Fiche de Biostatistique. Exercices d'algèbre. Solutions proposées par C. BAJARD et S. CHARLES. Plan

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1 Fiche de Biosaisique Exercices d'algèbre Soluions proposées par C. BAJARD e S. CHARLES Plan INDÉPENDANCE, GÉNÉRATEUR, DIMENSION, BASES... MÉTHODE DU PIVOT...4 PRODUITS SCALAIRES... 6 ORTHONORMALISATION... 0 APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES, INVERSE, PROJECTEURS... DIAGONALISATION...6 Biosaisique / exocor.doc /Page sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/exos/exocor.pdf

2 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon Indépendance, généraeur, dimension, bases? Dans un espace vecoriel E, si a, b, c e d son des veceurs indépendans, alors a - b, b - c, c - d e d - a son des veceurs indépendans. (a b) + (b c) + (c - d) + (d a) = 0. 4? Dans R, les veceurs (, 4, -4, 7), (, 4, -5, ) e (,,, ) engendren un sousespace vecoriel de dimension rg = rg = rg = a b c a = c b = b c c = a 7c a b c = c 5b Les veceurs a,b,c engendren un sous-espace de dimension. Nous avons uilisé ici la riangulaion de la marice don les colonnes son les veceurs a,b,c, e le fai qu on ne change pas un sous-espace vecoriel engendré en :. Permuan les veceurs ;. Muliplian un veceur par un scalaire non nul ;. Remplaçan un veceur par une combinaison linéaire des aures veceurs.? Dans un espace vecoriel E, si a e b son des veceurs indépendans e si a e c son des veceurs indépendans, alors a, b e c son des veceurs indépendans. Si on prend par exemple a = (,0), b = (0,) e c = (,-). Alors a e b son indépendans, a e c son indépendans, mais a = b + c donc {a, b, c} es liée. Remarque : comme on a pris a, b e c dans le plan, on sai immédiaemen qu ils son liés. Biosaisique / exocor.doc /Page sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

3 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon? Un espace vecoriel ne peu pas êre consiué d un nombre fini d élémens. E = { 0 } es un e.v. avec un nombre fini d élémens. Remarque : C es le seul exemple parmi les e.v. sur un corps K infini, car si x E λ K, λx E. e x 0, alors? Les foncions de [0,] dans [0,] formen un sous-espace vecoriel de l ensemble des foncions de R dans R. Si on prend par exemple f :0, [ ] [ 0,] définie par f ( x ) =, alors la foncion f n es pas une foncion de [0,] dans [0,] : (f )( x ) =.? On noe E l ensemble des polynômes à coefficiens réels de degré inférieur ou égal à. E es un espace vecoriel sur R. Dans E, un polynôme e sa dérivée formen oujours un sysème libre. Le polynôme nul ou les polynômes consans on pour polynôme dérivé le polynôme nul. Un polynôme consan forme donc un sysème lié avec sa dérivée.? Les veceurs colonnes de la marice 4 : Ce son 6 veceurs de son indépendans. Biosaisique / exocor.doc /Page sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

4 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon Méhode du pivo Donner la dimension e une base des sous-espaces engendrés par les veceurs colonnes des marices : ( a) ( b) ( c) ( d) ( a) rg = rg = rg = rg = a a = a a = a a = a b b = b +5c b = b b = b c c = c c = ( 4c -b +d ) -4 c = c d d = d +a d = 4d -5c d = 9d - 4c Les quare veceurs colonnes formen une base b rg = rg = () a a = c b b = b-c - c c = a - 0c -7 Le sous-espace engendré par les veceurs colonnes es de dimension ; une base possible es formée 4,5,,0. des veceurs (,,,, ) e c rg rg rg = = = () a a = a a = a b b =b-c b =b ( b ) c c = c-a 0 c = c 5 5 Les rois veceurs colonnes formen une base. Biosaisique / exocor.doc /Page 4 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

5 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon () d rg = rg = rg = rg a b c a = a a = a b = d + 5a b = b c = c 4a c = c + 5b ( b ) d d = + a d = d b Les quare veceurs colonnes formen une base. a = a b = b c = c d = 9d + 9c = 4? La marice 0 0 A = 0 es inversible. 0 0 Il exise un veceur u 0 Par conséquen, la marice el que Au = 0 A n es pas inversible. ; en effe, le veceur u = (,,,,,) convien. Biosaisique / exocor.doc /Page 5 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

