Application de la théorie des ondelettes

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1 - Application de la théorie des ondelettes Valérie Perrier Laboratoire de Modélisation et Calcul de l IMAG Institut National Polytechnique de Grenoble Valerie.Perrier@imag.fr Enseignement UNESCO Traitement du signal et des images numériques, Tunis, ENIT, 4-8 mars 25

2 Planning des cours Cours Transformée en Ondelettes Continue D et applications Cours 2 Transformée en Ondelettes Continue 2D. Partie I : théorie et implémentation. Cours 3 Transformée en Ondelettes Continue 2D. Partie II : Applications en imagerie médicale. Cours 4 Bases d ondelettes D et applications. Cours 5 Bases d ondelettes 2D. Applications au traitement d images (compression, débruitage).

3 Bibliographie générale Livres : - S. Mallat, Une exploration des signaux en ondelettes, Les Editions de l Ecole Polytechnique, 2. - B. Torresani, Analyse continue par ondelettes, Savoirs actuels - Interéditions/CNRS éditions, 995. Liens intéressants : - WaveLab : bibliothèque de TO -gratuite- tournant sur matlab : - Wavelet Digest : le site de la communauté ondelettes : évènements, bibliographie, softwares, liens, Let It Wave : la première startup française vendant des ondelettes, bandelettes, etc.., créée par S. Mallat :

4 Cours : Transformée en Ondelettes Continue D et applications - I - Transformée en Ondelettes Continue - Généralités - Introduction : de Fourier aux ondelettes 2 - Définitions : ondelettes, TOC. 3 - Propriétés de la TOC. Formules d inversion. 4 - Implémentation. 5 - Exemples. Représentation temps-échelle. 6 - Analyse de la régularité locale d une fonction - II - Applications de la transformée en Ondelettes continue - Détection et calcul de singularités par la technique de suivi des maxima lines de Mallat 2 - Turbulence : analyse spectrale locale. Comparaison spectres Fourier/ondelettes.

5 - I -Transformée en Ondelettes Continue - Généralités - De l analyse de Fourier à l analyse par ondelettes L analyse de Fourier est une analyse en fréquence d un signal f(x) (x=temps) Si la fonction f est périodique de période T: c n (f) = T ou, si f appartient à L (R) : T f(x)e 2iπ n T x dx ˆf(ν) = + f(x)e 2iπνx dx donne le contenu fréquentiel de f pour la fréquence n T ou ν.

6 Exemple : deux notes de musique jouées en même temps 2 representation temporelle representation frequentielle Signal f(x) = sin(4πx) + sin(7πx) (haut), et module de sa transformée de Fourier b f(ν) (bas)

7 Perte de localisation temporelle : Exemple de deux notes de musique jouées l une après l autre : l analyse en fréquence n informe pas sur la localisation temporelle du changement de régime dans le signal. representation temporelle representation frequentielle Signal composé d une succession de deux sinusoïdes (de 2 et 85 Hertz) et module de sa transformée de Fourier

8 Transformée de Fourier à fenêtre glissante : Il s agit de calculer la transformée de Fourier du signal temporel découpée en morceaux! Multiplication du signal f(x) par une fenêtre glissante h(x b) (réelle) et calcul de la transformée de Fourier de ce produit : G f (ν, b) = f(x) h(x b) e 2iπνx dx b est le temps, ν est la fréquence.

9 Transformée de Fourier à fenêtre glissante Exemple des deux notes de musique : L analyse temps-fréquence permet de retrouver à la fois les fréquences (les notes) et l information temporelle (l ordre dans lequel elles sont jouées). fonction a analyser coefficients Fourier Fenetre

10 Limitations de la TF à fenêtre glissante En dessous d une échelle d étude a, correspondant à la taille de la fenêtre h, la transformée de Fourier à fenêtre glissante présente les mêmes limitations que la transformée de Fourier. Considérons par exemple le signal f 2 = f + δ + δ 2 (où f est la succession de deux notes précédentes) : il est impossible de trouver en pratique une valeur de a qui permette une visualisation simultanée des deux phénomènes : cela impliquerait que la fenêtre h soit bien localisée à la fois en temps et en fréquence, ce qui est impossible d après le principe d incertitude de Heisenberg (le meilleur compromis restant la gaussienne). L analyse en ondelettes a pour objectif de rendre compte de ces deux phénomènes simultanément, en introduisant une fenêtre dont la taille varie avec la fréquence.

