Chapitre II La théorie de la production et des coûts

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1 Chaitre II La théorie de la roduction et des coûts

2 . Asects techniques. Concets de base Notation Soit y = (y,..., y l ) un vecteur de roduction nette où y h = b h -a h b h, a h 0 y h < 0 : inut si : b h = 0 i.e. y h = -a h b h < a h b h - a h < 0 y h > 0 : outut si : a h = 0 i.e. y h = b h b h > a h b h - a h > 0 Ensemble de roduction ou ensemble technologique : P Définition : L ensemble de roduction est l ensemble de tous les vecteurs de roduction nette qui sont techniquement ossibles (réalisables). On écrit alors y P Remarque L ensemble P déend du roducteur. C est donc dire que chaque roducteur j aura son ensemble P j. Fonction de roduction Rerésentation de l ensemble de roduction ar une fonction numérique. Définition : Une fonction de roduction est une fonction f : R l R telle que

3 f(y, y,..., yl) 0. (y, y,..., y l ) P f(y,..., y l ) 0. Efficience technique Définition : y est techniquement efficace si y P et s il n existe as y P tel que y h ² y h, h =,,..., l. Ex. y = 5 est techniquement efficace s il n existe as y² P : y² = 4 6 Pour l ensemble de roduction : les vecteurs techniquement efficaces vont aartenir à la frontière de P our la fonction de roduction : f(y, y,..., y l ) = 0 y est techniquement efficace f(y) = 0 y est techniquement réalisable f(y) 0 Remarque sur la fonction de roduction Soit f(y, y,..., y l ) = 0 la forme générale. De cette forme générale, on eut tirer la forme articulière suivante : f(y, y,..., y l ) = y - g*(y, y,..., y l ) = 0

4 ou y = g*(y, y,..., y l ) En utilisant la notation «a h, b h», on eut aussi écrire : b = g*(-a, -a,..., -a l ) b = g(a, a,..., a l ) forme usuelle des manuels Rerésentation grahique de P (efficience technique) Considérons le cas d une activité de roduction imliquant un seul outut bière) et un seul inut -y = a (disons le travail) (voir grahique -0) y = b disons la - 0 y =b C D B A P y =g(a ) ou f(y,-y )=0 -y =a Tout les oints (vecteurs) de P ne sont as d un intérêt égal. Ainsi, le oint A semble en un sens «inférieur» aux oints B ou C : c est qu on eut obtenir autant de bière en B our moins de travail ou lus de bière en C our le même travail. B et C sont techniquement efficaces ( P) ; A est réalisable mais non techniquement efficace. A est un vecteur (y, -y ) tel que f(y, -y ) < 0.

5 En général, y efficace f(y) = 0 mais l inverse n est as nécessairement vrai : ex., le oint D. Remarques : Une fonction de roduction ne nous ermet as de tenir comte à la fois du hénomène de roortionnalité ou de coefficients fixes (comlémentarité des inuts) utilisé ar Marx ou Walras et de la ossibilité de substitution entre les inuts utilisés ar Pareto. Toutefois, l aroche moderne basée sur les ensembles de roduction eut tenir comte de ces deux asects. C est donc une aroche lus générale. Dans certains cas, il eut être intéressant de sécifier davantage le contexte dans lequel la technologie de la firme est définie. Par exemle, à court terme, certains inuts euvent être fixés alors qu ils deviendront variables à long terme. Cela aura évidemment un imact sur les ossibilités techniques de la firme. On distinguera alors la fonction de roduction (ou ensemble de roduction) à court et à long terme.. Étude de la fonction de roduction : forme articulière.. Notation y = g*(y,..., y l ) b = g (a,..., a l ) Exemles. La technologie Cobb-Douglas b = Aa α a β α, β > 0. La technologie Leontief b = min(αa, βa ) α, β > 0.. Rerésentation grahique 4

6 ) La technologie Cobb-Douglas : Posons b = b la fonction s écrit b = a α a β (voir grahique -0) équation de la courbe isoquante : a = b /α -β/α a a - 0 ensemble de roduction P : { (a, a ) a α a β b } P ) La technologie Leontief Posons b = b La fonction s écrit : b = min (αa, βa ) b = b a Isoquante - 0 (voir grahique -0) a ente = α β b b = b = b a.. TMST et Pm Hyothèse de base : g est deux fois continûment dérivable ( g C²) g r g = = a r b a r existent et sont continues g rs = g a a = a b a r s r s existent et sont continues Considérons la différentielle totale de g : db = g da + g da g l da l 5

