CORRECTION DES EXERCICES DE MECANIQUE

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1 CORRECTION DES EXERCICES DE MECANIQUE Execice : système : bae AB Bilan des foces : Poids P : P = m g = 5 N Tension du essot : T T = k. l = k. (l lo) = 0 (0,43 0,8) T = 5 N Réaction de l axe en A : R A : appliquée en A, diigée selon la tige (foces concouantes : G est le point de concouance) sens : globalement ves le haut Le système est en équilibe : Σ F = 0 et Σalg M /axe = 0 P T RA = 0 α Résolution gaphique : comme Σ F = 0 les tois foces mises bout à bout foment un tiangle ectangle : R A = P F R A = 5,8 N Et tan α = F P = 5 α = 8 Execice : système : pote Bilan des foces : 5 Poids P : P = m g = 500 N Réaction en A : R A,appliquée en A, hoizontale et ves la gauche Réaction en B : R B : appliquée en B, diigée ves le point de concouance K (intesection de P et RA ) et oientée globalement ves le haut : de B ves K b avec tan α = α = a Le système est en équilibe : Σ F = 0 et Σalg M = 0 /axe P RA R B = 0 Résolution gaphique : comme Σ F = 0 les tois foces mises bout à bout foment un tiangle ectangle :

2 tan α = R A P R A = 06 N R A = P. tan α = P. b a R B = R A P R B = 5 N Aute méthode : utilise Σ alg M /axe = 0 On choisit l axe en B pou élimine le moment de R B. Le sens de otation choisi est le sens tigonométique : Donc P. b R A. a 0 = 0 Puis R B est calculée comme pécédemment. Execice 3 : AB = CD = EF = a BC = CE = a système : potence Bilan des foces : Poids P : négligeable Tension du câble : T T = M. g = 000 N R A = P. b a = 06 N K Réaction en D : R D appliquée en D, hoizontale et ves la gauche Réaction en A : R A : appliquée en A, diigée ves le point de concouance K (intesection de T et RD ) et de sens globalement ves le haut : de A ves K Le système est en équilibe : Σ F = 0 et Σalg M /axe = 0 On choisit l axe en A et comme sens de otation le sens tigonométique, ce qui donne : T. CF R D. AD 0 = 0 T. 3a R D. 4a = 0 Donc R D = 3a 4a. T R D = 3 4. T R D = 500 N Puis comme Σ F = 0 foment un tiangle ectangle : les tois foces mises bout à bout R A = T R D R A = 500 N

3 Execice 4 :. Roue en équilibe ou non? système : oue Bilan des foces : Poids P : Réaction de l axe en O : R Tension du fil en Α : T Τ = m g = N Tension du fil en Α : T Τ = m g = 0,5 N Le système est-il en équilibe? On calcule Σ alg M /O : Le sens de otation choisi est le sens tigonométique 3 Σ alg M /O = M P/O M R/O M T/O M T/O = 0 0 Τ. ΟΑ Τ. ΟΑ =. 0,5 0,5. 0,30 = 0,35 N.m Conclusion : la oue toune dans le sens positif choisi. Pou que la oue soit en, équilibe, le moment de la foce F appliquée au point B doit avoi une valeu négative et de valeu numéique égale à : 0,35 N.m. En conséquence la foce, hoizontale, appliquée en B sea oientée ves le doite. On peut donc écie que : M F/O = F. OB sin α M Donc F = F/O 0,35 = OB sin α 0,30. 0,5 = 0,35 0,5 F =,33 N Execice 5 : système : bae AB Bilan des foces : Poids P : P = m g = 0 N Tension du fil : T Réaction de l axe en A : R A : appliquée en A, diigée selon la tige (foces concouantes au point G) et de sens globalement ves le haut Le système est en équilibe : Σ F = 0 et Σalg M /axe = 0. Dans un pemie temps, On applique Σ alg M /axe = 0, en choisissant comme axe de otation le point A Le sens de otation positif est le sens tigonométique :

