Phénomène de séparation pour l équation de Prandtl stationnaire

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1 Phénomène de éparation pour l équation de Prandtl tationnaire Anne-Laure Dalibard Nader Mamoudi 5 novembre 215 Réumé Cet article et le réumé d un expoé donné au éminaire Laurent Schwartz en décembre 214. Le but et de donner une preuve mathématique du phénomène de éparation de couche limite dan un fluide peu viqueux au voiinage d un obtacle. Pour cela, on conidère la olution de l équation de Prandtl tationnaire, en préence d un gradient de preion advere. On montre que la dérivée normale de la vitee tangentielle au voiinage de la paroi annule pour certaine donnée initiale, ce qui caractérie phyiquement le point de éparation. On calcule également la vitee d annulation de cette dérivée. 1 Introduction L équation de Prandtl a été propoée par Ludwig Prandtl en 194, lor d un expoé au Congrè international de mathématicien à Heidelberg. Elle décrit le comportement d un fluide peu viqueux au voiinage d une paroi rigide, et et obtenue en paant à la limite (formellement dan le ytème de Navier-Stoke avec faible vicoité aprè un changement d échelle dan la variable normale au bord. On renvoie le lecteur intéreé à [7, 2] pour plu de détail. On intéree ici à une verion tationnaire de cette équation, qui écrit uu x + vu y u yy = dp E(x, dx x >, y >, u x + v y =, x >, y >, u x= = u, u y= =, lim y u(x, y = u E(x, (1 où y = repréente la paroi rigide, x (rep. y la variable tangentielle (rep. normale à la paroi. Le fonction u E et p E ont de donnée du problème, et repréentent la vitee tangentielle du fluide et a preion à la ortie de la couche limite. Autrement dit, u E et p E ont repectivement la vitee tangentielle et la preion prè de la paroi d un fluide vérifiant le équation d Euler. Le quantité u E et p E ont reliée par la relation algébrique u E u E = dp E(x dx. L équation (1 peut être conidérée comme une équation d évolution en x, avec une condition initiale en x = ; en raion du terme de tranport vu y, cette équation et non-locale, le terme Sorbonne niverité, PMC niv Pari 6, CNRS, MR 7598, Laboratoire Jacque-Loui Lion, 4, place Juieu 755, Pari, France. Courant Intitute of Mathematical Science. 1

2 v étant exprimé en fonction de u à l aide de la condition de divergence nulle. Elle apparente donc à une équation de type tranport-diffuion, et on attend à ce que l équation (1 oit (localement bien poée tant que u rete poitif. Ce réultat a été démontré par O. A. Oleinik (voir [7, Théorème 2.1.1] : Propoition 1 (Oleinik. Soit α >, X >. Soit u C 2,α b (R telle que u ( =, u ( >, lim y u (y = u E ( >, et telle que u (y > pour y >. On uppoe que dp E /dx C 1 ([, X], et que pour y 1 la condition de compatibilité uivante et vérifiée : u (y dp E( = O(y 2. (2 dx Alor il exite X X tel que l équation (1 admet une olution u C 1 ([, X [ R + vérifiant le propriété uivante : Régularité et borne : u et bornée et continue dan [, X ] R +, y u, 2 yu ont bornée et continue dan [, X [ R +, x u, v et y v ont localement bornée et continue dan [, X ] R + ; Non-dégénérecence : u(x, y > pour tout y >, et il exite y >, m > tel que y u(x, y m pour tout (x, y [, X [ [, y ]. Condition uffiante de globalité : i dp E(x dx, alor la olution et globale, i.e. X = X. On intéree dan cet article à de ca où la olution de (1 n et pa globale : plu préciément, on conidère l équation (1 avec dp E /dx = 1, i.e. uu x + vu y u yy = 1, x >, y >, u x + v y =, x >, y >, u x= = u, u y= =, lim y u(x, y = u E(x, (P avec u E (x = 2(x x +, pour x >, >, et u vérifiant le hypothèe de la propoition 1. On ait donc que de olution locale (en x de (P exitent. Néanmoin, de façon heuritique, on attend à ce que le terme ource fae diminuer le valeur de la vitee tangentielle u, et que donc il exite un point x au delà duquel la olution ne puie être prolongée avec le réultat de la propoition 1. Plu préciément, on vérifie facilement que la condition de compatibilité (2 et propagée par (P. Par conéquent, on a x < + i et eulement i l une de deux condition uivante et vérifiée : (i u y (x, = ; (ii il exite y > tel que u(x, y =. Pour implifier l analye mathématique, on travaillera avec de olution de (P croiante en y, cette propriété étant propagée par l équation (P. Cette propriété upplémentaire garantit que la condition (ii ci-deu n et jamai vérifiée. Par conéquent, pour de olution croiante en y, on a x < i et eulement i u y (x, =. (3 Dan la littérature phyique (voir par exemple [3, 8], cette condition et utiliée comme caractériation du point de éparation. 2

