Résumé du cours d Analyse I&II du Professeur Jacques Rappaz.

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1 Résumé du cours d Anlyse I&II du Professeur Jcques Rppz jen-eloi.lombrd@epfl.ch 3 décembre 2007

2 Tble des mtières 1 Suites Définition Limite d une suite Suite monotone Sous-suite Suite de Cuchy Séries Générlités Critères de Convergence Fonctions réelles d une vrible réelle Définitions Limite d une fonction Fonctions continues Suites de Fonctions Clcul différentiel Définitions Théorèmes de Rolle et des ccroisements finis Théorème de Bernouilli-L Hopitl Développement limité Formule de Tylor Fonction Concve/Convexe Séries entières 17 6 Intégrtion Intégrle d une fonction continue Propriétés

3 TABLE DES MATIÈRES Chngement de vribles Intégrtion pr prtie Formule de Tylor vec reste intégrl Intégrtion d une fonction rtionnelle Décomposition en éléments simples Intégrtion des éléments simples Intégrles générlisées Intégrles sur des intervlles bornés Intégrles sur des intervlles non-bornés Équtions différentielles Introduction Problèmes à vleurs initiles Probème de Cuchy Équtions différentielles à vribles séprées Équtions différentielles linéires du premier ordre Méthode de résolution Équtions différentielles linéires du second ordre Équtions différentielles linéires à coefficients constnts L espce R n Générlités Suites dns R n Topologie de R n Fonctions de plusieurs vribles Limite Continuité Prolongement Dérivées prtielles Introduction Dérivées prtielles d ordre supérieur Extrem Théorème des fonctions implicites Formes différentielles

4 TABLE DES MATIÈRES 3 12 Intégrles multiples Intégrle double d une fonction continue sur rectngle fermé Intégrle double d une fonction continue bornée sur un ouvertborné dns R Intégrles doubles Chngement de vribles dns une intégrle double Intégrle double d une fonction continue sur R Nombres Complexes Fonction Gmm Int. Curviligne et Diff. Totle Intégrle Curviligne Différentielle totle

5 Chpitre 1 Suites 1.1 Définition Définition 1.1 (Suite) Une suite de nombres réels est une ppliction (ou une fonction) f de N dns R qui à tout entier nturel n fit correspondre un réel f(n). Définition 1.2 (Suite mjorée) Une suite (x n ) est dite mjorée s il existe un M R tel que pour tout n N, x n < M. M est une mjornt de l suite (x n ). Définition 1.3 (Suite minorée) Une suite (x n ) est dite minorée s il existe un M R tel que pour tout n N, x n > M. M est un minornt de l suite (x n ). Définition 1.4 (Suite bornée) Une suite qui est à l fois mjorée et minorée est dite bornée. Proposition 1.1 Une suite (x n ) est bornée si et seulement si il existe un nombre M R + tel que x n M. 1.2 Limite d une suite Définition 1.5 (Convergence & limite) On dit qu une suite (x n ) est convergente et dmet pour limite le nombre x R, (ou encore l suite (x n ) tends vers x) si pour tout ɛ R + il existe n 0 N tel que n n 0 implique x n x ɛ. On écrit lors lim n x n = x 4

6 CHAPITRE 1. SUITES 5 Définition 1.6 (Suite divergente) Une suite qui ne converge ps vers x R est dite divergente. On dit que l suite diverge. Proposition 1.2 (Unicité de l limite d une suite) Soit (x n ) une suite convergent vers x. Alors x est unique. Proposition 1.3 (Suite convergente bornée) Toute suite convergente est bornée. Proposition 1.4 (Opértions lgébriques sur les suites) Soit (x n ) et (y n ) deux suites convergent respectivement vers x et y. Pr ddition multipliction et division on peut obtenir les suites u n = x n y n et v n = xn y n vérifint les propriétés suivntes : 1. l suite αx n + βy n vec α, β R dmet pour limite αx + αy. 2. l suite (u n ) dmet pour limite xy. 3. si y 0 lors l suite (v n ) dmet pour limite x y Proposition 1.5 (Limite du rpport de deux polynomes) Soit p et q deux polynomes de degré m et n respectivement vec m le terme du plus hut degré pour p et b n pour q. On donc les reltions suivntes : p 1. m < n implique lim n q = 0 p 2. m = n implique lim n ( ) 3. m > n implique p q q = m b n diverge. Proposition 1.6 (Reltion d ordre) Soit (x n ) et (y n ) deux suites convergent respectivement vers x et y. S il existe n 0 N tel que quelque soit n n 0 x n y n lors x y. Proposition 1.7 Soit (x n ) et (y n ) deux suites telles que lim n (x n y n ) = 0 lors soit les deux suites divergent soit u moins une des deux suites converge. Proposition 1.8 Soit (x n ) une suite qui converge vers x lors x n converge vers x. Théoreme 1.1 (Théorème des deux gendrmes) Soit (x n ) (u n ) et (v n ) trois suites vérifint : 1. lim n u n = lim n v n =

7 CHAPITRE 1. SUITES 6 2. il existe k N tel que pour tout n > k : u n x n v n lors lim n x n =. Corollire 1.1 Soit (x n ) une suite bornée et (y n ) une suite convergent vers 0. Alors l suite (x n y n ) converge vers 0. Théoreme 1.2 (Règle de d Alembert pour les suites) Soit (x n ) une suite pour lquelle le nombre : ρ = lim x n+1 n x n existe lors : 1. si ρ < 1 l suite (x n ) converge vers 0 2. si ρ > 1 l suite diverge 3. si ρ = 1 l règle ne permet ps de conclure. Définition 1.7 Une suite (x n ) tends vers ± si pour tout réel A > 0 on peut ssocier un entier n 0 N tel que n n 0 implique x n A(ou x n A). On écrit lors lim n x n = ± 1.3 Suite monotone Définition 1.8 (Suite croissnte) Une suite (x n ) est dite croissnte si pour tout n N : x n x n+1 Définition 1.9 (Suite décroissnte) Une suite (x n ) est dite décroissnte si pour tout n N : x n x n+1 Définition 1.10 (Suite monotone) Une suite (x n ) est dite monotone si elle est croissnte ou décroissnte. Proposition 1.9 (Convergence d une suite monotone) Toute suite croissnte et mjorée (ou toute suite décroissnte et minorée) converge. Toute suite croissnte (ou décroissnte) qui n est ps mjorée (ou minorée) tends vers + (ou ). Proposition 1.10 Soit (x n ) une suite croissnte et (y n ) une suite décroissnte telle que lim n (x n y n ) = 0. Alors : 1. pour tout n : x 0 x n+1 y n+1 y 0 2. les deux suites convegent vers l même limite.

8 CHAPITRE 1. SUITES Sous-suite Définition 1.11 Soit (x n ) une suite. Une sous-suite (ou une suite prtielle, ou encore une suite extrite) de (x n ) une suite k x nk, vec k n k une suite strictement croissnte d entiers nturels. Proposition 1.11 Si (x n ) est une suite qui converge vers x lors toute sous-suite de (x n ) converge vers x. Remrque 1.1 Une suite divergente peut dmettre une sous-suite convergente. Voir théorème de Bolzno-Weierstss 1.3. Définition 1.12 (Point d dhérnce) On dir que λ est un point d dhérnce (ou un point d ccumultion) de l ensemble {x 0, x 1,..., x n,...} s il existe une sous-suite (x nk ) de (x n ) qui converge vers λ. Lemme 1.1 Soit (x n ) une suite bornée telle que pour tout x R l ensemble F (x) = {n N : x n = x} ne contienne qu un nombre fini d éléments, lors il existe R tel que pour tout m 1 l ensemble possède un nombre infini d éléments. {x n : n N} B(, 1/m) Théoreme 1.3 (de Bolzno-Weierstrss) De toute suite bornée on peut extrire une sous-suite qui converge. 1.5 Suite de Cuchy Définition 1.13 On dit qu une suite (x n ) de nombres réels est une suite de Cuchy si à tout nombre réel ɛ 0 on peut ssocier un entier nturel n 0 tel que les reltions n n 0 et m n 0 impliquent x n x m < ɛ. Proposition 1.12 Une suite (x n ) est une suite de Cuchy si et seulement si elle est convergente. Remrque 1.2 Ainsi pour démontrer qu une suite est convergente sns pour utnt clculer l limite il suffit de montrer que c est une suite de Cuchy.

