1 rincipe fondamenta de a statique Liaisons cinématiques Efforts intérieurs Convention de signes Reations différentiees pour es barres droites - Diagrammes d efforts Reations différentiees Diagrammes d efforts Reations différentiees pour es barres courbes Traction-Compression 7 5 Fexion Fexion pure Contraintes Moments quadratiques par rapport à axe y Fexion déviée Fexion composée Barres courbes Sections composites Cisaiement Cisaiement simpe Cisaiement en fexion simpe Contrainte Moments statiques Torsion Contrainte Expression Moment quadratique poaire Ressort héicoïda Soicitations Fèche du ressort Cacu des structures : Théorèmes énergétiques Effort unitaire fictif Réciprocité du travai Réciprocité des dépacements Théorème de Mohr-Maxwe Théorème de Castigiano

2 9.6 Méthode grapho-anaytique Enoncé Aires simpes Systèmes hyperstatiques Définition Degré d hyperstatisme Méthode de résoution Critères de résistance Quantités imites usuees Critères Etats particuiers Soicitation par choc Enoncé Méthode de résoution Treiis Enoncé du probème Méthode usuee de résoution Méthode de Ritter Fambement hénomène Fambement éastique Modèe compet Fambement et conditions aux imites

3 1 Introduction 1.1 Hypothèses fondamentaes La Résistance des Matériaux prend en compte es hypothèses de a Mécanique des Miieux Continus et en ajoute d autres pour a simpification du modèe Géométrie On se pace dans a théorie des barres : étude porte sur des soides déformabes éancés au repos On introduit aors a notion d axe (coordonnée x) et de section normae (pan yz) pour permettre une réduction du tridimensionne vers unidimensionne. L axe va définir si es barres sont droites (par portions), courbes, ou gauches (tridimensionnees) Seon es soicitations, on parera pus aisément de poutres, d arbres, de tirants, de poteaux, etc Déformations Hypothèse de Bernoui-Navier : Les sections panes et normaes à axe avant déformation e restent après déformation. (Cette hypothèse n est pas forcément respectée en cisaiement) Contraintes Hypothèse de Saint-Venant : La modéisation n est vaabe qu à une certaine distance des conditions imites de a poutre. Autrement dit, oin de tout point d appication des forces, es efforts concernant es contraintes et es déformations produits par deux groupes de forces équivaentes et statiques sont identiques. Efforts extérieurs : forces (unité : N) moments (unité : N.m) efforts distribués : inéaires (unité : N.m 1) surfaciques (pression, unité : N.m ) voumiques (poids propre, unité : N.m 3) L hypothèse de Saint-Venant permet de reier une effort distribué à une force statique équivaente. Efforts intérieurs : L hypothèse de Saint-Venant permet de séparer ce qui se passe e ong de axe et dans une certaine section, ce qui introduit a notion d efforts internes. forces/efforts axiaux/normaux : N efforts tranchants T (T y, T z ) moment de torsion M t moments de fexion M f (M f y, M f z ) A chacun de ces types d efforts est associé un type de soicitation simpe Matériaux La Mécanique des Miieux Continus pose es hypothèses suivantes : Conservation de a masse Conservation de a quantité de mouvement Conservation du moment cinétique etites déformations Easticité inéaire isotrope (oi de Hooke généraisée) 3