6 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon Produis scalaires? Dans un espace euclidien son orhogonaux. v+ w + v w = v + w n es vrai que si v e w C es vrai ou le emps car : v+ w = v+ w v+ w = v v + w w + v w = v + w + v w v w = v w v w = v v + w w v w = v + w v w v+ w + v w = v + w Il s agi ici de l idenié du parallélogramme. n? Si x e y son deux veceurs de R e si x+y = x + y, alors l un des deux veceurs es nul. Dès que x e y son posiivemen liés ( x = λy avec λ > 0 ), alors x+y = x + y. Par exemple, si λ =, alors x = y e x+y = x+x = x = x = x + x = x + y. On considère dans la foncion h qui, aux veceurs v = ( x, x, x) e w = ( y, y, y), associe le nombre réel : 0 y h( vw, ) = [ x, x, x ] 0 0 y 0 y? La foncion h es un produi scalaire. Indicaion : on cherchera un couple de veceurs qui ne vérifie l inégalié de Cauchy-Schwarz. Prenons v = (,0,0) e = (0,0,). Alors, w h ( vw, ) =, h( vv, ) = e Selon l inégalié de Cauchy-Schwarz, on aurai h ( vw, ) h ( vv, ) h(, ) n es pas le cas ici. h ww, =. ww, ce qui Biosaisique / exocor.doc /Page 6 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

7 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon 0 y w xy, x,x,x 5 y es un produi scalaire? 0 y? La foncion = [ ] Indicaion : on pourra uiliser la méhode de Gauss. Uilisons la méhode de Gauss qui consise à écrire la forme quadraique associée à w comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires sur : ( xx) w, = x + x x +6x x + 5x + x x x = x + + 6x x + 5x + x x 9x = x x x + x x = x + + x + x x + x 9 x 9 = x+ + x + x La signaure de la forme quadraique associée à w es donc (,0 ), alors que si w éai un produi scalaire cee signaure serai égale à (, 0 ). - 0 y g xy, = x, x, x - - y es un produi scalaire? 0 - y? La foncion [ ] λ 0 ( W λi) λ ( λ) ( λ)( λ) ( λ) λ( λ )( de = = = λ 0 λ g es symérique, mais ses valeurs propres son donc 0, e : ce n es pas un produi scalaire. RAPPEL : La marice d un produi scalaire doi êre symérique e à valeurs propres sricemen posiives. ) Biosaisique / exocor.doc /Page 7 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

8 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon? Si l inverse d une marice carrée es égale à sa ransposée, ses colonnes formen une base orhonormée pour le produi scalaire canonique. Soi = [ X X ] M. M = M M M = I. Ainsi : n X MM = [ X Xn] = XiX j e i, j=, n X n XX = I XX = δ j i j i, j=, n i j i On rappelle que X ix j = x i x j. δ ij es le symbole de Kronecker. On en dédui donc que les veceurs colonnes de M son orhogonaux e uniaires : ils formen bien une base orhonormée. Remarque : Une marice don l inverse es égale à sa ransposée es une marice orhonormée, i.e., une marice don les veceurs colonnes son orhogonaux deux à deux e de norme.? Une base orhonormale pour un produi scalaire donné es orhogonale pour ous les aures produis scalaires. Prenons par exemple M =. C es une marice symérique don les valeurs propres son e 4 : c es la marice d un produi scalaire. Considérons la base canonique de, orhonormée pour le produi scalaire canonique. e e 0 0 = ( 0) M = ( 0) = La base canonique n es pas orhogonale pour le produi scalaire de marice M.? Si s( x, y) = xay es un produi scalaire de R, alors la marice A es inversible e la foncion ( x, y) = xa y es un produi scalaire. Puisque A es la marice d un produi scalaire ses valeurs propres son oues sricemen posiives, son déerminan es donc non nul, elle es inversible. Vérifions si saisfai les propriéés qui définissen un produi scalaire : Biosaisique / exocor.doc /Page 8 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

9 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon. es bilinéaire (éviden) ;. es symérique car A = A = A.. es posiive car : A es symérique ( xx, ) = xa x= xa AA x= A x A A x = s A x, A x 0 4. es définie car : s es un produi scalaire ( xx, ) = 0 s A x, A x = 0 A x= 0 AA x= A0 x = 0 s es un produi scalairë Biosaisique / exocor.doc /Page 9 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

