Option économique. 0 t x 1 e t e x 2 e t +1 e x +1 1 e x +1 1

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1 Exercice : a) Soi x ];+ [ Pour ou [;x], o a : Corrigé : EDHEC Opio écoomique x e e x e + e x + e x + e + O a bie e x + e + b) E muliplia l iégalié de la quesio précédee par [;x], o a e x + e + Pour ou x ];+ [, comme < x o peu iégrer sur [;x] l iégalié précédee e o obie : e x + d e + d d e x + x e + d x 4 e x + fx) Pour la derière équivalece o a muliplié les membres de l ecadreme par qui es u réel posiif x x >, e x + fx) c) O a lim x + e x + = = lim doc d après le héorème des gedarmes lim x + fx) = x + Or f) = doc f es coiue e a) Comme e + e s aule par sur R +, la focio e + es coiue sur R+ comme quoie de focios coiue La focio x e d es la primiive de + e qui s aule e Comme ous veos de dire que + e + es coiue sur R+ alors x e + d es de classe C sur R + De plus x x es u focio de classe C sur R doc e pariculier sur ];+ [ Aisi par produi, f es de classe C sur ];+ [ De plus, pour ou x >, f x) = 4 x 3 e + d+ x x e x + = 4 x 3 Doc o a f x) = 4 x 3gx) avec gx) = e + d x e x +) b) g es dérivable sur ];+ [ e g x) = x e x + xe x +) x e x e x +) = Doc g x) >, e aisi g es croissae sur ];+ [ De plus lim x gx) = doc pour ou x >, gx) Comme f x) = 4 x 3gx) e que gx), o a f x) pour ou x > f es doc décroissae sur R + e + d x e x +) x e x e x +) 3 a) O pose h) = e + h es dérivable sur R + e h ) = e Doc h es croissae sur R + e comme h) =, o a pour ou, O a doc pour ou, h) e + e + e + car e + > e + ) EDHEC Page Corrigé

2 b) D après la quesio précédee, pour ou, o a e + E iégra la relaio précédee sur [;x] avec x >, o obie x qui es u réel posiif, o obie fx) x Efi comme lim x + e + x = = lim, d après le héorème des gedarmes, lim fx) = x + x + d x puis e muliplia par Exercice : a) Soie Q e R deux élémes quelcoques de E, e soie a e b deux réels O a pour ou réel x : faq+br)x) = xaq+br)x) x )aq+br) x) = xaqx)+xbrx) x )aq x) x )br x) = a xqx) x )Q x) ) +b xrx) x )R x) ) = afq)x)+bfr)x) O a doc faq+br) = afq)+bfr) ce qui sigifie que f es ue applicaio liéaire b) O a alors P x) = b+cx doc fp)x) = xa+bx+cx ) x )b+cx) = b+a+c)x+bx Aisi fp) es ue focio polyomiale de degré iférieur ou égal à doc fp) E f es doc ue applicaio liéaire de E das E, c es-à-dire f es u edomorphisme de E c) Grâce à la quesio précédee o a rapideme : O e dédui doc A = fe )x) = x fe ) = e fe )x) = x + fe ) = e +e fe )x) = x fe ) = e a) O s ai que Imf) = vecfe ),fe ),fe )) car e,e,e ) es ue base de E O a doc : Imf) = vece,e +e,e ) = vece,e +e ) = vece,e +e ) La famille e,e +e ) es doc ue famille géérarice de Imf) De plus si o cherche ous les réels a e b els que ae +be +e ) = o obie : Doc e,e +e ) es libre be +ae +be = b = a = b = car e,e,e ) es libre Aisi e,e +e ) es ue base de Imf) e doc Imf) es de dimesio b) D après le héorème du rag dimkerf))+dimimf)) = dime) = 3 doc dimkerf)) = De plus o remarque que fe e ) = fe ) fe ) = doc e e kerf) Aisi e e ) es ue base de kerf) e doc kerf) = vece e ) EDHEC Page Corrigé

