Planification des Interventions d un Bloc Opératoire par une Procédure «Branch-and-Price»

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1 > < 1 lnfcton s Intrvntons un Bloc Opértor pr un rocéur «Brnch-n-rc» H.F 1,2,.sns 1, C.Chu 2 n A.Art 3 Résumé Dns ct rtcl, nous chrchons à résour un prolèm plnfcton s ntrvntons ns un loc opértor sur un smn, vc comm octf mnmsr l coût totl opérton. Nous présntons, ns un prmr tmps, l moèl mthémtqu pour l prolèm concrné. Ensut, un procéur Brnch-n-rc st évloppé pour trouvr l soluton optml. Ds pérmnttons numérqus ont été ffctués sur s onnés générés létormnt. Nous trmnrons notr rtcl pr ls prspctvs notr trvl. ots clfs lnfcton s ntrvntons, loc opértor, l procéur «Brnch-n-rc», «opn schulng» L I. INTRODUCTION loc opértor, consstnt n slls opérton t n slls révl (pplés uss Is, slls sons postntrvntonnlls), st un lu hutmnt strtégqu ns un étlssmnt hosptlr. lon Clrgu[6 t cro t l.[13, c sctur chrurgcl consttu à lu sul près 1% à 15% u ugt prévu u fonctonnmnt l hôptl u ft qu l mplqu fférnts rssourcs humns t mtérlls coûtuss t rrs tlls qu ls chrurgns, ls équpmnts chrurgcu, tc. A cus s ugts lmtés, ls gstonnrs hôptu ont l nécssté rnr lur étlssmnt plus prouctf. r conséqunc, plus n plus chrchurs tntnt mélorr l fonctonnmnt locs opértors [14, [15, [12, [11, [7, [2, [3, [1, [16. Afn prmttr un mllur utlston s rssourcs n mlu hosptlr, nous llons, ns c ppr, nous foclsr sur l prolèm l plnfcton s ntrvntons ns un loc opértor sur un smn sns tnr compt c s contrnts lés u slls révl. our cl nous vons évloppé un procéur Brnch-n-rc, sé sur l é Dntg t Wolf [8 pour l soluton ct. Ct rtcl s vs n qutr prts : tout or, nous 15 rs 25. Ctt rchrch st fnncé pr l progrmm ôls ttrcton ntrunvrstrs- Ett lg- srvcs fééru s ffrs scntfqus tchnqus t culturlls. 1. Fcultés Unvrstrs Ctholqus ons (FUC), Chussé Bnch 151, 7 ons Blgqu.(f@fucm.c., msns@fucm.c.) 2. Unvrsté Tchnolog Troys (UTT), ITIT OI, 12 Ru r Cur B 26, 11 Troys CEDEX, Frnc. Chngn.chu@utt.fr 3. Ecol Tchnolog upérur (E.T.), ontrél, (Quéc) Cn, hm.rt@tsmtl.c écrvons l prolèm concrné t construsons ls moèls mthémtqus pour l résour. Ensut, ls étls sur l strtég sélcton un nœu t l vrl rmfcton sront onnés. Dns l vnt-rnèr prt, ls résultts numérqus s pérmnttons mnés sont montrés. Et nfn, nous posrons ls conclusons t ls prspctvs notr rchrch. II. ODELE ATHEATIQUE Du ft l complté u prolèm, nous smplfons l moèl concrné n posnt ls hypothèss suvnts: touts ls slls opértons sont multfonctonnlls, c st-à-r qu chqu ntrvnton put êtr ffctué ns n mport qull sll opérton ; Ls rssourcs humns t mtérlls sont sponls n nomr suffsnt pour ls ntrvntons ssgnés urnt l smn plnfcton ; Ls lts ns ls Is sont touours sponls pour ls ptnts qu vnnnt êtr opérés ns ls slls opérton ; N urgnc t n prémpton. D prt ls hypothèss, notr prolèm plnfcton, consstnt à plnfr un nsml ntrvntons progrmmés pour un smn ns un loc opértor, put êtr ssmlé à un moèl fform oronnncmnt sur mchns prllèls vc pénltés vnc t rtr [3. Or, pour résour cs prolèms, nomruss étus ont éà été ffctués. Ctons notmmnt Chn t owll ([4,[5) qu utlsnt l métho générton colonns pour ffctur un oronnncmnt sur mchns prllèls vc comm octf l mnmston s tmps ccomplssmnt t l mnmston s éls. D plus, ns [4, ls ont pplqué un lgorthm ct sé sur l procéur l générton colonns. Lurs résultts numérqus nous ont motvés à pplqur un métho smlr pour résour mnèr ct notr prolèm. Ls nottons utlsés sont ls suvnts : N : l nomr s ntrvntons prévus ns l smn ns l loc opértor;