10 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon Orhonormalisaion En paran de la base canonique e en uilisan l orhonormalisaion de Gram-Schmid, donner une base orhonormée pour le produi scalaire défini par : Ψ : R R R ( xy, ) Ψ ( xy, ) = ( x x)( y y) + xy + ( x + x)( y + y ) Ψ es bien un produi scalaire car elle es bilinéaire symérique (éviden) ; Ψ es aussi posiive car Ψ xx, = x x + x + x + x 0, e définie car On cherche ensuie une base { i } p [, n] (,, vec f f ) (, p = vec e, e p ) { i }. Si on impose par ailleurs que x x = 0 Ψ ( xx, ) = 0 x = 0 x = x = x = 0 x + x = 0 f 0 f = e =, 0, 0 f à parir de la base canonique { } e i els que pour ou. Cee condiion assure l exise d au moins une base ei f i >, alors la base des { i } f devien unique. On cherche f orhogonal à f, comme la projecion orhogonale de f = e λ f Ψ, = 0 : e f f e sur vec f : Ψ f, f = 0 Ψ e, f λψ f, f = 0 λ = 0 λ = : f = (,, 0) ( ) ( ) ( ). On cherche f comme la projecion orhogonale de e sur vec ( f, f) : f = e λ f µ f, Ψ f, f = 0 ( ) Ψ, = 0 e ( f f) Ψ, = 0 Ψ, λ Ψ, µ Ψ, = 0 0 λ 0= 0 λ = 0 ( f f) ( e f) ( f f) ( f f) Ψ, = 0 Ψ, λ Ψ, µ Ψ, = 0 0 µ = 0 µ = ( f f) ( e f) ( f f) ( f f) On en dédui que f = (,,). En normalisan les rois veceurs f i, on répond finalemen à la quesion posée : f =, 0, 0 f =,,0 f = (,,) Biosaisique / exocor.doc /Page 0 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

11 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon En paran de la base e en uilisan l orhonormalisaion de Gram-Schmid : f = f = f = f 4 = donner une base orhonormée pour le produi scalaire canonique. On uilise la même méhode que dans la quesion précédene. Cee fois on cherche une base { g i } à parir de la base { f els que pour ou p [, n] vec g,, g p = vec f,, f p. g = f = (, 0,, 0) e g = i} ( ) ( ) e g g = 0 g = f λg : g g = 0 f g λ g g = 0 λ = 0 = 0,,0,0 λ : g = e g =., g g = 0 g = f λ g µ g e g g = 0 : g g = 0 f g λ g g µ g g = 0 4 λ = 0 λ = g g = 0 f g λ g g µ g g = 0 6 9µ = 0 µ = g =, 0,, 0 ( ) e g =, g4 g = 0, g4 g = 0 g4 = f4 λ g µ g γg e g4 g = 0 : g g = 0 f g λ g g µ g g γ g g = 0 λ = 0 λ = 4 4 g g = 0 f g λ g g µ g g γ g g = 0 0 µ = 0 µ = g g = 0 f g λ g g µ g g γ g g = 0 γ = 0 γ = 4 4 g 4 = 0,0,0, e g 4 = En normalisan les quare veceurs g i, on répond finalemen à la quesion posée : h =, 0,, 0 h = 0,,0,0 h =, 0,, 0 ( ) h 4 = 0,0,0, Biosaisique / exocor.doc /Page sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

12 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon? e, e e e désignen les veceurs de la base canonique de, muni du produi scalaire canonique. L angle enre e+e+e e son projeé orhogonal sur le plan (e,e) vau π /4. cos, ( uv) = uv e u v π cos = 4 p e + e + e = e + e, donc :. Or { } e, e cos, ( e e e e e ) e + e + e e + e = = = e+ e + e e+ e n? Si f es un projeceur orhogonal de E =, il exise une base pour laquelle sa marice ne conien que des valeurs égales à 0 ou à. Soi f un projeceur orhogonal sur F parallèlemen à F. Comme E es de dimension finie, on a E = F F. Considérons une base de F que l on complèe en une base de E par une base de F. Alors, dans cee base, la marice de f s écri : Ip avec p = rg ( f ) = dim( F) n? Si f es un endomorphisme de E = e si p es son rang, il exise une base pour laquelle sa marice compore p colonnes de 0. Compe enu de la quesion précédene, la marice compore en fai n - p colonnes de 0. n? Si φ es un produi scalaire de E =, il exise une base pour laquelle sa marice es la marice idenié. D après le héorème d orhonormalisaion de Gram-Schmid. Biosaisique / exocor.doc /Page sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