3 Le premier travaux quantitatif ur ce phénomène remontent à Goldtein [3] et Landau [4, Chapitre 4, 4]. En particulier, Goldtein effectue, grâce à un développement aymptotique en variable auto-imilaire, un calcul du profil de la ingularité prè du point de éparation. Ce calcul ont enuite repri par Stewarton [8]. Toutefoi, ce calcul ont formel, et de urcroît ne permettent pa de calculer tou le coefficient du développement. Indépendamment, Landau donne une autre caractériation du point de éparation, et propoe un argument uggérant que y u y= x x prè du point de éparation. Par ailleur, dan l article [2] Weinan E annonce un réultat obtenu en collaboration avec Lui Caffarelli. Ce réultat tipule, ou une hypothèe tructurelle ur la donnée initiale, que le temp d exitence x de olution de (P au en d Oleinik et fini, et que la famille u µ := 1 µ u(µ(x x, µ 1/4 et compacte dan C(R 2 +. De urcroît l auteur énonce deux lemme technique jouant un rôle clé dan la preuve. Néanmoin, la preuve complète de ce réultat n a jamai été publiée. L objet de cet article et de donner une verion plu quantitative du réultat de compacité annoncé par E et Caffarelli. Notre but, en particulier, et d identifier une clae de donnée initiale pour lequelle on a décollement, au en où lim yu y= = x x pour un certain x dépendant de u, et de calculer le taux d annulation de y u y=. Pour cela, on montre la tabilité d une clae de olution approchée de l équation, dont la dérivée première en y = annule en un point x = x. En poant a 4 = 1/48, a 7 = a 4 /84, le olution approchée conidérée ont définie par u app (x, y = C x x y + y2 2 a 4y 4 a 7 1 C x x y7 pour y (x x 1/6, u app (x, y = y2 2 pour (x x 1/6 y 1. Le hypothèe néceaire ur la donnée initiale ont le uivante : (H1 Monotonie : u et croiante en y ; (H2 Développement limité prè de y = : il exite λ > et ɛ > tel que u (y = λ y + y y4 a 7 λ 1 y7 + o(λ 1 y7 y [, λ 1 3 ɛ ]; (H3 Encadrement de dérivée juqu à l ordre 4 : pour k = 2, 3, 4, k y u (y = O(y 4 k y [, λ 1 3 ɛ ]. (H4 Approximation de la olution approchée : il exite de contante C >, η > et γ < 1/4 (indépendante de λ telle que pour m uffiamment grand, ( y(u 5 u app (, y 2 dy (λ y + y 2 4 (1 + λ 2γ y C λ 7+η m. Théorème 1. On uppoe que le hypothèe (H1-(H4 ur u ont vérifiée. Alor il exite δ > tel que i λ < δ, la olution de (P avec u x= = u poède un point de éparation en x = O(λ 2. De plu, on a le propriété uivante : 3

4 Taux de éparation : oit λ(x := y u(x,. Alor il exite une contante C > telle que λ(x C x x. Approximation de la olution approchée : il exite de contante C >, η >, telle que pour tout x (, x, ( 5 y(u u app (x, y 2 (λ(xy + y 2 4 dy (1 + (x x γ y m C(x x 7 2 +η. La preuve du théorème 1 repoe ur deux ingrédient principaux : d une part, il faut contruire une olution approchée qui poède de bonne propriété de tabilité. D autre part,on montre de etimation d erreur qui utilient fortement la tructure de l équation. Le choix de la olution approchée et inpiré de argument développé par Franck Merle et Pierre Raphaël pour l étude de ingularité et de phénomène d exploion dan l équation de Schrödinger non linéaire (voir [6, 5]. L idée et d utilier l invariance par changement d échelle pour effectuer un changement de variable utiliant un paramètre dépendant directement de la olution conidérée (dan notre ca, le paramètre era λ(x = y u(x,. On contruit de olution approchée à l aide d un développement de Taylor, et on choiit le olution approchée ayant la plu petite croiance poible à l infini. Dan une econde étape, on utilie la nature de tranport-diffuion de l équation pour montrer la tabilité de olution approchée contruite. Le etimation d énergie utiliée exploitent fortement la tructure de l équation. Afin de contrôler certain terme non linéaire, il faut aui obtenir de etimation L ur le olution, qui repoent ur une utiliation minutieue du principe du maximum. Le etimation d erreur aini obtenue pilotent le taux de modulation, c et-à-dire λ x. On clôt le etimation à l aide d un argument de boottrap. Enfin, le réultat de tabilité et traduit dan le variable de départ. L organiation de cet article et la uivante : dan la prochaine partie, on introduit le variable auto-imilaire, et on contruit la olution approchée dan ce nouvelle variable. La ection 3 et dédiée aux etimation d énergie, et la ection 4 aux etimation a priori dan L, qui ont néceaire pour traiter certain de terme non-linéaire dan la ection 3. Enfin, dan la ection 5, on préente l argument de boottrap. On donne dan cet article le idée principale et le quelette de la preuve, et on renvoie le lecteur à [1] pour tou le détail. 2 Analye de l équation en variable autoimilaire 2.1 Préentation du changement de variable Rappelon tout d abord que l équation (P et invariante par changement d échelle : en effet, i (u, v et olution de (P, alor pour tout µ >, le couple (u µ, v µ défini par u µ = 1 µ u(µx, µ 1/4 y, v µ = µ 1/4 v(µx, µ 1/4 y, et encore olution de (P. Cette invariance d échelle avait été utiliée par Goldtein [3] pui Stewarton [8] pour eayer de calculer une olution exacte de (P prè du point de éparation ou la forme d une fonction analytique en certaine variable. Dan le ca préent, l idée et de faire un changement de variable qui d une part repecte cette invariance d échelle, et d autre part intègre de information ur le taux de éparation, 4