9 Chpitre 2 Séries 2.1 Générlités Définition 2.1 (Série) On ppelle série de terme générl x n le couple constitué d une suite (x n ) de nomrbes réels et de l suite (S n ) où pour tout entier nturel n : n S n = x k = x 0 + x x n k=0 Le nombre x n est ppellé le n-ième terme et S n l n-ième somme prtielle de l série de terme générl x n. Définition 2.2 (Convergence d une série) L série de terme générl x n est dite convergente si l suite (S n ) de somme prtielles est convergente ; l limite de cette suite s ppelle l somme de l série de terme générl x n. Définition 2.3 (Série bsolument convergente) Une série de terme générl x n est dite bsolument convergente si l série de terme générl x n est convergente. Proposition 2.1 (Condition nécessire pour qu une série converge) Si l série de terme générl x n est convergente, lors l suite (x n ) converge vers 0. Proposition 2.2 (Série hrmonique) L série dont le terme générl x n est défini pr x n = 1 n et x 0 = 0 est ppelé l série hrmonique. Cette série diverge. Remrquons que le terme générl de l suite tends vers 0 mis que l série ne converge ps. 8

10 CHAPITRE 2. SÉRIES Critères de Convergence Critère de Convergence 2.1 (de Cuchy) L suite de sommes prtielles (S n ) converge si et seulement si l suite (S n ) est une suite de Cuchy. Critère de Convergence 2.2 (de Comprison) Soit (x n ) et (y n ) deux suites et k N tel que pour tout n k : 0 x n y n. Alors si l série de terme générl y n est convergente lors l série de terme générl x n est ussi convergente. Critère de Convergence 2.3 (des Séries Alternées) Soit (x n ) une suite de nombre réels vérifint les deux propriétés suivntes : 1. il existe p N tel que pour tout entier n p : x n+1 x n et x n x n+1 0 ; 2. lim n x n = 0 lors l série de terme générl x n est convergente. Critère de Convergence 2.4 (de l limite supérieure) Soit (x n ) une suite bornée telle que : L = lim n sup n x n < 1 lors l série de terme générl x n est bsolument convergente. Critère de Convergence 2.5 (de d Alembert) Soit (x n ) une suite pour lquelle ρ = lim n x n+1 x n existe. Alors si : 1. ρ < 1 l série de terme générl x n est bsolument convergente. 2. ρ > 1 l série est divergente 3. ρ = 1 on ne peut ps conclure.

11 Chpitre 3 Fonctions réelles d une vrible réelle 3.1 Définitions Définition 3.1 (Fonction injective) Une fonction f : E F est injective (ou une injection) si et seulement si pour tout x 1, x 2 E et f(x 1 ) = f(x 2 ) implique x 1 = x 2. Définition 3.2 (Fonction Surjective) Une fonction f : E F est surjective si et seulement si pour tout y F il existe un x E tel que y = f(x). Définition 3.3 (Fonction bijective) Une fonction est bijective si et seulement si elle est injective et surjective. 3.2 Limite d une fonction Définition 3.4 (Fonction définie u voisinge d un point) Une fonction f : E F est définie u voisinge de x 0 s il existe un nombre réel α > 0 tel que ]x 0 α, x 0 + α[ E {x 0 } Définition 3.5 (Limite d une fonction (en terme d ɛ)) L fonction f : E F définie u voisinge de x 0 dmet pour limite le nombre réel l lorsque x tends vers x 0 si pour tout ɛ > 0 δ(ɛ) > 0 tel que x E et x x 0 δ impliquent f(x) l ɛ. Définition 3.6 (Limite d une fonction (en terme de suite)) L fonction f : E F définie u voisinge de x 0 dmet pour limite le nombre réel 10

12 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES D UNE VARIABLE RÉELLE 11 l lorsque x tends vers x 0 si et seulement si pour toute suite ( n ) d éléments de {x E : x x 0 } qui converge vers x 0, l suite (f( n )) converge vers l. Proposition 3.1 Si l 1 et l 2 sont deux limites de l fonction f : E F lorsque x tends vers x 0 lors l 1 = l 2. Critère de Convergence 3.1 (de Cuchy (pour les fonctions)) Une fonction f : E F définie u voisinge de x 0 dmet une limite lorsque x tends vers x 0 si et seulement si ɛ > 0 δ > 0 tel que pour tout x 1, x 2 {E : x 1 x 2 δ} on it f(x 1 ) f(x 2 ) ɛ. 3.3 Fonctions continues Définition 3.7 (Fonction continue ponctuellement) Une fonction f : E F est dite continue en un point x 0 de son domine de définition si et seulement si : 1. lim x x0 f(x) = f(x 0 ). 2. à tout réel ɛ > 0 on peut ssocier un réel δ > 0 tel que l reltion x E et x x 0 < δ implique f(x) f(x 0 ) < ɛ. 3. pour toute suite ( n ) d éléments de E qui converge vers x 0 l suite (f( n )) converge vers f(x 0 ). Critère de Convergence 3.2 (de Cuchy) Une fonction f : E F est dite continue en un point x 0 de son domine de définition si et seulement si à tout nombre réel ɛ > 0 on peut ssocier un nombre réel δ > 0 tel que pour tout couple d éléments x 1, x 2 {x E : x 1 x 2 δ}, on it f(x 1 ) f(x 2 ) ɛ. Définition 3.8 (Continuité uniforme) Soit I R non vide. Une fonction f : I F est dite uniformément continue sur I si à tout réel ɛ > 0 on peut ssocier un nombre réel δ > 0 tel que pour tout couple d éléments x, y de I vérifint l reltion x y δ on it : f(x) f(y) ɛ. Proposition 3.2 Une fonction continue définie sur un intervlle fermé borné est uniformément continue sur cet ensemble et tteint un mximum et un minimum. En d utre termes, soit < b deux réels et f : [, b] F une fonction continue, lors : 1. l fonction f est uniformement continue sur [, b] 2. les deux nombres réels mx x [,b] f(x) et min x [,b] f(x) existent.

13 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES D UNE VARIABLE RÉELLE 12 Théoreme 3.1 (de l vleur intermédiire) Soit < b deux nombres réels et f : [, b] F une fonction continue. Alors f tteint s borne supérieure, s borne inférieure et toute vleur comprise entre ces deux bornes. Autrement dit : Im(f) = f([, b]) = [ min f(x), mx f(x)] x [,b] x [,b] Ce qui veut dire, entre utre, que l fonction prends toute les vleurs comprises entre f() et f(b). Corollire 3.1 Soit < b deux nombres réels et f : [, b] F une fonction continue telle que f()f(b) 0 lors il existe u moins un élément c de [,b] tel que f(c) = 0. Définition 3.9 (Point fixe) Soit < b deux nombre réels et f : [, b] [, b] une fonction continue. Alors l éqution x f(x) = 0 dmet u moins une solution dns [, b]. Ces solutions sont des points fixes. Proposition 3.3 Soit I un intervlle ouvert de R et f : I F une fonction continue strictement monotone sur I. Alors f(i) est un intervlle ouvert de R. Définition 3.10 (Fonction lipschitzienne) Soit k un nombre réel positif. Une fonction f : E F est dite lipschitzienne dns le rpport k (ou k-lipschitzienne) si pour tout couple d éléments x, y E : f(x) f(y) k x y Définition 3.11 (Fonction Contrctnte) Une fonction lipschitzienne de rpport k < 1 est dite contrctnte de rpport k (ou k-contrctnte). Théoreme 3.2 (du Point Fixe de Bnch) Soit f : R R une fonction k-contrctnte. Alors l éqution x f(x) = 0 dmet une et une seule solution dns R. En d utres termes f dmet un unique point fixe. 3.4 Suites de Fonctions Définition 3.12 Une suite de fonction est une ppliction de l ensemble des entiers nturels dns l ensemble F (E, F ). On note f n l fonction imge de n pr cette ppliction.

