CH IV Polynômes du second degré. 1 / 8

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1 CH IV Polynômes du second degré. 1 / 8 Objectifs : Fonctions polynômes du second degré. Représentation graphique. Résolution d'équation et d'inéquation du second degré. I. Polynôme du second degré. 1. Définition et forme réduite. Définition : On appelle fonction polynôme du second degré ( ou trinôme du second degré ) toute fonction définie sur R, qui peut s écrire sous la forme (réduite) : x a x² + b x + c. ( où a, b et c sont des réels et a 0) Remarque : On dit que a est le coefficient de x², b le coefficient de x et c le terme constant. Un polynôme du second degré est toujours défini sur R ; il n est donc pas nécessaire de le répéter systématiquement. Par abus de langage, on utilise souvent l expression trinôme du second degré a x² + b x + c au lieu de trinôme du second degré x a x² + b x + c Application : Parmi les fonctions suivantes ( définies sur R ) lesquelles sont des trinômes du second degré: x 3 x² + x + 3 x 4 x² x ( x + 1 ) 3 ( x 1 ) 3 x ( x + 1 )² ( x 1 )². Forme canonique et variations. Activité : On considère les fonctions f et g définies sur R par f(x) = 3x² - 6x + 5 et g(x) = 3 + 4x - x² 1 / a) Démontrer que f(x) = 3(x m)² + p, où m et p sont réels à déterminer. b) En utilisant la fonction x x²,déterminer les variations de f.

2 CH IV Polynômes du second degré. / 8 / a) Démontrer que g(x) = -(x m)² + p, où m et p sont réels à déterminer. b) En utilisant la fonction x x²,déterminer les variations de g. 3 / Généralisation : soit h le trinôme du second degré définie par h : x ax² + bx + c. a) Démontrer que : a x ²b xc= a b a x b 4ac (forme canonique de h). 4a b) En déduire les variations de h. Propriété : soit f le trinôme du second degré définie par f(x) = ax² + bx + c. Pour tout réel x, le trinôme f peut s'écrire : f(x) = a(x x 0)² + y 0 (forme canonique) où x 0 = b et y a 0 = b 4ac = f x 4a 0. La représentation graphique de f est une parabole de sommet M(x 0 ; y 0). Si a> 0, alors f est strictement décroissante sur ] - ; x 0] et est strictement croissante sur [x 0 ; + [. Si a< 0, alors f est strictement croissante sur ] - ; x 0] et est strictement décroissante sur [x 0 ; + [.

3 CH IV Polynômes du second degré. 3 / 8 Application : Donner la forme canonique des polynômes suivants puis en déduire leurs variations. a) f(x) = x² 10x + 16 b) g(x) = 5 15x + 3x² c) h(x) = 5x 3x² + 15 II. Equation du second degré et factorisation. 1. Définition Définition : Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut s écrire sous la forme : a x² + b x + c = 0 ( où a, b et c sont des réels et a 0 ) Remarque : Soit le trinôme du second degré f : x a x² + b x + c ( avec a 0 ) L équation a x² + b x + c = 0 s écrit aussi f ( x ) = 0. Résoudre cette équation dans R, c est trouver tous les réels u qui vérifient f ( u ) = 0. Ces solutions sont appelées racines du trinôme f.. Résolution. Activité : Résoudre les équations suivantes : a) 5x² 0 = 0 b) 3x² + 4x = 0 c) x² + 4x + 4 = 0 d) x² + 4x + 13 = 0

4 CH IV Polynômes du second degré. 4 / 8 Généralisation : Soit f : x a x ² + b x + c (avec a 0 ) un trinôme du second degré. Comme a 0, pour tout réel x on a : a x ² + b x + c = a ( x² + b a x + c a Or x² b a x est le début du développement de x b a Donc, pour tout réel x, a x ²b xc=a[ b x a b a ) b = x² a x b = x² a b a b x a c a]=a[ x b a b 4ac 4a ] Définition : Soit f : x a x ² + b x + c (avec a 0 ) un trinôme du second degré. le réel, b² 4ac, se note (delta) et s appelle le discriminant du polynôme f. On a alors f x=a x ²b xc=a[ b x a ] et donc f(x) = 0 4a x b a =0 (*) 4a Si < 0 Si = 0 L équation (*) n a donc pas de solution dans R. (car L équation a une unique solution dans R : x 0 = b a (car (*) 4a < 0 ) x b a =0 x b =0.) a Si > 0 L équation a donc deux solutions distinctes dans R : x 1 = (car (*) b a et x = x b a a =0 x b a a b x a a =0 ) b a Application : Résoudre dans les équations ci-dessous : 1. 6x² x 1 = 0. Calculons le discriminent du polynôme 6x² x 1 : = b² 4ac = 1² = 5. On a >0, donc l'équation 6x² x 1 = 0 admet solutions dans R : x 1 = b a = 15 6 = 1 et x = b a On en conclut que l'ensemble des solutions est : S = { = = 1 3 ; 1 }. x² -3x + 4 = 0.