5 c et-à-dire la vitee d annulation de y u y=. Cette idée a été introduite par Franck Merle et Pierre Raphaël pour l analye de ingularité dan l équation de Schrödinger non linéaire, voir [6, 5]. Plu préciément, on poe λ(x = y u y= et = y λ(x. On change également de variable horizontale en poant La nouvelle fonction inconnue et d dx = 1 λ 4 (x. (4 (, := λ 2 (x(u(x(, λ(x(. (5 On vérifie alor que et olution de l équation b 2 + 3b 2 = 1, (6 où b = 2λ x λ 3. (7 Le condition aux limite deviennent alor = =, lim (, = (, où vérifie b 2 = 1. De plu, grâce à la définition de λ, on a = = 1. Noton que dan le article de Franck Merle et Pierre Raphaël, le choix de paramètre λ et b à contrôler viennent de propriété d orthogonalité de la quantité app. Dan le ca préent, ce propriété d orthogonalité une condition d annulation à un ordre uffiamment élevé en zéro de app. Dan le rete de cet article, on travaille uniquement ur l équation (6. Remarquon que la limite x x correpond à. Il agit donc de montrer de propriété de tabilité pour l équation (6. Plu préciément, dan le nouvelle variable, le théorème 1 écrit : Propoition 2. On définit la olution approchée ( [ app = χ a4 q b 4 a 7 b a 1b a 11b 3 11] + 1 ( b F b, où χ C (R et égale à 1 dan un voiinage de zéro, q (1/4, 1/3, a 4, a 7, a 1, a 11 ont de contante explicite, et F C b (R et telle que F (ξ = ξ2 /2 dan un voiinage de zéro. On uppoe que = vérifie le hypothèe uivante : = et croiante en ; k = = O( 1 4 k pour k = 2, 3, 4 et pour C 1/3 avec C uffiamment grand ; = app = O( 2 7 pour C 1/3 ; Il exite C indépendante de, η >, m N grand et β > 1/4 tel que 1 ( ( 5 ( app 2 (1 + β m C 4+η. 5

6 Alor i et uffiamment grand, il exite de contante C >, η >, m N, β > 1/4, tel que le propriété uivante ont vérifiée : b( = 1 + O( 1 η quand ; Pour tout, 1 ( 5 ( ( app 2 (1 + β m C. 4+η Remarque 1. La Propoition 2 contient deux réultat : une etimation d erreur entre et app, et une loi aymptotique pour le coefficient b. En réalité, l etimation d erreur va contrôler la loi de b, mai le point qui nou intéree au premier chef et le comportement aymptotique de b. Compte tenu de la définition (7 et de la relation (4, on a b( = 1 + O( 1 η quand λ(x C x x quand x x. Par ailleur, noton que le comportement aymptotique b( = 1 correpond à l équation différentielle b + b 2 =. Aini, dan la uite, le but de etimation era de contrôler de quantité faiant intervenir b + b Heuritique de la contruction de olution approchée On cherche à préent à contruire de olution approchée de (P qui oient table. Comme dan le travaux de Merle et Raphaël, cette tabilité n et vraie que pour certain comportement aymptotique de la fonction b : on oberve en pratique que le comportement aymptotique qui correpondent à de taux table ont ceux pour lequel le olution approchée ont la croiance la plu faible poible quand. En effet, plu la olution approchée a une grande croiance à l infini, plu le terme de rete dan l équation ur app et grand. Choiir une olution approchée avec une petite croiance à l infini revient donc à choiir une olution approchée avec le plu petit terme de rete poible. La définition de olution approchée e décompoe en troi zone : la zone principale va de à α, pour un α > à définir ultérieurement. Dan cette zone, on commence par calculer un développement de Taylor de la olution autour de zéro, et on cherche à pouer ce développement le plu loin poible, ce qui correpond à la condition de faible croiance énoncée plu haut. Dan la econde zone, on ne garde que le terme dominant du développement de Taylor, oit 2 /2. On vérifie d ailleur que 2 /2 et une olution tationnaire de (6, qui correpond à la olution de (P (x, y y 2 /2, qui et indépendante de x et invariante par changement d échelle. Dan la troiième zone, on raccorde 2 /2 au profil Ū( + 1. Développement de Taylor de la olution prè de zéro : Rappelon tout d abord que grâce au changement de variable (5, on a On déduit alor de (6 que (, =, (, = 1. (, = 1. Le premier terme du développement de Taylor en zéro ont donc