13 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon Applicaions linéaires, marices, inverse, projeceurs E es l espace vecoriel R, {e} es la base canonique de E. E es muni du produi scalaire canonique. On noe a, b e c les rois veceurs définis dans {e} par les colonnes de H. Une marice A e la marice H son définies par : H = A = Soi f l applicaion linéaire de E dans E définie par : ( xyz,, ) f( u) ( x y z, x y, x 6 y 6 z 6) u= = ? La marice de f dans la base canonique es H. f e = ). La marice de f dans la base canonique es H. : (,, 6? La marice H es la marice d un produi scalaire. : H H? La marice A es la marice d un produi scalaire. : car A es symérique mais possède une valeur propre nulle.? L'opéraeur associé à H es un projeceur. : H = H? Les veceurs a, b e c formen une base orhonormée de E. : pour le produi scalaire canonique car : a = b = c =, e ab = ac = bc = 0? L'opéraeur associé à H es bijecif. Biosaisique / exocor.doc /Page sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

14 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon : H es inversible car ses colonnes formen une base orhonormée (voir ci-dessus).? Le projeceur orhogonal sur le sous-espace vecoriel engendré par a e b a pour marice A par rappor à une base convenablemen choisie. Soi p le projeceur orhogonal sur le sous-espace vecoriel engendré par a e b. Puisque,, p = p b = b e p ( c ) = 0. Ainsi, A es bien { abc } es une base orhonormée : ( a) a, la marice de p dans la base { abc,, }.? L'opéraeur associé à A es le projeceur orhogonal sur le sous-espace vecoriel engendré par c. : Car Ac c.? La marice HAH, où H es la ransposée de H, es de rang. On sai que H es inversible, donc H aussi car ( H ) = ( H ). HAH es du rang de HA qui es du rang de A. Donc HAH es de rang. Remarque : On ne modifie pas le rang en muliplian par une marice inversible. Aure méhode : H es la marice de passage de la base canonique vers la base orhonormée { abc,, }, donc H = H. Ainsi HAH = HAH, i.e., HAH semblable à A donc de même rang.? L image e le noyau de l'opéraeur associé à HAH formen une somme direce orhogonale. On vérifie aisémen que projeceur : HAH es un projeceur, en uilisan le fai que A es un HAH HAH = HA H H AH = H A H = HAH I = A Si f es l endomorphisme de marice HAH, alors Im f Ker f =. Remarque : Si p es un projeceur de E, pour qu il soi orhogonal il fau qu il vérifie que pour ou,, pu v = upv. Ainsi, pour le produi scalaire canonique dans la base canonique, si M ( uv) E es la marice de p, alors elle es nécessairemen symérique : MX Y = X MY X MY = X MY M = M Biosaisique / exocor.doc /Page 4 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

15 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon Ici, HAH = H A H = HAH, ce qui indique que HAH es un projeceur orhogonal e donc Im f e Ker f formen une somme direce orhogonale.? La marice HA peu êre considérée comme la marice d un projeceur par rappor à deux bases convenablemen choisies. : car on vérifie aisémen que HA HA. Donner une propriéé de l applicaion don la marice dans la base {a, b, c} es H AH. HAH= H AH dans la base {,, } abc. Donc HAH es semblable à A : ces deux marices corresponden au même endomorphisme, à savoir la projecion orhogonale sur { e, e} parallèlemen à e. Biosaisique / exocor.doc /Page 5 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

16 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon Diagonalisaion λ = u= D= E= F= a b c a A= b a d = b [ a b c ] = 0 0 B C c d a c 0 0? Le veceur u es un veceur propre de la marice D Du = = = u u es un veceur propre de D associé à la valeur propre.? Le nombre λ es une valeur propre de la marice D de ( D λi) = = = = ? Les marices E e F son semblables. E es symérique donc diagonalisable. de ( λ ) = λ ( λ 4) E son donc les mêmes que celles de F : E e F son semblables. E I ; Les valeurs propres de Biosaisique / exocor.doc /Page 6 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