11 Transformée de Fourier à fenêtre glissante fonction a analyser coefficients Fourier Fenetre Signal f 2 et sa transformée de Gabor avec a = α sinusoides =.5

12 Transformée de Fourier à fenêtre glissante fonction a analyser coefficients Fourier Fenetre Signal f 2 et sa transformée de Gabor avec a = α Dirac =.5

13 Dans la transformée en Fourier à fenêtre : G f (ν, b) = + = < f / ψ b,ν > les fonctions analysantes sont : f(x) h(x b) e 2iπνx dx ψ b,ν (x) = h(x b) e 2iπνx

14 Dans la transformée de Gabor, la fenêtre h est une Gaussienne d échelle σ : h(x) = σ e π( x σ )2. Les fonctions de Gabor sont alors (σ = ): ψ b,ν (x) = e π(x b)2 e 2iπνx Fonction de Gabor frequence 2 Fonction de Gabor frequence 5 Fonction de Gabor frequence Fonctions de Gabor pour ν = 2, 5, 5 (partie réelle)

15 2 - Transformée en ondelettes continue - Définition y ~ a ~ a 2 f(t) x x 2 x Wf(a, b) = + f(x) ψ a,b (x) dx a >, b R Les fonctions analysantes ou ondelettes sont définies par : ψ a,b (x) = ( ) x b ψ a a

16 fonction a analyser coefficients d ondelettes Signal f 2 (deux notes+scratch) et sa transformée en ondelettes

17 2 - Définition d une ondelette Une fonction ψ(x) L (R) L 2 (R) est une ondelette si elle vérifie la condition d admissibilité : C ψ = bψ(ν) ν 2 dν <. Ce qui implique R + Exemples : ψ(x)dx = (équivalent si xψ intégrable). L ondelette de Morlet (complexe) : ψ(x) = e πx2 e iπx On a ˆψ(ν) = e π(ν 5)2. Les dérivées de la Gaussienne : ψ n (x) = dn dx n e πx2, n. (pour n = 2, l ondelette est appelée chapeau mexicain ). On a ˆψ n (ν) = (2iπν) n e πν2.

18 Ondelettes dans l espace physique : ψ a,b (x) = x b ψ a a «Ondelette de Morlet echelle Ondelettes de Morlet d échelles a = /2,, 2 (partie réelle). L échelle a donne la taille du support (inverse d une fréquence), b donne la position.

19 Transformée de Fourier des ondelettes : ˆψ a,b (ν) = a ˆψ(aν) e 2iπbν.9 Transformee de Fourier des ondelettes echelle 2,, / Transformée de Fourier (module) des ondelettes de Morlet d échelles a = /2,, 2. Les ondelettes sont des filtres passe-bande autour de la fréquence ν = ν a. Pour l ondelette de Morlet ν = 5 (maximum de ˆψ).

20 2 - Définition équivalente Soit f L 2 (R). On a de façon équivalente : pour tout a >, b R, Wf(a, b) = Wf(a, b) = a Z + a «x b f(x) ψ dx a ˆf(ν) b ψ(aν) e 2iπνb dν Vu du coté temporel (ou spatial) x, Wf(a, b) renseigne sur le signal f autour du point b dans un voisinage de taille a. Vu du coté fréquentiel (ν), Wf(a, b) renseigne sur le signal ˆf autour de la fréquence a. L analyse en ondelettes est une analyse temps-échelle. Dém : Il suffit d appliquer la formule de Parseval : Wf(a, b) =< f/ψ a,b >=< ˆf/ ˆψ a,b >

21 3 - Transformée en ondelettes continue : Inversion Soit f une fonction réelle. La Transformée en Ondelettes Continue : s 2 W : L 2 (R, dx) L 2 R + R, dadb C ψ a 2 f(x) s 2 C ψ Wf(a, b) est une isométrie. On a donc la conservation de l énergie : f(x) 2 dx = 2 C ψ dadb Wf(a, b) 2 a, 2 et la formule de synthèse :» 2 f(x) = Re C ψ Wf(a, b) ψ a,b (x) dadb. a 2

