Mesure de la vitesse orbitale de la Terre

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1 Msur d la vitss orital d la rr I - Démarch concptull d la msur. Du fait d son mouvmnt autour du olil, la rr s approch d un étoil pndant six mois d l anné puis s n éloign pndant ls six autrs mois. Pour qulls positions rlativs rr-olil-étoil, la vitss radial d la rr par rapport à l étoil st-ll la plus grand? La lumièr émis par l étoil t parvnant à l osrvatur trrstr suit l «fft Dopplr-Fizau» lié à la vitss d la rr. Ct fft s traduit par la rlation λ = λ ο. V */ / c qui donn l décalag spctral λ n fonction d λ ο, longuur d'ond du rayonnmnt émis par l'étoil, d V */, vitss radial rlativ d la sourc t d c, vitss d la lumièr. La vitss radial rlativ V */ st compté positivmnt dans l sns d'un éloignmnt t négativmnt dans l sns d'un mouvmnt d'approch. Ls rais du spctr d l étoil, comparés à clls d un spctr d référnc, suissnt donc un décalag n longuur d ond λ, qui vari au cours d l anné. La msur du décalag λ prmt d calculr vitss radial rlativ d la sourc V */ t d n déduir la vitss d la rr sur son orit. II - Démarch pratiqu. Choix d l étoil : Pour qu l spctr soit xploital au miux, il faut choisir un étoil rillant, dont l spctr comport d nomruss rais t qui n fait pas parti d un systèm multipl d étoils. Qull st, dans l talau ds étoils rillants ci-joint, la candidat la miux placé? Périods d l anné propics à la réalisation du cliché : D après l ascnsion droit d l étoil, chrchr qull doit êtr cll d olil pour qu l déplacmnt rlatif d la rr par rapport à l étoil soit la plus grand possil t n déduir ls dats corrspondants. L osrvation s fra-t-ll n déut ou n fin d nuit? Clu d Astronomi Vitss orital d la rr (24/08/05) pag 1/8 Lycé aint xupéry -Lyon

2 III - tud du spctr d l'étoil Arcturus. a) Analys ds photographis spctrals. ur chacun ds photographis du documnt, l spctr d l'étoil, qui occup la zon cntral, st ncadré par un spctr d référnc, rais d F I (spctr d'étincll). Ls nuf rais qui ont été numérotés corrspondnt aux longuurs d'ond suivants : n rai λ (nm) 440, , , , , , , , ,457 Ls rais du spctr d référnc sont lanchs sur un fond noir t cll du spctr d l'étoil sont noirs sur un fond lanc; xpliqur ctt différnc. Osrvr l spctr d l'étoil sur ls dux photographis au voisinag ds rais d référnc 1, 2, 3, 5, 7 t 8 n particulir. Put-on n déduir qu'il y a du fr I dans l'atmosphèr d l'étoil? D'après ls valurs ds longuurs d'ond ds rais numérotés, trouvr d quls côtés d la photographi s trouvnt l rayonnmnt roug t l rayonnmnt lu? Rtrouv-t-on ls mêms rais sur ls dux spctrs d l'étoil? Commnt sont placés ls groups d rais du spctr stllair par rapport à clls du spctr d référnc dans chacun ds dux cas? Qull opération faudrait-il ffctur pour fair coïncidr ls dux photographis du spctr d l étoil? ) talonnag ds clichés. C'st étalir à comin d'unités d longuur d'ond corrspond 1 mm sur la photographi. Msurr la distanc ntr dux rais du spctr d référnc assz éloignés l'un d l'autr pour avoir la plus grand précision possil t n déduir l'échll. n utilisant du papir millimétré transparnt t n s plaçant in au miliu d chaqu rai, on put apprécir ls distancs à 0,25 mm près. Rcommncr à partir d différnts coupls d rais pour détrminr si l'échll st linéair. c) Msur ds décalags spctraux du spctr d l'étoil Arcturus. Choisir dans l spctr stllair au moins trois rais pour lsquls la corrspondanc avc ls rais d référnc n présnt pas d'amiguïté, par xmpl ls rais (5), (8) t (9). Msurr avc aucoup d soin l décalag d cs rais, n mm, dans ls dux cas a) t ). n déduir pour chacun ds cas, l décalag n longuurs d'ond λ. Affctr ctt valur du sign approprié: positif pour un décalag vrs roug t négatif pour un décalag vrs l lu. L 19 juillt 1959, la rr s'approch-t-ll ou s'éloign-t-ll d l'étoil? Mêm qustion pour l 30 janvir d) Positions d la rr t d l étoil Arcturus aux momnts ds priss d clichés. ur la figur ci-dssous sont rprésntés l orit d la rr dans l plan d l écliptiqu ainsi qu la dirction du point γ. Y inscrir l sns d déplacmnt d la rr t placr ls positions A t A d la rr corrspondant aux dats où ls photographis ont été priss. L étoil Arcturus st-ll à droit où à gauch d la figur? Clu d Astronomi Vitss orital d la rr (24/08/05) pag 2/8 Lycé aint xupéry -Lyon