17 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon? Il exise des nombres réels a, b e c pour lesquels A n es pas diagonalisable. : Car A éan symérique elle es oujours diagonalisable, abc,,.? La marice B a une valeur propre riple. B es symérique donc diagonalisable. Si elle admeai une valeur propre riple λ, alors on aurai B= P( λi) P = λi, ce qui es faux.? La marice C es diagonalisable. Si C éai diagonalisable, alors elle aurai une seule valeur propre riple 0, e on aurai C= P 0I P = 0, ce qui es faux. Aure méhode : Si C éai diagonalisable, alors elle aurai une seule valeur propre riple 0, e le noyau de l endomorphisme f de marice C serai de dimension. Or CX = 0 X = 0,0, z, ce qui signifie que dim Ker f =. n? La marice d un produi scalaire de es diagonalisable. : Car la marice d un produi scalaire es symérique donc oujours diagonalisable? La somme d une marice carrée réelle e de sa ransposée es diagonalisable. Car la somme d une marice carrée e de sa ransposée es symérique : M+ M = M + M = M+ M? Si le produi de deux marices carrées réelles es diagonalisable, chacune de ces deux marices es diagonalisable. Par exemple, si on prend une marice M quelconque non diagonalisable, alors M0. = e la marice nulle 0 es diagonalisable. 0 Biosaisique / exocor.doc /Page 7 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

18 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon? La somme de deux marices diagonalisables es diagonalisable. Par exemple, ne l es pas. 0 M = e M = 0 0 son diagonalisables, mais 0 M+ M = 0 0 ********************************************************************** Considérons mainenan la marice e les veceurs suivans : D= a= 0 + b = 0 0? a e b son des veceurs propres de D Da = = 0 = Db = = = b 0 0 0? La marice D a 4 valeurs propres disinces. ( ) a λ 0 0 λ 0 de 4 0 λ ( D λi ) = = = λ( λ )( λ λ + ) 0 0 λ Les valeurs propres de D son donc : 0,, +, : elles son disinces.? La marice D n es pas inversible. Biosaisique / exocor.doc /Page 8 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

19 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon : Car D a une valeur propre nulle.? La marice D adme une base unique de veceurs propres orhonormés. D éan symérique, elle es diagonalisable dans une base orhonormée de veceurs propres, mais cee base n es pas unique. (Revoir les deux exercices sur l orhonormalisaion de Gram-Schmid). ********************************************************************** E es un espace vecoriel de dimension finie sur R. Soi f un endomorphisme sur E. Id es l applicaion idenié.? Si f = f, alors f es inversible. Si f = f, alors f es un projeceur. Prenons par exemple f: défini par f ( x, y) = ( x,0). y, les veceurs ( x, 0 y ) on la même image ( x,0 0 ) ; f n es donc pas injecive, donc pas bijecive ; f n es pas inversible.? Si f es inversible, alors f - es diagonalisable. Soi f inversible. Si f - éai diagonalisable, alors il exiserai une base de veceurs propres dans laquelle la marice M associée à f - dans une base quelconque serai M PDP PDP PD P, ce qui signifierai que f = = = diagonale avec M serai aussi diagonalisable. 0 En prenan M =, on voi que cela n es pas oujours le cas : M es inversible mais non diagonalisable.? Si f es diagonalisable, alors f es inversible. : f = 0 es un conre-exemple. Biosaisique / exocor.doc /Page 9 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

20 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon? Si f es inversible, alors f aussi. f f f f = f f f f = f f = Id f f f f = f f f f = f f = I d? Si f es diagonalisable, alors f aussi. Soi ( u,,up) une base de veceurs propres de f associée aux valeurs propres λ,,λ p. Alors f ( ui) = f ( λ iui) =λ if ( ui) =λ iu. Ainsi f i es diagonalisable dans la base ( u,,u e ses valeurs propres son celles de f élevées au carré. p )? Si f = f, alors f es diagonalisable. Si f = f, alors f es un projeceur sur Im f parallèlemen à Ker f. Dans une base de E consiuée d une base de Im f compléée d une base de Ke r f, la marice associée à f Ip 0 s écri M = avec p = dim( Im f ). M donc f es diagonalisable. 0 0? Si f = Id, alors f es inversible. : Si f = Id, alors f f = Id e donc - f = f.? Si f es inversible e diagonalisable, alors f - es diagonalisable. Soi u,,u ( p ) une base de veceurs propres de f associée aux valeurs propres λ,, λp ( i, λ i 0 car f es inversible). Alors : f ( ui) =λiui ( f f)( ui) =λif ( ui) f ( ui) = ui λ f - es donc diagonalisable dans la base ( u,,u p ) inverses de celles de f.? Le noyau de f es un sous-espace propre de f. : sauf si λ = 0 es une valeur propre de f. i, e ses valeurs propres son les Biosaisique / exocor.doc /Page 0 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