22 Démonstration (de la formule de conservation de l énergie). De la définition équivalente de la TOC, et en utilisant la formule de la transformée de Fourier inverse, on déduit que la transformée de Fourier de la fonction b Wf(a, b) est ν a ˆf(ν) ψ(aν). b La formule de Parseval appliquée à cette fonction donne : Donc I = Wf(a, b) 2db = a dadb Wf(a, b) 2 = a 2 d après le théorème de Fubini. ˆf(ν) 2 ψ(aν) 2dν b ˆf(ν) 2» da ψ(aν) 2 b dν a On souhaite alors faire le changement de variable en a : ξ = aν, celui-ci impose que ν soit de signe constant. On coupe alors l intégrale : I = R + h R ˆf(ν) 2 + da b i ψ(aν) 2 dν + R h R ˆf(ν) 2 + da b i ψ(aν) 2 dν a a = R + h R ˆf(ν) 2 + dξ ξ b ψ(ξ) 2 i dν + R h R ˆf(ν) 2 dξ ξ b ψ(ξ) 2 i dν

23 Il faut alors distinguer le cas ψ réelle de ψ complexe analytique (i.e. ˆψ nulle sur R ): - Si ψ est réelle, alors b ψ est une fonction paire et On a alors Z I = C ψ 2 dξ ξ b ψ(ξ) 2 = dξ ξ ˆf(ν) 2dν = C ψ 2 b ψ(ξ) 2 = C ψ 2 f(x) 2dx - Si ψ est complexe analytique, alors b ψ s annule sur R et I = C ψ ˆf(ν) 2dν Comme f est supposée réelle, on a R + I = C ψ 2 ˆf(ν) 2dν = 2 f(x) 2dx R + ˆf(ν) 2dν, et

24 3 - Formule d inversion avec une ondelette de synthèse différente Décomposition avec une ondelette d analyse g : a >, b R, «x b W g f(a, b) = f(x) ḡ dx a a Synthèse avec une ondelette de reconstruction h : f(x) = 2 c gh W g f(a, b) a h x b a «da a 2 db Condition d admissibilité sur les fonctions g et h (g,h L 2 (R)) : c gh = ĝ(k)ĥ(k) dk < + k Il suffit dans ce cas que l une ou l autre des fonctions h et g soit une ondelette (i.e. de moyenne nulle).

25 4 - Implémentation On peut voir la transformée en ondelettes continue comme un produit de convolution, pour a fixé: où l on a noté : Wf(a, b) = Z + a = (f ˇψ a )(b) ˇψ a (x) = ψ x «a a «x b f(x) ψ dx a

26 4 - Exemple de programme matlab % ondelette.m % PROGRAMME DE TRANSFORMEE EN ONDELETTES % Le signal a analyser doit s appeler y ii=sqrt(-) %..y=signal a analyser (en mémoire) n=length(y)-; p=fix(log(n)/log(2)); dx=/n; t=:dx:; x=-:dx:; % calcul de l ondelette a=/2;a=a^ (/2);p=2*p; for i=p-:-: a=a^ i; % échelle xx=x/a; g=exp(-xx.^ 2/2).*exp(ii*5*xx)./sqrt(a); % ondelette de morlet

27 ou g=(-2*xx.^ 2).*exp(-2*xx.^ 2)./sqrt(a); % chapeau mexicain % calcul des coefficients d ondelettes a l echelle a W=zeros(p,n+); wa=conv(y,g); W(i+,:n)=abs(wa(n+:2*n)); end % trace subplot(3,,),plot(t(:n),y(:n)),title( fonction a analyser ) subplot(3,,2),imagesc(w(:p,:n)), title( coefficients d ondelettes )

28 5. Interprétation, exemples La transformée en ondelettes continue Wf(a, b) est une analyse temps-échelle : b est le temps, a est l échelle, qui joue le rôle de l inverse d une fréquence. Exemples : () Si f est une fréquence pure f(x) = cos(2πkx), alors «e 2iπkx + e 2iπkx Wf(a, b) = ψ a,b (x) dx 2 = h ˆψa,b (k) + 2 ˆψ a,b ( k)i a h = ˆψ(ak) e 2iπkb + 2 ˆψ( ak) e 2iπkbi Si l ondelette ψ est complexe analytique : a Wf(a, b) = ˆψ(ak) e 2iπkb 2 Si l ondelette ψ est réelle : Wf(a, b) = a Re ˆψ(ak) e 2iπkb

