Corrigé de l'exercice 1-1

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1 Marcel Délèze Edition 7 Thèe : cinéatique Lien ver le énoncé de exercice : Corrigé de l'exercice - Un vecteur et une grandeur, repréentée par une flèche, qui a une direction, un en et une longueur. Par rapport à une bae orthonorée ( i, j, k), il 'écrit au oyen de troi copoante r x y z Une copoante calaire d'un vecteur, par exeple x, et un nobre réel, poitif ou négatif, qui apparaît coe copoante d'un vecteur. Une copoante vectorielle d'un vecteur, par exeple x i x x et un vecteur qui et parallèle à un axe de la bae. Un vecteur et égal à la oe de e copoante vectorielle : r x i + y j + z k La nore d'un vecteur et un nobre réel qui repréente la longueur du vecteur. Corrigé de l'exercice - a) La vitee oyenne ur l'intervalle [; 4 ] et (calcul "à la ain") Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

2 -cineatique-cor.nb v x (4 ) - x () a) Avec Matheatica, en laiant tober le unité : Clear[t, x, vx, ax]; efface x[t_] : 3 t3-6 t + 64; x[4] - x[] b) Moyenne arithétique de deux vitee intantanée (calcul "à la ain") v x (t) x (t) t - 6 v x () -6 ; v x (4 ) ; (v x () + v x (4 )) (-6 + ) -8 b) Avec Matheatica, en laiant tober le unité : vx[t_] : x'[t]; vx[] + vx[4] -8 c) Accélération a Δv ; unité d'accélération : d) Accélération intantanée a x (t) v x (t) t L'accélération n'et pa contante. d) Avec Matheatica, en laiant tober le unité : ax[t_] : vx'[t] ax[t] t Corrigé de l'exercice -3 Vitee oyenne ur l'intervalle [ ; 5 ] ("à la ain") v r (5 ) - r ( ) Sur le autre intervalle de tep, la vitee oyenne ne peut pa être déterinée à partir de donnée. Vitee oyenne avec Matheatica, en laiant tober le unité : Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

3 -cineatique-cor.nb 3 Clear[r, t, v, v, nore]; efface r[] {,, }; r[5] {4, 6, 9}; r[5] - r[] v 5 - {-,, 3} La preière copoante calaire de la vitee oyenne et (v ) x - La nore de la vitee oyenne ur l'intervalle [ ; 5 ] et v La nore de la vitee oyenne ur l'intervalle [ ; 5 ], avec Matheatica, en laiant tober le unité : nore[v_lit] : v.v ; nore[v] N[nore[v]] valeur nuérique Aux tep et 5, le vitee intantanée ont donnée : v ( ) - 4, v (5 ) Pour le autre valeur du tep, la vitee intantanée ne peut pa être déterinée à partir de donnée. La preière copoante calaire de la vitee intantanée v ( ) et -4 4 v x ( ) - La vitee linéaire repréente la longueur d'arc parcouru par unité de tep. La vitee linéaire intantanée et égale à la nore de la vitee intantanée (voir cour.) On peut calculer la vitee linéaire aux intant et 5 : v ( ) v (5 ) Pour le autre valeur du tep, la vitee linéaire intantanée ne peut pa être déterinée à partir de donnée. La vitee linéaire aux intant et 5, avec Matheatica, en laiant tober le unité : Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

4 4 -cineatique-cor.nb v[] {-,, 4}; v[5] {-4, 4, }; N[nore[v[]]] valeur nuérique N[nore[v[5]]] valeur nuérique La oyenne arithétique de deux vitee intantanée v[ ], v[5 ] et (v ( ) + v (5 )) Cette expreion et différente de la vitee oyenne v - 3 Il faut donc éviter de confondre ce deux expreion La oyenne arithétique de deux vitee intantanée v[ ], v[5 ] et, avec Matheatica, en laiant tober le unité : v[] + v[5] - 5, 5, 5 Corrigé de l'exercice -4 Accélération oyenne ur l'intervalle [ ; 5 ] ("à la ain") a v (5 ) - v ( ) Sur le autre intervalle de tep, l'accélération oyenne ne peut pa être déterinée à partir de donnée. Accélération oyenne avec Matheatica, en laiant tober le unité : Clear[t, a, v, a, nore]; efface v[] {-,, 4}; v[5] {-4, 4, }; v[5] - v[] a 5 - {-,, -} La preière copoante calaire de l'accélération oyenne et (a ) x - La nore de l'accélération oyenne ur l'intervalle [ ; 5 ] et Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