4 1. Notations Déformations spécifiques : our être conforme aux covnentions internationaes, on va parer de déformations spécifiques (aongements spécifiques ε, gissements spécifiques γ). L adjectif "spécifique" indique e caractère adimensionne. Tenseur des contraintes : σ 11 σ 1 σ 13 σ 1 σ σ 3 = σ 1 τ 1 τ 13 τ 1 σ τ 3 σ 31 σ 3 σ 33 τ 31 τ 3 σ Démarche de résoution La résoution en RDM doit toujours suivre es étapes qui suivent, si besoin est d aer jusqu au bout seon e probème posé. Généraement, i s agit de chercher à dimensionner en déterminant d abord e comportement de a barre ou en ocaisant ses sections dangereuses, à où es contraintes sont maximaes. Etapes de résoution : Bian des forces extérieures Cacu des réactions Etude des variations des efforts intérieurs e ong de axe Cacu des déformations Cacu des forces extérieures.1 rincipe fondamenta de a statique Dans e cadre de a RDM, on peut aisément e probème sur une seue dimension : a barre, tridimensionnee, devient une simpe igne sans épaisseur. De même, pour une barre courbe, abscisse curviigne s peut être utiisée en repacement de abscisse x usuee. ar cette simpification, e rincipe fondamenta de a statique se réduit à un probème pan, c est à dire trois équations : es résutantes verticaes (suivant z dans a convention qui sera adoptée par a suite) es résutantes horizontaes (suivant x) es moments dans e pan (autour de y). Liaisons cinématiques armi toutes es iaisons existantes permettant de modéiser, de situer et de cacuer es réactions, on s intéressera seuement aux trois principaes, que on retrouve sempiterneement en RDM : Appui simpe (onctuee) : Articuation (Rotue) : H Encastrement : H M V V V 4

5 3 Efforts intérieurs 3.1 Convention de signes Considérons une barre en équiibre statique, et une section de cee-ci : our conserver équiibre statique sur chaque tronçon, on doit définir es efforts intérieurs. F M x = n n x M F Là où a normae sortante et axe x ont e même sens, c est a face positive. Sur cette face, es efforts intérieurs sont positifs s is sont orientés comme es axes. On retrouve e contraire sur es faces négatives. M f y y T y G T z N M t x N M f y T z M f y N M f z z A gauche d une section, es efforts intérieurs vaudront a somme des forces exercées à gauche, e signe défini par a convention. A droite, on retrouve e même fonctionnement. T z 3. Reations différentiees pour es barres droites - Diagrammes d efforts 3..1 Reations différentiees Si on considère un tronçon d épaisseur dx d une barre droite subissant une force inéique f = chaque face, on aura : dn dt y dt z dx = p(x) dx = q(x) d = r(x) dn dx = p(x) dm fy dx = T z(x) dm fz d = T y(x) p(x) q(x) r(x) au centre de gravité de N T M dx T + dt N M + dm Dans a mesure où on simpifie a barre pour un probème pan, on ne s intéresse qu à deux de ces reations : dt dx = et dm dx = T en considérant = r(x), T = T z et M = m fy Une autre façon de e retenir est d assember es deux reations : d M dx = dt dx = 3.. Diagrammes d efforts Le diagramme d efforts est une représentation des efforts e ong de a barre considérée. Ee suit a convention de signes posée précédemment et utiise es reations différentiees. ar convention due aux reations différentiees, axe positif de M est inversé par rapport à ceui de T. Exempe : 5

6 4 T V 1 = 4 3 T V 4 = M M 3.3 Reations différentiees pour es barres courbes Sur une barre courbe de rayon R, on considère un tronçon courbe de ongueur ds = Rdϕ subissant un effort radia inéique. Suivant intégrae curviigne, on choisit repère dans eque appiquer e rincipe fondamenta de a statique. Ceci nous amène à ces trois reations : dn dϕ = T dt dϕ = R N dm ds = T R On peut retrouver es reations pour une barre pane en posant R + et dϕ 0 6

7 4 Traction-Compression La barre va subir un effort axia N : N Les tenseurs de contrainte et de déformation sont donc respectivement : σ = σ et ε = A 0 ν N ν avec σ = N A = N EA 7