29 Exemple : fréquence pure f(x) = cos(2πx) (k = ) fonction a analyser coefficients d ondelettes Module de la transformée en ondelettes, en utilisant l ondelette de Morlet (ondelette complexe analytique)

30 Exemple : fréquence pure f(x) = cos(2πx) (k = ) fonction a analyser coefficients d ondelettes Transformée en ondelettes, en utilisant la dérivée seconde de la Gaussienne (ondelette réelle)

31 Exemples : (2) Si f est un Dirac f(x) = δ(x x ) (mesure ponctuelle en x ), alors : Wf(a, b) = δ(x x ) ψ a,b (x) dx = ψ a,b (x ) «x b = ψ a a A chaque échelle a, b Wf(a, b) est l ondelette d échelle a centrée en x (à une symétrie + conjugué près).

32 Exemple 2 : le Dirac δ x fonction a analyser coefficients d ondelettes Signal Dirac et sa transformée en ondelettes (module, ondelette de Morlet), (division par a)

33 Exemples : le créneau fonction a analyser coefficients d ondelettes Créneau et sa transformée en ondelettes (module, ondelette de Morlet) (division par a)

34 Exemples : l onde modulée fonction a analyser coefficients d ondelettes Onde modulée et sa transformée en ondelettes (division par a)

35 Exemples : 2 sinusoides + bruit 4 fonction a analyser coefficients d ondelettes signal et sa transformée en ondelettes (division par a)

36 Exemples : fonction höldérienne d exposant 2 fonction a analyser coefficients d ondelettes f(x) = p cos(2πx) et sa transformée en ondelettes (division par a)

37 6. Analyse de la régularité locale d une fonction Régularité lipschitzienne/höldérienne α d une fonction f α : paramètre de régularité. α : f est Lipschitz-α en x (f C α {x }) si : h R, f(x + h) f(x ) C h α. Extension à α R + non entier : f C α {x } si f est de classe C n avec n = [α] et h R, f (n) (x + h) f (n) (x ) C h α n. f uniformément Lipschitz-α sur [A, B] si C >, x [A, B], h R, f(x + h) f(x ) C h α (idem pour α > ) Extension aux α négatifs (distributions) : f uniformément Lipschitz-α sur ]A, B[ si sa primitive est Lipschitz-(α + ) sur ]A, B[.

38 Remarques, exemples Une fonction Lipschitz-α en x, avec < α <, est continue mais a priori non dérivable. Une fonction de classe C en x est Lipschitz- en x. La régularité α avec n < α < n + permet de classifier la régularité entre de classe C n et de classe C n+. Une fonction bornée est Lipschitz-. Par exemple la fonction de Heavyside H(x) = si x et si x <. La distribution δ est Lipschitz-( ) (comme dérivée-distribution de H). La fonction x x α ( < α < ) est Lipschitz α, la fonction p cos(2πx) est Lipschitz- 2.

39 Lien entre la régularité lipschitzienne d une fonction et les coefficients d ondelettes Soit α fixé. On considère ψ une ondelette de classe C n, à support compact, supp ψ [ C, C], avec n α moments nuls. Caractérisation de la régularité de f en un point x : Théoreme Si f L 2 (R) est Lipschitz-α n en x, alors A > tel que b (a, b) R R +, Wf(a, b) A a α+ x α 2 ( + a ) Réciproquement, si α non entier et α < n et s il existe A > et α < α tels que (a, b) R R +, Wf(a, b) A a α+ 2 ( + b x a alors f est Lipschitz-α en x. α )

40 Conséquence pratique Si supp ψ = [ C, C], le cône d influence de x dans le plan temps-échelle est constitué des points (b, a) tels que x soit dans le support de ψ a,b = [b Ca,b + Ca]. Si f est Lipschitz-α en x, alors il existe K >, tel que pour tout b vérifiant b x < Ca (i.e. b dans le cône d influence de x ), on a : Wf(a, b) Ka α+ 2 La réciproque est vraie (pour une autre constante K), si α est non entier. α peut être calculé en pratique par la pente de la courbe : log a log Wf(a, b)

41 -II - Applications de la transformée en Ondelettes continue - Détection et calcul de singularités par la technique de suivi des maxima lines de Mallat Références : - S. Mallat, W.L. Hwang Singularity detection and processing with wavelet, IEEE Trans. Info. Theory, 38(2):67-643, Mars S. Mallat, S.Zhong Characterization of Signals from Multiscale Edges, IEEE Trans. Patt. Anal. and Mach. Intell., 4(7):7-732, Juillet 992.