7 ne première idée naturelle et de définir une uite de polynôme en avec de coefficient dépendant de grâce à l équation de récurrence uivante : ( N+1 N := 1 + N N N On obtient aiément que 1 (, := + 2 2, N bn 2 + 3b 2 N N N. (8 2 (, := a 4b 4, avec a 4 = (9 On regarde alor le terme d erreur obtenu lorque l on remplace par 2 dan (6. On a = a 4 ( 4 5 b b2 2 b b ( b + b a 4 ( b + b a 2 4 b 5 On rappelle que l on attend à avoir b( = O( 1 quand. Par conéquent le coefficient du dernier terme du membre de droite et un ordre de grandeur plu petit que le coefficient de deux premier terme. On e concentre donc ur la comparaion entre le deux premier terme du membre de droite. Le but et alor de choiir la olution approchée qui poède la plu petite croiance à l infini. Ce choix, qui peut embler arbitraire à ce tade, et en réalité lié aux propriété de tabilité de la olution approchée choiie. En effet, i l on fait un autre choix que celui que nou nou apprêton à faire, le etimation de boottrap ne fonctionnent plu. Noton que le terme en ( b + b 2 6 donnerait dan 3 un terme en ( b + b 2 8, tandi que le terme en ( 4 5 b b2 5 donnerait un terme en ( 4 5 b b2 7. Par conéquent, on choiit dan la olution approchée d annuler le terme en ( b + b 2 8. Autrement dit, dan l équation de récurrence (8 qui définit la uite ( N N 1, on remplace chaque occurrence de b par b 2. On définit aini 3 par 3 (, = a 4b 4 a 7 b 2 7, avec a 7 = 1 84 a 4. Noton qu avec ce choix, on a ( 3 (, C(b + b 2 7 pour 1, pour une certaine contante C R. On contruit enuite 4 et 5 de façon analogue, toujour en remplaçant b par b 2. On obtient une expreion de la forme 5 (, = a 4b 4 a 7 b a 1 b a 11 b 3 11, pour de contante a 1, a 11 R explicite. Définition de la olution approchée : On définit à préent la olution approchée app de la façon uivante : oit F C 2 (R + telle que F (ξ = ξ2 2 pour ξ c, pour un certain c >, F croiante, et F (ξ 1 quand ξ. Soit χ C (R + telle que χ 1 dan un voiinage de zéro, et oit q ( 1 4, 1 3. On prend ( [ app (, := χ a4 q b 4 a 7 b a 1b a 11b 3 11] + 1 ( b F b. (1 7

8 Remarquon que app = 4 tant que q, et que app 1 b quand. Aini on ne requiert pa que app (, quand. Mai ce fait et en réalité an importance, car on meurera l écart entre et app dan de norme à poid, avec de poid qui décroient polynomialement (avec une grande puiance aprè β, pour β (1/4, q. 3 Etimation d erreur Dan toute cette ection, on explique comment obtenir de etimation d erreur ur la quantité V := app. On commence pour cela par écrire une équation de type tranport-diffuion ur V. L énergie utiliée pour meurer la taille de V era une norme quadratique en V et e dérivée, avec un poid décroiant polynomialement à partir de = 1/3. Par ailleur, afin d avoir un bon contrôle de terme de tranport et de diffuion et d etimer le terme non linéaire apparaiant dan le etimation, il nou faudra également obtenir de etimation de type L ur, à l aide d un encadrement par de ur- et de ou-olution. Ce dernier point fait l objet de la ection Équation ur V On conidère l équation (6, et on poe, pour W C(R +, On peut remarquer que L W := W W. L W 2 = ( W. On peut donc inverer l opérateur L, pour de fonction f telle que f( / 2 et intégrable au voiinage de zéro, et on a alor L 1 ( f = f 2. Par conéquent, l équation ur écrit ( 3 + bl 1 2 On remarque immédiatement que Par ailleur, L 1 ( L 1 ( 2 = ( On en déduit que l équation ur devient 2 L 1 ( 1 =. 1 = (. = L 1 ( 2 + ( = L 1 L + ( = + ( =. b + b 2 L 1 ( 1 =. (11 8