14 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES D UNE VARIABLE RÉELLE 13 Définition 3.13 (Convergence Ponctuelle) L suite de fonctions (f n ) converge ponctuellement vers l fonction f : E F si pour tout x E on : lim n f n (x) = f(x). Définition 3.14 (Convergence uniforme) L suite de fonctions (f n ) converge uniformément vers l fonction f : E F si ɛ > 0 il existe n 0 tel que n > n 0 implique sup x E f n (x) f(x) ɛ. Proposition 3.4 (Linérité de l convergence uniforme) Soit (f n ) et (g n ) deux suites de fonctions convergent uniformément vers f et g. Alors pour tout α, β R l suite αf n + βg n converge uniformément vers αf + βg. Proposition 3.5 (Continuité de l limite uniforme) Soit (f n ) une suite de fonction convergent uniformément vers l fonction f. On suppose que toute les fonction f i sont continues en x 0. Alors l fonction f est continue en x 0. Théoreme 3.3 (de Dini) Soit < b deux nombres réels. Toute suite monotone (f n ) d éléments de C([, b], F ) convergent ponctuellement vers une fonction continue f : [, b] F converge uniformément vers f. Proposition 3.6 (Permuttion des limites) Soit (f n ) une suite de fonction qui converge uniformément vers une fonction f. De plus on suppose que pour tout n N, l fonction f n dmet une limite lorsque x tends vers x 0. Alors si l suite h n (x 0 ) = lim x x0 f n (x) est convergente lors : lim n ( lim x x 0 f n (x)) = lim x x 0 ( lim n f n(x))

15 Chpitre 4 Clcul différentiel 4.1 Définitions Définition 4.1 (O) Soit r : D R R une fonction définie u voisinge de x 0 R. r est O de x x 0 α lorsque x tends vers x 0 s il existe une constnte C et ɛ R tels que x D, x x 0 < ɛ implique r(x) C x x 0 α Définition 4.2 (o) Soit r : D R R une fonction définie u voisinge de x 0 R. r est o de x x 0 α r(x) lorsque x tends vers x 0 si lim x x0 x x 0 = 0. α Définition 4.3 (Dérivée en un point) Soit f : D R R une fonction f(x) f(x définie u voisinge de x 0 D. f est dérivble en x 0 si lim 0 ) x x0 x x 0 existe. Cette limite est l dérivée de f u point x 0. Définition 4.4 (Fonction dérivée) Soit D un ouvert de R et soit f : D R. Si f est dérivble en tout point de D, on définit f : D R pr f f(y) f(x) (x) = lim y x y x x D. Si une fonction f est n fois continuement dérivble, on note f C n (D). 4.2 Théorèmes de Rolle et des ccroisements finis Théoreme 4.1 Soit f : D R R dérivble en x 0 D. Si f dmet un extremum locl en x 0, lors f (x 0 ) = 0. Théoreme 4.2 (de Rolle) Soit < b, f : [, b] R une fonction continue vérifint f() = f(b). Si f est dérivble sur ]; b[ lors il existe c ]; b[ tel que f (c) = 0. 14

16 CHAPITRE 4. CALCUL DIFFÉRENTIEL 15 Théoreme 4.3 (des ccroissements finis) Soit < b, f : [; b] R continue sur [; b] et dérivble sur ]; b[. Alors il existe c ]; b[ tel que f(b) f() = f (c)(b ). Corollire 4.1 Soit < b, f : [; b] R continue sur [; b] et dérivble sur ]; b[. On suppose f :]; b[ R est bornée. Alors f est lipschitzienne sur [; b]. Corollire 4.2 Soit < b, f : [; b] R continue sur [; b] et dérivble sur ]; b[ tel que f (x) = 0, x ]; b[. Alors f est une fonction constnte sur [; b]. 4.3 Théorème de Bernouilli-L Hopitl Lemme 4.1 Soit < b, f, g : [; b] R deux fonctions continues sur [; b] et dérivbles sur ]; b[. Si g ne s nnule en ucun point de ]; b[ lors il existe c ]; b[ tel que : f(b) f() g(b) g() = f (c) g (c) Théoreme 4.4 (Règle de Bernouilli-L Hopitl) Soit f, g :]; b[ R deux fonctions dérivbles sur ] ;b[ tels que g et g ne s nnulent ps sur ] ;b[. Si 1. lim x f(x) = lim x g(x) = α vec α = 0, ± 2. lim x f (x) g (x) = µ lors f(x) lim x g(x) = µ 4.4 Développement limité Définition 4.5 (Développement limité) Soit f : D R R une fonction défine u voisinge de x 0 R. S il existe (n+1) constntes 0,..., n R et une fonction ɛ : D R qui stisfont : 1. pour tout x D : f(x) = (x x 0 ) n (x x 0 ) n + ɛ(x) (4.1) 2. ɛ(x) = o( x x 0 ) n ) si x x 0.

17 CHAPITRE 4. CALCUL DIFFÉRENTIEL 16 lors on dit que l éqution (4.1) est le développement limité à l ordre n utour de x 0 de f. n i=0 i(x x 0 ) i est l prtie principle du developpement limité et ɛ(x) le reste. Proposition 4.1 Le développement limité est unique. 4.5 Formule de Tylor Soit I R un intervlle ouvert, f : I R une fonction n + 1 fois dérivble sur i. Si I lors pour tout x I il existe θ x ]0; 1[ tel que : f(x) = f() + f ()(x ) + 1 2! f ()(x ) n! f (n) ()(x ) n + f (n+1) (x )n+1 ( + θ x (x )) (4.2) (n + 1)! Cette reltion est l formule de Tylor/Mc-Lurin. Théoreme 4.5 Soit I R, vec I ouvert et f : I R tel que f C n+1. L formule de Tylor/Mc-Lurin fournit le développement de f utour de à l ordre n. 4.6 Fonction Concve/Convexe Définition 4.6 (Convexe) Soit I R et f : I R. f est convexe si pour tout, b I, λ [0; 1] on : f(λ + (1 λ)b) λf() + (1 λ)f(b) Définition 4.7 (Concve) f est dite concve si f est convexe. Théoreme 4.6 Soit I R, vec I ouvert et f C 1 (I). Si f est croissnte dns I lors f est convexe. Corollire 4.3 Soit I R un ouvert et f C 2 (I). Si f (x) 0 lors f est convexe. x I

18 Chpitre 5 Séries entières Définition 5.1 (Série Entière) Soit x 0 R et ( n ) n=0 une suite de réels. n (x x 0 ) n n=0 est l série entière ssociée à l suite ( n ). S N (x) = N n (x x 0 ) n n=0 est l N e somme prtielle de l série entière. L série entière est une générlistion du polynôme. Définition 5.2 (Convergence d une série entière) L série entière converge sur I si l suite des somme prtielles S N converge vers une fonction f sur I. Définition 5.3 (Convergence uniforme) L série entière converge uniformément sur I si ɛ > 0, N 0 > 0 tel que x I, N > N 0 f(x) S N (x) ɛ. Théoreme 5.1 (Importnt) Soit ˆx 0 tel que l série entière n=0 nˆx n soit convergente. Alors l série entière est convergente sur I =] ˆx; ˆx[ si ˆx > 0 (cs nlogue vec ˆx < 0). Démonstrtion Si n=0 nˆx n converge lors lim n nˆx n = 0, donc il existe C R tel que nˆx n C pour tout n N. Soit x I = {x R : x ˆx }, donc il existe ξ tel que ξ < 1 et : n x n = n x n = n ˆx n ξ n C ξ n 17

