Axes principaux d inertie

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1 Axes pincipaux d inetie Théoème: se démonte en algèbe linéaie Pou tout point d un solide, il est toujous possible de choisi un epèe othonomé au point tel que la matice epésentant le tenseu d inetie soit diagonale: ~ (I est diagonalisable) I = I I I Définitions (au point ): Repèe d inetie: epèe dans lequel I est une matice diagonale Axes pincipaux d inetie: axes du epèe d inetie Moments d inetie pincipaux: moments d inetie pa ~ appot aux axes pincipaux d inetie, c-à-d éléments diagonaux de I dans le epèe d inetie Dans le epèe d inetie: Axe fixe passant pa : OS, janvie ~ L = I I 0 0 I = 0 I 0 = I 0 0 I I L = I est un axe pincipal d'inetie

2 Recheche des axes pincipaux d inetie Il faut touve les valeus et vecteus popes de I, donc les moments d'inetie I et les vecteus tels que : L = I =I ( I I) I II I =0 I I II =0 I I I I I I I I I I I I = 0 équation polynomiale de degé pou I I I I I en généal, solutions I, I et I ( I -I i ) e i = 0 donne l'axe pincipal Si le solide est symétique, les axes suivants sont des axes pincipaux d inetie au point : Tout axe de symétie passant pa L axe passant pa et pependiculaie à un plan de symétie Tout axe passant pa et pependiculaie à un axe de symétie d ode n e i démo: anagye OS, janvie 006 5

3 c as paticulies simples L R b R a Paallélépipède ectangle plein (plaque ectangulaie si a, b ou c 0): I = M(b +c ) I = M(c +a ) I = M(a +b ) ylinde de évolution (tige si R 0, disque si L 0): Axes et moments d inetie pincipaux pa appot au cente de masse de quelques solides homogènes de masse M plein: I = I = I = 4 MR + ML, I = MR vide: I = I = I = MR + ML, I = MR sans masse su les bases ciculaies Sphèe: pleine: I = I = I = I = 5 MR vide: I = I = I = I = MR «toupie asymétique»: seulement tois axes pincipaux pa démo: hélices bipales et tipales «toupie symétique»: tout axe pa dans le plan est pincipal «toupie sphéique»: tout axe pa est pincipal OS, janvie 006 5

4 Application: équilibage d un solide en otation démo: otation autou d un axe non-pincipal moment Dans beaucoup de situations, il est nécessaie qu un solide en otation soit «équilibé» Exemples: oues de voitue, hélices d avion, pâles de ventilateu, tubines, abes de tansmission, Pou un axe de otation : Solide équilibé statiquement Solide équilibé dynamiquement est un axe pincipal d inetie L L L L axe Si le solide n est pas équilibé dynamiquement, le moment cinétique pécesse autou de, et un moment de foce pependiculaie à doit ête appliqué pou gade fixe: vibations, usue des coussinets et suppots,... OS, janvie 006 5

5 Roue mal équilibée en otation Axe de otation fixe faisant un angle avec l axe de symétie On choisit un epèe d inetie (lié à la oue, donc en mouvement): Oigine au cente de masse Axe selon l axe de la oue Axe dans le plan défini pa l axe de la oue et l axe de otation Dans le epèe d inetie: sin I 00 = 0 I = 0I 0 cos 00I // L =I sin e + I // cos dl =I dt sin e =I sin cos e d L dt OS, janvie e ( ) + I // cos ( e ) ( ) + I // cos ( sin ) = ( I I // ) sin cos e = M M e e e axe e L M = 0 si et seulement si = 0, = / ou I = I //

6 Théoème de Steine Pa appot à un point A quelconque : ( I A ) ij = m AP ij ( AP) AP i ( ) j = ( ) m A+P ij (A) i +(P) i = m A + P + A P ij ( A) i ( A) j ( P) P i ( )((A) j +(P) j ) ( ) j A ( ) i P = m P ij ( P) P i ( ) j + m A ij A [ ( ) i ( A) ] j ( I A ) ij = ( I ) ij + M A ij A = tenseu d inetie au point A d une masse M au point ( ) j ( P) i A [ ( ) i ( A) ] j ( ) j ] pemet de calcule le tenseu d inetie au point A quelconque connaissant celui au cente de masse OS, janvie

7 Théoème de Steine (applications) Fomule de Steine pou les moments d inetie: = axe de diection u passant pa un point quelconque ^ = axe de diection u passant pa le cente de masse d = distance ente les deux axes et I = ( I ) ij u i u j = ( I ) ij u i u j + M u i u j ij i, j = I + M u ˆ I = I + M d Axes pincipaux: ^ i, j [ ( ) ] i, j = moment d inetie d une masse M à une distance d de [ ( ) i u i ( ) j u ] j Si les axes et sont des axes pincipaux d inetie au point alos les axes et sont des axes pincipaux d inetie au point d solide u^ OS, janvie

8 Poblème de la meule Desciption et hypothèses: Meule: disque mince de masse M, ayon R, cente de masse Axe de la meule : hoizontal, sans masse, longueu d Roulement sans glissement su le sol avec point fixe su un axe vetical = otation pope de la meule, = otation autou de l axe vetical Vecteu instantané de otation total = 0 = v A = v + ( + ) A 0 = v = v + ( + ) ( + ) A = ( + ) A = R = d Equations du mouvement: dp =Mv dt = T + N +Mg dl = ext M dt = N +Mg ( ) + OS, janvie T d R N A Mg

9 Poblème de la meule (suite) démo [ ] Tenseu d inetie: ( I (dans epèe d inetie ) ij = ( I ) ij + M ij ( ) i ( ) j d axes,, et, en otation avec l axe MR I = 0 4 de la meule autou de ) MR MR + M 0d d Moment cinétique: L = I ( + ) = ( I ) + ( I ) d L = ( I dt ) d dt = MR Equations du mouvement: Mv M d=t = T F 0=T d 0=T +NMg dl = M ext dt MR R = d(n Mg) N=Mg+ MR d =Mg+ MR >Mg OS, janvie N A Mg