2 > < 2 Ω : l nsml s ntrvntons l smn, Ω {1,,N}; p : l uré opértor l ntrvnton ; D : l t lmt l ntrvnton (trnsformé n our smn); : l péro plnfcton prmé n nomr ours (normlmnt, 5 ours ns un smn); : l nomr slls opérton sponls l our ; C : l coût opértor l sll opérton l our. TOR : l nomr hurs normls sponls pnnt l our l sll ; T : l nomr mml hurs supplémntrs possls pour l sll l our ; β : l rpport ntr l coût un hur supplémntr t clu sous-utlston ; Ls vrls écson sont rprésntés pr : 1 s l ntrvnton st plnfé ns l sll opérton l our ; snon Notr prolèm consst onc à ffctr un nsml ntrvntons (u mons touts clls ont l t lmt st nférur à l péro plnfcton) à un ourné, un sll opérton t c ns l péro plnfcton tout n mnmsnt l coût totl (coût s hurs supplémntrs ou coût sous-utlston s slls). C prolèm put s écrr sous l form u progrmm lnér n nomr ntrs (GNE) suvnt : mn 1 1 C ( TOR p ), Ω C m où β ( p ) () TOR Ω, [1,..,, [1,..., ous ls contrnts: Ω 1 1 p TOR + T Ω t D Ω t D > [ 1,..., t [1,..., (1) (2) (3) {,1} (4) Ω, [ 1,...,, [1,..., L foncton octf vs à l mnmston u coût totl s slls opérton sur un smn. L coût un sll opérton pour un ourné rprésnt sot l coût u nomr hurs supplémntrs sot l coût sousutlston l sll c our-là, rprésnté pr l formul (). L contrnt (1) mpos qu tout ntrvnton ont l t lmt st nférur ou égl à, sot prs n compt ctmnt un fos. L contrnt (2) mpos qu tout ntrvnton ont l t lmt st supérur à put êtr prs n compt u plus un fos. L contrnt (3) mplqu qu l tmps opértor un sll opérton n put ps cér l nomr hurs normls + l nomr hurs supplémntrs possls pour un ourné pour ctt sll. En outr, nous pouvons procér utrmnt n trvllnt n générnt s plnnngs rélsls c st à r s nsmls ntrvntons plnfés pour un sll opérton pour un ourné. Nous pouvons lors rprésntr notr prolèm pr un utr progrmm n nomrs ntrs où un vrl écson nr v nqur s un plnnng st rtnu ou non. Consérons l notton suvnt : Un plnnng : l nsml s ntrvntons plnfés pour un sll opérton pour un ourné ; 1 s l ntrvnton st plnfé ns l plnnng ; snon 1 s l plnnng st rtnu l our ; snon 1 s l sll opérton st utlsé pr l plnnng snon : l nomr plnnngs possls; Ω : l nsml s ntrvntons prévus à plnfr ns l sll l our. Ω : l nsml tous ls plnnngs rélsls possls pnnt l péro plnfcton; C : l coût u plnnng ( coût s hurs supplémntrs ou coût l sous-utlston l sll opértor). Ls vrls écson sont notés pr 1 s l plnnng Ω st rtnu; snon Notr prolèm s écrt mntnnt sous l form u

3 > < 3 progrmm générl (G) suvnt : mn où C Ω ( C m β (, Ω 1 1 Ω p (vc 1 1 ) ous ls contrnts: Ω Ω Ω Ω, D Ω, D TOR > 1 1 Ω p ), TOR ) 1 [1, L,, [1, L, (11) (6) (7) (8) Ω p 1 1 {,1} Ω, ( TOR + T ) Ω (9) (1) Rmrquons qu ls contrnts (6), (7) t (8) u G corrsponnt u contrnts (1)(2) u GNE. L contrnt (9) corrspon à l contrnt (3). Et l formul (11), corrsponnt à l formul (5), rprésnt l formulton éfnton u coût un plnnng. D plus, l rlton ntr ls vrls écson u GNE t clls u G put êtr rprésnté pr l formulton suvnt : Ω (13) Notons qu pusqu l GNE t l G sont u moèls mthémtqus équvlnts rprésntnt l mêm prolèm concrné, lurs solutons optmls sront lls uss équvlnts. Dns ls prts suvnts, nous