Correction composition de mathématiques n 1

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1 Page Prénom :. Jedi 2 novembre 20 Correction composition de mathématiqes n Exercice On considère la fonction f définie sr R\{2} par : / Montrer qe por tot 2, f(x) = 2x 3 f(x) = () = + = 2x 4 + = 2x 3 = f(x) 2/ En tilisant la forme la pls adaptée, étdier le sens de variation de la fonction f sr les intervalles ] ; 2[ et ]2; + [. On tilise f(x) = 2 + : somme d ne constante (2) et de l inverse de la fonction. Etdions le signe de : Fonction affine avec a = > 0, on obtient donc le tablea sivant : 0 + (7, points) Etdions les variations de : Fonction affine avec a = > 0, on obtient donc le tablea sivant : 0 Si la fonction garde le même signe sr I, avec x I, (x) 0, alors les fonctions et v = ont des sens de variation contraires sr I. Ensemble de définition de la fonction : D = R\{2}. On obtient donc le tablea sivant : On sait qe l ajot d ne constante à ne fonction ne modifie pas son sens de variation, d où : f(x) 3/ En tilisant la forme la pls adaptée, étdier le signe de f(x). On tilise f(x) = 2x 3 Qotient de dex fonctions affines, on obtient le tablea de signes sivant :

2 Page2 Prénom :. Jedi 2 novembre 20 x x f(x) / En tilisant la forme la pls adaptée, résodre l inéqation f(x) 2. On tilise f(x) = 2 + f(x) est d signe de, fonction affine avec a = > 0, on obtient donc le tablea sivant : Donc S = ]2; + [ + / En tilisant la forme la pls adaptée, résodre l éqation f(x) = 4. On tilise f(x) = 2 + f(x) = = = 4 o 2 + = 4 = 2 o = 6 = 2() o = 6() = 2x 4 o = 6x + 2 x = 2 o x = 6 S = { 2 ; 6 } Exercice 2 (4 points) Soit la fonction définie sr R par : : x x 2 + 2x + Donner le sens de variation de la fonction sr son ensemble de définition qe l on explicitera. Etde d sens de variation de : x 2 + 2x + = (x 2 2x ) = ((x ) 2 ) = ((x ) 2 6) = (x ) D où le tablea de variation sivant sachant qe a < 0, les branches sont tornées vers le bas α = et β = 6 x + 6

3 Page3 Prénom :. Jedi 2 novembre 20 Etde le signe de : = b² 4ac = 2² 4 ( ) = = 64 > 0 donc l éqation admet 2 racines x = x = b 2a ( ) x = x 2 = x 2 = b + 2a ( ) x 2 = 3 D où le tablea de signes sivant sachant qe a < 0, x 3 + Signe de Si la fonction garde le même signe sr I, avec x I, (x) 0, alors les fonctions et v = ont des sens de variation contraires sr I. D = R\{ 3; } On obtient donc le tablea de variations sivant : x Exercice 3 On considère la fonction f définie sr R par : f(x) = x 3 (7 points) / Calcler les images de 3 ; 0 ; 2 et 0 par f. f( 3) = ( 3) 3 = 27 f(0) = 0 3 = 0 f(2) = 2 3 = 8 f(0) = 0 3 = 000 2/ Por tot réel x, exprimer f( x) en fonction de f(x). f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x) On dit alors qe la fonction f est impaire. Sa corbe représentative, dans n repère orthonormé, est donc symétriqe par rapport à l origine. 3/ Soit a et b dex réels. Montrer qe : (a b)(a² + ab + b² ) = a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a²b + ab² a 2 b ab² + b 3 = a 3 b 3 4/ Démontrer qe f est croissante sr [0; + [. On porra tiliser le résltat de la qestion précédente. Soit a et b dex réels tels qe : 0 a < b

4 Page4 Prénom :. Jedi 2 novembre 20 Comparons f(a) et f(b) On sait, d ne part, qe a < b donc : On sait, d atre part, qe a 0 et b > 0 Conclsion: donc par somme et prodit : f(a) f(b) < 0 c est à dire : f(a) < f(b) f(a) f(b) = a 3 b 3 = (a b)(a² + ab + b²) a b < 0 (Négatif) a² + ab + b² > 0 (Positif) (a b)(a² + ab + b²) < 0 Les images sont dans le même ordre qe les nombres de départ donc f est strictement croissante sr [0 ; + [. / En tilisant le 2/ montrer qe f est assi croissante sr ] ; 0]. Soit a et b dex réels tels qe : On a : a < b 0 a < b 0 a > b 0 Or on vient de démontrer qe f est strictement croissante sr [0 ; + [, donc: f( a) > f( b) 0 Or d après la qestion 2/, f( x) = f(x), d où: f( a) = f(a) et f( b) = f(b) On a donc : f( a) > f( b) 0 f(a) > f(b) 0 f(a) < f(b) 0 Les images sont dans le même ordre qe les nombres de départ donc f est strictement croissante sr ] ; 0]. 6/ Représenter f sr [ 2 ; 2], dans le repère orthogonal ci-joint.

