3 : FONCTIONS TRINOMES DU SECOND DEGRE

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1 3 : FONCTIONS TRINOMES DU SECOND DEGRE. DEFINITIONS Un trinôme du seond degré est une fontion de la forme trois réels donnés ave a a + + a où a, et sont Résoudre l'équation a + + = ( ave a ), 'est trouver tous les nomres u tels que au u + + =. Un tel nomre u est dit solution ou enore raine de l'équation.. Résolution de l'équation du seond degré dans R Posons f a a ( ) = + + ( ).. Eriture sous forme anonique Puisque a, mettons a en fateur : f( ) = a + + a a Faisons apparaitre les deu premiers termes de la parenthèse omme le déut d'un arré + = ( + ) a a 4a Don f( ) = a ( + ) + a 4a a En réduisant au même dénominateur, les deu derniers termes dans le rohet 4a f( ) = a ( + ) a 4a Cette dernière ériture est appelée forme anonique du trinôme du seond degré Gérard Hirsh Maths54

2 .. Résolution de l'équation du seond degré On pose f() s'érit = 4a(lire "delta"); est le disriminant du trinôme f( ) = a ( + ) a 4a Si <, alors <, l'epression entre rohets est stritement positive, don l'équation 4a f( ) = n'admet pas de solution dans R.(voir le hapitre «nomres omplees») Remarque voir le hapitre "Nomres omplees" pour la résolution dans C Si =, alors et une seule f( ) ( ) a = a + et puisque = (on dit aussi que la raine est doule) a a, l'équation f( ) = admet une solution Si > alors on peut érire = ( ) et ( ) f( ) = a ( + ) a ( ) ( ) = + a 4a a a soit en utilisant l'identité remarquale = ( + )( ) A B A B A B f( ) = a + + a a + a a ( ave a ) Le produit de fateurs est nul si l'un des fateurs est nul + Si l'on pose = et = a a f() s'érit f ( ) = a( )( ) Puisque a, l'équation f( ) = admet deu solutions distintes : + = et = a a Gérard Hirsh Maths54

3 3. Fatorisation du trinôme du seond degré Soit le disriminant du trinôme du seond degré = 4a Si > alors on peut érire, le frinôme du seond degré admet deu raines + = et = et alors a a Si =, alors a + + = a( + ) a a + + = a ( )( ) Si <, le trinôme du seond degré n'admet pas de raine dans R, et la fatorisation dans R n'est pas possile. 4. Somme et produit des raines Lorsque le trinôme du seond degré a ave a + + = ( ) admet deu raines + distintes = et = (ou deu raines onfondues = = ) a a a alors leur somme S = + = a et leur produit P= = a Eemple Résoudre l équation du seond degré Formons le disriminant 3 7= = 4 a= ( 3) 4( 7)() = 5 = = = = 7 et = = = a 4 a 4 Les raines de l équation du seond degré sont Vérifiation : 7, Gérard Hirsh Maths54 3

4 3 S = + = = 7 = a 7 P=. = = (7)( ) = a Fatorisation du trinôme 3 7= ( 7)( + ) = ( 7)(+ ) Eemple Résoudre l équation du seond degré Formons le disriminant + + = = a= = < 4 () 4()() 7 Le trinôme du seond degré n admet pas de raine réelle et ne peut se fatoriser dans. Eemple Cas où une raine est onnue Résoudre l équation du seond degré = On remarque que = est une raine de ette équation. On sait que le produit des raines est 999 a = Puisque = alors = Reherhe de deu réels onnaissant leur somme S et leur produit P Deu nomres réels u et v ont pour somme S = u+ v et pour produit P= uv, s'ils sont solutions de l'équation du seond degré de plus S 4P S P + =.Les deu réls u et v n'eistent que si Eemple Résoudre le système ( Σ) + y = 49 + y = 5 Gérard Hirsh Maths54 4

5 On utilise l identité remarquale ( + ) = + + y y y qui donne ( + y) ( + y ) y= soit Le système ( Σ ) est équivalent au système ( Σ ') + y = 49 y = 558 (49) (5) y= = 558 On herhe don deu nomres onnaissant leur somme S = 49 et leur produit P = 588 Ces deu nomres et y sont solutions de l équation X 49X = Les raines de ette équation du seond degré sont et 8 Les solutions du système ( Σ ) sont = et y = 8 ou = 8 et y = 6. Signe du trinôme du seond degré Soit f a ave a ( ) = + + = ( ) Lorsque <, f() est toujours du signe de a. Lorsque =, f() est du signe de a (sauf lorsque =, auquel as f( ) = ) a Lorsque >, f() est du signe de a lorsque est à l'etérieur des raines du signe de a lorsque est à l'intérieur des raines nul lorsque ets égal à l'une des deu raines Eemple Donner le signe de A ( ) = 3 7 et résoudre l inéquation A ( ) Le disriminant est égal à = 3 4()( 7) = 5 = 5 Les raines sont = + = 7 et = = 4 4 Le signe de A() est donné par le taleau : Gérard Hirsh Maths54 5