7 Posons db = 0 et da h = 0 sauf our h = r, s 0 = g r da r + g s da s da da r s gs = = ente de l isoquante g r = TMST (taux marginal de substitution technique) (voir grahique -0) a - 0 P b = b Isoquante a Le TMST définit l efficacité relative de l inut r ar raort à l inut s, i.e. combien d inut r sulémentaire on doit fournir suite à une diminution de une unité de l inut s our garder le même niveau d outut. Posons da h = 0 sauf our h = s db = g s da s db gs da = = ente de la fonction de roduction s = P m, roductivité marginale de l inut s 6

8 - 04 ( voir grahique -04 ) b =y y = g (a s ) a s =-y s Exemle : La technologie Cobb-Douglas b = g(a, a ) Q = A K α L β dy = g da + g da da / da = -g / g ( TMST ) db / da = g ( Pm ) db / da = g ( Pm ) dk/dl = -β/α K/L ( TMST ) dq / dk = Aα K α- L β (Pm K ) dq / dl = Aβ K α L β- (Pm L)..4 Rendements marginaux et rendements à l échelle Rendements marginaux Ce concet fait référence à la façon dont la roductivité marginale d un facteur varie lorsqu on augmente (dimimue) l utilisation de ce facteur. Loi des rendements marginaux décroissants : «Si on augmente la quantité d un facteur variable en maintenant fixe l utilisation de tous les autres inuts, il est un oint au-delà duquel la roduction totale augmente à un rythme sans cesse décroissant». 7

9 ( voir grahique -05 ) - 05 y y = g (a s ) a s =-y s y a s = g s P m a s =-y s Exemle : utilisation de fertilisants sur une terre agricole. Rendement à l échelle Ce concet fait référence à la façon dont la roduction ou l outut varie lorsque tous les facteurs de roduction varient dans la même roortion. Définition : Soit b = g(a, a,..., a l ). On dira que la fonction de roduction est caractérisée ar des rendements à l échelle : 8

10 croissant : > constants : ssi g(λa, λa,..., λa l ) = λg(a, a,..., a l ) décroissants : < Lien avec les fonctions homogènes : Si g est une fonction homogène de degré k, g est caractérisée ar des rendements à l échelle : croissants: k > constants : ssi k = décroissants : k > Exemle : Q = A K α L β est homogène de degré ( α + β ) Remarques : ) L hyothèse la lus fréquente est celle des rendements à l échelle non croissants (en articulier, si on a des rendements à l échelle constants, cette hyothèse est satisfaite). ) Qu est-ce qui eut causer des rendements décroissants lutôt que constants? Le fait, ar exemle, qu on ait mal identifié tous les inuts qui interviennent dans une oération roductive. Exemles : la terre dans une entrerise agricole ; le tems ou la caacité de travail d un chef d entrerise. ) Qu est-ce qui eut causer des rendements croissants? La résence d indivisibilités imortantes (ou, en d autres termes, des coûts fixes imortants). 4) L hyothèse des rendements à l échelle non croissants (i.e. rendements constants ou décroissants) est une hyothèse de «facilité» (en ce sens qu elle facilite beaucou les 9

11 choses d un oint de vue urement technique). Toutefois, elle n est as des lus «réalistes». Rendements marginaux vs rendements à l échelle Ne as confondre les deux concets. La résence de rendements à l échelle constants n est as contradictoire avec celle des rendements marginaux décroissants. Exemle : b = a ½ a ½ o g(λa, λa ) = (λa ) ½ (λa ) ½ = λ a ½ a ½ = λ g(a, a ) = λb rendements à l échelle constants o g = b / a = ½ a -½ ½ a g = ²b / a ² = -¼ a -/ ½ a < 0 (i.e. la Pm de l inut a est décroissante) rendements marginaux décroissants...5 Hyothèses usuelles our la fonction de roduction g H. g est deux fois continûment dérivable g C² H. g r = g / a r = b / a r > 0 our r =,..., l H. g est ( strictement ) concave : i.e. ζ G ζ (<) 0 ζ 0 0 ζ 0

12 où G = g g L a a a M O M g g L a l a a l l est la matrice hessienne de g g rr = ²g / a r ² = ²b / a r ² 0. Étude de la fonction de roduction : forme générale.. Notation ƒ(y, y,..., y l ) = 0 Exemles. y ² + 5y ² - 4y y 4 = 0. y ² + y ² -y y 4 = 0.. Rerésentation grahique d une fonction de roduction générale à l aide d un exemle On considère la fonction de roduction suivante : ƒ(y, y, y, y 4 ) = ay α + by β + cy γ y δ 4 = 0 avec y, y oututs y, y 4 inuts i) osons : y = y, y 4 = y 4 cy γ y δ 4 = constante la fonction s écrit : ay α + by β = cte