8 5 Fexion 5.1 Fexion pure Contraintes σ Contrainte normae : M fy = σ = M f y z I y dans a section considérée. y Contrainte tangentiee : T z = 0 = τ = 0 La contrainte maximae est atteinte à une des extrémités. Ee prend a forme σ max = M f y avec W y = I y e modue de résistance en fexion. W y z max z 5.1. Moments quadratiques par rapport à axe y I y est e moment quadratique par rapport à axe y de a section. Comme a section est d épaisseur nue, i prend a forme : I y = z da Rectange : I y = bh3 1 h A Cerce : I y = πd4 64 b Dans e cas de sections composées (forme compexe), i suffit de cacuer e moment quadratique dans chaque section simpe et de sommer ensembe par e théorème de Huygens : On prendra aors pour A et B es centres de gravité respectifs. 5. Fexion déviée I Ay = I By + A (z B z A ) La fexion n est pas uniquement suivant y ou z. Cette soicitation se décompose aors en deux soicitations simpes M fy et M fz. σ d y z σ On a σ = M f y z M f z y I y I z our un cerce, on aura simpement σ = M f r I 5.3 Fexion composée A a fexion déviée s ajoute a contrainte normae, on a aors dans e cas e pus généra : σ = N A + M f y z M f z y I y I z 5.4 Barres courbes L axe neutre ne passe pus par e centre de gravité et se trouve à une excentration e. La distribution des contraintes sur a section n est pus une distribution inéaire. On considère que e centre de gravité se trouve à a distance R du centre de courbure et axe neutre à a distance r = R e La position de a fibre neutre en N (σ = 0) suivant z dans a section est donnée par : z r z da = 0 = e I G A R La contrainte devient aors σ(z) = M f y A e z centrée sur axe neutre. r z A 8

9 5.5 Sections composites Si a section est composée de deux matériaux de sections et de modues respectifs A 1,E 1 et A,E, on aura des contraintes différentes dans chaque matériau. La position de axe neutre est donnée par z N = A 1z 1 E 1 + A z E A 1 E 1 + A E avec z 1 et z es centres de gravité de chaque section. Les deux contraintes seront σ 1 (z) = M f y z E 1 E 1 I 1 + E I et σ (z) = M f y z E E 1 I 1 + E I centrées sur axe neutre et imitées par es matériaux. 9

10 6 Cisaiement 6.1 Cisaiement simpe our un cisaiement simpe, on retrouve τ = T A 6. Cisaiement en fexion simpe 6..1 Contrainte Dans un cas de fexion simpe, a variation du moment de fexion crée un cisaiement T z dont a contrainte est τ = T z S y (z) b(z)i y avec S y (z) e moment statique suivant y de a section réduite A b(z) a argeur de a section par rapport à z On remarquera que a contrainte de cisaiement suit une forme paraboique par morceaux et atteint son maximum sur axe neutre. 6.. Moments statiques Le moment statique s exprime comme suit pour a section réduite A : S y = zda On peut aussi exprimer différemment grâce au centre de gravité de cette section homogène z G = S y A Ainsi, S y = z G A. On peut donc simpifier e cacu de a contrainte en posant τ = T z z G A avec z b(z)i G fonction de z y our un cerce, a contrainte maximae devient τ max = 4 T 3 A. our un rectange, ee est τ max = 3 T A. A y z z A τ 10

11 7 Torsion 7.1 Contrainte Expression Le cisaiement produit par un moment de torsion sur une section est τ = M t r I G. avec r a distance par rapport au centre de gravité de a section. I G e moment quadratique poaire de a section Moment quadratique poaire Le moment quadratique poaire est défini comme suit : I G = On a de même I G = I y + I z au même point. Ainsi on a : our un rectange, I G = (h + b)b h our un cerce, I G = πd4 3 1 A r da = A ( y + z ) ds 11