5 Page Prénom :. Jedi 2 novembre 20 Exercice 4 Soit ABCD est n parallélogramme. On définit les points G et H par : GA = 3GB et AH = 3 AC ( points) / Exprimer GA en fonction d vecter AB. GA = 3GB GA = 3GA + 3AB 2GA = 3AB GA = 3 2 AB 2/ Exprimer GD en fonction des vecters AB et AC. ABCD est n parallélogramme AB = DC GD = GA + AD = 3 2 AB + AD = 3 2 AB + AC + CD = 3 2 AB + AC DC = 3 2 AB + AC AB = 2 AB + AC 3/ Exprimer GH en fonction des vecters AB et AC. 4/ Montrer qe les points G, D et H sont alignés. On a : Or D où: GH = GA + AH = 3 2 AB + 3 AC GH = 3 2 AB + 3 AC = 3 ( 2 AB + AC ) 2 AB + AC = GD GH = 3 GD Les vecters GH et GD sont colinéaires et ont n point commn : G. Donc les points G, D et H sont alignés. Exercice (, points) On donne les points : R( 4 2 ) I( 4 ) V( 2 0 ) E( x 4 ) / Por qelle(s) valer(s) de x les droites (RI) et (VE) sont-elles parallèles? Les droites (RI) et (VE) sont parallèles si et selement si les vecters RI et VE sont colinéaires RI ( ) RI ( 2 ) VE ( x+2 4 ) RI et VE sont colinéaires ( 4) 2 (x + 2) = x 4 = 0 2x = 24 D où x = 2 Donc les droites (RI) et (VE) sont parallèles si et selement si x = 2. 2/ Por qelle(s) valer(s) de x les vecters VR et EI sont-ils colinéaires? Les vecters VR et EI sont colinéaires si et selement si dét (VR ; EI ) = 0. VR ( ) VR ( 2 2 ) EI ( x 4+4 ) EI ( x 8 )

6 Page6 Prénom :. Jedi 2 novembre 20 VR et EI sont colinéaires ( x) = x = 0 2x = 8 D où x = 9 Les vecters VR et EI sont colinéaires si et selement si x = 9 3/ Le qadrilatère RIVE pet-il être n parallélogramme? Le qadrilatère RIVE est n parallélogramme si et selement si RI = EV On a RI ( ) et EV ( 2 4 ) RI = EV { = 4 = 2 Ce système n a pas de soltion donc qel qe soit le nombre x, RI EV Le qadrilatère RIVE ne pet donc pas être n parallélogramme. Exercice 6 (4, points) Por cet exercice, le plan est rapporté à n repère orthonormé (O ; i, j). On considère les points : A ( ) B (0 ) C (6 4 ) D ( 4 ) / Calcler les composantes des vecters AB et CD. AB ( ) AB ( 2 ) 2 CD 6 ( 4 ) CD ( ) CD ( 32 6 ) 2/ Démontrer qe ces vecters sont colinéaires. Si AB et CD sont colinéaires alors 2 ( 6 32 ) ( ) doit être nl Donc les vecters AB et CD sont colinéaires. 2 ( 6 ) ( 32 ) = = 0 3/ Calcler les normes des vecters AC, AD et CD. AC ( ) AC ( 8 0 ) 2 AD + 2 ( 4 ) AD 4 Le repère est orthonormé donc : ( CD ( 32 6 ) 8 ) AD ( 6 ) AC = x AC 2 + y AC 2 = 8² + 0² = 8 AD = ( 8 2 ) + ( 6 2 ) = = = 8

7 Page7 Prénom :. Jedi 2 novembre 20 CD = ( 32 2 ) + ( 6 2 ) = = = 6 Qestion bons 4/ Conclre en donnant la natre exacte d qadrilatère ABCD. Dans le triangle ACD, on a d ne part : AC² = 64 et d atre part : CD² + AD² = = = 64 On a donc AC² = CD² + AD² La réciproqe d théorème de Pythagore permet donc d affirmer qe le triangle ACD est rectangle en D. Par conséqent, l angle ADC est droit. De pls, les vecters AB et CD sont donc colinéaires donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D atre part, les vecters AB et DC sont colinéaires et de même sens car DC = 6 AB et 6 > 0 ; le qadrilatère ABCD n est donc pas croisé. Il en réslte qe ABCD est n trapèze rectangle. Exercice 7 (6, points) On considère la fonction f définie sr R par : f(x) = x x / Ecrire x 3 et x sans les barres de valer absole. x 3 si x [3; + [ x 3 si x 3 x 3 = { o x 3 = { x + 3 si x ] ; 3] x + 3 si x 3 x si x [0; + [ x = { x si x ] ; 0] x si x 0 o x = { x si x 0 2/ Ecrire f(x) sans les barres de valer absole. (Vos dresserez n tablea donnant les expressions de x 3 et 2 x selon les valers de x por obtenir celles de f(x)). x x 3 x + 3 x x 3 2 x 2x 0 2x 2x f(x) 3x x x 3 D où : 3x + 3 si x ] ; 0] f(x) = { x + 3 si x [0 ; 3] 3x 3 si x [3 ; + [ 3/ Résodre les éqations sivantes : a/ f(x) = 3 b/ f(x) = 0 a/ f(x) = 3 c est impossible car ne valer absole ne pet être négative, donc :

8 Page8 Prénom :. Jedi 2 novembre 20 b/ f(x) = 0 S = Sr ] ; 0] : f(x) = 0 3x + 3 = 0 3x = 7 x = 7 3 Sr [0 ; 3] : f(x) = 0 x + 3 = 0 x = 7 or 7 [0 ; 3] Sr [3 ; + [ : f(x) = 0 3x 3 = 0 3x = 3 x = 3 Finalement sr R, S = { 7 3 ; 3 3 } 3