19 CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES 18 Définition 5.4 (Ryon de Convergence) On ppelle R = sup ξ le ryon de convergence de l série entière n=0 nξ n. Ainsi si x < R l série n=0 nx n converge et si x > R l série diverge. Si x = R l sitution est inderterminée. Exemple 5.1 L série n=0 xn dmet pour ryon de convergence R = 1 et s limite est f(x) = 1 1 x. Exemple 5.2 L série entière n=0 xn n! converge sur R et on définit : e x = n=0 Théoreme 5.2 Soit n=0 nx n de ryon de convergence R > 0. L série entière converge uniformément sur [ r; r] vec 0 < r < R. Démonstrtion Soit S m (x) = n=0 nx n l m e somme prtielle de l série. Pour m n et x [ r, r] il vient : S m (x) S n (x) m k=n+1 x n n! k x k m k=n+1 k r k Pour x = r l série numérique k=0 kx k est bsolument convergente, donc convergente et donc de Cuchy. Donc (S n ) est une suite de fonctions continues de Cuchy donc elle converge uniformément vers une fonction f. Proposition 5.1 Si n=0 nx n une série de ryon de convergence R, lors : 1 R = lim k sup( k ) 1 k Définition 5.5 (Série de Tylor) L série de Tylor en x = x de l fonction f est donnée pr : k=0 1 k! f (k) ( x)(x x) k Définition 5.6 (Fonction nlytique) Soit f C : R R et s série de Tylor k=0 1 k! f (k) ( x)(x x) k en x = x

20 CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES 19 On suppose sont ryon de convergence R = R( x) > 0. Si il existe 0 < ɛ < R tel que f(x) = k=0 1 k! f (k) ( x)(x x) k x ] x ɛ; x + ɛ[ lors on dit que f est nlytique u voisinge de x. f est nlytique sur R si f est nlytique u voisinge de tout x R.

21 Chpitre 6 Intégrtion 6.1 Intégrle d une fonction continue Définition 6.1 (Somme de Drboux) Soit : 1. > b 2. σ = {x 0,..., x n } vec x j > x j 1 pour j = 1,..., n, x 0 = et x n = b une subdivision de [; b] 3. h j = x j x j 1, j = 1,..., n 4. h σ = mx 1 j n h j Si f C 0 ([; b]) et si 1. M j = mx xj 1 x x j f(x) 2. m j = min xj 1 x x j f(x) et on pose : S σ (f) = n M j h j et S σ (f) = j=1 n m j h j les sommes de Drboux supérieures et inférieures de f reltivement à σ. Si m = min x [;b] f(x) et M = mx x [;b] f(x) lors on : j=1 m(b ) S σ (f) S σ (f) M(b ) Théoreme 6.1 Soit < b et soit f C 0 ([; b]). Alors on : S(f) = S(f). 20

22 CHAPITRE 6. INTÉGRATION Propriétés Théoreme 6.2 (de l moyenne) Il existe c [; b] tel que f(x)dx = f(c)(b ). Définition 6.2 (Primitive) Si [; b] est un intervlle fermé de < b et si f : [; b] R est continue, lors on dit que F : [; b] R est une primitve de f si F est continue sur [; b] et si F (x) = f(x), x ]; b[. Théoreme 6.3 Soi < b et f : [; b] R continue. Alors F définie pr F (x) = x f(t)dt, x [; b] est une primitive de f. De plus, si G est une utre primitive de f, lors on F (x) G(x) = cst x [; b]. Théoreme 6.4 (Importnt) Soit f : [; b] R continue et soit I R un ouvert. Soit g, h : I R deux fonctions dérivbles sur I. On suppose Im(g), Im(h) [; b] et on pose : K(x) = g(x) h(x) lors K est différentible sur I et on : Démonstrtion f(t)dt, x I K (x) = g (x)f ( g(x) ) h (x)f(h(x)), x I Soit c = +b 2 le point milieu de [, b]. On K(x) = c h(x) f(t)dt + g(x) c f(t)dt posons L(x) = g(x) c f(t)dt et fixons x 0 I, lors d près le Théorème de l Moyenne 6.2 L(x) L(x 0 ) = g(x) g(x 0 ) de plus f est continue, donc : f(t)dt = f ( c(x) )( g(x) g(x 0 ) ) L (x 0 ) = L(x) L(x 0) x x 0 = f ( g(x 0 ) g (x 0 ) De même en posnt M(x) = c h(x) f(t)dt il vient M (x) = f(h(x 0 )h (x 0 ). Or K(x) = L(x) + M(x), donc : K (x 0 ) = f(g(x 0 ))g (x 0 ) + f(h(x 0 ))h (x 0 )

23 CHAPITRE 6. INTÉGRATION 22 Remrque 6.1 Ne ps oublier de vérifier que l dérivée tierce ne s nnule ps, lorsque le thèorème 6.4 est utilisé pour montrer qu une certine intégrle dmet un point d inflexion. Théoreme 6.5 (fondmentl du clcul intégrl) Soit f : [; b] R continue et soit F : [; b] R une primitive de f sur [; b]. Alors on : f(x)dx = F (b) F () Démonstrtion D près le théorème 6.3 G(x) = x f(t)dt est une primitive de f et F (x) = G(x) + cst. donc : f(t)dt = G(b) = G(b) 0 = G(b) G() = F (b) F () Théoreme 6.6 Soit f C 0 ([; b]). Alors f(x)dx f(x) dx donc Démonstrtion Posons : 1. f + (x) = f(x) si f(x) 0 et f + (x) = 0 si f(x) < f (x) = f(x) si f(x) 0 et f (x) = 0 si f(x) > 0. f(x)dx = et d près l inéglité tringulire : f(x)dx f + (x)dx + f + (x)dx + f (x)dx = f (x)dx f(x) dx Théoreme 6.7 (Inéglité de Cuchy-Schwrz) Soit f, g C 0 ([; b]). Alors : ( f(x)g(x)dx ) 1 f 2 (x)dx 2 ( ) 1 g 2 2 (x)dx

24 CHAPITRE 6. INTÉGRATION 23 donc Démonstrtion Supposons f non nulle et λ R. (λf + g) 2 (x)dx = λ 2 f 2 (x)dx + 2λ ( 2 f(x)g(x)dx) f 2 (x)dx f(x)g(x)dx + g 2 (x)dx 0 g 2 (x)dx 0 Théoreme 6.8 Soit (f n ) n=0 C0 ([; b]) une suite de fonctions qui converge uniformément vers f. Alors lim n f n (x)dx = f(x)dx Démonstrtion (f n ) converge uniformement vers f donc f C 0 ([, b]) et pour tout ɛ > 0 il existe N 0 N tel que pour tout n > N 0 f(x) f n (x) ɛ b, donc : de plus f(x)dx f(x) f n (x) dx ɛ n N 0 f n (x)dx f(x) f n (x) dx ɛ pour tout n N Chngement de vribles Soit f C 0 ([; b]) et soit φ C 1 (I) vec I un ouvert de R. Soit α < β vec α, β I tel que φ(α) =, φ(β) = b et φ([α; β]) = [; b]. Alors : f(x)dx = β α f(φ(t))φ (t)dt

