Le théorème de Pythagore

Transcription

1 Le théorème de Pythgore représenttion à l thédrle de Chrtres Vu pr Rphel Pythgore mthémtiien gre vers 500 vnt JC

2 Le théorème de Pythgore

3 Voulire Dns un tringle retngle, l hypoténuse est le ôté opposé à l ngle droit. A B [BC] est l hypoténuse C du tringle ABC

4 Démonstrtion On qutre tringles retngles identiques

5 On dispose les qutre tringles retngles dns un rré

6 On otient un nouveu rré J I JOLI O L

7 L ire de JOLI est : J I ² O L

8 On dispose ensuite les qutre tringles retngles dns le même rré d une utre fçon.

9 On otient deux nouveux rrés : A J D E O OCRE JADE R C

10 L ire de OCRE est : A J D E O ² R C

11 L ire de JADE est : A J D E O ² R C

12 J O L I J A D E O C R L ire de JOLI est égle à l somme des ires de OCRE et de JADE ² ² ² +

13 On peut don érire pour le tringle 2 = Cette églité est onnue depuis l ntiquité sous le nom de : théorème de Pythgore

14 Le théorème de Pythgore Si un tringle est retngle, lors le rré de l longueur de l hypoténuse est égl à l somme des rrés des longueurs des deux utres ôtés. hypoténuse

15 Le théorème de Pythgore un utre énoné Si ABC est un tringle retngle A lors BC² = AB² + AC² A B C! Le théorème de Pythgore ne s pplique qu ux tringles retngles.

16 ABC est un tringle retngle en A tel que AB = 3m et AC = 4m. Cluler BC 1) On fit un dessin 2) B 3 A 4 C On un tringle retngle, on onnît 2 longueurs, on herhe l 3ème, on utilise don le théorème de Pythgore

17 ABC est un tringle retngle en A tel que AB = 3m et AC = 4m. Cluler BC 1) On fit un dessin 2) On pplique le théorème de Pythgore : On sit que ABC est un tringle retngle en A don BC² = CA² + AB² (on érit l propriété ve des lettres) BC² = 4² + 3²(on remple les lettres pr les longueurs onnues) BC² = (on lule) BC² = 25 BC = 25 (25 est le rré de 5) BC = 5 m (5 > 4, [BC)] est l hypoténuse, est don le plus grnd ôté, le résultt est vrisemlle) B 3 A (on érit l vleur exte de BC) 4 C

18 DEF est un tringle retngle en D tel que DE = 5m et DF = 6m. Cluler EF 1) On fit un dessin 2) On un tringle retngle, on onnît 2 longueurs, on herhe l 3ème, on utilise don le théorème de Pythgore E 5 D 6 F

19 DEF est un tringle retngle en D tel que DE = 5m et DF = 6m. Cluler EF 1) On fit un dessin 2) On pplique le théorème de Pythgore : On sit que DEF est un tringle retngle en D don EF² = ED² + DF² (on érit l propriété ve des lettres) EF² = 5² + 6²(on remple les lettres pr les longueurs onnues) EF² = (on lule) EF² = 61 (on érit l vleur exte de BC) EF = 61 (61 est le rré du nomre qui s érit 61 7,8) EF ~ 7,8 m ~ (7,8 > 6, [EF] est l hypoténuse, est don le plus grnd ôté, le résultt est vrisemlle) E 5 D 6 F

20 On pplique le théorème de Pythgore : On sit que ABC est un tringle retngle en B don AC² = AB² + BC² AC² = 8² + 6² AC² = AC² = 100 AC = 100 AC = 10 m Ex1 ABC est un tringle retngle en B tel que AB = 8m et BC = 6m. Cluler AC A 8 B 6 C

21 GHI est un tringle retngle en I tel que GI = 2m et GH = 3m. Cluler IH 1) On fit un dessin 2) G I H On un tringle retngle, on onnît 2 longueurs, on herhe l 3ème, on utilise don le théorème de Pythgore 2 3

22 GHI est un tringle retngle en I tel que GI = 2m et GH = 3m. Cluler IH 1) On fit un dessin I H 2) On pplique le théorème de Pythgore : On sit que GHI est un tringle retngle en I don GH² = GI² + IH² (on érit l propriété ve des lettres) 3² = 2² + IH²(on remple les lettres pr les longueurs onnues) 9 = 4 + IH² (on trnsforme l églité pour isoler IH²) IH² = 9-4 (pour trouver IH² il fut soustrire 9 et 4 ) IH² = 5 IH = 5 (5 est le rré du nomre qui s érit 5 ~ 2,2) IH ~ 2,2 m (2,2 < 3, [IH] est l un des ôtés de l ngle droit, il est don plus petit que l hypoténuse, le résultt est vrisemlle) G 2 3

23 On pplique le théorème de Pythgore : T On sit que STU est un tringle retngle en T don SU² = ST² + TU² 6² = 5² + TU² 36 = 25 + TU² TU² = TU² = 11 TU = 11 TU 3,3 m ~ EX 2.STU est un tringle retngle en T tel que ST = 5m et SU = 6m. Cluler TU S 5 6 U

24 à suivre

25 L réiproque du théorème de Pythgore Si, dns un tringle, le rré de l longueur du plus grnd ôté est égl à l somme des rrés des longueurs des deux utres ôtés lors e tringle est retngle et l ngle droit est l ngle opposé u plus grnd ôté.

26 L réiproque du théorème de Pythgore un utre énoné Si, dns un tringle ABC on BC² = AB² + AC² lors le tringle ABC est retngle en A.! à l présenttion des luls

27 Le tringle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un tringle retngle? 1) On repère le ôté le plus long: est [AB] 2) On lule le rré de l longueur de [AB] AB² = 75² = ) On onstte l églité : AB² = BC² + AC² 3) On lule l somme des rrés des longueurs des 2 utres ôtés BC² + AC² = 45² + 60² 5) On ite l propriété ppliquée pour onlure : = = d près l réiproque du théorème de Pythgore le tringle ABC est retngle en C.

28 Le tringle DEF tel que DE=11m, EF=15m et DF=9m est-il un tringle retngle? 1) On repère le ôté le plus long: est [EF] 2) On lule le rré de l longueur de [EF] EF² = 15² = 225 4) On onstte qu il n y ps églité : 5) On peut ffirmer que : EF² = DE² + DF² 3) On lule l somme des rrés des longueurs des 2 utres ôtés DE² + DF² = 11² + 9² = = 202 le tringle ABC n est ps un tringle retngle.

29 L 7,5m 2) On repère le ôté le plus long: est [EL] 3) On lule le rré de l longueur de [EL] EL² = 8,5² = 72,25 8,5m 4m 5) On onstte l églité : S E 1) On préise le tringle dns lequel on trville : 4) On lule l somme des rrés des longueurs des 2 utres ôtés SE² + SL² = 4² + 7,5² = ,25 = 72,25 EL² = SE² + SL² 6) On ite l propriété ppliquée pour onlure : d près l réiproque du théorème de Pythgore le tringle SEL est retngle en S, lors (SE) (SL). O A-t-on (SE) (SL)? Dns le tringle SEL, SE=4, SL=7,5 et EL=8,5.

30 fin