3 IV - Calcul d la vitss radial d l'étoil par rapport à l'osrvatur. A partir ds décalags détrminés précédmmnt, calculr la vitss radial rlativ d l'étoil, qu l'on notra V (a) pour l cas (a) t V () pour l cas (). Otint-on l mêm résultat dans ls dux cas? ur la figur 2, corrctmnt complété, on voit qu ls dux positions d la rr A t B du 19 juillt 1959 t du 30 janvir 1960 sont pratiqumnt symétriqus par rapport à la dirction d l'étoil t qu la lign A B lui st prpndiculair ; il n résult qu la composant radial d la rr par rapport à l'étoil st la mêm au sign près n A t B. Cci dvrait ntraînr ds décalags spctraux d sns différnts mais d mêm amplitud ; or c n'st pas l cas pour ls clichés (a) t (). Il y a donc un duxièm caus à l'fft Dopplr-Fizau osrvé : c'st l mouvmnt propr d l'étoil par rapport au olil qui s'ajout à l'fft du mouvmnt d la rr. n raisonnant avc la règl d composition ds vitsss, trouvr, d'après ls dux valurs différnts V (a) t V () d la vitss radial rlativ, qul st l sns du déplacmnt d l'étoil sur la dirction d visé. 'éloign-t-ll ou s rapproch-t-ll du olil? V - Détrmination d la vitss orital d la rr t d la vitss propr d l'étoil. On considérra l mouvmnt d la rr comm uniform t on désignra par V / la valur constant d sa vitss sur son orit. i l étoil était situé dans l plan d l'écliptiqu t n'avait pas d mouvmnt propr par rapport au olil, on voit sur la figur ci-dssous qu, pour ls positions A t B, la vitss radial d la rr par rapport à l'étoil srait rspctivmnt +V / t - V /, conduisant à ds décalags spctraux par fft Dopplr-Fizau égaux à : A λ = λ ο. V / / c olil vrs l'étoil B figur 3 Mais l étoil Arcturus n st pas situé dans l plan d l écliptiqu t a un mouvmnt propr. L'angl qu fait sa dirction avc l plan d l écliptiqu, applé latitud écliptiqu (voir figur 4) st connu t vaut : = 30,8. La distanc d l étoil st si grand, comparé à la distanc rr-olil, qu on put la considérr comm infini t il n résult qu, qull qu soit la position d la rr sur son orit, la latitud écliptiqu d Arcturus rst la mêm (n A t B comm n ). La composant radial d la vitss orital d la rr sra otnu n projtant V / sur la dirction. Par contr la vitss d l étoil par rapport au olil n st pas connu ; on put toutfois la considérr comm constant sur l échll d tmps court nvisagé (six mois). On la notra : V */. Il faudra donc étalir un systèm d dux équations à dux inconnus n appliquant la règl d composition ds vitsss aux dux positions rrur! Liaison incorrct.. Clu d Astronomi Vitss orital d la rr (24/08/05) pag 3/8 Lycé aint xupéry -Lyon

