MAT 1739 A : Calcul et Vecteurs - Revue

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1 MAT 1739 A : Calcul et Vecteurs - Revue Enseignante : Caroline El-Chaâr Table des matières 1 Vecteurs Opérations des vecteurs Applications du produit scalaire Propriétés du produit vectoriel Equations des droites et des plans Intersections des droites et des plans Vecteurs 1.1 Opérations des vecteurs Dans l espace bidimensionnel : Soient u = [u 1, u 2 ] et v = [v 1, v 2 ] deux vecteurs et soit k R un scalaire. Alors Addition des vecteurs : Soustraction des vecteurs : u + v = [u 1, u 2 ] + [v 1, v 2 ] = [u 1 + v 1, u 2 + v 2 ] u v = [u 1, u 2 ] [v 1, v 2 ] = [u 1 v 1, u 2 v 2 ] Multiplication d un vecteur par un scalaire : Longueur (norme) de v : k v = k[v 1, v 2 ] = [kv 1, kv 2 ] v = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 Produit scalaire : u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 1

2 Dans l espace tridimensionnel : Soient u = [u 1, u 2, u 3 ] et v = [v 1, v 2, v 3 ] deux vecteurs et soit k R un scalaire. Alors Addition des vecteurs : u + v = [u 1, u 2, u 3 ] + [v 1, v 2, v 3 ] = [u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ] Soustraction des vecteurs : u v = [u 1, u 2, u 3 ] [v 1, v 2, v 3 ] = [u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3 ] Multiplication d un vecteur par un scalaire : k v = k[v 1, v 2, v 3 ] = [kv 1, kv 2, kv 3 ] Longueur de v : Produit scalaire : Produit vectoriel : v = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ũ ṽ = [u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ] Le produit scalaire triple est une combinaison de produit scalaire et de produit vectoriel. Définition. Étant donnés trois 3-D vecteurs a, b et c, le produit scalaire triple est un scalaire défini par ã ( b c). Le sens géométrique du produit scalaire triple est : a ( b c) est égal au volume du parallélépipède défini par les trois vecteurs. 1.2 Applications du produit scalaire Théorème 1.1. L angle 0 θ π entre deux vecteurs nonzero u et v est déterminé par cos θ = ũ ṽ ũ ṽ. Note. Rappelons nous que a b = 0 si et seulement si a et b sont perpendiculaires/orthogonaux. Définition. Etant donnés deux vecteurs u et v. La projection de v sur u, notée par projũ ṽ, est la composante rectangulaire de v dans la direction de u. 2

3 Théorème 1.2. La projection de v sur u est le vecteur donné par (ṽ ) ũ projũ ṽ = ũ. ũ ũ 1.3 Propriétés du produit vectoriel De la définition du produit vectoriel, on peut voir que a b est un nouveau vecteur avec Longueur : a b = a b sin θ. Direction : a b est perpendiculaire en même temps à a et b. Note. sin θ = ã b ã b ã (ã b) = 0 Théorème 1.3. Soient a et b des vecteurs. Alors a b = 0 si et seulement si a et b sont colinéaires. Théorème 1.4. Pour tout vecteurs a et b, nous avons ã b = b ã. Donc le produit vectoriel N est PAS commutatif, mais anti-commutatif. 1.4 Equations des droites et des plans Equations des droites dans l espace bidimensionnel Equation de forme pente-ordonnée à l origine : y = mx + b où m est la pente de la droite et b est l ordonnée y = b à l origine, le point d intersection de la droite avec l axe des y. 3

4 Equation scalaire/linéaire/cartésienne : ax + by + c = 0 où n = [a, b] est un vecteur normal à la droite. Equation vectoriel : r = r 0 + t m ou [x, y] = [x 0, y 0 ] + t[m 1, m 2 ] où t R est un scalaire, r = [x, y] est un vecteur correspondant à n importe quel point inconnu sur la droite, r 0 = [x 0, y 0 ] est un vecteur correspondant à n importe quel point connu sur la droite, m = [m 1, m 2 ] est un vecteur directeur parallèle à la droite. Equation paramétrique : où t R est un paramètre x = x 0 + tm 1 y = y 0 + tm 2. Les équations des droites dans l espace tridimensionnel Equation vectorielle : r = r 0 + t m ou [x, y, z] = [x 0, y 0, z 0 ] + t[m 1, m 2, m 3 ] où t R est un scalaire, r = [x, y, z] est un vecteur correspondant à n importe quel point inconnu sur la droite, r 0 = [x 0, y 0, z 0 ] est un vecteur correspondant à n importe quel point connu sur la droite, m = [m 1, m 2, m 3 ] est un vecteur directeur parallèle à la droite. Équation paramétrique : où t R est le paramètre. x = x 0 + tm 1 y = y 0 + tm 2 z = z 0 + tm 3 Note. Il n y a pas d équation scalaire/linéaire/cartésienne d une droite dans l espace tridimensionnel puisque une droite dans l espace tridimensionnel est déterminée généralement par deux équations linéaires. 4

