Solutions Feuille de Travaux Dirigés semaine 12

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1 Universié de Tours Licence de Mahémaiques Soluions Feuille de Travau Dirigés semaine 2 L3, Algèbre Semesre 6 Eercice ) Déerminer oues les marices de R 3 ayan pour polynôme minimal X + Soluion: Soi A une marice de R 3 ayan pour polynôme minimal X + On a alors A+I 3 = c es-à-dire A = I 3 Il y a donc une unique marice de R 3 qui a pour polynôme minimal X +, c es la marice I 3 2) Déerminer une marice de M 3 (R) ayan pour polynôme minimal (X +)(X 2) Soluion: Soi A = On sai que 2 Π A divise le polynôme caracérisique χ A = (X ) 2 (X 2) de A; Π A a les mêmes racines que χ A ; Π A es un polynôme uniaire Ainsi Π A = (X )(X 2) ou Π A = (X ) 2 (X 2) On vérifie facilemen que (A I 3 )(A 2I 3 ) = e donc Π A = (X )(X 2) 3) Déerminer une marice de M 3 (R) ayan pour polynôme minimal (X +)(X 2) 2 Soluion: Soi A = 2 On sai que 2 Π A divise le polynôme caracérisique χ A = (X )(X 2) 2 de A; Π A a les mêmes racines que χ A ; Π A es un polynôme uniaire Ainsi Π A = (X )(X 2) ou Π A = (X )(X 2) 2 On vérifie facilemen que (A I 3 )(A 2I 3 ) ce qui implique que Π A = (X )(X 2) 2 Eercice 2 Soi A = e u l endomorphisme de R 3 associé 2 3 ) Calculer χ A Soluion: On rouve χ A = (X +)(X 2) 2 2) Déerminer les sous-espaces propres e les sous-espaces caracérisiques de A Soluion: Les sous espaces propres son e les sous-espaces caracérisiques son E = ker(u+id R3 ) e E 2 = ker(u 2Id R3 ) N = E e N 2 = ker(u 2Id R3 ) 2

2 Calcul de E On a Ainsi E = Vec(f ) où f = Calcul de E 2 On a y E u(x) = X y Ainsi E 2 = Vec(f 2 ) où f 2 = 2 Calcul de N 2 3+2y+4 = +3y = y 2 y 3 = 4+2y+4 = +4y = 2 y 2 = { +4y = 2+y +2 = { + = y = E 2 u(x) = 2X 3+2y +4 = 2 +3y = 2y 2 y 3 = 2 +2y+4 = +y = 2 y 5 = { +2y +4 = y + = { +2 = y + = La marice represenaive de (u 2Id R 3) 2 dans la base canonique es 9 8 A 2 = 9 8 On a donc Ainsi N 2 = Vec(g 2,g 3 ) où g 2 = y 2 3) L endomorphisme u es-il diagonalisable? N 2 A 2 e g 3 = +2 = 2

3 Soluion: L endomorphisme u n es pas diagonalisable puisque u adme 2 valeurs propres e 2 e dim(e )+dim(e 2 ) = 2 < dim(r 3 ) Eercice 3 Soiu L(R 4 ) el quema Bc (u) = 3 On aχ 2 2 u = (X 2) 2 (X ) (X+) 2 On désigne par N 2, N e N les sous-espaces caracérisiques de u associés à 2, e respecivemen ) Déerminer une base B λ de N λ où λ {2,, } ainsi que la marice de u Nλ dans cee base Soluion: On rappelle que Calcul de N 2 N 2 = ker(u 2Id R 4) 2, N = ker(u Id R 4) e N = ker(u+id R 4) La marice represenaive de (u 2Id R 4) 2 dans la base canonique es (Ma B (u) 2I 4 ) 2 = On a donc y Ainsi N 2 = Vec(f,f 2 ) où f = N 2 e f 2 = { 7 y = + + = La famille B 2 = (f,f 2 ) forme une base de N 2 Pour déerminer la marice de u N2 on calcule u(f ) e u(f 2 ) que l on eprime dans la base B 2 = (f,f 2 ) On a u(f ) = = 2 2 = 2f u(f 2 ) = = f +2f Finalemen on obien Calcul de N Ma B2 (u N2 ) = ( ) 2 2 Le sous-espace caracérisique N es égal à l espace propre E qui es de dimension On a y N u(x) = X 2+2y 2 = +3y + = y 2+y 2 = +y 2 = +2y 2 = +2y + = 2+y 2 2 = +y 2 = 3