25 CHAPITRE 6. INTÉGRATION 24 Démonstrtion Posons t [α, β], G(t) = φ(t) lors d près le Théorème 6.4 f(x)dx et g(t) = φ (t)f(φ(t)) G (t) = φ (t)f(φ(t)) = g(t) t ]α, β[ donc G est une primitive de g sur [α, β], soit : β α g(t)dt = G(β) G(α) = 6.4 Intégrtion pr prtie Soit f, g C 1 (I) vec I un ouvert de R. Soit < b deux éléments de I, lors on : Démonstrtion f(x)dx f(x)g (x)dx = [ f(x)g(x) ] b f (x)g(x)dx (fg) (x) = f g(x) + fg (x) donc fg (x)dx = fg(x) b = f g(x)dx + fg (x)dx 6.5 Formule de Tylor vec reste intégrl Soit f C n+1 (I) vec I un ouvert de R. Soit I. Alors pour tout x I, le développement limité à l ordre n utour de est donné pr : f(x) = f() f (n) () (x ) n + 1 n! n! x (x t) n f (n+1) (t)dt

26 CHAPITRE 6. INTÉGRATION Intégrtion d une fonction rtionnelle Décomposition en éléments simples Soit P (x) et Q(x) deux polynômes sns diviseurs communs. Soit 1,... n les solutions réelles de Q(x) = 0. Alors, d près le théorème fondmentl d Algèbre : Q(x) = n (x i ) k i i=1 n (x 2 + 2b j x + c j ) l j j=1 vec les k i et l j des entiers et les (x 2 + 2b j x + c j ) des diviseurs irréductibles distincts de Q, et le rpport de P sur Q est donné pr : P (x) Q(x) k 1 = R(x) + + l 1 k=1 l=1 kn α 1l (x l ) l l=1 α nl (x n ) l lm β 1k x + γ 1k (x 2 + 2b 1 x + c 1 ) k β mk x + γ mk (x 2 + 2b lm x + c lm ) k k= Intégrtion des éléments simples Pour intégrer une fonction de l forme P (x) Q(x) il suffit de décomposer le quotient en éléments simples et d intégrer chcun des termes suivnt : 1 1. l primitive de x est log x l primitive de est (x ) l 1 l 3. l primitve de 4. l primitive de (x ) l 1 βx+γ x 2 +2bx+c est β 2 log x2 + 2bx + c + γ βb c b rctn x+b 2 c b 2 βx+γ (x 2 +2bx+c) k est β + γ βb x+b 2(1 k)(x 2 +2bx+c) k 1 ( c b 2 c b 2 ) 2k 1 0 dt (t 2 +1) k

27 Chpitre 7 Intégrles générlisées 7.1 Intégrles sur des intervlles bornés Définition 7.1 Si lim x b F (x) existe, on dit que f(t)dt existe, ou converge, et pr définition on pose : f(t)dt = lim x b F (x) Si lim x b F (x) n existe ps, lors on dit que l intégrle diverge. Proposition 7.1 Soit f C 0 :]; b] R vec lim t + f(t) = l. Alors : + f(t)dt = ˆf(t)dt vec ˆf(t) pr continuité de f en. Lemme 7.1 Soit F : [; b] R une fonction uniformémement continue sur l intervlle [; b[. Alors lim x b F (x) existe. Démonstrtion Soit (x n ) [, b[ telle que lim n x n = b. Comme F est uniformément continue sur [, b[, pour tout ɛ > 0 il existe δ > 0 tel que x, y [, b[, x y < δ implique F (x) F (y) < ɛ. Soit N N tel que pour tout n > N x n b < ɛ 2. Donc pour tout n, m > N x n x m < δ et donc F (x n F (x m ) ɛ. (F (x n )) est donc une suite de Cuchy et posons s = lim n F (x n ). 26

28 CHAPITRE 7. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 27 Soit M > 0 tel que pour tout n > M s F (x n ) ɛ. En prennt K = mx(m, N) il vient b x n ɛ 2 et s F (x n ) ɛ Soit x [b δ 2 [. Alors x x k b x + b x k δ et donc F (x) F (x k ) ɛ ou encore : donc lim x b F (x) = s. s F (x n ) s F (x k ) + F (x k ) F (x) 2ɛ Corollire 7.1 Si f : [; b] R est continue et bornée lors f(x)dx existe. Démonstrtion Soit x [, b[ et F (x) = x f(t)dt. Pour tout x, y [, b[ F (x) F (y) M x y vec M = sup t [,b[ f(t). Donc F est uniformément continue et donc lim x b F (x) existe. Définition 7.2 (Fonction bsolument intégrble) Soit f : [; b] R continue. f est bsolument intégrble sur [; b] ou l intégrle générlisée f(x)dx est bsolument convergente si f(x) dx est convergente. Proposition 7.2 Soit f C 0 :], b[ R bornée. Alors Proposition 7.3 Soit : lors 1. f C 0 :], b[ R + f(t) dt < + 2. α R tel que lim t + (t ) α f(t) = l R 1. si α < 1, + f(t) dt < + 2. si α > 1 l intégrle diverge. Proposition 7.4 Soit :

29 CHAPITRE 7. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 28 Si 1. < b R 2. f C 0 :], b[ R 3. c ], b[ c + f(t)dt convergent. Alors l intégrle générlisée et c f(t)dt converge. + f(t)dt = c + f(t)dt + c f(t)dt Théoreme 7.1 Si l intégrle générlisée f(x)dx est bsolument convergente lors elle est convergente. x x Démonstrtion Supposons que lim x b f(t) dt existe. Posons F (x) = f(t)dt, donc : y y F (x) F (y) = f(t)dt f(t) dt x x Posons G(x) = x f(t) dt donc : F (x) F (y) G(x) G(y) x, y [, b[ (7.1) Pr hypothèse lim x b G(x) existe, donc G est prolongeble pr continuité en b, donc G : [, b] R est uniformément continue ce qui vec l éqution 7.1 montre que F est uniformément continue sur [, b[ et donc d près le x Lemme 7.1 lim x b f(t)dt existe. Proposition 7.5 (Critère de Abel-Dirichelet) Soit R, f, g C 0 : R R telles que : 1. g est de clsse C 1, monotone et lim x g(x) = 0 2. F : [; ] R définie pr F (x) = x f(t)dt est bornée lors l intégle générlisée converge f(t)g(t)dt

30 CHAPITRE 7. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 29 Proposition 7.6 (Critère de Comprison) Soit f, g C 0 : [, [ [0, [ telles que f(t) < g(t) pour tout t. Alors g(t)dt < f(t)dt > f(t)dt < g(t)dt > 7.2 Intégrles sur des intervlles non-bornés Soit f : [; b] R une fonction continue F (x) = x f(t)dt vec x [; ]. Si F dmet une limite lorsque x lors on dit que l intégrle générlisée f(t)dt existe ou converge. f(t)dt = lim x x f(t)dt

31 Chpitre 8 Équtions différentielles 8.1 Introduction Définition 8.1 (Éqution différentielle) Soit : 1. I R 2. f : I R R On cherche une fonction u : I R différentible telle que du dt (t) = f(t, u(t)) pour tout t I. Cette éqution est une éqution différentielle. Une solution de u est une inégrle de l éqution différentielle. 8.2 Problèmes à vleurs initiles Supposons I = [0; [ et u 0 R Si on cherche une intégrle de l éqution différentielle u (t) = f(t, u(t)) t I u(0) = u 0 lors on dit qu on un problème de Cuchy. L condition u(0) = u 0 est dite condition de Cuchy. 8.3 Probème de Cuchy Soit I R un ouvert et f : I R R continue. Si u 0 R est donnée, on pose le problème de Cuchy : trouver u C 1 (I) 30

32 CHAPITRE 8. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 31 tel que : { u(t) = f(t, u(t)) t I u(t 0 ) = u 0 Définition 8.2 (solution du probème de Cuchy) On ppelle solution du problème de Cuchy le couple (J, u(t)) vec J un ouvert et u C 1 (J) vérifie u (t) = f(t; u(t)) pour tout t J et u(t 0 ) = u 0. On dit que l solution locle (K, w(t)) prolonge strictement l solution locle (J, u(t)) si J K, J K et si u(t) = w(t) pour tout t J. Définition 8.3 (solution mximle) On dit que l solution locle (J, u(t)) est mximle s il n existe ps de solution locle qui l prolonge strictement. Définition 8.4 (solution globle (définition importnte)) On dit que l solution mximle (J, u(t)) est une solution globle si J = I. On dit que cette solution globle est unique si toute solution locle (K, w(t)) est telle que w(t) = u(t) pour tout t K. Théoreme 8.1 (Cuchy-Peno) Si f : I R R est continue lors le problème de Cuchy toujours u moins une solution locle (J, u(t)). De plus, si (J, u(t)) est une solution mximle mis non globle, lors J nécessirement l forme J = [t 0, T [ et lim t T u(t) = +. Théoreme 8.2 Soit l : I R continue telle que xf(t, x) l(t)(1 + x 2 ) x R t I Alors le problème de Cuchy u moins une solution globle. De plus si l(t) est telle que ( ) f(t, x) f(t, y) (x y) l(t)(x y) 2 t I x, y R lors le problème de Cuchy une solution globle unique. Théoreme 8.3 (Cuchy-Lipschitz) Soit f : I R R continue soit L une constnte telle que f(t, x) f(t, y) < L x y, x, y R t I lors le problème de Cuchy une solution globle unique.