5 -cineatique-cor.nb 5 a La nore de l'accélération oyenne ur l'intervalle [ ; 5 ], avec Matheatica, en laiant tober le unité : nore[v_lit] : v.v ; nore[a] N[nore[a]] valeur nuérique Aux tep et 5, le accélération intantanée ont donnée : a ( ) , a (5 ) Pour le autre valeur du tep, l'accélération intantanée ne peut pa être déterinée à partir de donnée. - - La preière copoante calaire de l' accélération intantanée a ( ) et a x ( ) -.5 La nore de l'accélération intantanée aux intant et 5 : a ( ) a (5 ) Pour le autre valeur du tep, l'accélération intantanée ne peut pa être déterinée à partir de donnée. La nore de l'accélération aux intant et 5, avec Matheatica, en laiant tober le unité : a[] {-.5,.5, -.5}; a[5] {-,, -}; N[nore[a[]]] valeur nuérique N[nore[a[5]]] valeur nuérique L'accélération tangentielle et la projection orthogonale du vecteur accélération ur le vecteur vitee. A partir de donnée, elle et bien déterinée aux intant et 5. Corrigé de l'exercice -5 Conidéron le obile qui e déplace dan un plan elon l'horaire uivant Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

6 6 -cineatique-cor.nb r (t) - t3 + t + -3 t Repréenton graphiqueent la ituation Clear[x, y, r, v, a, t]; efface r[t_] : t 3 + t, -t 3-3 t ; trajectoire ApectRatio rapport d'apect ParaetricPlot[r[t], {t,, }, repréentation graphique de courbe paraétrée Autoatic, autoatique AxeOrigin {, }, origine de axe PlotRange zone de tracé All] tout Nou ne voyon que a trajectoire ur l'intervalle de tep [; ]. Le axe de abcie et de ordonnée ont graduée en ètre. Pour ieux percevoir on horaire, nou y uperpoon de tep Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

7 -cineatique-cor.nb 7 tep Graphic[ graphique { PointSize[.`], taille de point Point[r[.5`]], point Point[r[]], point Text[" ", r[], {-.5, }], Point[r[]], point Show[trajectoire, tep, ontre Point[r[]], point Text[".5 ", r[.5`], {-.5, }], Point[r[.5`]], point Text[" ", r[], {, }]}, DiplayFunction fonction d'affichage Text[" ", r[], {-.5, -.5}], Point[r[]], point Text[".5 ", r[.5`], {-.5, }], DiplayFunction fonction d'affichage Identity] identité Identity]; identité Pour déteriner la vitee du obile, on dérive l'horaire par rapport au tep. v[t_] : r'[t] v[t] 4 t + 3 t, -3-3 t La vitee varie au fil du tep v[] {, -3} v[] {7, -6} v[] {, -5} Au graphique précédent, uperpoon-y de vecteur vitee Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

8 8 -cineatique-cor.nb vitee Graphic[{ Arrow[{{, }, v[]}], { Green, Arrow[{r[.5`], r[.5`] + v[.5`]}]}, graphique flèche vert flèche Arrow[{r[], r[] + v[]}], { Green, Arrow[{ flèche vert flèche r[.5`], r[.5`] + v[.5`]}]}, DiplayFunction Identity]; fonction d'affichage identité Show[trajectoire, tep, vitee, ontre Arrow[{r[], r[] + v[]}]}, flèche DiplayFunction fonction d'affichage $DiplayFunction] fonction d'affichage par défaut A chaque vecteur vitee correpond a nore appelée "vitee linéaire intantanée" nore[u_lit] : u.u ; N[nore[v[]]] valeur nuérique 3. N[nore[v[]]] valeur nuérique N[nore[v[]]] valeur nuérique 5. Deinon aintenant l'hodographe du ouveent. On donne aux vecteur vitee l'origine coune O et on deine la courbe t v(t) Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