4 M P/O M R/O M T/O M T/O = 0 ce qui donne : P. L. cos β T. L. sin α 0 = 0 L se simplifie et ainsi : P. cos β = T. sin α 4 Et comme α = 30 et β = 60 P = T = 0 N. Dans un deuxième temps, on applique Σ F = 0 P T RA = 0 Pojection su un axe X X (le long de la bae AB) P. cos (90 β) T. cos α R A = 0 Comme α β = 90, on peut écie que : R A = P. cos α T. cos α R A = (P T). cos α R A = 34,6 N Execice 6 :. Schéma : Vitesse v = 5 km h = Donc v = 34,7 m.s F m. AB. cosθ t Puissance : P = W = t avec θ = 0 P = F m. v. Il faut donc cheche la foce motice F m. système : voitue Bilan des foces : Poids P : P = m g = 0 4 N Réaction du sol : R Résistance dûe à l ai R a : R a = 800 N X X Résistance dûe au oulement R : R = %. P = 00 N Foce motice : F m La voitue se déplace avec une vitesse constante : elle se déplace d un Mouvement Rectiligne Unifome : MRU Σ F = 0 P R Ra R F m = 0 En pojetant cette égalité vectoielle su un axe X X diigé dans les sens du mouvement : 0 0 R a R F m = 0 F m = R a R F m = 000 N 3. La puissance de la voitue vaut alos : P = F m. v = ,7 = W Remaque : ch DIN = 736 W P = = 47 ch DIN 736 C est la puissance développée pa la voitue pou oule à la vitesse constante de 5 km/h.

5 Execice 7 :.a) pente : tan α = 00 Le cycliste fait un tajet A B AB = x = 00 m système : cycliste Bilan des foces : Poids P : P = m g = 800 N A Z X 5 Réaction du sol : R Fottements dives : f : Il n y a pas de foce motice, puisque le cycliste est en «oue libe» Le cycliste se déplace avec une vitesse constante : il est animé d un Mouvement Rectiligne Unifome : MRU B X O Σ F = 0 donc P R f = 0 En pojetant cette égalité vectoielle su un axe X X diigé dans les sens du mouvement : P. sin α 0 f = 0 f = P. sin α Comme α est petit, tan α = sin α f = , f = 96 N.b) Tavail du poids : W P = m. g. z avec z = z final z initial Pou mesue des altitudes, on choisit l oigine des altitudes à l endoit le plus bas du poblème : En conséquence : z final = 0 et z initial = AB. sin α = m Le tavail peut donc se calcule : W P = m. g. (z final z initial ) W P = (0 ) W P = 9600 J Le tavail du poids est positif, c est un tavail moteu Tavail des foces de fottements : W f = f. AB. cos 80 f et AB font un angle de 80 ente eux Wf = f. x W f = 9600 J Le tavail des foces de fottements est toujous négatif, c est un tavail ésistant : les foces de fottements s opposent au mouvement..c) Enegie cinétique du cycliste : avec v = 90 km/h = Ec = m v = 0, Ec = J = 5 kj = 5 m.s. Vitesse v = 54 km/h v = 5 m.s Le cycliste commence à feine au point A et il s aête au point B apès une distance de feinage d = AB = 0 m système : cycliste Bilan des foces : Poids P : P = 800 N Réaction du sol : R Fottements dives : f ' :

6 6 Foce de feinage Ff Il n y a pas de foce motice, puisque le cycliste est en feinage La vitesse du cycliste change : elle passe de 5 m/s à 0 : il est animé d un Mouvement Rectiligne Vaié On applique le théoème de l énegie cinétique : Ec = Σ alg W foces m v f m v = W P W R W f W Ff 0 m v = 0 0 f. AB. cos 80 F f. AB. cos 80 m v = f. AB F f. AB F f = F f = Execice 8 : m v f. AB AB F f = 350 N Execice 9 : Ressot au epos : x O = 0 Compession de 8 cm : Ressot compimé : x M = 0,08 m. La foce execée pa le essot su le solide S peut s écie : T = k. OM La foce execée pa le essot est une foce de appel : elle est toujous oientée en sens invese du déplacement qu on fait subi au essot. T = k. x M = 30. 0,08 =,4 N Le signe veut die que la foce est bien diigée en sens invese de l axe choisi.. Enegie mécanique du système : Em = Ec Ep = m v k x Em = Constante puisqu il n y a pas de fottements Au dépat du mouvement : x i = x M et v i = 0 Donc Em = 0 k x M =. 30. (0,08) Em = J 3. Situation : essot étié : x = 0,0 m vitesse v =?