33 CHAPITRE 8. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Équtions différentielles à vribles séprées Soit g : [0; [ R et k : R R deux fonctions continues. On pose f(t, x) = g(t)k(x) et sur I = [0; [ on pose le problème de Cuchy { u(t) = g(t)k(u(t)) t I u(t 0 ) = u 0 Exemple 8.1 Soit { u(t) = t 2 (1 + u 2 (t)) t I u(t 0 ) = u 0 du (1+u 2 ) = t2 dt ce qui en intégrnt donne Atn(u) = t3 3 c = Atn(u 0 ), d où u(t) = tn( t3 3 ) = tn(u 0). + c. Pour t = 0, 8.5 Équtions différentielles linéires du premier ordre Soit g : [0; [ R et p : [0; [ R deux fonctions continues. On pose f(t, x) = g(t) xp(t) et le probème de Cuchy devient : { u(t) + p(t)u(t) = g(t) t I u(t 0 ) = u Méthode de résolution 1. on commence pr résoudre l éqution sns second membre, c est-à-dire u(t) + p(t)u(t) = 0 pour tout t [0; [. 2. puis on ppliquer l méthode de vrition de constnte Théoreme 8.4 Toute solution de u(t) + p(t)u(t) = g(t), t [0, [ est de l forme P (t) u(t) = w(t) = ce vec w(t) une solution prticulière de l éqution sns second membre et ce P (t) l solution générle de léqution sns seconde membre.

34 CHAPITRE 8. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Équtions différentielles linéires du second ordre Soit I = [0, T [ vec T R ou T = et, b, c : I R C 0. L éqution ü(t) + (t) u(t) + b(t)u(t) = c(t) T I est une éqution différentielle linéire du deuxième ordre et l éqution ü(t) + (t) u(t) + b(t)u(t) = 0 t I est l éqution sns second membre ssociée. Définition 8.5 (Solutions linéirement indépendntes) Deux solution u 1 et u 2 de l éqution sns second membre sont dites linéirement indépendntes si ( αu1 (t) + βu 2 (t) = 0, t I ) α = β = 0 Théoreme 8.5 Soit u 1 une solution de l éqution sns second membre telle que u 1 (t) 0, t I. Alors u 2 (t) = γ(t)u 1 (t) où γ(t) = t e A(s) 0 u 2 1 (s) ds vec A(s) = s 0 (τ)dτ est ussi une solution de l éqution sns second membre. De plus u 1 et u 2 sont linéirement indépendntes. Définition 8.6 (Wronskien) Soit u 1 et u 2 deux solutions de l éqution sns second membre. Le wronskien W [u 1, u 2 ] de ces deux fonctions est défini pr W [u 1, u 2 ](t) = u 1 (t) u 2 (t) u 2 (t) u 1 (t) Théoreme 8.6 Deux solutions u 1 et u 2 de l éqution sns second membre sont linéirement indépendnts si et seulement si W [u 1, u 2 ](t) 0, t I. 8.7 Équtions différentielles linéires à coefficients constnts Supposons que, b R et cherchons u 1, u 2 linéirement indépendntes de l éqution ü(t) + u(t) + bu(t) = 0, t I

35 CHAPITRE 8. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 34 Définition 8.7 (Éqution crctéristique) En remplçnt ü(t) pr r 2 et u(t) pr r on obtient l éqution r 2 + r + b = 0 1. si 2 4b > 0 l éqution crctéristique deux rcines réelles distinctes λ 1 = + 2 4b 2 et λ 2 = 2 4b 2 et deux solutions linéirement indépendntes de ü + u + bu = 0 sont u 1 (t) = e λ1(t) et u 2 (t) = e λ1(t). 2. si 2 4b 0 lors en posnt λ = 4b 2 2, u 1 (t) = e 2 t sin(λt) et u 2 (t) = e 2 t cos(λt). 3. si 2 = 4b, u 1 (t) = e 2 t et u 2 (t) = te 2 t sont deux solutions linéirement indépendntes de l éqution sns second membre.

36 Chpitre 9 L espce R n 9.1 Générlités Définition 9.1 (Norme) Une norme sur R n est une ppliction N : R n R + qui stisfit les trois conditions suivntes : 1. N(x) 0, x R n et N(x) = 0 x = positive homogénéité : N(λx) = λ N(x), x R n, λ R. 3. inéglité tringulire : N(x + y) N(x) + N(y), x, y R n. Définition 9.2 (Produit sclire) Un produit sclire sur R n est une ppliction b : R n R n R qui stisfit les conditions suivntes : 1. symétrique : b(x, y) = b(y, x), x, y R n. 2. bilinéire : b(αx + βy, z) = αb(x, z) + βb(y, z) et b(x, αy + βz) = αb(x, y) + βb(x, z), α, β R, x, y, z R n. 3. définie positive : b(x, x) 0 et b(x, x) = 0 x = 0, x R n Théoreme 9.1 Si b : R n R n R est un produit sclire sur R n lors. : R n R défini pr x = b(x, x) est une norme. 9.2 Suites dns R n Définition 9.3 (Convergence) Soit (x k ) k=0 Rn une suite d éléments de R n. Cette suite est convergente s il existe x R n tel que lim k x x k = 0. Définition 9.4 (Suite de Cuchy) Une suite (x k ) k=0 Rn est de Cuchy si ɛ > 0, il existe N > 0 tel que k, j N on x k x j ɛ. 35

37 CHAPITRE 9. L ESPACE R N 36 Théoreme 9.2 L suite (x k ) k=0 de Cuchy. est convergente si et seulement si elle est Théoreme 9.3 (de Bolzno-Weierstrss dns R n ) Soit (x k ) k=0 Rn une suite bornée. Alors il existe une sous-suite (x kj ) j=0 (x k) k=0 qui converge. 9.3 Topologie de R n Définition 9.5 (Boule ouverte) B(x, δ) = {y R n : x y < δ}, x R n, δ > 0 est ppelé boule ouverte centrée en x de ryon δ. Définition 9.6 (Sphére) L ensemble S(x, δ) = {y R n : x y = δ} l sphère centrée en x et de ryon δ. Définition 9.7 (Boule fermée) L ensemble B(x, δ) = B(x, δ) S(x, δ) = {y R n, x y δ} est l boule fermée centrée en x de ryon δ. Soit Ω un sous-ensemble de R n. Définition 9.8 (Point intérieur) x est un point intérieur de Ω s il existe δ > 0 tel que B(x, δ) Ω on note Ω l ensemble des points intérieurs de Ω. Définition 9.9 (Ouvert) Ω est ouvert si x Ω, δ > 0 tel que B(x, δ) Ω. Ω est ouvert si et seulement si Ω = Ω Proposition 9.1 Ω est le plus grnd ouvert contenu dns Ω. Proposition 9.2 Toute réunion d ouvert est un ouvert Proposition 9.3 Toute intersection finie d ouvert est un ouvert Définition 9.10 (Fermé) Nous vons deux définitions : 1. Ω est fermé si son complémentire (Ω c = {x R n, x / Ω}) est ouvert. 2. Ω est fermé si et seulement si toute suite convergente de Ω converge vers un élément de Ω. Proposition 9.4 Toute réunion finie de fermés est un fermé Proposition 9.5 Toute interesection de fermés est un fermé.