9 -cineatique-cor.nb 9 hodographe ParaetricPlot[v[t], {t,, }, repréentation graphique de courbe par AxeOrigin {, }, origine de axe o {, }; vitee PlotRange zone de tracé All, tout Graphic[{ Arrow[{o, v[]}], graphique flèche Arrow[{o, v[.5`]}], flèche Arrow[{o, v[]}]}, flèche ApectRatio rapport d'apect DiplayFunction fonction d'affichage Arrow[{o, v[.5`]}], flèche DiplayFunction fonction d'affichage Autoatic, autoatique Identity]; identité Arrow[{o, v[]}], flèche Identity]; identité tep Graphic[{ Text[" ", v[], {, }], Text[".5 ", v[.5`], {, }], graphique Text[" ", v[], {, }], Text[".5 ", v[.5`], {, }], Text[" ", v[], {, }]}, Show[vitee, hodographe, tep, ontre IageSize {4, 3}, taille d'iage DiplayFunction fonction d'affichage Axe axe DiplayFunction fonction d'affichage True, vrai Identity]; identité PlotRange zone de tracé All, tout $DiplayFunction] fonction d'affichage par défaut Dan ce graphique, le axe de abcie et de ordonnée ont gradué en ètre par econde. a[t_] : v'[t] a[t] {4 + 6 t, -6 t} L'accélération varie. Sa nore a et nore[a[t]] 36 t t Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

10 -cineatique-cor.nb Corrigé de l'exercice -6 x t- repréente l'horaire d'un ouveent en dienion : le obile e déplace ur un axe gradué (par exeple ur un rail). v (t) x (t) Son ouveent et rectiligne unifore: (i x et en ètre et t en econde, a vitee et de /). t 3 x(t) y x- repréente la trajectoire d'un ouveent en dienion : le obile e déplace ur une droite dan un plan (par exeple, ur une table de billard); on ouveent et rectiligne Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

11 -cineatique-cor.nb On n'a pa d'inforation ur on horaire. Il et poible que on ouveent oit unifore, par exeple x (t) 3 t y (t) x (t) - 6 t - t 3 x(t) y(t) Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

12 -cineatique-cor.nb Mai il et aui poible que on ouveent ne oit pa unifore (c'et-à-dire que a vitee varie), par exeple x (t). t + y (t) x (t) -. t + 3 t x(t) y(t) On rearquera en paant que le ot trajectoire et utilié dan deux en : au en trict, la trajectoire et l'eneble de tou le point par lequel pae le obile (voir le preier exeple); au en large, la trajectoire et une courbe qui contient toute le poition du obile (voir le deuxièe exeple où x et y 3; le obile ne pae jaai en ( ; - )). Coe on a vu dan le deux exeple qui précèdent, on peut choiir libreent n'iporte quel horaire x(t) que l'on ubtitue enuite dan y(t) x(t) -, par exeple x (t) - in (t) y (t) - in (t) - Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

13 -cineatique-cor.nb 3 Corrigé de l'exercice -7 Introduion un repère orthonoré dan lequel nou plaçon le point R (;.3 ) réverbère (ource ponctuelle de luière); V (x(t);.5 ) voiture (point avant upérieur) où x(t) et l'horaire de la voiture; P (p(t); ) point le plu éloigné de l'obre où p(t) déigne l'horaire de la frontière entre l'obre et la clarté ur le ol. R(;.3).3.5 V(x(t);.5) x(t) P(p(t); ) p(t) t x(t) v voiture (t) x (t) 3 Le véhicule 'éloigne du réverbère à la vitee contante de 3. Un tel ouveent et appelé rectiligne unifore. Pour calculer l'horaire de la frontière p(t), il faut repérer, dan la figure ci-deu, de triangle hoothétique et leur appliquer le théorèe de Thalè p (t).3 x (t) p (t).3 v frontière (t) p (t) x (t) 8.65 t ( contante) Si on 'intéree à la longueur de l'obre ituée à l'avant de la voiture, on a l (t) p (t) - x (t) 5.65 t v allongeent (t) l (t) 5.65 ( contante) Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

14 4 -cineatique-cor.nb Corrigé de l'exercice -9 a) x(3) > x (t) -t + 7 t - 6 y (t) t - 5 t + z (t) - t + t + 5 x (3) 6 y (3) - 9 z (3) 7 v x (t) - t + 7 v y (t) t - 5 v z (t) -t + v x (3) v y (3) - v z (3) - a x (3) - a y (3) a z (3) - v x (3) > a x (3) < Interprétation: à l heure t 3, l abcie du obile et ituée ur la dei-droite x > ; le obile e déplace dan le en de i ; la vitee diinue (le obile ralentit); x(t) augente, c et-à-dire le obile éloigne de l origine. b) v y (3) et négatif et y(t) et décroiant au voiinage de 3, a y (3) et poitif et v y (t) et croiant au voiinage de 3. Interprétation: à l'heure t3, c) z(3) et poitif, l'ordonnée du obile et ituée ur la dei-droite y<, y(t) diinue c'et-à-dire va dan le en de - j, la vitee et négative et augente, c'et-à-dire évolue ver ; la vitee linéaire diinue. v z (3) et négatif et z(t) et décroiant au voiinage de 3, a z (3) et négatif et v z (t) et décroiant au voiinage de 3. Interprétation: à l'heure t3, la cote du obile et ituée ur la dei-droite z>, z(t) diinue c'et-à-dire va dan le en de -k, la vitee et négative et diinue, c'et-à-dire 'éloigne de ; la vitee linéaire augente. Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

