Approximation particulaire d une méthode adaptative de calcul d énergie libre

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1 Approximation particulaire d une méthode adaptative de calcul d énergie libre Raphaël Roux Travail en commun avec Benjamin Jourdain et Tony Lelièvre CERMICS ENPC & Projet MicMac INRIA Journées MAS - 29 Août 2008 R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

2 Plan 1 Introduction 2 La méthode de la force biaisante adaptative 3 Approximation particulaire 4 Résultats numériques R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

3 Plan 1 Introduction 2 La méthode de la force biaisante adaptative 3 Approximation particulaire 4 Résultats numériques R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

4 Motivations On considère un système physique (réaction chimique, conformation d une protéine, etc...) dont on cherche à étudier le comportement. Deux problématiques importantes : Calcul d énergies libres : On s intéresse à une caractéristique macroscopique du système. Deux énergies : Energie totale : traduit le comportement du système à l échelle microscopique Energie libre : traduit le comportement macroscopique quantité intéressante Echantillonnage : On cherche à échantillonner la mesure canonique, dépendant de l énergie totale, qui contient toute l information statistique sur le système. R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

5 Motivations On considère un système physique (réaction chimique, conformation d une protéine, etc...) dont on cherche à étudier le comportement. Deux problématiques importantes : Calcul d énergies libres : On s intéresse à une caractéristique macroscopique du système. Deux énergies : Energie totale : traduit le comportement du système à l échelle microscopique Energie libre : traduit le comportement macroscopique quantité intéressante Echantillonnage : On cherche à échantillonner la mesure canonique, dépendant de l énergie totale, qui contient toute l information statistique sur le système. R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

6 Motivations On considère un système physique (réaction chimique, conformation d une protéine, etc...) dont on cherche à étudier le comportement. Deux problématiques importantes : Calcul d énergies libres : On s intéresse à une caractéristique macroscopique du système. Deux énergies : Energie totale : traduit le comportement du système à l échelle microscopique Energie libre : traduit le comportement macroscopique quantité intéressante Echantillonnage : On cherche à échantillonner la mesure canonique, dépendant de l énergie totale, qui contient toute l information statistique sur le système. R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

7 Cadre mathématique Espace d état D R d. Energie potentielle V : D R. Mesure canonique sur D : Z 1 e βv(x) dx (β = (k B T) 1 : température inverse). Données intéressantes : résumées dans la coordonnée de réaction ξ : D T ou R. Exemple : ξ : D [0, 1] pour l avancement d une réaction chimique, ξ : D T pour un angle structural dans une protéine, etc... R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

8 Cadre mathématique Espace d état D R d. Energie potentielle V : D R. Mesure canonique sur D : Z 1 e βv(x) dx (β = (k B T) 1 : température inverse). Données intéressantes : résumées dans la coordonnée de réaction ξ : D T ou R. Exemple : ξ : D [0, 1] pour l avancement d une réaction chimique, ξ : D T pour un angle structural dans une protéine, etc... R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

9 L énergie libre On s intéresse à l énergie effective subie par ξ. Vu la définition de la mesure canonique, on pose naturellement : Définition L énergie libre est la fonction mesurable A telle que e βa(z) dz soit la mesure image de la mesure canonique par la fonction ξ. R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

10 Méthode naïve On cherche à échantillonner la mesure canonique Z 1 e βv(x) dx et à calculer A. Sous de bonnes hypothèses, la dynamique dx t = V(X t )dt + 2β 1 dw t, admet la mesure canonique pour mesure invariante ergodique. Cela permet théoriquement d échantillonner la mesure canonique et de calculer A. Inconvénient : convergence très lente (métastabilités). Comment supprimer ces métastabilités? R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

11 Méthode naïve On cherche à échantillonner la mesure canonique Z 1 e βv(x) dx et à calculer A. Sous de bonnes hypothèses, la dynamique dx t = V(X t )dt + 2β 1 dw t, admet la mesure canonique pour mesure invariante ergodique. Cela permet théoriquement d échantillonner la mesure canonique et de calculer A. Inconvénient : convergence très lente (métastabilités). Comment supprimer ces métastabilités? R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

12 Plan 1 Introduction 2 La méthode de la force biaisante adaptative 3 Approximation particulaire 4 Résultats numériques R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

13 Une expression de A Par la formule de la co-aire, si X est distribué selon la mesure e β(v+u ξ)(x) dx, pour une certaine fonction U, alors Z 1 U où F = V ξ ξ 2 A (z) = E[F(X) ξ(x) = z], ( ) div ξ. ξ 2 R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

14 La méthode ABF Conséquence : l EDS { dx t = (V A t ξ)(x t )dt + 2β 1 dw t, A t (z) = E[F(X t) ξ(x t ) = z], (1) admet une solution telle que A t = A et X t Z 1 e β(v A ξ) dx pour tout t > 0. Si convergence, cela permet : le calcul de A et donc de A. un échantillonnage préférentiel de la mesure canonique. R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

