La fonction logarithme népérien

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1 La fonction logarithm népérin Christoph ROSSIGNOL Anné scolair 2011/2012 Tabl ds matièrs 1 Définition, prmièrs propriétés Définition Prmièrs propriétés Propriétés algébriqus Étud d la fonction ln Applications Étud d la fonction ln Sign d la fonction ln L nombr Application d la croissanc strict Logarithm d un fonction : ln u 5 4 Ls xposants réls Définition Propriétés algébriqus Ls fonctions racins n-ièms Tabl ds figurs 1 Courb rprésntativ d la fonction ln List ds tablaux 1 Tablau d variations d la fonction ln Sign d la fonction ln C cours st placé sous licnc Crativ Commons BY-SA 1

2 1 DÉFINITION, PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 1 Définition, prmièrs propriétés 1.1 Définition Définition : La fonction logarithm népérin st la fonction défini sur ]0 ; + [, dont la dérivé st la fonction x 1 x t qui prnd la valur 0 lorsqu x = 1. Ell st noté ln. Rmarqus : 1. On admt provisoirmnt l xistnc t l unicité d un tll fonction. 2. La touch corrspondant d la calculatric st la touch ln, pas la touch log. 3. On notra ln (X) (ou ln X) l imag d X par ctt fonction. Cci n st possibl qu si X > 0 (car la fonction logarithm st défini sur ]0 ; + [. Exmpls : (à l aid d la calculatric) ln 2 0, 693 ln 5 1, 609 ln (1 3) st impossibl car 1 3 = 2 < 0 ln 2 0, 347 ln ( 2 3) 0, 405 Exrcics : 9, 10 pag [Roch-Barny] 1.2 Prmièrs propriétés Propriété : La fonction ln st défini sur ]0 ; + [. On a ln (1) = 0. La fonction ln st dérivabl sur ]0 ; + [ t sa dérivé st : ln (x) = 1 x Exrcics : 41, 43 pag pag [Roch-Barny] 1.3 Propriétés algébriqus du logarithm népérin Théorèm 1 : Propriété fondamntal Pour tous réls a > 0 t b > 0, on a : ln ab = ln a + ln b Théorèm 2 : Soint a, b dux réls strictmnt positifs t n un ntir rlatif. Rmarqus : Exmpls : 1. ln 1 a = ln a 2. ln a b = ln a ln b 3. ln (a n ) = n ln a 4. ln a = 1 2 ln a 1. Attntion! Il n xist aucun résultat sur ln (a + b) ou ln (a b). 2. C théorèm st souvnt utilisé pour simplifir ds xprssions contnant ds logarithms. 1. Utilisation d la calculatric. 2. Calcul d dérivés. 3. Notion d primitiv. 2

3 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN APPLICATIONS 1. ln ( 3 13) = ln 3 ln ln (16) = ln ( 2 4) = 4 ln 2 3. ln ( 2 3 ) = ln 2 + ln 3 = ln ln 3 Exrcics : 3, 5, 6 pag [Roch-Barny] 2 Étud d la fonction ln Applications 2.1 Étud d la fonction ln La fonction x ln x st défini sur ]0 ; + [ t sa dérivé st ln (x) = 1 x. Par suit, pour tout x > 0, ln (x) > 0. La fonction ln st donc strictmnt croissant sur ]0 ; + [. Rmarqus : 1. Comm ln 1 = 0 t ln (1) = 1 1 = 1 : La courb rprésntativ d la fonction ln coup l ax ds abscisss n x = 1 t la tangnt n x = 1 a comm cofficint dirctur On trouvra l tablau d variations d la fonction ln sur l tablau 1 t sa courb rprésntativ sur la figur 1. x ln (x) ln x 0 Tabl 1 Tablau d variations d la fonction ln Figur 1 Courb rprésntativ d la fonction ln 4. Transformations d écriturs. 3