9 Aini toute la non-linéarité de l équation de départ et à préent inclue dan le terme de diffuion L 1 ( 1. L équation ur V = app écrit donc, en poant L := L 1, V bv + b 2 V L V L 1 ( app 1 = ( app b app + b2 app. (12 On a le réultat uivant (voir [1] : Lemme 1. L 1 ( app 1 = b 2 + b 2 L 1 L V ( ( + L 1 χ q ( 5 4 a 7 + 9a 1 ( b a 11 b G 1 (, ϕ q, où G 1 C (R + R + a une croiance au plu polynomiale en et en, et ϕ C (R + et bornée, avec ϕ dan un voiinage de zéro. Par ailleur, app b app + b 2 app ( [ = χ q b 2 a ( 4 b + b 2 ] 4 a 7 b (2b + 5b2 7 2 ( [a1(3b + χ q b 2 + 4b a 11(3b b 2 + 9b 4 /2 11] [ a4 b 4 a 7 b a 1b a 11b 3 11] ( ( b + χ q q 2 q + b 2 ( b + b 2 ( 1 2 ZF (Z F (Z Z= b. En utiliant le valeur explicite de a 1 et a ( 11, on en déduit finalement que V vérifie l équation V bv + b 2 V + b ( 2 2 L 1 2 V V L V = R, (13 où ( R = χ ( q χ q + a 7b 3 2 L 1 + G 2 (, ϕ [a4 ( b + b a 7 b ( b + b 2 7] [a1(3b b 2 + 4b a 11(3b b 2 + 9b 4 /2 11] ( ( χ ( q q, (LV 7 + L a4b 4 a7b2 7+a1b3 1+a11b et la fonction G 2 poède le même propriété que la fonction G 1 du Lemme 1. Le etimation d énergie repoent alor ur le idée uivante : 1. Comme V (, C(b + b 2 7 pour 1, toute norme N (V contrôlant V 7 = contrôle également b + b 2. 9

10 2. On définit une énergie E( par E( = N (V ( 2, où N et une (emi-norme contrôlant V 7 = qui era définie ultérieurement. Pour montrer que b + b 2 = O( 2 η pour un certain η >, il uffit de montrer que avec η > et α 4 + η. de d + α E( C 5 η (14 3. La propriété α > 4 dan (14 et obtenue à l aide d opération algébrique ur (13. Typiquement, i on ne conerve que la partie tranport de (13 et que l on conidère l équation modèle f 1 f f = r, on voit que d d 7 f 2 H f 2 H 1 7 r 7 f + On obtient donc le réultat voulu avec α = 9 2 et N (f := 7 f H 1. 8 r 8 f. 4. Le fait que le terme de rete oit O( 5 η dan (14 vient d un bon choix de la olution approchée. En particulier, le lecteur pourra vérifier que i l on ne choiit pa la olution approchée avec la plu petite croiance à l infini, comme expliqué au paragraphe 2.2, alor le terme de rete n et pa uffiamment petit et on ne peut pa conclure. Dan le paragraphe qui uivent, on donne quelque élément de preuve ur l obtention d etimation d énergie. Le difficulté réident principalement dan la tructure complexe de l opérateur de diffuion L. L idée et d appliquer pluieur foi l opérateur L à (13, mai cela néceite de calculer le commutateur de L avec + b 2, de comprendre l action de L ur le terme de tranport upplémentaire L 1 (L V, et enfin d obtenir de etimation d énergie pour de équation de tranport-diffuion du type f + Cb f L f = r. On dicute de ce troi point dan le paragraphe qui uivent. 3.2 Commutateur de L avec + b 2 Lemme 2. Soit W C 1 (R + R + telle que W (, = O( 2 pour 1. Alor [ L 1, + b ] 2 W = bl 1 (D W où D := L 1 ( 1. W 2 Le terme D et enuite décompoé à l aide du Lemme 1. On écrit D = b 2 + D NL + D rete, ( + 2 où D NL = L V + b 2 L 1 (L V, et D rete = O(b 3 6 χ(/ α + G 1 (, ϕ ( α. W 3 D, 1

11 Remarque 2 (Traitement de terme non-linéaire et etimation itérée. Le terme D NL crée de non-linéarité dan l équation ur V à chaque foi que L et appliqué à (13. Ce nonlinéarité néceitent l obtention d etimation préliminaire ur V. Le etimation L qui eront abordée dan la ection 4 ne ont pa tout-à-fait uffiante pour traiter le terme nonlinéaire. Aini on commence par obtenir une etimation H à poid ur V, qui et purement linéaire. Cette etimation linéaire et enuite utiliée pour contrôler le terme non linéaire provenant de D NL dan une nouvelle etimation H 1 à poid ur L V. Enfin, l etimation linéaire ur V et l etimation non linéaire ur L V ont utiliée pour contrôler le terme non-linéaire dan l etimation finale ur L 2 V. 3.3 Etimation ucceive ur L k V, k 2 Le difficulté de etimation viennent principalement du terme de diffuion, dont l exploitation de propriété de poitivité néceite de manipulation algébrique fine. On utiliera principalement deux type d etimation. L etimation la plu naturelle provient de l obervation uivante : i f et une fonction régulière annulant à un ordre uffiamment grand en zéro, alor une imple intégration par partie montre que pour tout poid w à décroiance uffiamment grande à l infini, L f fw = L f L L fw = (L f 2 w + 1 ( 2 2 ( w L f. (15 Le premier de deux terme et toujour poitif. L intégrande du econd terme et poitif tant que 1/2 et w c avec c petit. Il change de igne pour aez grand. Ce défaut de poitivité à grand peut être compené par l ajout d un terme d ordre inférieur (voir la Propoition 4 ci-deou. Cependant, cette etimation ne peut être utiliée pour l etimation ur V. En effet, dan l équation (13, le terme d ordre zéro bv a tendance à faire croître le etimation d énergie. Aini on ne peut obtenir directement de bonne etimation L 2 ur V. De etimation L 2 décroiante peuvent être obtenue, théoriquement, en dérivant l équation par rapport à ou en utiliant de poid w décroiant et ingulier (en k. Mai ce deux type de manipulation interdient l utiliation directe du calcul ci-deu, et il faut donc exhiber un autre type de tructure poitive dan le terme de diffuion. En réumé, on utiliera : une première etimation, permettant d évaluer 2 V 2 L 2 (w V 2 L 2 (w 3, avec de poid w 2 et w 3 ingulier en zéro et décroiant (voir la remarque 3 pour une définition précie ; une deuxième etimation, repoant ur (15, et permettant d évaluer L V L 2 (w et L 2 V L 2 (w, avec un poid w régulier, lentement variable, et tel que w 1 tant que 1/4. Etimation H 1 ur 2 V. En dérivant deux foi (13, on voit que 2 V et olution de 2 V + b 2 3 V + b ( 2 2 L V V 2 L V = 2 R. À préent le terme d ordre zéro a diparu, et tout poid décroiant et ingulier conduira à une décroiance de l énergie, ( pourvu que le terme de diffuion correpondant oit poitif. Le terme additionnel 2 L V V peut être traité perturbativement. Pour le terme de diffuion, on utilie le réultat uivant : 11