21 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon ********************************************************************** A es une marice carrée réelle symérique à p lignes e p colonnes (p > ).? A es oujours diagonalisable. : car A es symérique.? A es oujours inversible. : car A peu avoir des valeurs propres nulles. A = 0 es un conre-exemple.? Le rang de A e celui de A son les mêmes. = = = A es diagonalisable : ( )( ) A PDP A PDP PDP PD P. A e D son de même rang, car ce son deux marices semblables. D e D son de même rang car ce son des marices diagonales. A éan de même rang que D (marices semblables), elle es donc de même rang que A.? A e A on les mêmes valeurs propres. D après ce qui précède, A= PDP A = PD P, ce qui signifie que les valeurs propres de A son celle de A au carrée.? A e A on les mêmes veceurs propres. Toujours d après ce qui précède, A= PDP A = PD P ; la marice de passage dans la base des veceurs propres es donc la même pour A e A : elles on les mêmes veceurs propres.? Si A es diagonale, A es la marice d un produi scalaire. : A = 0 es un conre exemple. ********************************************************************** 0 A = B = Biosaisique / exocor.doc /Page sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

22 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon Diagonaliser A si c es possible. λ 0 de ( A λi ) = λ = λ( λ)( λ ). 0 λ Les veceurs propres associées aux rois valeurs propres son : v = (,, ) pour λ = 0 v = (, 0, ) pour,, λ = v = ( ) pour λ = A es donc diagonalisable avec veceurs propres. P = 0 la marice de passage dans la base des Diagonaliser B si c es possible. λ 0 8 de ( B λi ) = λ 6 = ( λ)( λ + ). 0 5 λ Le sous-espace propre associé à λ = es défini par E = {( λ,6,) z z } de dimension, la marice B n es donc pas diagonalisable.? BB e B B son oues les deux diagonalisables. : Car BB e B B son oues les deux symériques.? B + B es diagonalisable. : Car B + B es symérique.. Il es? B AB es diagonalisable. : Car B AB es symérique, du fai que A es symérique. Biosaisique / exocor.doc /Page sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

23 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon? BA es inversible. : Car de ( BA) = de ( B) de ( A ) = 0 ; en effe de = 0 valeur propre nulle.? AB es inversible. : pour la même raison que précédemmen. A car elle possède une? Une des marices A ou B es une marice de produi scalaire. : A possède une valeur propre nulle, e B n es pas symérique.? Les deux marices A e B son inversibles. : de ( A ) = 0 donc A n es pas inversible. Par conre de ( B ) =, donc B es inversible.? Ni la marice A ni la marice B ne son des marices de projeceurs. : car les projeceurs n on que 0 ou comme valeurs propres. ********************************************************************** On noe E l ensemble des polynômes à coefficiens réels de degré inférieur ou égal à. E es un R -espace vecoriel. On noe {e} la base formée par, x, x e x e {g} la base formée par les polynômes, (-x), (-x) e (-x).? La marice de l applicaion idenié de {g} dans {e} es : 0 B = : car les colonnes de B son bien les coordonnées des veceurs de {g} dans la base{e}. Biosaisique / exocor.doc /Page sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