12 8 Ressort héicoïda Considérons un ressort de rayon extérieur R et de n spires. La section des spires est un cerce de diamètre d. d R 8.1 Soicitations L appication d un effort tranchant sur e ressort va créer deux soicitations : M t d Un moment de torsion M t = R = τ max = = 16R I G πd 3 Un cisaiement T = = τ max = 4 T 3 A = 16 3πd La contrainte maximae devient τ max = 16R ( πd d ). 3R On peut remarquer que e cisaiement est une soicitation négigeabe devant a torsion. Le cisaiement n infue réeement que pour es ressorts épais devant eur rayon de courbure. 8. Fèche du ressort A partir de : Le cisaiement maxima réduit à τ max = 16R πd 3 L énergie éastique du ressort en torsion U = GI Gθ Le travai de a force W = f [J = Nm] avec f a fèche La ongueur totae a fibre neutre : = nπr = GI ( ) G Mt [N = J/m] GI G On obtient a reation suivante : f = 64nR3 Gd 4 = 1 K On peut remarquer que énergie éastique accumuée par a torsion est très grande, ce qui expique utiisation du ressort pour imiter es efforts sur es structures puisqu une grande partie de énergie transmise va se retrouver absorbée par e ressort. On a aors deux conditions de fonctionnement : τ max τ a f f a 1

13 9 Cacu des structures : Théorèmes énergétiques Un cacu de structures nécessite de prendre en compte contraintes et déformations. Les théorèmes énergétiques permettent e cacu des dépacements. 9.1 Effort unitaire fictif Si on considère une barre soicitée par pusieurs groupes de forces, effort fictif unitaire est effort adimensionne de vaeur 1 nécessaire pour reproduire un dépacement généraisé (dépacement ou rotation) δ équivaent. 9. Réciprocité du travai Si on appique successivement deux groupes d efforts extérieurs F 1 et F, on peut décomposer e travai produit sur a barre. On a aors e travai L = L 11 + L 1 + L avec W 11 : e travai produit par F 1 sur es dépacements issus de F 1 W : e travai produit par F sur es dépacements issus de F W 1 : e travai produit par F 1 sur es dépacements issus de F Cette décomposition étant possibe en posant L 1, on obtient a reation de réciprocité du travai : 9.3 Réciprocité des dépacements W 1 = W 1 Si on considère cette même barre et que on cherche à cacuer ses dépacements, on a e cacu de dépacement suivant : δ = δ 11 + δ 1 + δ avec δ 11 : e dépacement produit par F 1 au point d appication de F 1 δ : e dépacement produit par F au point d appication de F δ 1 : e dépacement produit par F 1 au point d appication de F On a ors a réciprocité suivant : 9.4 Théorème de Mohr-Maxwe δ 1 = δ 1 Soit un barre encastrée-ibre soicitée par des forces axiaes dont on cherche e dépacement à extrémité ibre, et dont a soicitation axiae est aors N(x). On va d abord considérer cette barre subissant uniquement un effort fictif 1 donnant W 1 = 1 δ. L effort fictif crée une soicitation axiae n(x) et e dépacement associé (dx) = n(x)dx EA. Le travai de N(x) avec e dépacement issu de effort fictif donne : dw 1 = N(x) (dx) = N(x)n(x)dx EA Comme es efforts fictifs sont adimensionnes et es deux travaux réciproques, on a : ar extension, δ = Nn EA dx + M fy m fy dx + EI y δ = N(x) n(x) dx EA M fz m fz dx + EI z M t m t dx + EI p k Tt GA dx avec k un coefficient dépendant de a forme de a section (on travaie généraement avec es contraintes maximaes) 9.5 Théorème de Castigiano Le théorème de Castigiano donne e dépacement généraisé sous cette forme : δ n = U e X n avec U e énergie de a structure X n effort extérieur généraisé Le théorème de Menabrea est son coroaire concernant es conditions aux imites : U e V i = 0 si V i est une réaction généraisée. 13