15 Comprotement selon la coordonnée de réaction On s attend à ce que ce soit une bonne méthode de réduction de variance. En effet : Lemme Pour t > 0, la loi de ξ(x t ) admet une densité p t, telle que (p t ) t>0 satisfait l équation de la chaleur. Conséquence : bon échantillonnage de la coordonnée de réaction, même en présence de métastabilités. R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

16 Cadre simplifié Dans la suite on se place dans le cadre simplifié suivant : D = R d ou T R d 1, ξ(x) = x 1. On a alors F = 1 V, et (1) se récrit { dx t = ( (V)(X t ) + e 1 E[ 1 V(X t ) Xt 1]) dt + 2β 1 dw t, (2) de loi µ donnée. X 0 R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

17 Existence et unicité Théorème (B. Jourdain - T. Lelièvre - R. R.) On suppose 1 V borné. Pour toute loi de probabilité µ sur R d, on a existence d une solution faible X à (2). De plus, pour s > 0 la loi de X s admet une densité u s telle que u L ((t, T), L 2 (R d )) L 2 ((t, T), H 1 (R d )), 0 < t < T. Si D = T R d 1, et si µ admet une densité de carré intégrable, on a existence et unicité globale d une solution faible X. De plus, pour s 0, la loi de X s a une densité u s telle que u L ((0, T), L 2 (T R d 1 )) L 2 ((0, T), H 1 (T R d 1 )), T > 0. R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

18 Convergence de A t vers A Théorème (T. Lelièvre - M. Rousset - G. Stoltz (2008)) Si (X t, A t ) est solution de l équation précédente, sous de bonnes hypothèses, la fonction A t converge exponentiellement vite vers A. Remarque : la vitesse de convergence dépend principalement des constantes de l inégalité de Sobolev logarithmique associée à la mesure canonique conditionnée à ξ(x) = z : on a tué les métastabilitiés selon la coordonnée de réaction. R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

19 Plan 1 Introduction 2 La méthode de la force biaisante adaptative 3 Approximation particulaire 4 Résultats numériques R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

20 Approximation de Nadaraya-Watson Pour simuler l EDS obtenue, on va approcher l espérance conditionnelle par un système de particules : N n=1 E[ 1 V(X t ) ξ(x t )] 1V(Xt n)ϕα ε (Xt n ) N n=1 ϕα ε (Xt n), où les X n sont chacun une approximation de X, et ϕ α ε = α + ϕ ε, avec ϕ ε une approximation de l identité suffisamment régulière à support dans [ ε, ε]. R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

21 Equations du système de particules On pose donc ( P dxt n = V(Xt n) + N m=1 1V(Xt m X0 n i.i.d de loi µ. )ϕ α ε (X t n X t m ) P N m=1 ϕα ε (X t n X t m ) Le système (3) admet une unique solution forte. ) dt + 2β 1 dw t, (3) R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

22 Convergence vers la solution Théorème (B. Jourdain - T. Lelièvre - R. R.) Sous de bonnes hypothèses, on a, pour T > 0, T N E n=1 1V(X n,n t )ϕ α ε (. X n,n t ) 0 N n=1 ϕα ε (. X n,n A t t ) L (T) ( = O α + ε + 1 ( ) ) 1 αε 2 αεn + 1 α ε e K αε 2. N dt R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

23 Résultat non optimal? Remarque : on pourrait espérer un meilleur résultat : α + ε : erreur entre A t et la solution du système limite obtenu en prenant N dans le système de particules. ) e K αε 2 : approximation particulaire. N particules ( 1 1 αε 2 αεn + 1 α ε N interagissant à distance ε une particule interagit avec εn particules erreur en 1? εn Difficulté : cadre non i.i.d. R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

24 Plan 1 Introduction 2 La méthode de la force biaisante adaptative 3 Approximation particulaire 4 Résultats numériques R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

25 Un exemple On regarde le potentiel V(x, y) =3e x 2 (y 1/3) 2 3e x 2 (y 5/3) 2 5e (x 1)2 y 2 5e (x+1)2 y x (y 1/3) Deux canaux : à basse température, le canal du haut est préféré car la barrière d énergie correspondante est plus basse. R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

26 Sans ABF Dynamique de Langevin :Position de 1000 particules avec β = 10, au bout d un temps R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

27 Avec ABF Dynamique ABF :Position de 1000 particules avec β = 10, au bout d un temps R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

28 Calcul de la force moyenne avec ABF En rouge : vraie valeur de la force moyenne (calculée par intégration numérique). En bleu : force moyenne calculée avec ABF L écart en norme L 1 entre A et son approximation est de R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

29 Convergence N Distance L 1 entre la force moyenne et son approximation, en fonction du nombre de particule (échelle logarithmique). 0.0 Distance L¹ en fonction de N (log log) Coefficient directeur : R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26

30 Références B. Jourdain, T. Lelièvre, R. R., A particle approximation to an Adaptive Biasing Force Method, (En préparation). C. Chipot and A. Pohorille, Free energy calculations : Theory and applications in chemistry and biology (2007). T. Lelièvre, M. Rousset, G. Stoltz, Long time behaviour of an Adaptive Biasing Force Method, Nonlinearity (2008). R. Roux (CERMICS, ENPC) Journées MAS / 26