5 Equations des plans dans l espace tridimensionnel Equation linéaire/cartésienne : ax + by + cz = d = 0 où n = [a, b, c] est le vecteur normal au plan. Equation vectorielle r = r 0 + t a + s b ou [x, y, z] = [x 0, y 0, z 0 ] + t[a 1, a 2, a 3 ] + s[b 1, b 2, b 3 ] où t, s R sont des scalaires, r = [x, y, z] est un vecteur correspondant à n importe quel point inconnu sur la droite, r 0 = [x 0, y 0, z 0 ] est un vecteur correspondant à n importe quel point connu sur la droite, a = [a 1, a 2, a 3 ] et b = [b 1, b 2, b 3 ] sont deux vecteurs directeurs parallèles au plan. Equation paramétrique : où t, s R sont des paramètres. x = x 0 + ta 1 + sb 1 y = y 0 + ta 2 + sb 2 z = z 0 + ta 3 + sb Intersections des droites et des plans Intersection de deux droites dans l espace bidimensionnel Géométriquement, il y a trois situations possibles de deux droites dans l espace bidimensionnel. Deux droites se coupent en un point Deux droites sont coïncidentes Deux droites sont parallèles Algébriquement, il existent trois possibilités pour les solutions du système d équations, a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 5

6 Solution unique (correspondant à la situation : deux droites se coupent en un point) Infinité de solutions (correspondant à la situation : deux droites coïncidentes) Pas de solution (correspondant à la situation : deux droites sont parallèles) Intersection des deux droites dans l espace tridimensionnel Géométriquement, il y a quatre situations possibles de deux droites dans l espace bidimensionnel. Deux droites se coupent en un point Deux droites sont coïncidentes Deux droites sont parallèles Deux droites sont obliques (non parallèles et qui ne se coupent pas) Algébriquement, il existent trois possibilités pour les solutions du système d équations, [x, y, z] = [x 0, y 0, z 0 ] + s[m 1, m 2, m 3 ] [x, y, z] = [a 0, b 0, c 0 ] + t[n 1, n 2, n 3 ] Solution unique (correspondant à la situation : deux droites se coupent en un point) Infinité de solutions (correspondant à la situation : deux droites coïncidentes) Pas de solution (correspondant à la situation : deux droites sont parallèles ou obliques) Intersection d une droite et d un plan dans l espace tridimensionnel Géométriquement, il y a trois situations possibles de l intersection d une droite et d un plan dans l espace tridimensionnel. La droite et le plan se coupent en un point La droite se trouve entièrement dans le plan La droite est parallèle au plan 6

7 Algébriquement, il y a trois possibilités de solutions du système d équations suivant : [x, y, z] = [x 0, y 0, z 0 ] + t[m 1, m 2, m 3 ] ax + by + cz + d = 0 Solution unique (correspondant à la situation : la droite et le plan se coupent en un point) Infinité de solutions (correspondant à la situation : la droite se trouve entièrement dans le plan) Pas de solution (correspondant à la situation : la droite est parallèle au plan) Intersection de deux plans dans l espace tridimensionnel Géométriquement, il y a trois situations possibles de l intersection de deux plans dans l espace tridimensionnel. Deux plans se coupent suivant une droite Deux plans sont coïncidents Deux plans sont parallèles Algébriquement, il existent deux possibilités pour les solutions du système d équations, a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 Infinité de solutions (correspondant à la situation : deux plans se coupent suivant une droite ou sont coïncidents) Pas de solution (correspondant à la situation : deux plans sont parallèles) Intersection de trois plans dans l espace tridimensionnel Géométriquement, il y a huit situations possibles de l intersection de trois plans dans l espace tridimensionnel. 1 Trois plans se coupent en un point 2 Trois plans se coupent suivant une droite 7

8 3 Trois plans sont coïncidents 4 Deux plans sont coïncidents et le troisième plan n est pas parallèle aux deux premiers plans. 5 Trois plans sont parallèles, 6 Deux plans sont coïncidents et le troisième plan est parallèle aux deux premiers plans. 7 Deux plans sont parallèles et le troisième plan n est pas parallèle aux deux premiers plans. 8 Des paires de plans se coupent suivant des droites qui sont parallèles. Algébriquement, il existent trois possibilités pour les solutions du système d équations, Solution unique (1) Infinité de solutions (2-4) Pas de solution (5-8) a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 = 0 8