14 En reprenant a forme du théorème de Mohr-Maxwe, e dépacement causé par effort unitaire généraisé i devient : δ i = N N i EA dx + M fy M fy i dx + EI y M fz M fz i dx + EI z M t M t i dx + EI p T T k i GA dx 9.6 Méthode grapho-anaytique Enoncé On cherche à cacuer es intégraes de Mohr-Maxwe sans passer par a ourdeur de intégrae. Cette méthode ne marche que sur des barres droites puisqu ee nécessite des soicitations n(x) issues de effort fictif inéaires. Soit : m est une fonction inéaire (de coefficient directeur tan(α)) A M aire sous a courbe de M x G e centre de gravité de aire A M I = M(x)m(x)dx = A M m(x G ) 9.6. Aires simpes Triange araboe convexe araboe concave Trapèze M 0 M 0 M 0 M M 1 0 A M = 1 M 0 x G = 3 0 A M = M 0 3 x G = A M = M 0 3 x G = A M = A 1 + A = (M 1 + M ) 14

15 10 Systèmes hyperstatiques 10.1 Définition Un système de barres est dit hyperstatique si, après avoir écrit es équations d équiibre, on reste incapabe de cacuer es efforts intérieurs. On peut distinguer deux catégories dans hyperstatisme : es systèmes extérieurement hyperstatiques : es iaisons qui maintiennent e système amènent pus d inconnues que e FS ne peut en résoudre (dans un probème pan, 4 inconnues suffisent). On peut par exempe es retrouver dans un probème d encastrement doube ou de poutre continue (chemin de fer), etc. es systèmes intérieurement hyperstatiques : es réactions sont toutes déterminées sans aucun probème grâce au FS mais i est impossibe de cacuer es efforts intérieurs. Ces probèmes se retrouvent par exempe pour des systèmes composites et des systèmes fermés empêchant de "couper" a barre en deux, etc. Les systèmes hyperstatiques sont résous grâce à des conditions données par e théorème de Menabrea. 10. Degré d hyperstatisme Le degré d hyperstatisme N correspond au nombre d efforts intérieurs qui ne peuvent être connus en ayant posé es équations d équiibre. ce nombre dépend : du nmobre tota de réactions (inconnues externes) du nombre tota d équations d équiibre (D:3 ; 3D:6) des articuations intérieures des contours pans fermés (chaque contour introduit trois inconnues internes) des symétries géométriques Dans e cas de symétries géométriques, trois cas se distinguent : Efforts symétriques : N(x) et M(x) sont des fonctions symétriques T (x) est une fonction antisymétrique : annuation au pan de symétrie Efforts symétriques : N(x) et M(x) sont des fonctions antisymétriques : annuation au pan de symétrie T (x) est une fonction symétrique Efforts queconques : aucune réduction de hyperstatisme n est possibe 10.3 Méthode de résoution La méthode a pus courante consiste à transformer e système hyperstatique par un système de base ou fondamenta qui a des conditions aux imites modifiées dans e sens de a réduction du nombre d inconnues. Cette réduction du nombre d inconnues passe généraement par a considération des déformations et des dépacements totaux du système. En utiisant a superposition des dépacements, on peut définir e dépacement tota et e décomposer en fonction des efforts appiqués au point considéré pour cacuer es inconnues manquantes. 15