15 -cineatique-cor.nb 5 Corrigé de l'exercice - 3 co t r (t) 3 in t t 5 v (t) - 3 in t 3 co t 5 ; v () - 3 in () 3 co () a (t) co t in t ; a () co t in t Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

16 6 -cineatique-cor.nb Corrigé de l'exercice -8 [Suppléent facultatif] a) S'il voyageait durant le êe tep à 3 k pui à 7 k, a vitee linéaire oyenne h h erait effectiveent de 5 k. Mai, coe l'acenion dure plu longtep que la decente, h a vitee linéaire oyenne era inférieure à 5 k. h b) Notation : d longueur de la ontée longueur de la decente; t d 3 k h durée de la ontée; t d 7 k h durée de la decente h heure du départ; ( h) abcie curviligne au départ; t heure du paage au oet; (t ) d abcie curviligne au oet; t + t heure de l'arrivée; (t + t ) d abcie curviligne en fin de coure. L'horaire et une fonction affine par orceaux: (t) 3 k h t pour t t (t) d + 7 k h (t - t ) pour t t t + t La vitee linéaire oyenne et (t + t ) - () t + t - d - d 3 k h + d 7 k h k h k h 4. k h c) Notation : d longueur de la ontée longueur de la decente; t d 3 k h durée de la ontée; t d 7 k h durée de la decente h heure du départ; x( h) abcie du archeur au départ; t heure du paage au oet; x(t ) d abcie du archeur oet; t + t heure de l'arrivée; x(t + t ) abcie du archeur en fin de coure. L'horaire et une fonction affine par orceaux: x (t) 3 k h t pour t t x (t) d - 7 k h (t - t ) pour t t t + t La vitee oyenne et x (t + t ) - x () t + t - d 3 k h - + d 7 k h k h En effet, puique le archeur et revenu à on point de départ, le déplaceent total et nul. Moralité : il faut ditinguer "vitee oyenne" et "vitee linéaire oyenne"; "abcie" et "abcie curviligne". Au beoin, reliez le.5 et.6. Printed by Wolfra Matheatica Student Edition

17 -cineatique-cor.nb 7 Corrigé de l'exercice - [Facultatif] v oyenne[t, t+] r (t + ) - r (t) x (t+)-x (t) y (t+)-y (t) z (t+)-z (t) (t+) +3 - t +3 (-(t+)+5)-(-t+5) 3 (t+) t3 + (t+) -t - (t+) 3 -t 3 3 t + t + - t - t t + 3 t + 3 -t 3 3 li v oyenne[t, t+] li t t + 3 t + 3 t t + 3 t t - t t t + 3 t + 3 Du point de vue athéatique, nou avon calculé la dérivée de la fonction r (t), c'et-à-dire r (t) Du point de vue cinéatique, nou avon obtenu la vitee à l'intant t, c'et-à-dire v (t) Nou pouvon effectuer le calcul précédent d'une autre anière, en replaçant le calcul de liite par le calcul de dérivée v (t) r (t) Calculon l'accélération (t + 3) (-t + 5) 3 t3 + t - t a oyenne[t, t+] v (t + ) - v (t) v x (t+)-v x (t) v y (t+)-v y (t) v z (t+)-v z (t) (t+)- t (-)-(-) (t+) -t li a oyenne[t, t+] li t + t + -t t + t t + t + Du point de vue athéatique, nou avon calculé la dérivée de la fonction v (t), c'et-à-dire v (t) Du point de vue cinéatique, nou avon obtenu l'accélération à l'intant t, c'et-à-dire a (t) Nou pouvon effectuer le calcul précédent d'une autre anière, en replaçant le calcul de liite par le calcul de dérivée a (t) v (t) ( t) (-) (t ) t Printed by Wolfra Matheatica Student Edition