13 ( voir grahique -06 ) - 06 y courbe de ossibilités de roduction ou courbe de transformation P y ( sur le grahique, α = β = ; a = b ) Ici, P rerésente l ensemble des roductions ossibles à artir des inuts y = y et y 4 = y 4. ii) Posons y = y, y = y. ay α + by β = cte la fonction s écrit : cy γ y 4 δ = constante ( voir grahique -07 ) -y 4 =a 4-07 P Isoquante -y =a ( sur le grahique, γ = δ = )

14 Ici, P rerésente l ensemble des vecteurs d inuts comatibles avec un niveau d oututs donné (ou ermettant d atteindre un niveau d oututs donné). Sur l isoquante, on retrouve les vecteurs d inuts techniquement efficaces. iii) Posons y = y, y 4 = y 4. la fonction s écrit : ay α γ + cte = dy ( voir grahiques -08 ) - 08 rendements décroissants y rendements constants y P P y y y rendements croissants P y.. TMT, TMST et Pm Hyothèses de base : ƒ est deux fois continûment dérivable (ƒ C²) ƒ r = ƒ / y r et ƒ r,s = ²ƒ / y r y s existent et sont continues Considérons la différentielle totale de ƒ :

15 dƒ = ƒ dy + ƒ dy ƒ l dy l Posons dy h = 0 sauf our h = r, s. ƒ r dy r + ƒ s dy s = 0 dy r / dy s = -ƒ s / ƒ r er cas : r, s sont des oututs ( voir grahique -09a) ) y r -09 a) dy r / dy s = -ƒ s / ƒ r = ente de la courbe de transformation = TMT = Taux marginal de transformation 0 y s ème cas: r, s sont des inuts ( voir grahique -09b) ) y r 0 dy r / dy s = -ƒ s / ƒ r = ente de l isoquante = TMST = Taux marginal de substitution technique. -09 b) y s 4

16 ème cas : r (disons r = ) est un outut, s est un inut. ( ƒ(y,..., y l ) = y - g*(y,..., y l ) = 0 ) ( voir grahique -09c) ) dy / dy s = -ƒ s / ƒ = -ƒ s -09 c) y r = ente de la fonction de roduction = Pm de l inuts y s 0..4 Hyothèses usuelles sur la fonction de roduction ƒ ƒ(y,..., y l ) = 0 H. ƒ est deux fois continûment dérivable ƒ C² H. ƒ / y > 0, où f y f f f =,, K, y y y l avec ƒ h > 0 our h =,,..., l H. ƒ est strictement quasi-convexe ζ F ζ > 0 our ζ 0 ζ ƒ/ y = 0 5

17 où F = f f L y y y M O M f f L y l y y l l est la matrice hessienne de F. DÉCISIONS DE L ENTREPRISE (MAXIMISATION DES PROFITS). Équilibre du roducteur Le roblème : On suose que la technologie du roducteur est rerésentable ar une fonction de roduction : ƒ(y, y,..., y l ) = 0 où ƒ satisfait aux hyothèses usuelles. Le roblème du roducteur eut s écrire : Max π = y = y sujet à ƒ(y) = 0 l h= h h Ce qui revient à maximiser le lagrangien suivant : Max y,µ L = l h= y h h - µ[ƒ(y, y,..., y l )] En résolvant ce roblème, on obtient : ) L y h µ f = h h =,,..., l y h 6

18 ) L/ µ = -ƒ(y, y,..., y l ) et les dérivées remières s annulent au oint où le vecteur y = (y, y,..., y l ) est otimal. Autrement dit, les équations () et (), lorsquelles s annulent, sont les conditions nécessaires our avoir un équilibre du roducteur. Interrétation des conditions d équilibre ) h µ f y h = 0 h =,,..., l ) -ƒ(y, y,..., y l ) = 0 Une solution y o = (y o, y o,..., y l o ) de ce système d équations est un équilibre du roducteur. Considérons la condition () our h = r, s. On a : ) r = µƒ r 4) s = µƒ s De (4), on a : µ = s / ƒ s et, en substituant dans (), on trouve : s / r = ƒ s / ƒ r interrétations ossibles : er cas : r et s sont des oututs ƒ s / ƒ r = s / r TMT = raort des rix des oututs ème cas : r et s sont des inuts ƒ s / ƒ r = s / r TMST = raort des rix des inuts ème cas : r est un outut, s est un inut 7