16 11 Critères de résistance 11.1 Quantités imites usuees Les critères de résistance sont étabis à partir de étude des structures de différents matériaux. En fonction de a nature des différents matériaux, on peut constater que on atteint état imite quand une ou pusieurs quantités atteignent eurs imites : Quantité Soicitation générae (3D) soicitation équivaente en traction-compression uniaxiae (1D) contrainte normae σ σ 1 σ e = σ 1 aongement spécifique ε ε 1 = σ 1 ν (σ + σ 3 ) ε e = σ 1 E E contrainte tangentiee τ τ = σ 1 σ 3 τ e = σ 1 énergie spécifique de déformation W e W e = σ 1 + σ + σ 3 + ν E E (σ 1σ + σ σ 3 + σ 1 σ 3 ) W e = σ 1 E énergie spécifique déviatrice W d W d = 1 + ν ((σ 1 σ ) + (σ 1 σ 3 ) + (σ σ 3 ) ) W d = 1 + ν 6E 3E σ Critères L état imite est obtenu, dans e cas d une soicitation générae, orsque a quantité A devient égae à a quantité B dans e cadre d une soicitation équivaente de traction-compression. Les cinq critères précédents nous permettent notamment de cacuer, de tee sorte à avoir σ e σ a remier critère : σ ei = σ 1 Deuxième critère : σ eii = σ 1 ν (σ + σ 3 ) Troisième critère - critère de Tresca : σ eiii = σ 1 σ 3 Quatrième critère : σ eiv = σ1 + σ + σ 3 + ν (σ 1σ + σ σ 3 + σ 1 σ 3 ) Cinquième critère - critère de Von Mises : σ ev = 11.3 Etats particuiers 1 ((σ 1 σ ) + (σ 1 σ 3 ) + (σ σ 3 ) ) our ν = 0,3 Etat pan Barres Torsion Fexion + Torsion σ 1,σ σ 1, = σ ± 1 σ + 4τ τ M f,m t σ ei = σ 1 σ ei = σ + 1 σ + 4τ σ ei = τ M f ei = M f + 1 M f + M t ( σ σ eii = σ 1 νσ σ eii = + 1 ) ( σ σ + 4τ ν 1 ) σ + 4τ σ eii = 1,3τ M f eii = 0.35M f M f + M t σ eiii = σ 1 σ σ eiii = σ + 4τ σ eiii = τ M f eiii = M f + M t σ eiv = σ1 + σ + νσ 1σ σ eiv = σ + 3τ σ eiv = 1.73τ M f eiv = M f M t σ ev = σ1 + σ σ 1σ σ ev = σ +,6τ σ ev = 1.61τ M f ev = M f +,6 4 M t our e cas de a soicitation composée en fexion-torsion, on a : σ max = M f W ax avec W ax = I ax z max τ max = M t avec W p = I 0 ; I 0 = I ax et z max = r max = τ max = M t W p r max d où a reation exprimée directement en terme des moments. W ax 16

17 1 Soicitation par choc 1.1 Enoncé Une soicitation par choc est caractérisée par appication de forces extérieurs avec des variations brusques. On considère une poutre verticae de ongueur comme ci-contre. Une charge de poids va tomber sur a poutre depuis une hauteur h. La poutre subissant e choc va aors se déformer de δ. h δ Le travai de est aors L = (h + δ) L énergie de déformation de a poutre donne W e = EAδ Dans un cas sans choc, a force n aurait produit qu un travai L stat = δ stat Dans e modèe éastique, tout e travai L de a force est absorbé par a déformation de a poutre. On a L = W e Ceci impique δ δ stat δ δ stat h = 0 avec δ stat = obtenu par L stat = W e,stat EA Comme δ > 0, a soution est aors δ = h δ stat = Ψδ stat δ stat Le mutipicateur de choc Ψ peut s exprimer dans e cas où une vitesse et non pas une hauteur est considérée : Ψ = E c E p = v gδ stat On a de même a reation σ = Ψσ stat On peut remarquer que Ψ et que son effet diminue avec ampitude de δ stat. Ainsi, es contraintes dynamiques sont au moins deux fois supérieures aux contraintes statiques. Si on souhaite réduire ce coefficient, i faut faire en sorte d agrandir ampitude de δ stat, notamment en utiisant des ressorts. 1. Méthode de résoution Considérant a reation obtenue, i suffit de cacuer δ stat en se ramenant à un système statique (a charge en chute sur a poutre est rempacée par un effort statique déjà appiqué). De fait, δ stat se cacue avec es théorèmes énergétiques, de a même manière que dans es cas hyperstatiques. Si cas hyperstatique i y a, i faut commencer par poser e système statique. On résout ensuite e système hyperstatique par es méthodes usuees avant de cacuer δ stat. Une fois δ stat connu, on peut cacuer Ψ et toutes es grandeurs dynamiques qui nous intéressent. 17