llons présntr l procéur Brnch-n-rc évloppé pour trouvr l soluton ct u prolèm concrné. Afn smplfr l prolèm générl, nous llons pplqur ls és Dntg t Wolf [8 t l écomposr n u prts : l prolèm prncpl qu rprn l prolèm G ms sns ls contrnts rltvs u nomrs hurs normls t supplémntrs sponls t s sousprolèms qu ntègrnt cs contrnts. Afn trvllr sns contrnt ntégrté, nous llons rlâchr l contrnt (1) ns t otnr lors l prolèm L (prolèm prncpl lnér). Dns un rchrch ntérur [9, un procéur sé sur l générton colonns vt été utlsé pour résour l prolèm conséré. Ctt pproch n nous prmttnt ps otnr un soluton ct, nous vons c utlsé un procéur Brnch-n-rc ont l structur st l suvnt : Étp : (Intlston) Lst s nous v ; l prmr nœu ctul rprésnt l prolèm G. Etp 1 : (résour l nœu ctul ) Résour l L u nœu ctul pr l procéur générton colonns présnté ns l rtcl [9. (1.1) l L ctul st rrélsl ou s s soluton optml st supérur ou égl à l orn supérur ctull (UB), llr à l étp 2. (1.2) ttr l soluton L u nœu ctul comm s orn nférur (LB). c nœu ctul st l prmr nœu ploré, un procéur hurstqu HBGC, évloppé ns [9, st pplqué pour otnr un soluton rélsl qu consttur l prmèr orn supérur (UB) ctt procéur Brnch-n-rc. Étp 2 : (évluton) (2.1) l nou ctul st l prmr ploré t s son L st rrélsl, ctt procéur Brnch-n-rc s trmn. On n put ps trouvr l soluton rélsl pour c prolèm. (2.2) l orn nférur (LB) u nœu ctul st supérur ou égl à l orn supérur ctull (UB) t s l lst ctull s nous cnts st v, l procéur s rrêt. Dns c cs-c, l UB ctull st l soluton optml. l lst ctull s nous cnts n st ps v, llr à l étp 2.4. (2.3) l LB u nœu ctul st un soluton rélsl (n nomrs ntrs), on rmplc UB ctull pr ctt LB; snon, llr à l étp 3. (2.4) Rmplcr l nœu ctul pr l prmr nœu l lst s nous cnts ont l LB st l plus ptt t nlvr l nœu chos l lst n mêm tmps. Ensut, llr à l étp 1. Étp 3: (rmfcton) clculr t chosr un vrl rmfcton slon ls crtèrs présntés ns l scton 4, pus rmfr l nœu ctul n u nœus fls. Etp 4 : (étnr l lst ctull nœus) ttr l nœu fls guch comm l nœu ctul à plorr t, n mêm tmps, outr l nœu fls rot ns l lst ctull s nous cnts où tous ls nœus sont trés pr orr crossnt lurs LBs, nsut, llr à l étp 1. Dns l prt suvnt, nous llons présntr ls ponts ls plus mportnts l procéur Brnch-n-rc : ls strtégs l sélcton u nœu t l vrl rmfcton.

4 > < 4 III. TRATEGIE DE LA ELECTION DU NŒUD ET DE LA VARIABLE DE RAIFICATION L strtég l sélcton u nœu vs à chosr un nœu ctul ns l lst nous cnts t l strtég l sélcton l vrl rmfcton vs à chosr un vrl non ntèr pour ffctur l rmfcton. A. L strtég l sélcton u nœu L strtég l sélcton u nœu pplqué c st l mêm qu cll l rtcl [4. Ell st l comnson l règl «Dpth-frst-srch» t cll «Bst-lowroun», c st-à-r qu s l nœu ctul n put ps êtr élgué, l règl pth-frst-srch st pplqué t onc un ss nœus fls (ns ct rtcl, on prn son nœu fls guch) st chos comm prochn nœu pour êtr trté. En outr, s l nœu ctul st élgué, l règl Bst-lowr-oun st pplqué t un nœu ns l lst nous cnts, ont l orn nférur st l mnmum, st chos pour êtr ploré. B. L strtég l sélcton l vrl rmfcton Comm t ns l rtcl [4 concrnnt l résoluton u prolèm G, s rmfr trtonnllmnt sur l -vrl ( un vrl écson u G) put cusr un prolèm sur un rnch où s vrl écson st éà ms éro. Ans, on préfèr s rmfr sur ls vrls écson u GNE. Ctt strtég l sélcton l vrl rmfcton été prouvé vc succès ns ls utrs