19 ƒ s = s / r Pm r = rix de l inut s roductivité marginale de l inut s en valeur (Facultatif) Existence des fonctions d offre nette Le système () et () est un système de l+ équations à l+ variables : y, y,..., y l, µ, d une art, et,,..., l, d autre art. Question : Peut-on exrimer les remières variables (y, y,..., y l, µ) en fonction des secondes (,,..., l )? Par le théorème des fonctions imlicites, la réonse est «oui» si la matrice jacobienne du système d équations () et () est de rang maximal. Il s agit donc de vérifier si la matrice suivante µ f µ f L µ f µ f µ f L µ f M µ f µ f L µ f f f L f l l l l l ll l 0 M f f f = µ F f y ' 0 f y (évaluée en b o = (y o, y o,..., y l o, µ o, o, o,..., l o )) est de rang maximal. Si c est le cas, on eut alors affirmer l existence des fonctions d offre nette et écrire : y h = s h (,,..., l ) h =,,..., l fonctions d offre nette µ = µ*(,,..., l ) De lus, ces fonctions sont continues dans un voisinage de ( o, o,... o l ). Étude du comortement du roducteur autour de l équilibre 8

20 Soit y = s() le système d offre nette. Considérons la différentielle totale de ce système. On a sous forme vectorielle (matricielle) : dy = y d = Yd y où Y = est la matrice des effets-rix. Étudier le comortement du roducteur autour de l équilibre revient à étudier les roriétés de cette matrice d effets-rix. (Facultatif) L équation fondamentale du roducteur On considère les conditions d équilibre (CPO) du roblème du roducteur ) h - µ ƒ/ y h = 0 h =,,..., l ) -f(y, y,..., y l ) = 0 Cela donne un système de l + équations que l on dérive ar raort à,,..., l. On obtient alors, sous forme condensée, l équation matricielle µ F ' f y f Y y I µ 0 = 0 l équation fondamentale du roducteur y où F est la matrice hessienne de ƒ et Y = la matrice des effets-rix. En utilisant l équation fondamentale du roducteur, on eut facilement rouver les roriétés des fonctions d offre nette, ces roriétés se traduisant ar des caractéristiques bien récises que la matrice des effets-rix, Y = y, doit resecter. 9

21 Les fonctions d offre nette et leurs roriétés On considère la différentielle totale des fonctions d offre nette, dy = y d = Yd La matrice Y est caractérisée ar les roriétés suivantes : i) Y Y (symétrie) les effets-rix croisés sont égaux ; ii) Y 0 (homogénéité) les fonctions d offre nette sont homogènes de degré zéro dans les rix ; iii) ζ Y ζ > 0 our ζ θ les fonctions d offre nette ont une ente ositive. Exemle Soit la fonction de roduction ƒ(y, y, y ) = y y y = 0 où y est un outut dont le rix est et y, y des inuts dont les rix sont et. Cette fonction eut aussi s écrire y = a a (a = -y, a = -y ) et on eut facilement vérifier que ses rendements à l échelle sont décroissants : y = g(a, a ) = a a g(ta, ta ) = (ta ) / (ta ) / = t / a a = t / g(a, a ) y est homogène de degré / < rendement à l échelle décroissants. 0

22 Le roblème du roducteur est de maximiser y + y + y sous la contrainte y y y = 0. Ce qui revient à maximiser le lagrangien : Max y, y, y,µ L : y + y + y - µ( y y y ) Les conditions nécessaires et suffisantes our avoir un maximum sont : ) L y = µ = 0 ) L y = + µ y y = 0 ) L y = + µ y y = 0 4) L µ = y y y = 0 de () et (), on obtient : / = y / y y = ( / ) y (5) remlaçons dans () : = y y = y y * = 8 7 Les conditions nécessaires deviennent suffisantes en autant que les hyothèses usuelles sur la fonction de roduction soient resectées.

23 et de (5) y * = 8 7 Si on substitue y * et y * dans (4), on obtient : y * = = 8 9 y *, y * et y * sont les fonctions d offre nette à artir desquelles on eut construire la matrice des effets-rix Y. Il suffit de dériver chacune des fonctions d offre nette ar raort à, et. Ce faisant, on obtient : Y = Il est facile de vérifier les roriétés de cette matrice : ) Y Y : évident, uisque la matrice est symétrique ; ) Y 0 : il suffit de multilier Y avec ; ) ζ Y ζ > 0 our ζ θ : les fonctions d offre nette ont une ente ositive uisque tous les éléments de la diagonale sont ositifs.. La fonction de rofit et ses roriétés