18 13 Treiis 13.1 Enoncé du probème Un treiis est un système de barres articuées. On retrouve ce type de structures dans e génie civi et architecture : ponts, aéroports, gares, etc. Ces bâtiments comptent aors des nœuds par centaines ou miiers, qu i faut aors résoudre. Même si ce cacu est ourd sans outi informatique, intérêt du treiis est a suppression des fexions. Les articuations des treiis peuvent être des soudures, des bouons ou des systèmes à bagues. On peut négiger es contraintes et déformations en fexion, et donc modéiser es encastrements par des articuations, grâce à a rigidité du système : considérant un ensembe de poutres, e moment d inertie goba devient très important. 13. Méthode usuee de résoution Les moments étant négigés, seues subsistent es forces axiaes. La résoution se "réduit" aors au cacu des forces axiaes à chaque nœud. Ainsi, on isoe chaque articuation pour y poser es deux équations statiques qui a concernent. Au niveau goba, ce sont es trois équations panes du FS que on retrouve. our que e système soit statique, avec n barres barres et n noeuds nœuds, on a aors cet équiibre pour e nombre d inconnues : n barres + 3 = n noeuds Dans e cas où des forces s appiquent sur es poutres et non es nœuds du treiis, i suffit de es répartir : b a a b V 1 = b V = a a + b a + b a + b a + b 13.3 Méthode de Ritter Si es réactions sont cacuées et que on cherche des efforts intérieurs particuiers, on va sectionner pusieurs barres dans e treiis, qu on va aors isoer. 18

19 14 Fambement 14.1 hénomène Le fambage est une perte de équiibre stabe d une structure en compression qui survient dans certaines conditions dues à trois types de facteurs : a géométrie de a pièce es efforts appiqués es propriétés du matériau Le fambage n est pas une soicitation, c est un phénomène assimié à une rupture en RDM, notamment car i impique des grands dépacements. Lors du fambement, a igne moyenne d une barre droite cesse d être une droite et devient sensibe à d autres soicitations. 14. Fambement éastique On a pour es barres droites, expression de a déformée EIv (x) = M(x) avec V (x) a fèche. Or, M(x) = v(x) Ainsi, on a équation différentiee EIv + v = 0 On a aors a soution v(x) = C 1 sin(αx) +C cos(αx) avec α = EI Ici, es conditions aux imites (v(0) = 0, v() = 0) donnent : v(x) = C sin(αx) = k π EI avec a vaeur pour aquee se produit e fambement On pose aors a force critique au premier mode de fambement (k = 1) : cr = π EI mni avec ici f = f On en déduit a contrainte de compression au fambement : σ f = cr A = π E λ avec λ = f e coefficient de svetesse i min 14.3 Modèe compet Le cas éastique nous donne σ f = π E λ. E Ceci n est vrai que pour e cas éastique, donc pour σ f σ e, c est à dire pour λ > λ 0 = π Jusqu à a rupture, on peut montrer que e cas pastique s approxime par σ f = a + bλ (b < 0). La rupture est atteinte à σ f = σ r, c est-à-dire λ = λ 1 = σ r a b σ f σ e et i y = Iy e rayon d inertie A σ r rupture pastique éastique σ e λ 1 λ 0 λ 19

20 14.4 Fambement et conditions aux imites Reprenons expression de a force critique : cr = π EI min. La ongueur f exprimée ici dépend des conditions aux imites de a poutre. On exprime par f = β f β = 1 β = β = 1 β = I est à noter que si on décide de boquer e premier fambement en rajoutant une condition suppémentaire, e fambement n apparaîtra que sur son deuxième mode. De pus pour k =, on a cr = cr = 4 cr. Ceci permet d éoigner e risque de fambement de manière significative. 0