6 - -/ 7 + A() + + L inéquation A ( ),7 Eemple Donner le signe de B( ) = + + et résoudre l inéquation B ( ) Le disriminant est égal à = 4()() = 7< Il n y a pas de raine réelle Le signe de B() est donné par le taleau : - + B() + L inéquation B ( ) n est jamais vérifiée 7. Fontions trinômes du seond degré et paraoles Soit ( C ) la oure représentative de la fontion r r repère ( O; i ; j) f : a a + + ( a ) dans le Reprenons la forme anonique de f() : forme anonique que l'on peut aussi érire y = f( ) = a ( + ) a 4a y+ = a I 4a + a ( ) ( ) En introduisant le point I de oordonnées I ;, et en introduisant le repère a 4a r r r r ( I ; i ; j) déduit du repère ( O; i ; j) par translation Gérard Hirsh Maths54 6

7 r r On note ( ; y ) les oordonnées d'un point quelonque M dans le repère ( O; i ; j) et ( X ; Y ) les oordonnées du même point M dans le repère ( I ; i ; j) r r, les formules de hangement d'aes sont X = + et a Y = y+ a La oure ( C ) est d'après (I) une paraole d'équation La paraole est tournée vers le as lorsque a > vers le haut lorsque a < Y r r = ax dans le repère ( I ; i ; j) a> > a> = a> < a< > a< = a< < La paraole admet la droite d'équation = pour ae de symétrie a Gérard Hirsh Maths54 7

8 Lorsque a >, la fontion Lorsque a <, la fontion f : a + + a admet un minimum pour f : a + + a admet un maimum pour = = a a 8. Résolution d équations se ramenant à la résolution d une équation du seond degré 8.. Résolution d une équation du troisième degré (dont on peut trouver une raine réelle) 3 a d = où a R, R, R et d R Eemple 3 Résoudre l équation du troisième degré = L équation proposée admet la raine évidente = On peut don mettre ( ) et puisque l équation proposée est du troisième degré, on herhe les réels a, et tels que Développons 3 + = a ( )( ) = a + ( a) + ( ) Par identifiation des oeffiients des termes de même degré, on otient le système a = a= 6 = 7 = qui admet une solution unique et don a = = 5 = Gérard Hirsh Maths54 8

9 = ( )( 5 + ) Le trinôme du seond degré 5 + admet pour disriminant = ( 5) 4()() = et pour raines = et = Les solutions de l équation proposée sont ,, 8.. Résolution d une équation du quatrième degré 8... Equations iarrées (pas de puissanes impaires) Une équation est iarrée si elle est de la forme 4 a où a, et + + = En posant X = (hangement d inonnue), la resolution d une équation iarrée en, ommene par elle d une équation du seond degré d inonnue X. Connaissant X, on peut ensuite herher tel que = X Eemple Résoudre On pose X et don = = et don X = = 4X + X 3= L équation du seond degré en X admet pour raines X = et X = 3 4 L équation = admet pour raines et 4 L équation = 3 n' admet pas de raine dans Les solutions de l équation proposée sont, Gérard Hirsh Maths54 9

10 8... Equations dont les oeffiients sont symétriques S'ils admettent la raine, ils admettent aussi la raine même que P( ) =. On dit qu une telle équation est symétrique. puisque l'équation P()= est la De telles équations peuvent être résolues en mettant en fateur (puisque = n est pas solution ar a ) puis en posant X = + Eemple 4 3 Résoudre 46 + = On met en fateur (puisque = n est pas solution) = ( 46 + ) = ou enore ( + ) ( ) 46 + = en posant X soit X En introduisant X = + = + + : ( X ) ( X) 46 = ou X X 7 = L équation du seond degré 7 = admet pour raines 7 et X 4 4 L ' équation X + = s ' érit = et admet pour raines 4 et + = + + = X 3 3 L ' équation X s ' érit 3 3 et admet pour raines 3 et Les solutions sont don 4,,3, 4 3 et l on otient la fatorisation suivante = (3+ )( + 3)(4 )( 4) Remarque D autres équations peuvent se ramener à la résolution d équations du seond degré Gérard Hirsh Maths54