12 Lemme 3. Pour toute fonction W annulant à un ordre uffiant au voiinage de =, on a et 3 L 1 W = 4 2 L 1 W = 3 = 3 W W 2 W 2 W W 2 + W + 2 W ( W W W 2 2 W + 3 W. La première de deux identité conduit naturellement à multiplier l équation ur 2 V par. Aini le terme d ordre le plu élevé poède un igne poitif. Pour contrôler le terme ( 3 V d ordre inférieur du terme de diffuion, on ajoute de terme d ordre inférieur dan l énergie. Le réultat final et le uivant : Propoition 3 (Etimation préliminaire ur V. Pour m N, β ( 3 w m,β (, := (1 + β m. On uppoe que le hypothèe uivante ont vérifiée : b = O( 1 et 1 ɛ b 1+ɛ i [, 1 ] ; 1, 1 3, on définit le poid 1 Cb 2 1 pour β avec β ]β, 1 3 [ pour un certain C indépendant de ; 3 Cb, 4 Cb pour β ; Soit E ( := D ( := 1 8 ( 3 V 2 w m,β ( 3 V 2 3 w m,β ( 2 V 2 3 w m,β, ( 2 V 2 5 w m,β. Alor il exite δ > tel que pour tout α < 3 2, pour m N uffiamment grand et > uffiamment grand, d dt E ( + αbe ( + D ( C α,β,m 5/2 δ. Par conéquent, pour tout α < 3 2 (1 ɛ, on a, pour (, 1, E ( (C α,β,m + E( α α, 1 α D (d (C α,β,m + E( α. Remarque 3. Dan la propoition ci-deu, on a donc choii w 2 = w m,β / 3 et w 3 = w m,β /, en reprenant le notation de la dicuion qui précède la propoition. Etimation H 1 ur L V et L 2 V. Pour le etimation ur L V et L 2 V, on utilie la tructure uivante du terme de diffuion, qui repoe ur le calcul (15 : 12

13 Lemme 4. Soit δ > quelconque. On uppoe que le hypothèe de la Propoition 3 ont vérifiée, et qu il exite a R tel que W L (R, L W L (R = O( a. On définit, pour W C 4 (R + annulant uffiamment prè de zéro, D(W := L W ( W w m,β W L W w m,β. Alor on peut choiir m = m(δ uffiamment grand, tel que pour tout β > 1/4, D(W 1 2 (L W 2 w m,β δb ( 2 L W w m,β W 2 w m,β δb Remarque 4. Le lemme 4 era appliqué à W = L V pui à W = L 2 V. Grâce au Lemme 2, l équation ur L V et ( W 2 w m,β C δ 6. L V + bl V + b 2 L V + b 2 M V L 2 V ( = L R (D NL + D 2 V 2 où l opérateur M et défini par M V := ( 2 V 2 ( 2 2 V 3 ( + 2 Comme cela et uggéré par le Lemme 4, on multiplie (16 par ( L V w m,β + L V w m,β. Le terme d énergie et de diipation correpondant ont alor 2 V 3 ( D + D NL, (16 L L 1 ( V 2 2 V. E 1 ( := L V 2 L 2 (w m,β + L V 2 L 2 ( w m,β, D 1 ( := 1 2 (L 2 V 2 w m,β ( L 2 V 2 w m,β. Le etimation a priori L et la Propoition 3 ont uffiante pour etimer le terme nonlinéaire provenant de D NL, pourvu que l on prenne m > m et β < β. Pour le terme provenant de M V, on e contente d une etimation groière : on montre que b M V ( ( L V w m,β + L V w m,β b ( L V 2 w m,β b δbe 1 ( + δd 1 ( (L V 2 w m,β 1 + pour tout δ > et pour δ uffiamment grand. On en déduit finalement l etimation uivante : 13