4 2.2 Sign d la fonction ln 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN APPLICATIONS Exrcics : 49 pag 163 t 54 pag pag pag 165 ; 61 pag 166 t 72, 73 pag [Roch-Barny] 2.2 Sign d la fonction ln Propriété : D la figur 1, on put déduir qu, pour tout x > 0 : ln x > 0 équivaut à x > 1. ln x < 0 équivaut à 0 <x < 1. ln x = 0 équivaut à x = 1. Rmarqu : L tablau d signs d la fonction ln st donné sur l tablau 2. Exrcics : 50 pag 163 ; 53 pag [Roch-Barny] x ln x 0 + Tabl 2 Sign d la fonction ln 2.3 L nombr La fonction ln st continu, strictmnt croissant sur ]0 ; + [. D plus ln 2 0, 69 < 1 t ln 3 1, 1 > 1. Donc, il xist un uniqu nombr strictmnt positif, noté, tl qu ln = 1 (on a d plus 2 < < 3) Définition : L nombr st l sul nombr rél dont l logarithm népérin st égal à 1. on a donc : ln = 1 Rmarqu : À la calculatric, c nombr s obtint par la combinaison d touch : x suivi d 1. On obtint : 2, 718. Exmpls : ln = 1 ln ( 2) = 2 ln = 2 ln ( 3) = 3 ln = 3 ln ( 1 ) = ln = 1 ln ( 1 2 ) = ln ( 2 ) = 2 ln ( 1 3 ) = ln ( 3 ) = 3 Propriété : Plus généralmnt, si n st un ntir strictmnt positif : ( ) 1 ln ( n ) = n t ln n = n Exrcics : 1, 2 pag , 8, 11 pag 158 t 12 pag pag 163 t 60 pag [Roch-Barny] 2.4 Application d la croissanc strict Propriété : La fonction ln étant strictmnt croissant sur ]0 ; + [ : Pour tout a > 0 t tout b > 0 : ln a = ln b équivaut à a = b. ln a < ln b équivaut à a < b. 5. Prmièrs étuds d fonctions. 6. Rchrch d fonctions. 7. Typ BAC. 8. Étud d fonctions. 9. Vrai-Faux. 10. Calculs avc l nombr. 11. Rchrch d fonctions. 4

5 3 LOGARITHME D UNE FONCTION : LN U Rmarqu : Ctt propriété, combiné à l utilisation du nombr, prmt d résoudr ds équations t inéquations contnant ds logarithms. Exmpls : Résolution d équations t d inéquations 1. Résoudr l équation ln x = 2 : Il faut qu x > 0. Ctt équation équivaut à ln x = ln ( 2). On n déduit qu x = 2. Ctt valur st bin strictmnt positiv donc S = { 2}. 2. Résoudr l équation ln (5 2x) = 1 : Il faut qu 5 2x > 0, c st-à-dir x < 5 2. Ctt équation équivaut à ln (5 2x) = ln. On n déduit qu 5 2x =, c st-à-dir x = 5 2. Ctt valur st bin dans l intrvall ] { ; 2[ 5 donc S = 5 } Résoudr l inéquation ln (x) < 2 : Il faut qu x > 0. Ctt inéquation équivaut à ln x < ln ( 2). On n déduit qu x < 2.Comm d plus on doit avoir x > 0, on a S = ] 0 ; 2[. 4. Résoudr l inéquation ln (5 2x) < 1 : Il faut qu 5 2x > 0, c st-à-dir x < 5 2. Ctt équation équivaut à ln (5 2x) < ln. On n déduit qu 5 2x <, c st-à-dir x > 5 Comm d plus on doit avoir x ] ] ; 2[ 5, on a S = 5 2 ; 2[ Détrminr l plus ptit ntir n tl qu 1, 05 n 4 : Ctt équation équivaut à ln (1, 05 n ) ln 4 puis n ln (1, 05) ln 4. Comm ln (1, 05) > 0, on obtint n ln 4 Comm, d plus, ln 4 ln(1,05) ln(1,05). 28, 5, l plus ptit ntir n vérifiant l inéquation st n = 29. Exrcic : Résoudr d mêm l inéquation 0, 8 n 0, 01 (attntion aux nombrs négatifs) Rmarqu : Ls dux drnièrs inéquations puvnt êtr utils dans l cadr d l utilisation d suits géométriqus. Exrcics : 19 pag 159 t 21, 26 pag pag 159 t 22, 24, 25 pag , 29, 32, 35, 37 pag , 65, 66, 68 pag pag 163 t 62 pag [Roch-Barny] 2. 3 Logarithm d un fonction : ln u Définition : Soit u un fonction défini sur un intrvall I tll qu, pour tout x I, u (x) > 0. On appll ln u la fonction défini sur I par x ln (u (x)). Rmarqu : Il s agit d la composé d u suivi d la fonction ln. En appliquant l théorèm d dérivation ds fonctions composés, on obtint l résultat suivant : Propriété : Soit u un fonction dérivabl t strictmnt positiv sur un intrvall I. Alors, la fonction ln u st dérivabl sur I t : (ln u) = u u Exmpl : Soit f la fonction défini sur R par f (x) = ln ( x ). On pos u (x) = x Résolution graphiqu. 13. Équations comportant un ln. 14. Inéquations, tablaux d signs. 15. Applications aux suits. 16. Étud d fonctions. 5