3 3 a) O cherche ous les réels λ els que A λi es pas iversible : A λi = λ λ λ λ L L λ L L 3 λ L 3 L λ λ λ λ L 3 λl +L 3 λ λ λ 3 +4λ L 3 λ )L +L 3 Doc les valeurs propres de A so les soluios de λ 3 +4λ = λλ 4) = Les valeurs propres de A so, e b) Les valeurs propres de f so celles de A Doc f adme rois valeurs propres disices e comme E es de dimesio 3, f es doc diagoalisable O a ou d abord E = P E/fP) = } = kerf) = vece e ) E = P E/fP) = P} : b = a fp) = P b+a+c)x+bx = a+bx+cx a+c = b b = c b = a c = a Doc E = P E/Px) = a+ax+ax } = vece +e +e ) E = P E/fP) = P} : b = a fp) = P b+a+c)x+bx = a bx cx a+c = b b = c b = a c = a Doc E = P E/Px) = a ax+ax } = vece e +e ) c) E es le sous-espace egedré par e +e +e Or e +e +e es ue combiaiso liéaire de e +e e e Doc e +e +e Imf) Aisi ous les élémes de E appariee à Imf), c es-à-dire E Imf) De même e e +e es ue combiaiso liéaire de e +e e e Doc E Imf) Exercice 3: a) L évéeme [X i = ] sigifie que l ure i a jamais éé choisie au cours des épreuves Doc : [X i = ] = U i, U i, U i, Or les évéemes U i,k so idépedas e chacu de probabilié Doc PX i = ) = ) ) ) = ) b) O suppose que i e j so deux eiers disics L évéeme [X i = ] [X j = ] sigifie que l ure i e l ure j o jamais éé choisies au cours des épreuves O peu doc écrire : [X i = ] [X j = ] = U i, U j, U i, U j, U i, U j, Pour ou k,,,} les évéemes U i,k e U j,k so icompaibles doc PU i,k U j,k ) = + = EDHEC Page 3 Corrigé

4 Les choix des ures so idépedas doc : P[X i = ] [X j = ]) = ) ) ) = ) c) O a ) = Aisi PX i = ) PX j = ) = + ) = ) ) ) = P[X i = ] [X j = ]) Doc, lorsque i e j so deux eiers disics, les variables aléaoires X i e X j e so pas idépedaes a) O a vu das la quesio que, pour ou i, X i sui la loi de Beroulli de paramère EX i ) = ) L espérace éa liéaire : O a doc EY ) = ) b) O a EY ) = EY ) = ) = e l /) O sai que l+x) x x e lim + Par coséque, lim + Pour coclure EY ) EY ) = e EX i ) = i= i= = Doc l e e doc EY ) e + + ) = ) ) + = ) O a doc 3 a) N i compe le ombre de réalisaio de l évéeme choisir l ure i, qui es de probabilié, au cours de expérieces ideiques les choix des ures so idépedas) Doc N i sui la loi biomiale de paramères e N i Ω) = [;], PN i = k) = k ) ) k ) k, EN i ) = = b) Lorsque X i =, o a forcéme N i = car X i = sigifie que l o a jamais choisi l ure i doc o a elevé aucue boule de l ure i Das ous les cas o a doc X i N i = Les VAR X i e N i e peuve pas êre idépedaes car si elles l éaie o aurai EX i N i ) = EX i )EN i ) ce qui es pas le cas car EX i N i ) = e EX i )EN i ) = ) Les VAR X i e N i e so pas idépedaes 4 Program edhec ; Var x,,, k, irage, hasard : ieger; Begi Radomize; Wriel doez u eier aurel supérieur ou égal à ); Readl); :=; x :=; For k := o do begi hasard := radom)+; if hasard = he begi x :=; := +; ed; ed; Wrielx,); Ed EDHEC Page 4 Corrigé