42 Lien entre les ondelettes et la régularité lipschitzienne ψ n moments nuls, α n, supp ψ = [ C,C]. f est uniformément Lipschitz-α au voisinage d un point x si pour tout (b, a) vérifiant b x < Ca, on a : Wf(a, b) K a α+ 2, et inversement, si α non entier. α est estimé asymptotiquement en calculant la pente de la courbe log Wf(a, b) en fonction de log a. échelle a Chaine de maxima d ondelettes x Position x

43 Les lignes de maxima Point de module max : tout point (b, a ) t.q. la courbe b Wf(b, a ) est localement maximum en b = b. Lignes de maxima : toute courbe connexe (b, a(b)) de points de module max dans le demi-plan position-échelle. Toutes les singularités (α < ) sont détectées en suivant les modules maximaux d ondelettes dans les fines échelles. Si ψ = ( ) n θ (n) avec θ gaussienne, alors les points de module max de W ψ f(a, b) appartiennent à des courbes connexes, qui ne s interrompent jamais quand l échelle diminue.

44 Exemple : le Dirac representation temporelle (a) Le Dirac (b) les coefficients d ondelettes Chaînage des maxima 8.8 chaîne : 9 log2(scale) (c) chaînage (d) évaluation de la singularité en.5

45 Exemple : f(x) = x x representation temporelle (a) La fonction Chaînage des maxima (b) les coefficients d ondelettes chaîne 2 et 3: log2(scale) (c) chaînage (d) évaluation de la singularité en.7 (trait continu) et.25 (trait pointillé)

46 La fonction f(x) = x x bruitée (SNR=.) 2 representation temporelle log2(scale) (a) La fonction Chaînage des maxima (c) chaînage (b) les coefficients d ondelettes chaîne 2 et 3: (d) évaluation de la singularité en.7 (trait continu) et.25 (trait pointillé)

47 2. Analyse spectrale locale. Comparaison spectres Fourier/ondelettes, et application en turbulence Références : - Thierry Philipovitch, Applications de la Transformée en Ondelettes Continue à la Turbulence Homogène Isotrope Bidimensionnelle, Thèse de Doctorat de l Université Paris VII, Valérie Perrier, Thierry Philipovitch, Claude Basdevant, Wavelet spectra compared to Fourier spectra, J. Math. Phys. 36(3), pp , Marie Farge, Wavelet Transforms and their Applications to Turbulence, Annual Review of Fluid Mechanics, 4, (992).

48 (a) Spectre de Fourier d un signal. Définition Soit s(x) un signal réel. Sa transformée de Fourier est définie par : ŝ(k) = + et son spectre de puissance : s(x) e 2iπkx dx E(k) = ŝ(k) 2 pour k. L énergie totale E du signal s vérifie : E = 2 + s(x) 2 dx = 2 + ŝ(k) 2 dk = + E(k)dk.

49 (b) Spectre local, spectre global en ondelettes. Définition Soit ψ L (R) L 2 (R) une ondelette avec p moments nuls : x n ψ(x) dx = for n =,... p, and x p ψ(x) dx. Cette condition est équivalente à l existence d une fonction continue bornée ϕ, telle que ϕ() =, lim x ϕ(x) = et ˆψ(ω) = ω p ϕ(ω). La transformée en ondelettes s du signal s est : s(a, b) = W ψ s(a, b) = a s(x)ψ( x b a ) dx,

50 La conservation de l énergie de la transformée en ondelettes s écrit : avec : c ψ = R + E = c ψ ˆψ(ω) 2 ω dω. s(a, b) 2 da a 2 db, Le spectre local en ondelettes est défini pour k et x R : Ẽ(k,x) = c ψ k s( k k, x) 2 où k est la fréquence la plus importante de l ondelette ψ. Ce spectre local mesure la contribution à l énergie totale provenant du voisinage du point x et du nombre d onde k, le voisinage dépendant de la forme de l ondelette ψ dans l espace physique et dans l espace de Fourier. A partir du spectre local, on peut définir un spectre moyen en ondelettes Ẽ(k) : Ẽ(k) = Ẽ(k,x) dx qui est relié à l énergie totale par : E = R + Ẽ(k) dk