rtcls, pr mpl [1 t [4. r conséqunt, nous llons uss fr l rmfcton sur ls vrls écson GNE. Tout à or, nous éfnssons ls q-vrls comm suvnts : q 1 Chqu vrl Ω, [1, L, q (14) nqu s un ntrvnton put êtr plnfé u our ou ps. L strtég l sélcton l vrl rmfcton s compos u étps : rmr étp : rmfr l nou ctul slon l vlur q-vrl. l y plusurs q-vrls frctonnrs, on chost un pr (, ) slon l crtèr 1 4. us, u nœus fls sont construts où l nou fls guch corrspon à t clu rot corrspon à 1. our l cs q q q où st à, on mt pour tous ls [1,,, t l R ntl c nœu s compos touts ls colonns son nœu pèr suf clls où l ntrvnton st plnfé l our. En mêm tmps, on mt 4 Crtèr 1: q st frctonnr t l plus proch à.5,.. q rg mn{ q.5, q l,, [1, < < Ω L q, } Ω q Ω \ { }, [1,..., st ms à 1, touts ls. our ls nous où t sont mss à pour tous ls possls t ns c cs-là, son R ntl s compos touts ls colonns son nœu pèr suf clls où l ntrvnton st plnfé ls ours utrs qu l Ω Ω \ { } our. D plus, nous mttons. Duèm étp: touts ls q-vrls sont ntèrs, nous vérfons ncor s l y s vlurs -vrls frctonnrs. l y n, nous llons rmfr slon ls vlurs -vrls comm sut : chosr (,, ) slon l crtèr 2 5. Comm l prmèr étp, u nœus fls sont créés. our l nœu fls guch, on mt t Ω. on R ntl s compos touts ls colonns son nœu pèr suf clls où l ntrvnton plnfé à l sll opérton l our ; l nœu fls rot corrspon u 1, son R ntl s compos touts ls colonns son nou pèr suf clls où l ntrvnton st plnfé u slls opérton utrs qu l sll opérton l our t clls corrsponnt à l sll opérton l our ms où l n y ps l ntrvnton ns. On mt Ω Ω { } pour tous ls Ω \ { } { [1,..., s \{ }, [1,..., {, [1,..., \ {. t }} } IV. REULTAT NUERIQUE \ A. Outl utlsé Orntur : IB Thn T23 (CU: III 1. GH, émor: 128 ) Logcl : crosoft VC++ 6. L outl utlsé pour l résoluton l progrmmton lnér: COIN ( /con/fqs.html) B. Ls onnés L uré plnfcton : 5 (ours), c st onc un plnfcton pour un smn ; L nomr s slls opérton sponls : U[1,4 ; L nomr ntrvntons : N 1, 2, 3, 4 5 Crtèr 2: rg mn{.5, 1,, [1, < < Ω L st st frctonnr t l plus proch à.5,.., }

5 > < 5 5 ; L nomr hurs normls sponls pnnt un ourné un sll opérton : TOR U[,96. Unté: 5mnuts ; L nomr mml hurs supplémntrs possls pour un sll opérton pnnt un ourné : T s TOR ; U[, 72, snon. Unté : 5 mnuts ; L tmps opértor s ntrvntons : p U[3,96. Unté : 5 mnuts. Ls ts lmt s ntrvntons D U[1,2. Unté : our. L rpport ntr l coût l hur norml t l hur supplémntr β 1.5. Nous vons généré 2 mpls chqu cs N. Nous vons onc ffctué 1 mpls. C. Résultts numérqus Nous vons ffctué un comprson ntr l soluton ct trouvé pr l procéur Brnch-n-rc t l orn nférur trouvé pr l procéur générton colonns proposé ns [9. L tmps clcul t l nomr s nous plorés sont montrés c. Tous ls résultts numérqus sont fourns ns ls tlu I, II t III ont ls prmètrs comprson sont rprésntés c-ssous (tous ls résultts ns tlu II t III sont ls résultts moyns s 2 mpls pour chqu cs N) : I : l soluton ct l procéur Brnch-n- rc ; L : l orn nférur otnu pr l procéur générton colonns présnté n [9. (I-L)/I : l tu stnc I à L. N résolus : l nomr prolèms résolus à lur nœu ntl (nœu rcn), c st-à-r, sns l cton rmfcton, prm 2 mpls chqu cs. N nœus plorés : l nomr totl s nœus plorés ns l procéur Brnch-n-rc (u mons un nœu ). N colonns générés : l nomr totl colonns générés ns l procéur Brnch-n-rc ; CU : Tmps moyn clcul pr l procéur Brnchn-rc ( unté : scons) TABLEAU I LA ROORTION DE DITRIBUTION DE RÉULTAT (I-L)/I % % 5% 5% 1% 1% 15% 15% 1% roporton 68.