4 Après calculs on rouve que N = Vec(f 3 ) où f 3 = Clairemen B = (f 3 ) forme une base de N e dans cee base, la marice de u es la marice égale à () Calcul de N On a y N u(x) = X Après calculs on rouve que N = Vec(f 4 ) où f 4 = 2+2y 2 = +3y+ = y 2+y 2 = +y 2 = 3+2y 2 = +4y+ = 2+y 2 = +y 2 + = Clairemen B = (f 4 ) forme une base de N e dans cee base, la marice de u es la marice égale à ( ) 2) Déerminer l indice de nilpoence de (u λid E ) Nλ pour ou λ {2,, } Soluion: Les endomorphismes (u Id E ) N e (u+id E ) N son nuls, ce son donc des endomorphismes d indice ( L endomorphisme ) (u 2Id E ) N2 es nilpoen d indice 2 puisque sa marice dans la base B 2 es e 3) Déerminer le polynôme minimal de u Soluion: Le polynôme minimal de u es ( ) ( ) = (X 2) r2 (X ) r (X +) r où r λ es l indice de nilpoence de l endomorphisme (u λid) Nλ D après la quesion 2), on a Π u = (X 2) 2 (X )(X +) Eercice 4 Soi v L(R 4 ) el que Ma Bc (v) = ) Déerminer une base des sous-espaces caracérisiques de v ainsi que la marice de la resricion de v dans ces bases Soluion: On commence par calculer le polynôme caracérisique χ A de A On rouve Les sous-espaces caracérisiques de v son Calcul de N χ A = (X ) 2 (X 2) 2 N = ker(u Id R 4) 2 e N 2 = ker(u 2Id R 4) 2 La marice represenaive de (v Id R 4) 2 dans la base canonique es 2 2 (Ma B (v) I 4 ) 2 = 2 2 4

5 On a donc Ainsi N = Vec(f,f 2 ) où f = y N e f 2 = 2+y +2 = = + = +y + = La famille B = (f,f 2 ) forme une base de N Pour déerminer la marice de v N on calcule v(f ) e v(f 2 ) que l on eprime dans la base B = (f,f 2 ) On a v(f ) = = = f v(f 2 ) = = = f +f 2 Finalemen on obien Ma B (v N ) = ( ) Calcul de N 2 La marice represenaive de (v 2Id R 4) 2 dans la base canonique es (Ma B (v) 2I 4 ) 2 = On a donc y Ainsi N 2 = Vec(f 3,f 4 ) où f 3 = N 2 e f 4 = 3y 2 2 = +2y + + = +3y = La famille B 2 = (f 3,f 4 ) forme une base de N 2 Pour déerminer la marice de v N2 on calcule v(f 3 ) e v(f 4 ) que l on eprime dans la base B 2 = (f 3,f 4 ) On a v(f 3 ) = = 3 = 2f 3 +f v(f 2 ) = = 2 2 = 2f 4 Finalemen on obien Ma B2 (v N2 ) = ( ) 2 2 5