24 Définition : Soit y h () = s h (,..., l ) la fonction d offre nette du bien h. La fonction de rofit est donnée ar : π() = y l h= h h () = s (,..., l ) + s (.) l s l (.) À chaque niveau de rix, la fonction de rofit indique le rofit maximum. Proriétés i) π(.) est non décroissante en h si h est un outut ; non croissante en h si h est un inut ; ii) π(.) est homogène de degré en, i.e. π(t,..., t l ) = tπ(,..., l ) iii) π(.) est convexe en, i.e. π hh > 0, h =,,..., l ; π π π π 0 π π π π π π 0,... π π π ar exemle, our π(, ), on a : π 0, π 0 π π - π ² 0 Lemme d Hotelling Soit y h = s h (,,..., l ) la fonction d offre nette du bien h. Alors y h = s h (,,..., l ) = π ( ),..., l h h =,,..., l

25 Remarques : π / h = b h (.) π / h = -a h (.) si h est un outout si h est un inut Retour sur les roriétés des fonctions d offre nette a) y h / h 0 h =,,..., l b) y r / s = y s / r r, s =,,..., l quelle que soit la technologie.4 Un cas articulier : un outut avec un seul inut Présentation du roblème données, aramètres, variables exogènes,, b = g(a ) variables de décision b, a critère max π exression de la solution : fonctions de comortement ou fonction de réaction de l entrerise à (, ) a * = a (, ) b * = b (, ) Hyothèses i) l entrerise cherche à maximiser π ; ii) l entrerise est «rice-taker», donnés,, > 0 ; iii) les contraintes techniques euvent s exrimer : b = g(a ) ; 4

26 iv) g satisfait aux hyothèses usuelles : o g C² o g/ a = g > 0 o ζ G ζ < 0 ζ 0 Le roblème Max b, a π = b - a s.c. b = g(a ) ) π = g(a ) - a ) Max a g(a ) - a [ g(a ) - a ] / a = 0 ) g (a *) - = 0 4) g (a *) < 0 Conditions nécessaires et suffisantes. De (), on a : a * = a (, ) fonction de demande Or, b = g(a ) b * = b (, ) fonction d offre Interrétation des conditions d équilibre Réécrivons () de la façon suivante : ( ) g (a *) = ( ) = /g = dc/db Valeur de la roductivité marginale d un travailleur additionnel coût marginal d un travailleur additionnel Recette marginale de l entrerise Coût marginal ( voir grahique -0 ) 5

27 -0 dc g (a ) db a * a b Statistique comarative On considère la différentielle totale de () : (5) g (a *) d + g (a *) da - d = 0 Posons d = 0. L équation (5) eut s écrire sous la forme (6) a / = / g (a *) < 0 ente de la demande d inut Posons d = 0. L équation (5) devient : (7) a / = -[g (a *)/ g (a *)] > 0 effet de sur la demande d inut. Puisque b * = g(a *), on a : b b b * * = * a b * * = * a a a * * Ainsi, 6

28 b * (8) = g ( a ) a > 0 ente de la fonction d offre. b * (9) = g ( a ) a < 0 effet de sur l offre. ( voir grahique - ) - b b * π * b π = + a Décisions de l'entrerise et fonctions d'offre et de demande concurrentielle roduisant un outut avec un seul inut. a a a a g P Demande d'inut g = b a PM b = = a g ( a ) a Pm b = = a g a =a (, ) a a a a * a Cm CM c b = g P offre b =b (, ) CV b a = = b b a π < 0 g ( a ) ( ) b = ( ) g a g a b 7

29 Résumé Une entrerise qui maximise π = b - a sous réserve que b = g(a ), choisit le niveau d outut otimal sur sa fonction d offre b * = b *(, ) qui a des dérivées ( b / ) 0 et ( b / ) 0 et our laquelle = dc/db Min c/b. Le niveau otimal d inut est donné ar la fonction de demande a * = a *(, ) qui a des dérivées artielles ( a / ) 0 et ( a / ) 0 et our laquelle = g. Exemle Production d un outut avec un seul inut La technologie du roducteur est donné ar la fonction de roduction : b = α - βa - et et sont les rix de b et a. On a : db /da = βa - > 0 et d²b /da ² = -βa - < 0 (α, β > 0) donc la fonction de roduction resecte les hyothèses usuelles. Le rofit : π = b - a π = (α - βa - ) - a = α - βa - - a Max a π π/ a = βa - - = 0 d où a * = ½ β ½ -½ = a *(, ) On eut alors facilement trouver la fonction d offre nette b * = b *(, ) = α - β(a *) - 8

