2) Démontrer que pour tout réel t 0, 0 h (t) t, en déduire un encadrement de h sur [0 ;+ [ puis, 1 t + t² 2 - t3. 6 e-t 1 t + t²

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1 Parie A Pour ou réel, on pose h() = 1 + ² - e-. 1) Prouver que la foncion h ainsi définie es dérivable sur [ ;+ [, que h es dérivable sur [ ;+ [, e calculer h () e h () pour ou réel. Préciser les valeurs de h () e h (). ) Démonrer que pour ou réel, h (), en déduire un encadremen de h sur [ ;+ [ puis, prouver que, pour ou, h() 3. 3) En déduire que pour ou, Parie B 1 + ² - 3 e- 1 + ². L obje de cee parie es l éude de la foncion g définie sur [;+ [ par g() = 1 e- lorsque >, e par g() = 1. 1) En uilisan A.3, prouver que g es coninue en. ) Jusifier la dérivabilié de g sur l inervalle ouver ] ;+ [, e calculer g () pour ou >. 3) Eudier la dérivabilié de g en : en uilisan A.3., prouver que g es dérivable en e que g () = ) En déduire le signe de g (), après avoir prouvé que pour ou réel, 1 + e. Parie C Dresser le ableau de variaions de g. Préciser la limie de g en +. L obje de cee parie es l éude de la foncion f définie sur [ ;+ [ par f(x) = 1 x (e-x e -x ) lorsque x > e par f() = 1. 1) a) Eudier la limie de f en +. b) Jusifier la dérivabilié de f sur ] ;+ [ e calculer f (x) pour ou x >. En uilisan l inégalié 1 + x e x, prouver que pour ou x >, f (x). ) Vérifier que pour ou x, f(x) = g(x) g(x). En déduire que f es dérivable en e calculer f (). 3) Tracer la courbe représenaive de f dans un repère orhonormal (unié graphique : 4 cm). 1

2 Parie D Pour ou réel, on pose F() = f(x) dx On ne cherchera pas à calculer cee inégrale. 1) a) Eudier le sens de variaion de F. b) Prouver que pour ou x, f(x) e -x, e en déduire que pour ou, F() 1. ) Pour ou réel, on pose G() = g(x) dx. a) Prouver que pour ou, F() = G() G(), e en déduire que pour ou, F() = g(x) dx. b) Prouver que pour ou x 1, 1 x - g(x) e-x e en déduire que pour ou 1, ln F() e -. c) Prouver que F a une limie en +.

3 Parie A CORRECTION 1) h e h son dérivables comme somme de foncions dérivables sur [ ;+ [. h () = e - h () = 1 e - h () = e h () = ) On pose g() = h () = 1 e - g () = e - 1 g () > e - > 1 - > < Donc g es décroissane sur [ ;+ [. g() = e lim g() = - + Tableau de variaions de g : g'() g() + Des variaions de g, on dédui que : Pour, g() Soi : h () h () = e - > Donc h es croissane sur [ ;+ [ e h () =. Donc h () sur [ ;+ [. On en dédui l encadremen : h (). En inégran ce encadremen enre e x, on en dédui successivemen : (pour ou x ) h (x) x² Puis h(x) x3 3

4 3) h() ² - e ² - e ² ² - 3 e ² Parie B 1) ² - 3 e ² e- 1 - e - En faisan endre vers, on obien : lim Donc g es bien coninue en. 1 + ² = 1 = g() ) g es dérivable sur ] ;+ [ en an que quoien de foncions dérivables sue ] ;+ [. g() = u() v() avec u() = 1 e- e v() = u ()v() u()v () g () = v²() u () = e - e v () = 1 g () = e- (1 e - ) ² 3) 1 e - g() g() = - 1 = 1 e- ² A ² - e ² + 3 ² e- ² g() g() 1 + En faisan endre vers, on obien : lim g() - g() = Donc g es bien dérivable en e g () = ) g () = e- (1 e - ) = e - e + 1 ² ² g () es du signe de 1 + e. 4

5 On pose j() = e (1 + ) j () = e 1 j () > e > 1 > Donc j es croissane sur [ ;+ [. Or j() =, donc j() pour. Donc e 1 + pour. Donc g () pour. Tableau de variaions de g : g'() g() 1 + lim g() = car lim e - = + + Parie C 1) a) lim f(x) = car lim e -x = lim e -x = x + x + x + b) La foncion f es dérivable sur ] ;+ [ en an que quoien de deux foncions dérivables sur ce inervalle. f (x) = (-e-x + e -x )x (e -x e -x ) x² f (x) es du signe de 1 + x e x xe x. Or e -x - 1 x = e -x (- e x + )x e x + 1 x² Donc 1 + x e x xe x. 1 + x -1 x x x² Soi 1 + x e x xe x. x² Donc f (x) ) Pour x >, g(x) g(x) = e-x x L égalié rese vraie pour x =. - 1 e-x = e-x e -x = f(x) x x 5

6 Or g es dérivable en ; donc f aussi. f (x) = 4g (x) g (x) f () = 3g () = - 3 3) Parie D 1) a) F () = f() > car f() es posiive sur [ ;+ [. b) f(1) = 1 ; lim f(x) = e f es décroissane sur [;+ [. x + Donc f(x) pour x. Pour x >, f(x) e -x = e -x 1 e -x x : du signe de 1 e -x x x

7 On pose k(x) = 1 e -x x k (x) = e -x 1 k (x) > e -x > 1 -x > x < Donc k es décroissane sur [;+ [. k() = Donc k(x) pour x. Donc f(x) e -x pour x >. Les inégaliés son vraies pour x =. Donc pour x, f(x) e -x En inégran enre e ce encadremen, on obien : F() 1 e - 1 ) a) G() = g(x) dx En faisan le changemen de variable u = x, il vien : G() = g(u) du Donc G() G() = g(x) dx - g(x) dx = f(x) dx = F() G() G() = g(x) dx - g(x) dx = g(x) dx b) 1 e-x g(x) = pour x 1. x x 1 x g(x) e-x = e-x (1- x) pour x 1. x Donc, pour ou x 1, 1 - g(x) e-x x En inégran ce encadremen enre e, on obien : ln() ln() F() e - e - Soi : ln() F() e - c) En faisan endre vers + dans l encadremen précéden, il vien direcemen : lim F() = ln. + 7

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