Traitement du Signal. Numérisation des Signaux

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1 Traiemen du Signal James L. Crowley Deuxième Année ENSIMAG première Bimesre 2001/2002 Séance 3 : 8 ocobre 2001 Numérisaion des Signaux Formule du Jour :... 1 Signal e Informaion... 2 Représenaion analogique e numérique...3 L'Énergie d'un Signal...5 Echanillonnage des Signaux... 7 Le modèle général d'un échanillonneur idéal...8 Formule du Jour : La Fréquence Nyquis : f N = f e 2 = 1 2T e

2 Signal e Informaion Définiions : Signal : Une représenaion physique de l informaion. Brui : Tou phénomène perurbaeur gênan l inerpréaion d un signal. Sur le plan analyique : Un signal sera une foncion d'une variable réelle, en général le TEMPS. Exemples : signal audio x() signal vidéo noir e blanc p(x,y,) (mono-dimensionnelle e muli-variable ) signal vidéo couleur p(c,x,y,) = [r(x,y,), v(x,y,), b(x,y,) ] (muli-dimensionnelle e muli-variable) Traiemen du Signal : Théorie permean d'effecuer une descripion (une modélisaion) e une analyse des signaux e des sysèmes. Le raiemen du signal a pour objecif la réalisaion e l'inerpréaion des signaux poreurs d'informaion. Exemple : La Communicaion Message m i {M} Codage + Transmission + Decodage + Brui de Codage Brui de Transmission Brui de decodage une chaîne de ransmission dans laquelle le brui s'ajoue au signal au niveau du codage (émeeur) puis dans le canal de ransmission (rayonnemen, couplage) e au niveau du récepeur dans lequel on va faire du raiemen du signal pour exraire nore signal du brui (informaion sans inérê) 3-2

3 Représenaion analogique e numérique Les signaux peu avoir une manifesaion physique comme une force elecromagnéique (onde herzienne), une volage our curren (dans une circui), une champ magnéique (une disquee) ou même par les formes physique (disque phonographique). Les avances en moyen informaique (puissance de calcul) on rendu possible le expression e raiemen de signaux en forme numérique. Mais pour numériser, il fau d'abord échanilloner. Nous allons voir que la passage analogique - numérique implique necessairemen une pere d'informaion. Cee pere peu êre minimiser par l'applicaion des ouils adapés. TEMPS CONTINU TEMPS DISCRET x() x(n) AMPLITUDE CONTINUE n xq() xq(n) AMPLITUDE DISCRETE n CLASSIFICATION MORPHOLOGIQUE DES SIGNAUX Tou sysème de raiemen de signaux faisan appel à un ordinaeur ou à un processeur numérique spécialisé implique necessairemen une opéraion préliminaire de conversion analogique-numérique (A/N). 3-3

4 Linformaion raiée es resiuée sour forme analogique par une conversion Numérique-analogique (N/A) ( di digial o analog ou A/D en Anglais). x() x() x(n) La conversion analogique numérique implique une échanillonnage suivie d'une opéraion qui consise à remplacer la valeur exace analogique de l'échanillon par la plus proche valeur approximaive exraie dun ensemble fini de valeurs discrèes. Cee opéraion s'appelle la quanificaion. ("digiizing" en anglais). Chacune de ces valeurs discrèes es exprimée par un nombre sous forme binaire, par un codage approprié. Ce nombre es compris enre deux valeurs limies qui fixen la plage de conversion. Chaque nombre x k, représene un ensemble de valeurs analogiques conenues dans un inervalle de largeur k appelé pas de quanificaion. Lorsque la plage de conversion es subdivisé en pas de quanificaion égaux, on parle de quanificaion uniforme. Un signal analogique es une foncion x() d'ampliude coninue, défini sur coninue. Un signal numérique es une ableau x(n) d'ampliude discre défini pour discree. La passage x() -> x(n) ajou un brui. Le brui d'un signal es mesuré par son enérgie. 3-4

5 L'Énergie d'un Signal L'énergie d'un signal, x(), sur l'inervalle [ 1, 2 ]: 2 W s ( 1, 2 ) = s 2 () d 1 ou pour un signal discrèe, x(n) sur l'inervalle [N 1, N 2 ] : N 2s W s (N 1, N 2 ) = 2(n) n=n1 l'énergie d'un signal es une caracérisique liée à la quanié de l'informaion représenée. La qualié d'un signal es souven représenée par le rappor de l'énergie du signal divisé par l'énergie du brui, appelée "Rappor signal/brui" (SNR en anglais). pour x() = s() + n(). Le rappor signal sur brui es défini par ξ= W s W n où W s es l'énergie (2 ieme Momen) du signal x() e W n es l'énergie (2 ieme Momen) du brui n() Le SNR es souven représené avec une échelle logarihmique appelée décibels e noé db. ξ db = 10 log 10 ξ Un faceur de 3 db es équivalen à un faceur de 2 3-5

6 Puissance moyenne d'un signal: (dimension carré de celle de x()). 2 1 P x ( 1, 2 ) = 1 2 x 2 () d 1 L'énergie oale e la puissance moyenne oale son calculées sur ou l'inervalle de emps soi : W x = x 2 () d P x = Lim T 1 T T/2 x 2 () d T/2 Si le signal es représené par une foncion complexe de la variable, on remplace x 2 () par x() 2 Une disincion peu êre faie enre : Les signaux à énergie finie, Les signaux à puissance moyenne finie non-nulle. 3-6

7 Echanillonnage des Signaux Soi un signal coninu : x() Si l'on veu raier un signal par voie numérique à l'aide d'un calculaeur, il fau le représener au préalable par une suie de valeurs numériques poncuelles prélevées régulièremen ou irrégulièremen. Un el prélèvemen es appelé échanillonnage. Une échanillonage représen un signal par une suie de valeurs poncuelles : x() La représenaion numérique des échanillons requier une opéraion complémenaire de quanificaion e de codage, don la naure e les conséquences son examinées dans le prochaine séance. L'ensemble réalise une foncion de conversion analogique-numérique A/N, (Die Analog o Digial ou A/D en Anglais) x(n) Reversibilié : Seules les condiions héoriques, irréalisables parfaiemen dans la praique (voir héorème de Paley-Wiener), permeen une reconsiuion exace du signal analogique à parir de ses échanillons. La procédure d'échanillonnage inrodui oujours une disorsion quil convien de limier à un niveau accepable. 3-7

8 Le modèle général d'un échanillonneur idéal Le modèle général d'un échanillonneur idéal es : x() x ei () δ Te () x ei () = x(). T e δ Τe () = T e x() δ( nt e ) n= par convenion on di que T e = 1, e que x ei (n) = x ei (nt e ) On peu assimiler héoriquemen la suie idéale d'échanillons prélevés avec une cadence fixe f e = 1 T à un signal x ei () obenu par la muliplicaion du signal e analogique x() par une foncion d'échanillonnage idéalisée : Le foncion peigne ("Uni Impulse Train" or "Sampling Funcion") e i () = T e δ Τe () = T e δ( nt e ) = 1 f n=- e n=- δ( n f e ) 3-8