30 = α - β( ½ β ½ -½ ) - = α - ½ -½ β ½ On a donc : a * = a *(, ) = ½ β ½ -½ b * = α - ½ -½ β ½ Alors : a * / = -½ ½ β ½ -/ < 0 a * / = ½ -½ β ½ -½ > 0 b */ = ½ β ½ -/ ½ > 0 b */ = -½ β ½ -½ -½ < 0 La fonction de demande de l inut a une ente négative. L augmentation du rix de l outut entraîne une augmentation de la demande en inut la fonction d offre de l outut a une ente ositive. l augmentation du rix de l inut entraîne la diminution de l offre d outut.. FONCTION DE COÛT. Définition Relation qui, à chaque niveau de roduction, associe la valeur minimum des inuts ermettant cette roduction. Remarques : ) On eut élaborer la théorie de l entrerise à artir de la fonction de coût (en général, c est lus simle!). Mais il y a des inconvénients à rocéder de cette manière : a) la relation entre valeur des inuts et quantité roduite déend des rix h des divers inuts ; ainsi, lorsque les rix h des inuts changent, la fonction de coût se modifie. 9

31 Autrement dit, la fonction de roduction semble être une notion lus fondamentale qui décrit les contraintes techniques quels que soient les rix. b) une théorie de l entrerise basée sur les fonctions de coût s insère mal dans une théorie de l équilibre général qui traite les rix endogènes lutôt que donnés à riori. ) On considère une fonction de roduction du tye : b = g(a, a,..., a l ) et on considère que les marchés des inuts sont concurrentiels, i.e. les h (h =,,..., l) sont donnés à l entrerise. ) Le coût est donné ar : C = l h= a h h. Équilibre de l entrerise en étaes Présentation du roblème ( étaes) Étae : On cherche la fonction de coût, i.e. our chaque niveau de roduction b, on détermine la combinaison (vecteur) d inuts a, a,..., a l qui minimise le coût. Ceci nous ermet de calculer C our chaque b. On obtient alors la fonction de coût C(b ). Étae : On choisit b de manière à maximiser le rofit π = b - C(b ). 0

32 Illustration à l aide d un cas articulier On considère un outut b à artir de deux inuts a et a Minimiser le coût total our chaque Décomosition choisir b * qui maximise le rofit valeur de b ceci revient à chercher l allocation otimale des inuts our un certain niveau de roduction : π = b - C(b ) VAR EXO : (, ) et b VAR EXO :,, VAR ENDO : a, a VAR ENDO : b Solutions a * = a (,, b ) a * = a (,, b ) C = a * + a * = a (.) + a (.) = C (,, b ) fonctions de demande conditionnelle Solutions : b = s (,, ) fonction d offre Illustration grahique Minimiser ( a + a : (b, a, a ) P) a, a C = a + a a = C/ - ( / ) a droite de l isocoût ( voir grahique - ) ente de l isocoût

33 a - P a * b a * c 0 c c a ici, la combinaison d inuts qui minimise le coût est (a *, a *) C = a * + a * = C² =, = C(A) = C(b = 00) = 0 C(B) = C(b = 00) = 08 C(C) = C(b = 00) = 4 ( voir grahiques - a) et b) ) a - a) C Dérivation de la fonction de coût (min. des coûts) A B b =00 b =00 b =00 Problème : our un niveau donné d outut, on doit chercher la coût b) a combinaison d inuts qui 00 ermet de roduire cette quantité d outut au 00 moindre coût b

34 Min C = a l h= h h s.c. b = g(a,..., a l ) b = b b = g(a,..., a l ) ou (b, a,..., a l ) P Exemle : Min C = a + a s.c. b = g(a, a ) [ou s.c. (b, a, a ) P] Variables exogènes :,, b Variables endogènes : a et a Formalisation (cas articulier) Le roblème revient à minimiser le lagrangien suivant : Min L = a + a + θ[b - g(a, a )] En résolvant, on trouve : L () = θ g = a () () L a 0 = θ g = 0 L = b - g(a, a ) = 0 θ conditions de remier ordre De () et (), on a : = g g = da da

35 raort des rix des inuts, ente de l isocoût TMST, ente de l isoquante a -4 g g = ( voir grahique -4 ) P P b a À artir des conditions de er ordre, on eut trouver les fonctions de demande conditionnelle. a * = a (,, b ) a * = a (,, b ) et θ* = θ (,, b ) En substituant les fonctions de demande conditionnelle dans la définition du coût, on trouve la fonction de coût : C = a * + a * = a (.) + a (.) = C (,, b ) Remarques :. La minimisation des coûts g = g 4

