Les systèmes asservis linéaires. échantillonnés. Mohamed AKKARI

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1 Ministèr d l Ensignmnt Supériur, d la Rchrch Scintifiqu Univrsité Virtull d Tunis Ls systèms assrvis linéairs échantillonnés Echantillonnag instantané d un signal Mohamd AKKARI Attntion! C produit pédagogiqu numérisé st la propriété xclusiv d l'uvt. Il st strictmnt intrdit d l rproduir à ds fins commrcials. Sul l téléchargmnt ou imprssion pour un usag prsonnl 1 copi par utilisatur) st prmis.

2 Univrsité Virtull d Tunis Ls systèms assrvis linéairs échantillonnés Echantillonnag instantané d un signal Objctif :Con crn la présntation ds notions d bas d l échantillonnag d un signal t la définition dl échantillonnag idéal d un signal. La sélction d la périod d échantillonnag adéquat, établi n rapport avc l théorèm d Shannon st présnté, suivi ds choix adoptés d ctt périod dans la pratiqu pour ls systèms d prmir ordr t du scond ordr. Mohamd AKKARI

3 Univrsité Virtull d Tunis Ls systèms assrvis linéairs échantillonnés Echantillonnag instantané d un signal II-1:Définition L échantillonnag, st l opération qui consist à transformr un fonction continu + f d tmps [ f pour t < t f ) ], n un suit d unités d informations f * t ) sur ctt fonction. Ctt suit d unités n s manifst qu à ds instants discrts T du tmps où T st applé périod d échantillonnag. f f * t kt f f * t ) kt T Echantillonnur Fig.4 : Echantillonnag d un fonction II- : Echantillonnag idéal Pour établir l xprssion d f * t ), on associ à f l impulsion d Dirac δ défini par δ 1 pour t t tout t> ). δ pour L xprssion δ t kt ) qui st l impulsion d Dirac rtardé jou un rôl fondamntal dans l approch d discrétisation d un fonction continu. En fft, δ t kt ) prmt, pour k variant d à l infini, d obtnir un séri d «uns», applé «pign d Dirac», pour tout t kt 1 T T 3T 4T t k k1 k k3 k4 Pign d Dirac 3 Mohamd AKKARI

4 Univrsité Virtull d Tunis Ls systèms assrvis linéairs échantillonnés Echantillonnag instantané d un signal L échantillonnur idéal étant d la form : Si on multipli kt ) f par δ t kt ) * f f T t qu on fass la sommation pour k variant d à l infini d f kt ) δ t kt ), on obtint uniqumnt ls valurs discrèts kt ) f d f à chaqu instant d échantillonnag puisqu pour tout autr valur d t kt, l produit f kt ) δ t kt ), du fait qu t kt ) t kt. δ pour T T 3T 4T t f) ft) ft) f3t) f4t) Discrétisation d un fonction par l pign d Dirac On put par conséqunt établir l xprssion discrèt f * t ) : δ T 1) k * f f f kt ) δ t kt ) En appliquant la transformé d Laplac I sur la fonction * t ) I * kt p [ f t )] f kt ) I [ δ t kt )] f kt ) F k k * * kt p On pos : [ ] k f, il vint : p ) I f t ) f kt ) ) 4 Mohamd AKKARI

5 Univrsité Virtull d Tunis Ls systèms assrvis linéairs échantillonnés Echantillonnag instantané d un signal Nous rmarquons l analogi ntr la transformé d Laplac d un fonction discrèt ) t la transformé d Laplac d un fonction continu f, pt défini par l xprssion : F I{ f } f. dt 3) La rlation ) st cll qui va êtr xploité par la suit. II-3 Choix adéquat d la périod d échantillonnag T : II-3-a : Exmpl d introduction Soit la fonction continu n tmps t f.sint Sa courb rprésntativ, pour t variant d à 4s, st tracé sur la fig.5 Fig.5 : Tracé continu d f Réalisons un échantillonnag d ctt fonction pour différnts valurs d la périod T : Ls courbs qui n résultnt, sont rprésntés dans ls figurs suivants : Fig.6 : T.1s Fig.7 : T.3s Fig.8 : T.3s 5 Mohamd AKKARI

6 Univrsité Virtull d Tunis Ls systèms assrvis linéairs échantillonnés Echantillonnag instantané d un signal Fig.9: T.6s Fig.1 : T.9s Fig.11 : T 1s Nous constatons d après cs figurs, qu l allur d la fonction f * t ) échantillonné prd tout rprésntativité d la fonction f t c, à partir d la périod d échantillonnag T.6s. Par conséqunt, si on vut rconstitur la fonction continu f à partir d ss échantillons fk, pour k,, ctt opération n fournit plus aucun information corrct sur f avc un périod d échantillonnag T.6s. Or la rconstitution étant un opération nécssair pour commandr l procssus étudié, l choix judiciux d la périod d échantillonnag, qui n fait pas prdr l information sur la fonction continu lors d la rconstitution d cll-ci à partir d sa séqunc discrétisé, st-il fondamntal. T Calculat T Rconstitution Procssus à s Fig.1 : Boucl d assrvissmnt discrt II-3-b:Théorèm d Shannon L théorèm d Shannon établit un condition nécssair sur l choix d la périod d échantillonnag adéquat. Théorèm : Pour pouvoir rconstitur, sans prt d information, un signal continu à partir d sa séqunc discrétisé, il faut qu la fréqunc d échantillonnag f soit supériur à dux fois la fréqunc maximum à transmttr 1 f > f max c st à dir T < T min 4) 6 Mohamd AKKARI