51 Relation entre le spectre de Fourier et le spectre moyen en ondelettes On a la relation entre le spectre de Fourier E(k) et le spectre moyen en ondelettes Ẽ(k) : Ẽ(k) = c ψ k E(ω) ˆψ( k ω k ) 2 dω Le spectre en ondelette est une moyenne du spectre de Fourier pondéré par le carré de la transformée de Fourier de ψ centrée en k. On montre plus loin que le comportement du spectre en ondelettes à haute fréquence dépend du comportement de l ondelette à petits nombres d onde - et donc du nombre de moments nuls.

52 Démonstration : Ẽ(k) = = = c ψ k c ψ k Ẽ(k,x) dx s( k k,x) 2 dx ŝ(ν) 2 ˆψ( k ν k ) 2 dν en appliquant le théorème de Parseval à la fonction x s( k k, x), et on a déjà vu que la transformée de Fourier de la fonction x s(a, x) est ν a ŝ(ν) ˆψ(aν).

53 Appli. : spectres à décroissance algébrique (turbulence) Considérons un signal dont le spectre de Fourier vérifie : E(k) = k α for k > k a > Son spectre en ondelettes est donné par : Ẽ(k) = Z ka E(ω) c ψ k ˆψ( k ω k ) 2 dω + c ψ k k a ω α ˆψ( k ω k ) 2 dω Si l ondelette ψ a exactement p moments nuls, on peut écrire : ˆψ(ω) = ω p ϕ(ω) avec ϕ continue et ϕ() =. Donc : Ẽ(k) = k (2p+) k 2p Z ka ω 2p E(ω) ϕ(k ω k ) 2 dω +k (2p+) k 2p c ψ c ψ ω 2p α k a ϕ(k ω k ) Comme ϕ( k ω ) quand k +, le premier terme se comporte k comme k (2p+) quand k (E est finie!) 2 dω

54 Le comportement du second terme dépend de 2p α. Ainsi: Si α < 2p + : le second terme du membre de droite s écrit : k α k α c ψ k ka k ω 2p α ϕ(ω) 2 dω L intégrale a une limite non nulle quand k, ce terme se comporte comme k α donc on a Ẽ(k) k α pour k + qui se comporte comme le spectre de Fourier. Si α > 2p + : par le théorème de Lebesgue, la deuxième intégrale a une limite finie non nulle quand k et le spectre en ondelettes sature à haute fréquence : Ẽ(k) k (2p+) pour k + ce qui est indépendant du signal (mais dépend de l ondelette!). Si α = 2p +, on a de la même manière k α ln k pour le comportement du second terme et Ẽ(k) k α ln k pour k +.

55 Une condition suffisante pour que le spectre moyen en ondelettes ait le même comportement en k α que le spectre de Fourier est : x n ψ(x) dx = pour n α 2 Exemple : E(k) = k 6. Nombre de moments nuls critique : Fourier p=2 p=4 p=8 log E(k) log k Spectre de Fourier E(k) = k 6, et spectres en ondelettes associés Ẽ(k) pour des ondelettes avec p cancellations, ˆψ(k) = k p exp( πk 2 ), p = 2, 4 and 8 (échelle log-log).

56 Généralisation en dimension deux pour l analyse de champs turbulents numériques Vorticity field analysis Fourier Enstrophy spectrum -2-4 p=2 p=4 p=8 p=6-6 K Spectre de Fourier et spectre en ondelettes d un champ de vorticité 2D (spectres d enstrophie ). Les ondelettes sont des dérivées de Gaussienne isotropiques ˆψ( k) = k p exp( π k 2 ) avec p = 2, 4, 8, et 6 (échelle log-log).