36 g h = h h =, car b n est as nécessairement le niveau otimal d outut.. Les fonctions de demande conditionnelle satisfont les roriétés suivantes : i) a / = a / ii) les fonctions a (.) et a (.) sont homogènes de degré 0 en et. iii) a h / h < 0 h =,. Signification de θ* : o C = a + a dc = da + da + a d + a d = da + da si d = d = 0 o b = g(a, a ) db = g da + g da o dc db dc db da = gda + da + gda θ * gda + θ * gda = gda+ gda = θ* Ainsi, θ* rerésente le coût marginal à l équilibre du roducteur. Dérivation de l offre (maximisation des rofits) On cherche b qui maximise le rofit : () π = b -C(b ) π dc = = 0 (rix = Cm) b db 5

37 () π b dc = ou db 0 dc db (Cm croissant ou constant) 0 La condition de er ordre nous ermet de trouver la fonction d offre : b = s(,, ). Analyse grahique : ( voir grahique -5 a) et b) ) P CM Cm -5 a) -5 b) C Cm P CM Cm CM b * b b Question : Les conditions nécessaires sont-elles suffisantes our assurer l existence d un équilibre? er cas : L équilibre n est as unique a) il existe deux oints tels que = Cm ; ceendant, le deuxième cas est rejeté ar la condition de ème ordre. b) il existe lusieurs oints tels que = Cm ( voir grahique -6 a) ) 6

38 -6 a) Cm CM P b * b * ème cas : < Min CVM ( voir grahique -6 b) ) -6 b) Cm CM CVM b * 7

39 ème cas : ( voir grahique -6 c) ) -6 c) P Cm CM Remarque : b La minimisation des coûts eut être vue comme une étae dans la maximisation du rofit. Mais si on abandonne le contexte de la stricte concurrence, elle eut aussi décrire le comortement d une entrerise qui doit satisfaire une contrainte de roduction ou d outut b = b fixée de façon exogène.. Décisions de courte ériode vs décisions de longue ériode Décisions de longue ériode Ces décisions ortent sur toute l organisation de la roduction (i.e. tous les inuts, y comris la taille de l équiement). Elle concerne donc le choix de l équiement et des rocédés de fabrication. Dans ce cas, l analyse récédente (en étaes) s alique telle quelle. Décisions de courte ériode L entrerise ne choisit as tous ses inuts car certains d entre eux sont rédéterminés. Dans ce cas, le roblème revient à étudier les conditions d emloi d une caacité de roduction déjà installée. 8

40 Dérivation de la fonction de coût de courte durée Problème : our un niveau donné d outut et un niveau donné d équiement, on doit chercher la combinaison (vecteur) d inuts qui ermet de roduire cette quantité d outut au moindre coût tout en utilisant la caacité de roduction donnée. Posons a l = a l. Le roblème revient à : Min C CT = a l h= h h s.c. b = g (a,..., a l ) b = b b = g(a,...,a l-, a l ) a l = a l Exemle : Min C CT = a + a s.c. b = g(a, a ) Variables exogènes :,, b et a Variables endogènes : a La solution nous donne a * et on trouve C CT = a * + a C CT (,, b, a ) Analyse grahique courte ériode : Cm CT ; CM CT longue ériode : Cm LT ; CM LT 9

41 ( voir grahique -7 ) -7 Cm LT Cm CT CM' CT P CM CT CM LT 0 * b CT b LT b.4 Proriétés de la fonction de coût Soit C(b,,,..., l ) la fonction de coût. C(b,,,..., l ) = a * l a l * = a (b,,..., l ) l a l (.) Cette fonction nous donne le coût minimum our roduire b aux rix,,..., l. Proriétés i) C(.) est non décroissante en (b,,..., l ) ii) C(.) est homogène de degré en (,..., l ), i.e. C(t,..., t l ; b ) = tc(,..., l ; b ). iii) C(.) est concave en (,..., l ) 40

42 C hh 0, h =,..., l ; c c c c 0 ; c c c 4 c c c 4 c c c ;... Lemme de Shehard Soit a r * = a r (,..., l ;b ) la fonction de demande conditionnelle du facteur r. Alors a r * = a r (,..., l ;b ) = (,..., ; ) C b l r our r =,,..., l. Retour sur les roriétés des fonctions de demande conditionnelles a) a h / h 0 h =,,..., l b) a r / s = a s / r r, s =,,..., l (facultatif) Liens entre la fonction de coût et la fonction de roduction. Les rendements marginaux décroissants imliquent que la fonction de coût tourne sa concavité vers le haut. ( voir grahique -8 ) -8 b C b = g ( a ) Cm CM 0 a 0 b. Le coût marginal est constant lorsque la fonction de roduction satisfait l hyothèse des rendements à l échelle constants. 4