38 CHAPITRE 9. L ESPACE R N 37 Définition 9.11 (Bord) x est un point frontière de Ω si pour tout δ > 0 B(x, δ) Ω Ø et B(x, δ) Ω c Ø. On note Ω l ensemble des points frontière de Ω et on dit que Ω est l frontière ou le bord de Ω. Définition 9.12 (Adhérence) Ω = Ω Ω est l dhérence de Ω. L dhérence Ω est l ensemble des points de R n qui n pprtiennent ps à l intérieur du complémentire de Ω. Définition 9.13 (Borné) Ω est borné s il existe M tel que x M, x Ω. Définition 9.14 (Compct) Ω est compct s il est fermé et borné. Définition 9.15 (Connexe pr Arc) Un ensemble Ω est dit connexe pr rc si pour tout deux éléments et b de Ω il peuvent être joint pr un chemin de Ω d extrémité et b.

39 Chpitre 10 Fonctions réelles de plusieurs vribles Définition 10.1 (Fonction définie utour du voisinge de x 0 R n ) f est définie u voisinge de x 0 R n s il existe δ > 0 tel que B(x 0, δ) E {x 0 } Limite Définition 10.2 (Limite) Si f est définie u voisinge de x 0, f dmet pour limite l lorsque x tends vers x 0 si ɛ > 0 il existe δ > 0 tel que x B(x 0, δ) E, x x 0 on f(x) l ɛ. Définition 10.3 (Limite vec des suites) Une fonction f : E R définie u voising de x 0 dmet pour limite l R lorsque x tends vers x 0 si et seulement si pour toute suite (x k ) d élèments de E\{x 0 } qui converge vers x 0 l suite imge ( f(x k ) ) converge vers l. Proposition 10.1 (Permuttion des limites) Soit f : R 2 R une fonciton telle que : 1. lim (x,y) (,b) f(x, y) = l 2. x R : lim y b f(x, y) existe 3. y R : lim x f(x, y) existe lors lim x (lim y b f(x, y)) = lim y b (lim x f(x, y)). Théoreme 10.1 (Théorème des deux Gendrmes) Soit f, g, h : E R trois fonctions vérifint les deux propriétés suivntes : 38

40 CHAPITRE 10. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES lim x x0 g(x) = lim x x0 h(x) = l 2. x E\{x 0 } : g(x) f(x) h(x) lors lim x f(x) = l Continuité Définition 10.4 Soit x 0 E et f : E R une fonction. f est dite continue en x 0 si lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Définition 10.5 (Continuité en terme de suites) Soit x 0 E et f : E R une fonction. f est continue en x 0 si et seulement si pour tout suite (x k ) d élèments de E qui converge vers x 0 l suite imge f(x k ) converge vers f(x 0 ). Définition 10.6 (Continuité uniforme) Une fonctioin f : E R est dite uniformément continue si à tout ɛ > 0 on peut ssocier δ ɛ > 0 tel que x, y E et x y δ ɛ implique f(x) f(y) ɛ. Proposition 10.2 Une fonction uniformémemt continue est continue. Proposition 10.3 (Importnte) Soit E un compct, c est-à-dire un ferméborné, et f : E R une fonction continue. Alors 1. f est uniformément continue. 2. f tteint son mximum et son minimum, c est-à-dire qu il existe, b E vérifint f() = min x E f(x) et f(b) = mx x E f(x). 3. Im(f) est compct. Théoreme 10.2 (de l vleur intermédiire) Soit E un compct connexe et f : E R une fonction continue, lors [ ] Im(f) = min f(x), mx f(x) x E x E 10.3 Prolongement Proposition 10.4 Soit f : E R une fonction uniformément continue. Alors il existe une unique fonction continue g : Ē R qui coıincide vec f sur E. De plus, g est uniformément continue sur Ē.

41 CHAPITRE 10. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 40 Définition 10.7 (Distnce d un point à un sous-ensemble) Soit x R n et E R n. L distnce du point x u sous-ensemble E est définie pr : d(x, E) = Inf{ x y : y E} Proposition 10.5 Soit E R n non-vide, lors : 1. d(x,e) = 0 si et seulement si x Ē 2. l fonction distnce d(x, E) est uniformément continue sur R n. Théoreme 10.3 Soit E R n et f C 0 : E R telle qu il existe α, β R vérifint : x E : α f(x) β. Alors il existe g C 0 : R n R qui coïncide vec f dns E telle que pour tout x R n : α g(x) β.

42 Chpitre 11 Dérivées prtielles 11.1 Introduction Définition 11.1 Soit f : E R une fonction et (x 1,..., x n ) un élément de E. Si l fonction d une vrible f i : {(x 1,..., x i 1, x, x i+1,... x n ) E} R x f i (x) = f(x 1,..., x i 1, x, x i+1,..., x n ) dmet une dérivée u point x i, on dit que l fonciton f dmet une dérivée prtielle pr rpport à x i u point (x 1,... x n ) et on écrit : f(x 1,..., x n ) x i = lim x xi f(x 1,..., x,... x n ) f(x 1,..., x i,... x n ) x x i Proposition 11.1 (Condition de continuité ponctuelle) Soit f : E R une fonciton telle que les n fonctions f x 1,..., f x n : E R soient continues u point = ( 1,..., n ). Alors l fonciton f est continue en ce point. Proposition 11.2 (Dérivée prtielle d une fonction composée) Soit : 1. A un sous-ensemble de R n 2. g 1,..., g p : A R p fonctions continues en = ( 1,..., n ) telles que les p fonctions g i y j : A R existent 1 j n, 1 i p. 3. B un sous-ensemble de R p contennt {g 1 (y),..., g p (y) : y A} et f : B R une fonction dmettnt pour tout entier 1 i p une dérivée prtielle f x j : B R qui soit continue u point b = (g 1 (),..., g p ()). 41

43 CHAPITRE 11. DÉRIVÉES PARTIELLES 42 Alors, pour tout entier 1 i n, l fonction F : A R définie pr : F (y 1,..., y n ) = f(g 1 (y 1,..., y n ),..., g p (y 1,..., y p )) possède une dérivée prtielle pr rpport à y i u point tel que : ( ( F p f g1 (),..., g p () ) ) g j () () = y i x j y i Corollire 11.1 Soit : = j=1 ( ( ) p f g() j=1 x j g j() y i 1. I un intervlle ouvert et g 1,..., g p : I R p fonctions continuement différentibles sur I 2. E un sous-ensemble ouvert de R p contennt {g 1 (t),..., g p (t) : t I} et f C 1 : E R lors F (t) := f(g 1 (t),..., g p (t)) est continuement différentible sur I et, de plus pour tout t I : F (t) = j=1 ) p ( ) f(g1 (t),..., g p (t)).g x j(t) j Proposition 11.3 (Dérivée d une intégrle) Soit I 1 et I 2 deux intervlles ouvert et f : I 1 I 2 R une fonction dmettnt une dérivée prtielle continue pr rpport à y. Soit I un intervlle ouvert et g, h, k : I R trois fonctions continûment différentibles sur I telles que {(g(t), h(t), k(t) : t I} I 1 I 1 I 2. Alors l fonction F : I R définie pr : F (t) = g(t) h(t) f(x, k(t))dx est continûment différentible sur I et t I : F (t) = f ( g(t), k(t) ) g (t) f ( h(t), k(t) ) g(t) h (t) + k (t) h(t) = f(g, k)g f(h, k)h + k g h f(x, k) dx y f ( x, k(t) ) y dx (11.1)