14 Propoition 4. On uppoe que le hypothèe de la Propoition 3 ont vérifiée. Alor pour tout α < 5 2, pour uffiamment grand, d dt E 1( + αbe 1 ( + D 1 ( C α,β,m 3 β. Par conéquent, pour tout α < 2 + β et pour ɛ uffiamment petit, on a, pour (, 1, E 1 ( (C α,β,m + E 1( α α, 1 On applique de nouveau l opérateur L et on obtient α D 1 (d (C α,β,m + E 1( α. L 2 V + 3bL 2 V + b 2 L 2 V + b 2 N L V L 3 V = L 2 R + L b 2 L 1 ( 2 ( 3 2 V 3 (D NL + D (D NL + D, 2 V 3 où l opérateur N et un opérateur linéaire, qui a de bonne propriété de poitivité au voiinage de = et que l on peut traiter perturbativement pour 1. On poe donc, avec m > m > m, β < β < β, 2 V 2 E 2 ( := L 2 V 2 L 2 (w m,β + L2 V 2 L 2 ( w m,β, D 2 ( := 1 2 On obtient alor le réultat uivant : (L 3 V 2 w m,β ( L 3 V 2 w m,β. Propoition 5. On uppoe que le hypothèe de la Propoition 3 ont vérifiée. Alor il exite α > 4, η > α 4 et une contante C m,β,α,η tel que de 2 d + αbe 2 + D 2 ( C m,β,α,η 5 η. Par conéquent, pour ɛ uffiamment petit, on a, pour (, 1, E 2 ( (C α,β,m + E 2( α α, 1 α D 2 (d (C α,β,m + E 2( α. Remarque 5. Noton que L 2 V C(b +b 2 et L 2 V C(b +b 2 prè de =. Néanmoin E 2 ne contrôle pa tout-à-fait b + b 2 : il faut pour cela ajouter à E 2 de terme en 2 L2 V, pui utilier un réultat de trace. Cette dernière etimation et dan l eprit de etimation de la Propoition 3, et on réfère à [1] pour le détail. Le réultat final et le uivant : Propoition 6. On uppoe que le hypothèe de la Propoition 3 ont vérifiée. Alor il exite une contante C et une contante η > telle que pour tout [, 1 ], b + b 2 C 2 η. 14

15 4 Etimation L Cette ection et dédiée au econd pendant de l argument de boottrap, qui conite à obtenir le etimation L néceaire à la Propoition 3, par exemple. Ce etimation découlent de l utiliation du principe du maximum pour l équation (6. L exitence d un principe du maximum pour cette équation avait été démontrée par Oleinik (voir [7], à l aide du changement de variable de von Mie, qui tranforme l équation de Prandtl (P (ou encore (6 en une équation de tranport-diffuion non linéaire. L idée et donc de contruire de ur et de ou-olution de l équation (6, qui appuient ur l expreion de la olution approchée, qui vont donner un encadrement aez fin de (,. Enuite, on applique la même idée aux dérivée ucceive de. Avant d énoncer le principaux réultat relatif aux etimation L, rappelon le changement de variable de von Mie : on définit la fonction courant ψ par ψ(, := (, d. Alor pour tout, ψ(, et un difféomorphime. Par conéquent, on peut exprimer W := 2 en fonction de nouvelle variable, ψ. L équation vérifiée par W dan ce nouvelle variable et W 2bW + 3b 2 ψ ψw W ψ 2 W = 2. (17 Noton que pour toute ur- (rep. ou- olution Ū (rep., on peut définir de façon imilaire une fonction W (rep. W. La contruction de ur et de ou-olution expoée ciaprè fait intervenir un taux auxiliaire b défini par b + b b =, b = = 1. (18 Le ur- et ou-olution ont définie par { λ + 2 Ū(, := 2 a 4 b µ 4 i c b 1/3, b 1/3 F ( b1/3 i c b 1/3, λ a 4 bµ 4 i c b 1/3, (, := b 1/3 F ( b 1/3 i c b 1/3, pour de paramètre λ > 1, µ > 1, c, λ < 1, µ < 1 et de fonction F, F convenablement choii. Indiquon implement que la fonction F et croiante, que F et concave, et qu il exite ( c b 1/3 tel que (, ( =. Le comportement de la fonction b, qui intervient à pluieur reprie dan le ur- et ouolution, et piloté par le lemme uivant : Lemme 5. On uppoe qu il exite de contante K >, η > et ɛ > telle que pour tout [, 1 ], b + b 2 K 2+η, 1 ɛ b( 1 + ɛ. 15