7 Univrsité Virtull d Tunis Ls systèms assrvis linéairs échantillonnés Echantillonnag instantané d un signal Toutfois, ctt condition n constitu qu un limit théoriqu t dans la pratiqu il faut choisir un périod d échantillonnag plus ptit. Généralmnt ctt périod st choisi dans la fourchtt Tc 5 Tc T où 1 T c rprésnt la périod rlativ à la fréqunc d coupur du systèm à commandr. En outr, pour ls systèms automatiqus, l choix d la périod d échantillonnag doit généralmnt vérifir: f 6 5) 5) BF f BP Où BF f BP st la fréqunc d la band passant n boucl frmé du systèm à commandr. II-3-c:Règls pratiqus pour l choix d T 1) Pour ls systèms qui s présntnt sous la form d un prmir ordr fondamntal dont la fonction d transfrt st k H 1 + T p f BP T f t n vrtu d la règl précédnt, T < T 4 1 ΠT < 6) ) Pour ls systèms d duxièm ordr fondamntal rprésntés par un fonction d transfrt d la form H p ω + ξω p + ω Où ξ st l cofficint d amortissmnt t ω la pulsation propr. - Si ξ. 7, ω f BP on choisit.5 ω T 1 Π 7) 7 Mohamd AKKARI

8 Univrsité Virtull d Tunis Ls systèms assrvis linéairs échantillonnés Echantillonnag instantané d un signal -Si ξ 1, ω f BP.6 on choisit.4 ω T ) Π Par aillurs, étant donné qu n boucl frmé on impos généralmnt au systèm étudié un comportmnt d un duxièm ordr fondamntal avc.7 ξ 1, on choisit dans c cas un périod d échantillonnag vérifiant.5 ω T 1.5 9) Evaluation : Exrcic1: Soit l équation différntill suivant rliant un sorti s à un ntré d un d systèm physiqu : s + T s k dt - Qul st l ordr d c systèm? - En appliquant la transformé d Laplac sur ctt équation, avc ls conditions initials nulls, montrr qu : H S k E 1+ T p - Pour T 1s Dans qull fourchtt doit s situr la périod d échantillonnag? 8 Mohamd AKKARI

9 Univrsité Virtull d Tunis Ls systèms assrvis linéairs échantillonnés Echantillonnag instantané d un signal Solution: - L équation différntill contint un dérivation d ordr 1, l systèm st donc d prmir ordr. On appliqu la transformé d Laplac I : d - I [ s + T s ] I[ k ] dt Comm I st un transformation linéair, on a : d I [ s ] + TI[ s ] ki[ ] pour ds conditions initials nulls on aura : dt S + T ps ke d où la fonction d transfrt : H S k E 1+ T p - Conformémnt à la rlation 6) du chapitr, on choisit un périod d échantillonnag.5 T p 1. p Exrcic: Un systèm physiqu st régit par un équation différntill linéair d la form : d d s + b s + c s k. dt dt - Appliqur la transformé d Laplac sur ctt équation différntill pour S déduir la fonction d transfrt G, ls conditions initials étant E supposés nulls. - Qul st l ordr d c systèm? - Explicitr la pulsation propr t l cofficint d amortissmnt à partir d S G. E 9 Mohamd AKKARI

10 Univrsité Virtull d Tunis Ls systèms assrvis linéairs échantillonnés Echantillonnag instantané d un signal - Trouvr ls conditions qu doivnt vérifir l cofficint «b» pour avoir.7 ξ 1 - Qul st alors l millur choix d la périod d échantillonnag qui prmt d discrétisr c systèm dans ds conditions accptabls? Solution: L équation différntill contint un dérivation d ordr dux, l systèm st d duxièm ordr. d d s + b s + c s k. dt dt En appliquant la transformé d Laplac su ctt équation on trouv S G k E cp 1 avc ls conditions initials nulls. + bp + 1 En idntifiant G à un systèm d duxièm ordr fondamntal, on trouv : 1 ω t c ξω b c ξ, b doit satisfair b c t b 1. 4 c Pour avoir.7 1 En vrtu d.5 ω T 1. 5 la périod d échantillonnag T vérifi : donc.5 c T 1. 5 c 1 Mohamd AKKARI