% 2.% 11.% 1.% % roporton cumulé 68.% 88.% 99.% 1% 1% TABLEAU II LE TAUX DE DITANCE N L I (I-L)/I % , ,325, , ,825, , ,575, N résolus TABLEAU III RÉULTAT NUÉRIQUE N nous plorés N colonns générés CU (scons) ,7 63, ,6 119,85 231, , ,2 1877, ,1 6717, , , ,1 5564,437 rm ls 1 mpls, on trouv qu : ns 99% s mpls, l écrt ntr l soluton ct t l orn nférur u G st nférur ou égl à 1%. D plus, pour 68% s cs, l écrt st égl à éro. Cl mplqu qu l soluton otnu pr l procéur générton colonns st très proch l soluton optml. l pluprt s prolèms (72 prm 1) sont résolus sns l cton rmfcton, c st-à-r, résolu pr l procéur hurstqu HBGC. tous ls prolèms puvnt êtr résolus n un tmps rélsl (u mons qu qutr hurs n moynn). V. CONCLUION ET ERECTIVE Dns ct rtcl, nous vons évloppé un procéur Brnch-n-rc pour trouvr un soluton ct à un prolèm plnfcton s ntrvntons ns un loc opértor sur un smn. Ls pérmnttons numérqus ont été écutés pour fférnts nomrs ntrvntons prévus 1 à 5. Ls solutons otnus sont onn qulté.

6 > < 6 Du ft qu ucoup s hypothèss sont émss ns l moèl construt ns ct rtcl, ctt rchrch n put êtr ctullmnt utlsé concrètmnt u sn un cntr hosptlr. Nous llons onc rlâchr ls hypothèss énoncés c, prnr n compt ls slls révl t uss prnr n consérton s contrnts supplémntrs rssourcs ns nos trvu rchrch ultérurs. REFERENCE [1 Brnhrt C., Johnson E.L., Nmhusr G.L., vlsrgh.w.., Vnc.H., Brnch-n-rc: Column gnrton for solvng hug ntgr progrms, Oprtons Rsrch, 46, , [2 Bl J.T., n Donl J., ount n hosptl uss ntgr progrmmng to lloct oprtng room tm, INFOR, 32 (2), 63-73, 22. [3 Chn., Gunt A., mols N., Guru., Luqut B., rcon E., Vl J.., Th nustrl mngmnt n th mngmnt of surgcl unts, Annls Frnçss Anthés t Rénmton, 22, 94-98, 23. [4 Chn Z.L., owll W.B., olvng rlll chn chulng rolms y Column Gnrton, INFOR: Journl of Computng, 11(1), 78-94, [5 Chn Z.L., n owll W.B., A column gnrton s composton lgorthm for prlll mchn ust-n-tm schulng prolm, Europn Journl of Oprton Rsrch, 116, , [6 Clrgu F., Gston u loc opértor : ourquo un tll préoccupton? Informtons clnqus n Ansthés-Rénmton, 93-95, [7 Dtr F., cro A. n Tru R.D., Whch lgorthm for schulng -on Elctv css mms oprtng room utltons? Ansthsology, 91, , [8 Dntg G.B., n Wolf., Dcomposton prncpl for lnr progrms. Oprtons Rsrch, 8, , 196. [9 F H., Chu C., Art A., sns N., lnfcton s ntrvntons sur un smn ns un loc opértor, ROADEF 5, 6 èm congrès l océté Frnçs Rchrch Opértonnll t A à l Décson, cooronné pr Bllut J-C., Crl Esswn C., , 25 [1 Gunt A., n Chn., Oprtng thtr plnnng, Intrntonl Journl of roucton Economcs, 85, 69-81, 23. [11 Jl, A., Hloun, A.B., Lt,., Oprtng room schulng, rocng of Intrntonl Confrnc Inustrl Engnrng n roucton ngmnt, IE 3, orto, ortugl, y, 26-28, 23. [12 Lovoy W.., n L Y., Hosptl oprtng room cpcty pnson, ngmnt cnc, 48(11), , 22. [13 cro A., Vt T.., Dunn B., conl T., Whr r th cost n proprctv cr? Anthsology, 83(6), , [14 Orhn I., Allocton of surgcl procurs to oprtng rooms, Journl of cl systms, 19, , [15 Vssrs, J., tnt flow-s llocton of nptnt rsourcs: A cs stuy, Europn Journl of Oprton Rsrch, 15, , [16 Wnroum A.A., Estn., Er T., Effcncy of th oprtng room sut, Th Amrcn Journl of urgry 185, , 23.