44 CHAPITRE 11. DÉRIVÉES PARTIELLES 43 vec y l deuxième composnte de F (x, y). Dns le cs où k(t) = t l expression 11.1 se simplifie pour donner : F (t) = f ( g(t), t ) g (t) f ( h(t), t ) h (t) + g = f(g, t)g f(h, t)h f + h t dx g(t) Définition 11.2 (Dérivée selon une direction donnée) Soit donc vec h(t) 1. = ( 1,..., n ), v = (v 1,..., v n ) R n vec v = 1 2. f C 1 : R n R 3. f v : R R définie pr : f v (t) = f( + tv) = f( 1 + t 1 v,..., n + tv n ) f v(t) = f v () = f v(0) = n k=1 n k=1 v k f( + tv) x k v k f x k () = f(), v l dérivée de l fonction f en suivnt l direction v. f(x, t) dx (11.2) t Définition 11.3 (Fonction homogène) Une fonction f : E R est dite homogène de degré α R si pour tout x E et tout t R vérifint tx E : f(tx) = t α f(x) Remrque 11.1 Une fonction homogène n est ps nécessirement continue. Proposition 11.4 Soit f : E R homogène de degré α. f Si x k : E R existe lors elle est homogène de degré α 1. Théoreme 11.1 (d Euler) Soit E R n, x E et t R vérifint tx E. Alors f C 1 : E R est homogeène de degré α si αf(x) = n k=1 L éqution 11.3 est dite reltion d Euler x k f(x) x k x E (11.3)

45 CHAPITRE 11. DÉRIVÉES PARTIELLES Dérivées prtielles d ordre supérieur Définition 11.4 (Clsse C m ) Soit E R n ouvert. f : E R est de clsse C m si toutes les dérivées prtielles d ordre m existent et sont continues. Théoreme 11.2 (de Schwrz) Soit f : E R tel que 2 f x j x i : E R existent et sont continues en, lors : 2 f() = 2 f() x i x j x j x i 2 f x i x j : E R, Proposition 11.5 Soit f C m : E R, p N tel que 1 p m et (r 1,..., r p ), (s 1,..., s p ) deux permuttions des mêmes p vribles, lors : p f x r1... x rp = p f x s1... x sp Définition 11.5 (Lplcien) Soit f : E R une fonctions dont les n dérivées prtielles secondes 2 f,..., 2 f : E R existent. Alors l fonction x 2 x 1 2 n f : E R définie pr : f(x 1,..., x n ) = n k=1 est ppelé le Lplcien de l fonction f. 2 f(x 1,..., x n ) x 2 k Définition 11.6 (Fonction hrmonique) Une fonction f : E R est dite hrmonique si elle est de clsse C 2 et si pour tout x E : f(x) = 0 Définition 11.7 (Polynôme de Tylor) Soit 1. E R n ouvert 2. E, δ > 0 tel que B(, 2δ) E 3. f C m+1 : E R 4. g :] 2; 2[ R définie pr g(t) = f ( + t(x ) ) lors 1. vec χ x ]0; 1[. f(x) = g(0) + g (0) g(m) (0) m! + g(m+1) (χ x ) (m + 1)!

46 CHAPITRE 11. DÉRIVÉES PARTIELLES P m (x) = g(0) + g (0) g(m) (0) m! est le polynôme de Tylor d ordre m utour de 0 Définition 11.8 (Polynôme de Tylor (déf. lterntive)) En posnt : D k f()h k = n i 1,...,i k =1 lors si f est k fois différentible : f k () x i1,..., x ik h i1... h ik f( + h) = f() + Df()h Dk f() h k + o( h ) k ) k! 11.3 Extrem Définition 11.9 (Grdient) Soit f : E R une fonction dont les n premières dérivées existent, lors l fonction F : E R définie pr : ( f(x1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) =,..., f(x ) 1,..., x n ) x 1 x n est le grdient de f, prfois noté Df. Théoreme 11.3 (des ccroissements fini) Soit 1. E R n ouvert 2. f C 1 (E) 3. x, y E, x y tel que [x, y] E lors il existe z ]x, y[ tel que f(y) f(x) = Df(z) (y x) vec le produit sclire Euclidien sur R n. Définition (Point sttionnire) E est un point sttionnire de f : E R si f() = 0 Proposition 11.6 Soit f : E R 1. dmettnt un extremum locl en

47 CHAPITRE 11. DÉRIVÉES PARTIELLES tel que f() existe lors f() = 0 Proposition 11.7 Soit f : E R une fonction dmettnt un extremum locl en. Alors se trouve prmi les points suivnts : 1. x / E 2. x E et f(x) = 0 3. x E et f(x) n existe ps. Proposition 11.8 Soit f C 2 : E R vec f(, b) = 0 et r = 2 f(, b) x 2 s = 2 (, b) x y t = 2 f(, b) y 2 1. si s 2 rt < 0 et r > 0 f dmet un minimum locl en (, b) 2. si s 2 rt < 0 et r < 0 f dmet un mximum locl en (, b) 3. si s 2 rt > 0 f n dmet ps d extremum locl en (, b). Définition (Mtrice Hessienne) Soit f : E R et E. Supposons que toutes les dérivées secondes de f en existent et posons s ij = 2 f() x i x j pour tout 1 i, j n. L mtrice S de coéfficients s ij est l mtrice hessienne de f en. Si f C 2 (E) vec E ouvert lors l mtrice hessienne est symétrique. Théoreme 11.4 (Condition suffisnte pour un extremum locl) Soit E R n ouvert et f C 2 (E) : E R vec un point sttionnire (donc Df() = 0). Si : 1. l mtrice est définie positive lors f dmet un minimum locl en 2. l mtrice est définie négtive lors f dmet un mximum locl en. Définition (Fonction hrmonique) Soit R 2, δ R +. Une fonction f C 0 : B(, δ) R est dite hrmonique si elle vérifie les deux propriétés suivntes : 1. f C 2 sur B(, δ) 2. f(x) = 2 f(x) x f(x) y 2 = 0 x B(, δ).

48 CHAPITRE 11. DÉRIVÉES PARTIELLES 47 Proposition 11.9 (Mximum et minimum des fonctions hrmoniques) Soit R 2, δ R + et f : B(, δ) hrmonique. Alors il existe 1, 2 B(, δ) tels que : f( 1 ) = mx f(x) et f( 2 ) = min f(x) x B(,δ) x B(,δ) Corollire 11.2 Soit R 2, δ R +, f, g : B(, δ) R hrmoniques telles que f(x) = g(x) x B(, δ) lors f(x) = g(x) x B(, δ) 11.4 Théorème des fonctions implicites Définition (Jcobien) Soit E R n ouvert, E et f 1,..., f n C 1 : E R n fonctions. Alors le déterminnt f 1 () D(f 1,..., f n ) () = det D(x 1,..., x n ). f n () est ppelé le Jcobien des fonctions f 1,..., f n u point. Théoreme 11.5 (des fonctions implicites générlisé) Soit 1. n, m, p N 2. f 1,..., f m C p : E R m fonctions telles que pour = ( 1,..., n, n+1,..., n+m ) E f k () = 0 k {1,..., m} et D(f 1,..., f m ) D(x n+1,..., x n+m ) () 0 lors il existe loclement m fonctions continues vérifint φ 1,..., φ m : B ( ( 1,..., n ), δ ) R 1. pour tout k {1,..., m} : φ k ( 1,..., n ) = n+k 2. pour tout k {1,..., m} et (x 1,..., x n ) B ( ( 1,..., n ), δ ) f k ( x1,..., x n, φ 1 (x 1,..., x n ),..., φ m (x 1,..., x n ) ) = 0