57 Appli. 2 : Spectres a décroissance exponentielle. (Cas du vortex Gaussien en turbulence 2D) Supposons que le spectre de Fourier vérifie : E(k) = e k2 Le spectre moyen en ondelettes s écrit : Ẽ(k) = k e ω2 ω c ψ k ˆψ( k ) 2 dω Si ˆψ(ω) = ω p ϕ(ω) avec ϕ continue bornée, ϕ() =, ϕ( ) =, on a : Ẽ(k) = k (2p+) k 2p e ω2 ω ϕ( 2p k ω c ψ k ) 2 dω D après le théorème de Lebesgue, l intégrale converge vers une limite finie non nulle quand k +, donc Ẽ(k) k (2p+) pour k +

58 Le comportement du spectre en ondelettes dépend du nombre p de moments nuls de l ondelette : Ẽ(k) k (2p+) pour k Fourier p=2 p=8 p=6 log E(k) log k Spectre de Fourier E(k) = e k2 et spectres en ondelettes associés Ẽ(k) pour des ondelettes avec p cancellations, ˆψ(k) = k p exp( πk 2 ), p = 2, 8 et 6 (échelle log-log).

59 Spectre local. Connection avec les théorèmes de régularité Théorème: soit f une fonction localement intégrable, Hölderienne d ordre α > en x (i.e. f C [α] (x ) et f ([α]) (x + h) f ([α]) (x ) = O(h s ) avec α = [α] + s, < s < ). Soit ψ une ondelette telle que ψ L (R), x α ψ L (R) et ψ a [α] + cancellations, alors : f(a, x) = a α+/2 O( + x x α a α ) when a, () Réciproquement, si () est vérifié et si f C ɛ (R) pour un ɛ >, alors f ([α]) (x + h) f ([α]) (x ) = O(h α ln(/h)). Dans ce cas, le spectre local en ondelette vérifie : quand k +. Ẽ(k,x) = k (α+/2) O( + k α x x α ) k α

60 Ondelettes avec un nombre infini de moments nuls Une possibilité est de construire des ondelettes avec un nombre infini de moments nuls. Exemple : ˆψ(k) = exp( α 2 ln2 ( k )).5 Paul s Wavelets - Fourier space, alpha=2, 4 & Physical space Representation dans l espace physique et l espace de Fourier pour α = 2 (ligne continue), α = 4 (ligne pointillée) et α = 6

61 Exemple 2 : ˆπ n (k) = α n exp 2 (k2 + «k ) 2n n..5 Perrier s wavelets - Fourier space, n=2, 4 & Physical space Representation dans l espace physique et l espace de Fourier pour n = 2 (ligne continue), n = 4 (ligne pointillée) et n = 6). Le maximum de la transformée de Fourier de π n est atteint pour k n = n 2(n+) et on a k n.5

62 Comparaison spectres Fourier/Ondelettes pour E(k) = k 6 Fourier n=2 n=4-5 n=8 log E(k) - -5 log k Spectre de Fourier E(k) = k 6 et spectres en ondelettes associés calculés avec l ondelette π n pour n = 2, 4 et 8 (échelle log-log).

63 Comparaison spectres Fourier/Ondelettes pour E(k) = e k2 Pour un spectre de Fourier E(k) = e k2, le spectre en ondelettes s écrit en utilisant l ondelette π n : α2 n Ẽ(k) = c πn k n avec : β n (k) = + 2 k k n exp (β n (k) ω 2 + ) dω ω2n Par le changement de variable : ω = [β n (k)] 2(n+) ξ, on obtient : Ẽ(k) = α2 n [β n (k)] c πn k n 2(n+) n exp [β n (k)] n+ (ξ 2 + ξ 2n ) dξ La méthode de Laplace (phase stationnaire) donne : e xφ(t) dt 2π e xφ(t ) p xφ (t ) si x + pour φ atteignant son maximum en t.

64 On obtient : Ẽ(k) α2 n c πn r π 2(n + ) k exp c(n) k k n «2 2! n+, avec : c(n) = n n+ ( + n ). On ne récupère pas exactement le comportement du spectre de Fourier, mais on a une décroissance exponentielle plutôt qu algébrique. De plus pour les grands n, le spectre en ondelettes à petite échelle est proche d une Gaussienne car Ẽ(k) k e k2 k + et grand n

65 Comparaison spectres Fourier/Ondelettes pour E(k) = e k Fourier n=2 n=4 n=8 log E(k) log k Spectre de Fourier E(k) = e k2 et spectres en ondelettes associés Ẽ(k) calculés avec l ondelette π n pour n = 2, 4 et 8 (échelle log-log).