7 7 Em = m v k x Em k x v = ± m v = ± 0,77 m/s la masse accochée au essot fait un mouvement de va et vient : il y a donc bien solutions : le signe pou la vitesse veut die que le déplacement se fait dans le sens positif de l axe et le signe veut die que le déplacement se fait en sens invese de l axe choisi. Execice 0 : Une piee, de masse m = 0 kg, tombe d une falaise de hauteu H = 0 m. L oigine des altitudes est choisi à l endoit le plus bas du poblème, à savoi le pied de la falaise. Em = Ec Ep =. m v m g z Em = constante (pas de fottements) Au dépat de la chute : v init = 0 et z init = H = 0 m Donc Em = m g H Em = 4000 J. a) pou une altitude z = H = 0 m Ep = m g z = Ep = 000 J Ec = Em Ep Ec = 000 J b) pou une altitude z = H 4 = 5 m Ep = m g z = Ep = 000 J Ec = Em Ep Ec = 3000 J 3. La piee atteint le vitesse de v 3 = 0 m/s pou une altitude z 3 Ec 3 = m v 3 = 0 (0) Ec 3 = 000 J Donc Ep 3 = Em Ec 3 = 3000 J et Ep 3 = m g z 3 z 3 = Ep 3 m g = 5 m La hauteu de chute qui pemet à la piee d atteinde la vitesse de 0 m/s vaut : h = H z 3 h = 5 m Execice : Ep = 0, J = k x pou un allongement x (on compte les allongements dans le sens positif de l axe) Ep = 0,9 J = k (x 0,04) pou un allongement supplémentaie de 4 cm soit un allongement total : x 0,04 m Il faut donc ésoude le système suivant : 0, = k x 0,9 = k (x 0,04) En divisant membe à membe, k se simplifie et on obtient : 0, 0,9 = x (x 0,04) 9 = x (x 0,08. x ) en faisant le poduit en coix et en odonnant on obtient :

8 8. x 0,08. x = 0 8 Résolution de cette équation du second degé : = b 4 ac = (0,08) = 5,76. 0 = 0,4 Les solutions sont : x, = b ± a mais seule la acine positive convient : c est celle qui coespond à l allongement initial (voi début de l execice) 0,08 0,4 Donc x =. 8 x = 0,0 m = cm Et alos Ep = k x k = Ep x =. 0, (0,0) k = 500 N.m Execice : Em = Ec Ep =. m v k x Em = Constante puisqu il n y a pas de fottements Situation initiale : essot compimé (x m = 0,0 m) lâché sans vitesse initiale v init = 0 donc Em = 0 k x m Passage pa la position d équilibe : essot ni compimé, ni étié x = 0 vitesse maximum (v m = 3,0 m/s) donc Em = m v m 0 =. 0,05. 3 Em = 0,5 J On peut alos calcule la aideu k : k = Em x m k = 45 N.m. Em = m v k x Em m v x = ± k mais la seule solution qui convient, c est celle du essot étié (sens invese de l axe) : x = 8,7. 0 m = 8,7 cm 3. La masse se décoche losque le essot est étié et la vitesse vaut v = m/s. 3.. Elle est entain de se déplace ves la doite. Comme il n y a pas de fottements, on peut die que Σ F = 0 donc le pincipe de l inetie s applique : Le solide va continue son mouvement avec une vitesse constante 3.. Le bilan des foces appliquées au solide S est : le poids P, la éaction du plan R et la foce de fottements f. Comme il y a des fottements, l énegie mécanique diminue et on peut die que : Em = W fottements avec Em = Ec Ep, mais comme l altitude ne vaie pas Ep = 0 Ce qui donne :Em final Em initial = f. AB. cos 80

9 0 m v = f. d f = f = 0,04 N m v d f = 0,05. ( ),5 9 Execice 3 : Le solide monte le plan incliné : Pou l oigine des altitudes, on choisit le point le plus bas du poblème, à savoi le point A : Donc z A = 0 Et z B = AB. sin α la vitesse au point A vaut : v A = 8 m/s Et la vitesse au point B est nulle puisque le solide s aête : v B = 0. Au point A : Em A = Ec A Ep A = m v A 0 Em A = m v A = 0. 8 Em A = 30 J Au point AB : Em B = Ec B Ep B = 0 m. g. z B Em B = m. g. AB. sin α Em B = 50 J On constate que l énegie mécanique diminue : donc il y a des fottements.. Calcul des foces de fottements : système : solide Bilan des foces : Poids P : P = m g = 00 N Réaction du plan : R Fottements : f : Il n y a pas de foce motice, c est l énegie mécanique donnée au dépat qui le fait monte le plan incliné La vitesse : elle passe de 8 m/s à 0 : On applique le théoème de l énegie cinétique Ec = Σ alg W foces m v B m v A = W P W R W f 0 m v A = m. g. ( z B z A ) 0 f. AB. cos 80 m v A = m. g. AB. sin α f. AB f = m v A m. g. AB. sin α AB = f = 4 N

10 REMARQUE : Quand Em diminue à cause des fottements, on peut applique : 0 Em = W fottements Em B Em A = f. AB f = Em B Em A AB = f = 4 N 3. Le solide edescend le plan avec des fottements de même valeu numéique : L énegie mécanique va diminue : Em A Em B = f. BA Em A = Em B f. BA = Em A = 80 J O Em A = m v A 0 v A =. Em A m =.80 0 v A = 36 v A = 6 m.s