16 Pour, on définit b par (18. Alor i et uffiamment grand, pour tout, 1 2ɛ b( 1 + 2ɛ. Le premier réultat et un encadrement de (, : Propoition 7. On uppoe que le hypothèe du Lemme 5 ont vérifiée et que, pour un choix convenable de paramètre λ > 1, µ > 1, c, λ < 1, µ < 1 et de fonction F, F, on a W (, ψ W (, ψ ψ, W (, ψ W (, ψ ψ [, φ( ], où φ( > et défini par l équation implicite W (, φ( =. Alor pour tout,, (, inf ( Ū(,, E (, et pour tout, (, (, pour tout c b 1/3, et (, C 2/3 pour c b 1/3. On utilie enuite de cette première etimation de etimation ur le dérivée ucceive de, qui permettent à leur tour d obtenir de etimation raffinée ur la fonction elle-même. On ne donne ici que l encadrement de, et on renvoie à [1] pour le rete de etimation. Lemme 6. On uppoe que le hypothèe de la Propoition 7 ont vérifiée. On uppoe de urcroît qu il exite de contante C 1, C 2 telle que up ( 1 C 1 1 2, C 2 (, 1. Alor il exite de contante C 1, C 2, c telle que C 2 1 [, 1 ],, 1 C 1b 2 [, c 1/3 ]. On en déduit immédiatement l encadrement raffiné uivant ur et : Corollaire 1. On uppoe que le hypothèe du Lemme 6 ont vérifiée. Alor il exite de contante c, C > telle que pour tout [, 1 ], pour c 1/3, 1 + C b 3 (, 1 +, Cb 4 (, On montre également de etimation imilaire ur 3, 4. On renvoie le lecteur à [1] pour le énoncé exact de ce réultat. 16

17 5 Argument de boottrap L argument de boottrap réide en l utiliation conjointe de la Propoition 6 d une part, et de la Propoition 7 et du Lemme 6 d autre part. Dan toute la uite, on appellera donnée initiale bien préparée une donnée initiale ( qui vérifie le hypothèe de la Propoition 7 et du Lemme 6, et telle que E 2 ( C 4 2η, b( 1 ɛ pour une contante C indépendante de et pour un certain η > tel que η < η, où η et le paramètre donné par la Propoition 6. Le chéma du raionnement et le uivant : i on part d une donnée initiale bien préparée, alor il exite 1 tel que i [, 1 ], E 2 ( 2C 4 2η et b( 1/ 2ɛ/. Alor, pour tout [, 1 ], d aprè la Propoition 7 et le lemme 6, on en déduit que pour c 1/3, C 1b 2 1, 1 + C b 3 (, 1 +, Cb 4 (, Le hypothèe de Propoition 3, 4 et 6 ont alor vérifiée et on en déduit que b + b 2 E 2 ( 1/2 C 2 η. Comme on a choii α > η, en prenant uffiamment grand, on en déduit que C 2 η (3C /2 1/2 2 η pour tout. De plu, on a le réultat uivant : Lemme 7. On uppoe qu il exite K >, η > et δ > tel que pour tout [, 1 ], Alor b + b 2 K 2+η, 1 δ b( 1 + δ. b( 1 (1 + δ 1 b( K(1 + δ(1 δ 2 (1 η η. (19 En particulier, i et uffiamment grand, pour tout [, 1 ], b( 1 3δ 2. On en déduit donc que 1 := inf{, E 2 ( = 2C 4 2η ou b( 1/ = 2ɛ/} = +. Par conéquent, b + b 2 = O( 4 η, b 1/ = O( 1 η. 17

18 On revient enuite aux variable d origine : on rappelle tout d abord que b = 2λ /λ, d où l on déduit ln λ( = 1 b = 1 λ 2 2 ln + φ(, où φ( = 1/2 (b 1/, de orte que φ et bornée et a une limite finie φ quand +. On en déduit que ( 1/2 λ( = λ exp(φ(. Il enuit que pour, pui φ x x( e4 2 λ4, λ(x exp( φ λ x x. En choiiant = λ 2, on obtient le réultat annoncé. Remerciement Anne-Laure Dalibard a reçu un financement partiel du projet ANR Dyficolti ANR-13-BS Référence [1] Anne-Laure Dalibard and Nader Mamoudi, A mathematical proof of boundary layer eparation, in preparation, 215. [2] Weinan E, Boundary layer theory and the zero-vicoity limit of the Navier-Stoke equation, Acta Math. Sin. (Engl. Ser. 16 (2, no. 2, [3] S. Goldtein, On laminar boundary-layer flow near a poition of eparation, Quart. J. Mech. Appl. Math. 1 (1948, [4] L. D. Landau and E. M. Lifhitz, Fluid mechanic, Tranlated from the Ruian by J. B. Syke and W. H. Reid. Coure of Theoretical Phyic, Vol. 6, Pergamon Pre, London- Pari-Frankfurt ; Addion-Weley Publihing Co., Inc., Reading, Ma., [5] Frank Merle and Pierre Raphael, On univerality of blow-up profile for L 2 critical nonlinear Schrödinger equation, Invent. Math. 156 (24, no. 3, [6], The blow-up dynamic and upper bound on the blow-up rate for critical nonlinear Schrödinger equation, Ann. of Math. (2 161 (25, no. 1, [7] O. A. Oleinik and V. N. Samokhin, Mathematical model in boundary layer theory, Applied Mathematic and Mathematical Computation, vol. 15, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, [8] K. Stewarton, On Goldtein theory of laminar eparation, Quart. J. Mech. Appl. Math. 11 (