24 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon? L applicaion f de E dans E qui à un polynôme associe sa dérivée es un endomorphisme de E. : Si P E, alors P E, e la linéarié de la dérivée des polynômes : α P+ βq = αp + βq, perme de conclure.? L applicaion f n a pas de veceurs propres. f P = λp P = λp. Si λ = 0, ou polynôme P consan convien. Or λ = 0 es bien une valeur propre de f : en effe, une même dérivée correspond à une infinié de polynôme. Ainsi, f n es pas injecive, e Ker f 0. Tou polynôme consan es donc veceur propre de f associé à la valeur propre 0. { }? La marice A = es diagonalisable Si A éai diagonalisable, alors λ = 0 serai valeur propre de muliplicié 4, e A serai semblable à la marice nulle, c es à-dire A= P 0I P = 0, ce qui es faux.? La marice A es une marice de f. : A es la marice associée à f dans la base {e}.? La marice B es diagonalisable. B possède deux valeurs propres doubles e. Cherchons les veceurs propres de coordonnées (x, y, z, ). Pour λ =, on obien les deux condiions = 0 e y = z. Ainsi, nous avons deux conraines donc dim E = e on peu prendre les veceurs (0,, -, 0) e (, 0, 0, 0) E comme base de. Pour λ =, on obien les deux condiions z = e x + y =. Ainsi, nous avons deux conraines donc dim E = e on peu prendre les veceurs (0,, -, ) e (, -,, ) comme base de E. La marice B es donc diagonalisable, avec comme marice de passage dans la base des veceurs propres : Biosaisique / exocor.doc /Page 4 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

25 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon P = 0 0 0? La marice B - AB n es pas diagonalisable. On fai un raisonnemen par l absurde. Si B - AB éai diagonalisable, alors : B AB = PDP P B AB = DP P B ABP = D BP A BP = D Auremen di, la marice A serai diagonalisable, ce qui es faux comme on l a vu plus hau.? Les marices A A e A + A son diagonalisables. : quelle que soi la marice A.? Si une marice X es semblable à une marice Y e si la marice Y es semblable à une marice Z, alors les marices X e Z son semblables. X semblable à Y : X= P YP, e Y semblable à Z : Y= Q ZQ. X= P YP X= P Q ZQ P= P Q Z QP = QP Z QP X es donc semblable à Z, la marice de passage es égal au produi QP.? Si X e Y son des marices carrées, symériques, réelles e si XY = YX, alors XY es diagonalisable. : car XY es symérique : XY = Y X = YX = XY. ********************************************************************** Biosaisique / exocor.doc /Page 5 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

26 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon E es l espace vecoriel 4 R,{e} es sa base canonique e canonique. On considère la marice A e f le -opéraeur associé à A : A =? La marice A es symérique e inversible. x y es son produi scalaire : A es symérique mais la somme des colonnes de A fai 0 donc A n es pas inversible.? La dimension du noyau de f vau. : En observan A, on remarque que des veceurs colonnes son liés : c = c e c = c 4. On en conclu que le rang de A es ( c e c son linéairemen indépendans), e donc que la dimension du noyau de f es.? Il exise un produi scalaire de E don la marice par rappor à {e} es A. : Car A es symérique, mais comme son déerminan es nul, elle possède au moins une valeur propre nulle.? L applicaion f es un projeceur. : Si on essaie de calculer A², on consae immédiaemen que le coefficien (,) de A² es différen de -, A A.? Les colonnes de A son des veceurs orhogonaux. : car on a vu plus hau que c = c, donc si les veceurs colonnes son liés, ils ne peuven pas êre orhogonaux.? L applicaion définie par g(, ) = f x y x y es bilinéaire mais non symérique. g es bilinéaire par linéarié de f e bilinéarié du produi scalaire. g (, ) = f = y x y x Y AX. = = = Y AX Y A X A Y X AY X Biosaisique / exocor.doc /Page 6 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

27 C. Bajard e S. Charles - Biomérie e Biologie Evoluive - Universié Lyon ( AY) X = f ( y) x = x f ( y) = g( x, y ) Par conséquen, g es symérique.? L applicaion définie par h( x, ) = f f y x y es un produi scalaire. h es bilinéaire par linéarié de f e bilinéarié du produi scalaire. (, ) = = = (, ) h x y f x f y f y f x h y x : h es symérique (, ) 0 0 h xx = f x f x = f x = 0. Or dim Ker f = d après ce que l on a vu plus hau. Donc Ke r { 0} f, ce qui signifie que f ( x ) = 0 n implique pas x = 0. Par conséquen, h n es pas définie, ce n es donc pas un produi scalaire. ********************* FIN Biosaisique / exocor.doc /Page 7 sur 7 *** hp://pbil.univ-lyon.fr/r/cours/exocor.pdf

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