6 2) Déerminer le polynôme minimal de v Soluion: Le polynôme minimal de u es (X ) r (X 2) r2 où r λ es l indice de nilpoence de l endomorphisme (u λid) Nλ On vérifie facilemen à l aide des marices calculées dans la quesion précédene que r = 2 e r 2 = 2 e donc Π u = (X ) 2 (X 2) 2 Eercice 5 Soi u un endomorphisme nilpoen de E d indice r N e soi E el que u r () ) Monrer que F := (u r (),u r 2 (),,u(),) forme une famille libre de E Soluion: Soi (λ,,λ r ) K r el que r i= λ iu i () = En appliquan u r à cee équaion on obien r r u r ( λ i u i ()) = λ i u r +i () = λ u r () = i= e comme u r (), on obien λ = i= Supposons mainenan que pour k > on a λ = = λ k = La relaion r i= λ iu i () = devien donc r i=k λ iu i () = En appliquan u r k à cee égalié on obien λ k u r () = ce qui monre que λ k = Ainsi, puisque λ =, on voi que ous les λ i son égau à e la famille F es libre 2) On pose F = Vec(F) Déerminer la marice de u F dans la base F Soluion: La marice de u F dans la base F es Eercice 6 Soi u L(R 3 ) de marice représenaive dans la base canonique ) Monrer que u es nilpoen e calculer son indice de nilpoence Soluion: On vérifie facilemen que e donc u es nilpoen d indice 3 2 = e 2) Déerminer R 3 \keru 2 e monrer que B = (u 2 (),u(),) forme une base de R 3 Soluion: La marice représenaive de u 2 es On voi que = R 3 \ker(u 2 ) On a donc u 2 () =, u() = e = e la famille forme B = (u 2 (),u(),) forme une base de R 3 3) Déerminer la marice de u dans la base B Soluion: On rouve Ma B (u) = 3 = 3 6

7 Eercice 7 Soi u L(R 3 /2 ) de marice représenaive dans la base canonique /2 2 ) Monrer que u es nilpoen e calculer son indice de nilpoence Soluion: On vérifie facilemen que /2 /2 2 e donc u es nilpoen d indice 2 2) Déerminer R 3 \keru e monrer que (u(),) forme une famille libre de R 3 Soluion: On vérifie facilemen que = R 3 \ keru On a u() = e donc la 2 famille (u(),) forme une famille libre de R 3 3) Déerminer une base B = (u(),, y) el que y ker(u) Soluion: Le veceur y = es dans le noyau de u e on vérifie facilemen que B = (u(),,y) es une base de R 3 (faies-le!) 4) Déerminer la marice de u dans la base B Soluion: On rouve 2 = 3 Ma B (u) = Eercice 8 Trouver des base B e B 2 de R 4 elles que 2 2 Ma B (u) = 2 e Ma B (v) = 2 où u e v son les endomorphismes définis dans les eercices 3 e 4 Soluion: La base que l on a rouvé dans l eercice 3 pour u donne la bonne marice On considère mainenan l endomorphisme v On pose B 2 = (f,f 2,f 3,f 4 ) où f =, f 2 =, f 3 = e f 4 = On a vu que N = Vec(f,f 2 ) e N 2 = Vec(f 3,f 4 ) Pour alléger les noaions on désigne par w la resricion de u Id E à N ( On a vu ) que w es nilpoen d indice 2 De plus, la marice represenaive dans la base (f,f 2 ) de w es On voi que f 2 N \ker(u Id E ) e la famille (w(f 2 ),f 2 ) es une base de N Dans cee base la marice de w es ( ) Pour alléger les noaions on désigne par w la resricion de u 2Id E à N 2 ( On a ) vu que w es nilpoen d indice 2 De plus, la marice represenaive dans la base (f 3,f 4 ) de w es On voi que f 3 N \ker(u 2Id E ) e la famille (w (f 3 ),f 3 ) es une base de N 2 Dans cee base la marice de w es ( ) 7

8 Finalemen on a = P P où P = La marice P es la marice don les veceurs colonnes son (w (f 3 ),f 3,w(f 2 ),f 2 ) 8