5 Problème : Parie : expressio de la focio de répariio de Z e focio de celle de X Pour ue variable qui sui la loi uiforme sur [a;b] la focio de répariio es doée par : si x < a x a Fx) = si a x b b a si x > b Pour ue variable qui sui la loi expoeielle de paramère λ la focio de répariio es doée par : si x < Gx) = e λx si x Par défiiio, pour ou x R, F Z x) = PZ x) Or d après la formule des probabiliés oales, pour ou x R : PZ x) = PY = )P [Y=] Z x)+py = )P [Y= ] Z x) = PX x)+ P X x) = F Xx)+ PX x) = F Xx)+ F X x)) O a bie F Z x) = F Xx) F X x)+) Parie : éude de deux premiers exemples Das ce cas o a F X = Φ e o sai que Φ x) = Φx) O a doc F Z x) = Φx) = Φx) Z sui la loi ormale cerée réduie a) O sai que si x < F X x) = x si x si x > Doc : si x < F X x) = x si x si x > si x < = x si x si x > b) Si x <, F X x) = e F X x) = doc F Z x) = Si x, F X x) = e F X x) = x doc F Z x) = x+ Si < x, F X x) = x e F X x) = doc F Z x) = x+ Si x >, F X x) = e F X x) = doc F Z x) = si x < x+ E coclusio F Z x) = si x si x > Z sui la loi uiforme sur [ ;] Parie 3 : éude du cas où la loi de X es la loi expoeielle de paramère a) O sai que F X x) = si x < e x si x EDHEC Page 5 Corrigé

6 Doc F X x) = si x < e x si x = si x > e x si x Si x, F Z x) = e x +) = e x Si x <, F Z x) = ex )+) = ex Aisi F Z x) = ex si x < e x si x b) Pour morer que Z es ue variable à desié il suffi morer que F Z es coiue sur R e de classe C sur R Sur ];[, la focio expoeielle es de classe C doc F Z es de classe C doc aussi coiue) De même sur ];+ [, F Z es de classe C e doc coiue) De plus lim F Zx) = e lim x F Zx) = x + = = F Z) Aisi F Z es coiue sur R e de classe C sur R Z es ue variable à desié c) Pour obeir ue desié de Z il suffi de dériver F Z sur R e de compléer e O obie : f Z x) = ex si x < e x si x O a bie f Z x) = e x d) O rappelle qu ue desié d ue variable suiva la loi expoeielle de paramère es f X x) = O sai que X adme ue espérace e que EX) = Or EX) = Doc xe x dx es covergee e xe x dx = e) Pour ou x R, x R e f Z x) = e x = e x = f Z x) f Z es doc paire D après la quesio précédee Doc xf Z x) dx es absolume covergee e Z adme ue espérace e EZ) = a) De même que das la quesio a) o remarque que x e x dx es covergee e b) D après la quesio précédee paire Doc xf X x) dx = xe x dx si x < e x si x xf Z x) dxesabsolumecovergeeorx xf Z x) esuefocioimpaire x e x dx = x f Z x) dx es absolume covergee e x f Z x) dx = xf Z x) dx = x e x dx = EX ) = VX)+EX) = + = x f Z x) dx es absolume covergee Or x x f Z x) es ue focio Z adme doc u mome d ordre e EZ ) = Z adme ue variace e VZ) = EZ ) EZ) = x f Z x) dx = x e x dx = EDHEC Page 6 Corrigé

7 3 a) D après le cours EX) = e d après l éocé EY) = + ) = Doc EX)EY) = = EZ) O rerouve que pour deux variables aléaoires idépedaes, EXY) = EX)EY) b) Z = X Y Or Y = doc Z = X Aisi EZ ) = EX ) = e doc VZ) = EZ ) EZ) = = 4 a) Noos H la focio de répariio de Q e F la focio de répariio de V PardéfiiioHx) = PQ x) = P l V) x) = Pl V) x) = P V e x ) = P V e x ) Doc Hx) = F e x ) si < Or o sai que F) = si Doc si > Si e x < alors Hx) = O remarque que e x < e x > x < ) Si e x alors Hx) = e x O remarque que e x e x e x car e x es oujours vraie Doc o obie x x ) Si e x > alors Hx) = Comme ue expoeielle es oujours posiive ce cas e peu jamais se produire!!! si x < Doc o a Hx) = e x si x Aisi Q sui la loi expoeielle de paramère b) O a UΩ) = ;} doc RΩ) = ;} De plus PR = ) = PU = ) = e PR = ) = PU = ) = R sui la même loi que Y) c) fucio z :real begi z :=-l-radom)**radom)-); ed; EDHEC Page 7 Corrigé