6 4 LES EXPOSANTS RÉELS La fonction u st dérivabl t strictmnt positiv sur R t, d plus, u (x) = 2x. La fonction f st donc dérivabl sur R t : f (x) = 2x x Exrcics : 42, 44 pag pag 164 t 57 pag pag [Roch-Barny] 4 Ls xposants réls 4.1 Définition On a vu au 1.3 qu, pour tout a rél strictmnt positif t tout n ntir rlatif : ln (a n ) = n ln a On convint d définir l nombr a b lorsqu b st un nombr rél qulconqu par la rlation : Rmarqus : Exmpls : ln ( a b) = b ln a 1. La fonction ln étant strictmnt croissant, il n y a qu un sul nombr vérifiant ctt rlation. 2. Ls calcultrics puvnt ffctur ds calculs sur ds xposants réls. 2, 1 1,6 3, 28 ; (1, 02) , 95. Exrcics : 6, 7 pag [Roch-Barny] 4.2 Propriétés algébriqus On admttra qu ls règls d calcul sont ls mêms qu pour ls puissancs ntièrs. Propriété : Pour tout a > 0, a > 0, b R t b R a b+b = a b a b a b = 1 a b ab b = ab a b ( a b ) b = a b b (aa ) b = a b a b ( a a ) b = a b Exrcics : 1, 2, 3 pag [Roch-Barny] a b 4.3 Ls fonctions racins n-ièms Propriété : Soit x t y dux nombrs réls strictmnt positifs t n un ntir naturl non nul. x n = y équivaut à x = y 1 n L nombr y 1 n st applé racin n-ièm d y. Il put aussi êtr noté n y. 17. Calculs d dérivés. 18. À partir d un graphiqu ou d un tablau d variations ; 19. Typ BAC. 20. Utilisation d la calculatric. 21. Calculs sur ls puissancs rélls. 6

7 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Modul : TP3 pag [Roch-Barny] Exrcics : 12, 13, 14, 15 pag 183 t 22 pag , 20 pag , 28, 31 pag 184 t 34, 35 pag [Roch-Barny] Référncs [Roch-Barny] Mathématiqus Trminal STG, F. Roch t F. Barny, Hachtt Éducation, , 3, 4, 5, 6, Ds équations t ds inéquations. 23. Résolutions d équations t d inéquations. 24. Application aux suits géométriqus. 25. Applications économiqus. 7