43 . Soit CM = C/b le coût moyen. Ce dernier est croissant ou décroissant suivant qu il est inférieur ou suérieur au coût marginal. Exemle Rerenons l exemle avec la fonction de roduction b = a a Il s agit maintenant de trouver la fonction de coût C(,, b ). Pour ce faire, on minimise le coût C = a + a, sous contrainte que a a = b. Formons le lagrangien : L = a + a - θ( a a - b ). Les conditions nécessaires et suffisantes our obtenir un minimum sont : ) ) ) L a L a = θ a a = = θ a a = L = a θ a - b = De () et (), on obtient : / = a /a d où a = ( / ) a Substituons dans () : a a = b a = b a * = b 8 et a * = b 8 4

44 a * et a * sont les fonctions de demande conditionnelle. La fonction de coût C(,, b ) est alors : b b a * + a * = = b = (½b 8 ³ ) ½ C (,, b ) = (½b ³ ) ½ Avant d aller lus loin, on veut vérifier quelques-unes des roriétés des fonctions de demande conditionnelle et de la fonction de coût. a) Les fonctions de demande conditionnelle sont homogènes de degré 0 en, : a * = a (,, b ) = b 8 a (t, t, b ) = b 8 t t = b 8 = a (,, b ) a est homogène de degré 0 en et, et le résultat est identique our a. Interrétation économique de l homogénéité de degré 0 en et des fonctions de demande conditionnelle. L homogénéité de degré 0 en et imlique que la variation du rix de chacun des inuts a et a dans les mêmes roortions ( et doublent ou sont réduits de moitié, ar exemle) n aura aucun imact sur les demandes conditionnelles. 4

45 C est normal : si les rix varient dans les mêmes roortions, alors le raort des rix ( / ) ne change as. Dans ce cas, uisque b est fixé, les quantités qui minimisent le coût ne euvent as changer : ( voir grahique -9 ) -9 a a a * a' a* b P P b a * a a' a* a Si le raort des rix changeait, la ente de la droite d isocoût changerait et les demandes conditionnelles seraient (a, a ) lutôt que (a *, a *) comme le démontre le grahique de droite. Donc, si le raort des rix ne change as, les demandes conditionnelles seront les mêmes. Ceendant le coût minimum our roduire b sera différent, bien entendu. b) a */ = a */ b a */ = = 8 b a */ = = 8 b 8 b 8 44

46 b c) a */ < 0 : = b 8 < 0 8 De même, a */ < 0. d) C(,, b ) est homogène de degré en et : C(t, t, b ) = (½ (t ) (t ) b ³) ½ = t(½ b ³) ½ = tc(,, b ) C(,, b ) est homogène de degré en et. Remarquons d autre art qu il suffit de dériver la fonction de coût ar raort à et our retrouver les fonctions de demande conditionnelle :(alication du Lemme de Shehard). C(,, b )/ = ½ (½ b ³) ½ -½ = b 8 = a * C(,, b )/ = ½ (½ b ³) ½ -½ = b 8 = a * Finalement, montrons que θ* est bien égal au coût marginal de b, i.e. θ* = C/ b. De () (voir conditions de remier ordre), nous avons : = θ a a Substituons a * et a * our obtenir : 45

47 = / θ b 8 6 b 8 6 = 6 6 b b θ * = θ * 8 θ* = θ * b = / (½b ) ½ Donc θ* = / (½ b ) ½ D autre art : C/ b = [(½ b ³) ½ / b = / (½ b ) ½ On obtient, tel que révue : θ* = C/ b. Arès avoir trouvé la fonction de coût, ce qui nous intéresse c est de déterminer quel est le b qui maximise les rofits. Le roblème à résoudre est donc : Max b π = b - C(,, b ) i.e, Max b π = b - (½ b ³) ½ La condition de remier ordre de ce roblème de maximisation : π/ b = - / (½ b ) ½ = 0 = / (½ b ) ½ ² = 9/8 b b * = 8/9 ( ²/ ) La fonction d offre b * est évidemment identique à celle que nous avions calculée à l exemle uisque la fonction de roduction est la même. Seule la démarche suivie est différente. 46

48 Décision de courte ériode Suosons que a soit fixé à a. Seul l inut a eut varier à court terme. On voudrait alors déterminer a * qui minimise a + a sous contrainte que b = a / a /. Ceendant, a est entièrement déterminé ar b et a : b = a / a / a / = b / a / a = b ³ / 8 a Il ne reste lus qu à déterminer b * qui maximise les rofits : Max b π = b - C(,, a, b ) i.e. Max b π = b - b 8a + a π/ b = - b 8a = b 8a = 0 b * = 8 a 47