4 a) xprssion d la composant radial d la vitss orital d la rr : A B cliptiqu figur 4 ur la figur ci-dssous, tracr n A l vctur V / rprésntant la vitss orital d la rr puis sa projction orthogonal v /(a) sur la dirction A. Procédr d la mêm manièr pour la position B. A B Figur 5 Donnr l'xprssion d la composant radial v /() d la vitss orital V / d la rr n fonction d V / t d. ) Application d la règl d composition ds vitsss : La figur ci-dssous rprésnt l plan contnant l olil, l'étoil t ls dux positions d la rr n juillt t n janvir, A t B. La projction d l'orit d la rr y st alors un llips. A Vu d dssus A B B Vu d coup crcl écliptiqu Clu d Astronomi Vitss orital d la rr (24/08/05) pag 4/8 Lycé aint xupéry -Lyon

5 racr n A t B ls vcturs v /(a) t v /() rprésntant la projction, sur l plan d ctt figur, d la vitss V / d la rr par rapport au olil. Puis tracr n A t B ls vcturs v /(a) t v /(a) rprésntant la projction d la vitss V / du olil par rapport à la rr t ls vcturs rprésntant la vitss V */ d l'étoil par rapport au olil. n appliquant la règl d composition ds vitsss évoqué dans l paragraph précédnt, étalir dans ls dux cas a) t ) c'st à dir pour ls positions A t B d la rr, ls dux xprssions d la vitss radial rlativ V (a) ou V () d l'étoil par rapport à la rr n fonction d : - la vitss V */ d l'étoil par rapport au olil, - t la composant radial v /(a) ou v /() d la vitss orital V / d la rr, dont l'xprssion a été étali ci-dssus. n résolvant c systèm d dux équations, calculr V */, vitss propr d l'étoil t V /, vitss orital d la rr, d'après ls valurs trouvés dans l paragraph IV pour V (a) ou V (). xprimr la vitss orital d la rr n fonction du rayon a d son orit (distanc rr-olil) t d la duré d sa révolution autour du olil (un an = 365,25 jours). n déduir la distanc rr-olil. Clu d Astronomi Vitss orital d la rr (24/08/05) pag 5/8 Lycé aint xupéry -Lyon

6 I Démarch concptull Pour qu la vitss radial d la rr par rapport à l étoil soit la plus grand, l olil doit êtr n quadratur par rapport à l étoil. II Démarch pratiqu. Candidat la miux placé : Arcturus magnitud 0,2 class spctral K α = 14 h 13 min δ = = Périods d osrvation : α olil = 8 h 13 min juillt (déut d nuit) α olil = 20 h 13 min janvir (fin d nuit) III tud du spctr. Rais du spctr d référnc lanchs sur un fond noir : Rais du spctr d l'étoil noirs sur un fond lanc : rais d émission rais d asorption L groupmnt d rais 1, 2, 3, 5, 7 t 8 st présnt dans l spctr d l'étoil il y a du fr I dans l'atmosphèr d l'étoil? rayonnmnt roug : à droit rayonnmnt lu : à gauch mêms rais sur ls dux spctrs d l'étoil groups d rais du spctr stllair décalés vrs l roug dans l cliché a) vrs l lu dans l cliché ) Clu d Astronomi Vitss orital d la rr (24/08/05) pag 6/8 Lycé aint xupéry -Lyon

7 19 juillt déut d nuit A étoil γ olil B 30 janvir fin d nuit Vitss radial d l étoil : V (a) = + 20,12 km.s 1 V () = 29,64 km.s 1 L décalag n () st supériur au décalag n (a), la vitss d l étoil amplifi l fft d rapprochmnt l étoil s approch du olil V / A B v /() V / v /(a) v / = V /. cos v /(a) A V */ v /(a) V (a) B v /() V () v /(a) V */ crcl écliptiqu Clu d Astronomi Vitss orital d la rr (24/08/05) pag 7/8 Lycé aint xupéry -Lyon

8 V (a) = V */ + V / = V */ + V /. cos V () = V */ + V / = V */ V /. cos V V (20,53 27,37) V = (a) + () - 1 * / = = 4, km.s V / V(a) - V = 2 cos () (20,53+ 27,37) = = 29,64km.s -1 2.cos30,8 V */ = 5 km.s -1 V / = 29 km.s -1 Rayon d l orit rrstr n assimilant la trajctoir d la rr autour du olil à un crcl, la distanc parcouru n un an st : 2π * R = V * 365, 25* 24 * 3600 R V * 365, 25* 24 * 3600 = = 2π km Clu d Astronomi Vitss orital d la rr (24/08/05) pag 8/8 Lycé aint xupéry -Lyon

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