5 CH IV Polynômes du second degré. 5 / 8 3. x² 1x + 18 = x² 9x 15 = 15. Remarques : Il n est pas toujours utile de calculer le discriminant. Application. Résoudre : a) 4 x² 9 = 0 b) 5 x² 4 x = 0 c) (3x )² = 4 Lorsque a et c sont de signes contraires, alors : 4ac > 0 ; donc > 0 et l équation a x² + b x + c = 0 admet deux solution distinctes. Lorsque l équation a x² + b x + c = 0 admet deux racines x 1 et x, alors : x 1 + x = b a et x 1 x = c a

6 CH IV Polynômes du second degré. 6 / 8 Interprétation graphique : Graphiquement, les racines (éventuelles) du polynôme f(x) = ax² + bx + c correspondent aux abscisses des points d'intersections entre la courbe représentative Cf et l'axe des abscisses. Il y a alors plusieurs cas de figures : Si a > 0 Si < 0 Si = 0 Si > 0 Si a < 0 le polynôme n'a pas de racines. le polynôme a une seule racine. le polynôme a racines. le polynôme n'a pas de racines. le polynôme a une seule racine. le polynôme a racines. 3. Factorisation de a x² + b x + c. On a vu que, pour tout réel x : a x² + b x + c = Trois cas se présentent : a[ b x a a ] < 0 Le trinôme n a pas de racine ; il est inutile d espérer factoriser ce trinôme en produit de polynômes du premier degré. a = 0 a x² + b x + c = a x b =a x x 0 ; x 0 = b a est appelée racine double du trinôme > 0 a x² + b x + c = a ( x x 1 ) ( x x ) ; où x 1 et x sont les racines du trinôme Application : Factoriser chacun des trinômes suivants : a) f(x) = x² + 11x + 5 b) g(x) = 169 5x + 4x²

7 CH IV Polynômes du second degré. 7 / 8 III. Signe du polynôme a x² + b x + c. Étudions le signe de f ( x ) = a x² + b x + c ( a 0 ) Si > 0 Soit x 1 et x les racines du trinôme ( avec, par exemple x 1 < x ). On a donc : f( x ) = a ( x x 1 ) ( x x ) Propriété : si > 0. Le trinôme f est du même signe que «a» sur ]- ; x 1[ et sur ]x ; + [, et est du signe contraire de «a» sur ]x 1 ; x [. Remarque : On dit aussi que f est du signe de «a» sauf entre ses racines. si < 0, on utilise la forme canonique : f ( x ) = a[ b a x x b a a b 4ac 4a ] est strictement positif et donc, pour tout réel x, a x² + b x + c est du signe de a. Propriété : Si < 0. Le trinôme f est du même signe que «a» sur R. Si D = 0, f ( x ) = a b a x et donc, pour tout réel x b a, a x² + b x + c est du signe de a. ( pour x = b a, f ( x ) = 0 ) Propriété : Si = 0. Le trinôme f est du même signe que «a» sur R\{x 0} et s'annule en x 0. Application : Soient f et g les trinômes définies par f ( x ) = x² + 5 x 3 et g(x) = 4x² + 1x + 9. Résoudre dans R, les inéquations : f (x) < 0 et g(x) 0.

8 CH IV Polynômes du second degré. 8 / 8 Interprétation graphique : Graphiquement, les solutions de l'inéquation f(x) > 0 (où f(x)=ax² + bx +c) correspondent aux abscisses des points de la courbe représentative Cf situés au dessus de l'axe des abscisses. Il y a alors plusieurs cas de figures : Si a > 0 Si < 0 Si = 0 Si > 0 Si a < 0 L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)>0 est R. L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)>0 est R\{x 0} L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)>0 est : ] - ; x 1[ U ]x ; + [ L'inéquation f(x)>0 n'a pas de solutions. L'inéquation f(x)>0 n'a pas de solutions. L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)>0 est ] x 1 ; x [