Mécanique des fluides compressibles

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1 écanique des fluides comressibles I Raels Nous restreindrons l étude au cas du fluide idéal, non visqueux, en écoulement ermanent unidimensionnel. Précisons : - Fluide idéal gaz arfait (vr) à constant - Ecoulement ermanent : indéendant du tems - Unidimensionnel : toutes les grandeurs ne déendent que d un aramètre satial, l abscisse curviligne, elles sont constantes dans une section erendiculaire à la ligne moyenne. I- P (Princie de onservation de la asse ou équation de continuité) qm qm avec qm S Le long d un tube de courant le débit se conserve. Attention : Ne jamais utiliser le débit volumique en mécanique des fluides comressible. I- PFD (Princie Fondamental de la Dynamique ou théorème d Euler) r F Σ ext D r r qm( ) NB : D est un domaine fluide limité ar un tube de courant ΣF r ext D comtabilise toutes les forces extérieures au domaine D, y comris le oids (négligeable en mécanique des fluides comressibles) et les forces de ression agissant sur les sections d entrée et de sortie du fluide. Les forces recherchées ne sont en général que celles agissant sur les arois (calcul de la oussée des moteurs de fusées ou des réacteurs ). I-3 er rincie de la thermo (conservation de l enthalie totale) Ecriture générale : wi qe ( h gz) qe est la chaleur échangée avec l extérieur. Dans le cas qui nous réoccue, les vitesses étant très grandes, les échanges de chaleur sont faibles ar raort aux variations d énergie cinétique. Il en est de même de l énergie otentielle gz..guilié janvier

2 wi est le travail indiqué donc ar définition le travail fourni ar les arties mobiles de la machine au domaine fluide D. Si nous choisissons convenablement le reère c est à dire tel que les arois soient fixes dans ce reère alors le travail indiqué est nul. Donc le remier rincie se résume à : ( h ) donc h cste On aelle cette somme «enthalie totale». Elle se conserve même si l écoulement est irréversible (avec frottement). I-4 Equations de comortement du fluide Il s agit ici de schématiser le comortement thermo élastique du fluide. es équations ne sont lus fondamentales comme les récédentes. Nous choisirons le modèle le lus simle celui du gaz idéal comme nous l avons dit en introduction. Equation d état : r Fonctions d état : avec r R nous n aurons besoin que de l enthalie : 5/3 our un gaz monoatomique 7/5 our un gaz diatomique, 33 our les gaz oly atomiques h cste avec r et : I-5 ème rincie Le deuxième rincie introduit la notion de réversibilité et va nous fournir la dernière équation nécessaire à la résolution d un roblème de mécanique des fluides comressibles. ds δ qe δ δ q int est la chaleur due aux forces de frottement. Nous avons émis l hyothèse de fluide non visqueux, il est nécessaire aussi que l écoulement soit sans onde de choc (voir IV) our que l évolution soit réversible et que cette chaleur soit nulle. Donc, comme nous avons négligé qe au I-3, il en résulte que : ds En cours de thermo, nous avons démontré que cette équation conduisait dans le cas d un gaz idéal à l équation : v cte d où : Attention : ette équation n est valable que dans le cas où l écoulement est adiabatique et réversible et our un gaz arfait, contrairement aux équations I- à I-4. q int.guilié janvier

3 3 II Vitesse du son et nombre de ach II- Démonstration. Envisageons la roagation d une etite erturbation élémentaire de ression (son) se délaçant dans un fluide au reos. Pour lus de facilité, nous rendrons le reère sur la surface d onde et se délaçant avec elle. Dans ce reère, on écrit le P et le PFD : P : ds a ds( d)( a dc) Donc en déveloant : a a ad dc dcd Et en ne conservant que le remier ordre : ad dc () PFD : ΣFext D ( d) ds ds qm( a ( a dc)) adsdc Donc en simlifiant: d adc En utilisant l équation () : a d d a d a d d Dans le cas d un gaz idéal et our une erturbation infinitésimale, le délacement de d l onde est isentroique donc v cte et en différenciant, on obtient : r donc d finalement : a r AN : our l air à 5 a 34m / s (4km/h). Attention : est obligatoirement en K..Guilié janvier

4 4 Pour «oncorde» volant dans la stratoshère (altitude suérieure à km), la temérature est de -56,5 c'est-à-dire 6,5K la vitesse du son est donc de 95m/s (6km/h). ach corresond à 4km/h. II- Nombre de ach et différents régimes d écoulement Par définition le nombre de mach est c a La valeur de ce nombre est fondamentale our les écoulements comressibles. Selon qu il est suérieur (régime suersonique) ou inférieur à (régime subsonique), la nature de l écoulement ou lus exactement le comortement du fluide va être fondamentalement différent. Dans le cas d un écoulement interne débouchant dans un réservoir ar exemle. Si en régime subsonique la ression du réservoir change la vitesse d écoulement va varier en fonction de cette ression (augmenter si la ression diminue et vice-versa). En régime suersonique, les «ondes de ressions» qui se délacent à la vitesse du son ne euvent as remonter et l écoulement dans le tuyau reste invariable quelque soit la ression en aval. Voir III-5 l amorçage d une tuyère. onsidérons maintenant un mobile se délaçant de droite à gauche à une vitesse c c donc à un nombre de ach : a En régime subsonique, le fluide en amont du mobile reçoit les ondes de ression avant l arrivée du mobile et eut donc s écarter continûment au fur et à mesure de l aroche. En suersonique, le fluide en amont du cône sonique n est as révenu de l aroche (zone de silence) et ne eut donc s écarter que brutalement (choc) au assage de l onde : cette différence entre les écoulements est fondamentale. Les lignes de courant, les réartitions des ressions seront radicalement modifiées..guilié janvier

5 5 On voit donc que la nature «comressible» d un fluide déend de la vitesse dont il est animé. La confirmation de ce fait sera largement déveloée dans les aragrahes suivants. III Ecoulement isentroique (sans viscosité ni onde de choc) III- Etat générateur, équation de Barré de Saint Venant L état générateur est l état du fluide lorsque sa vitesse est nulle. Par exemle : les conditions régnant dans le réservoir alimentant une tuyère, au oint d arrêt isentroique Aux grandeurs caractérisant cet état nous affecterons l indice :,,,h, et état eut-être fictif, il n est là que our simlifier les calculs. On eut ainsi réécrire l équation du I-3, la conservation de l enthalie totale, en utilisant l hyothèse de gaz arfait : devient : En utilisant l équation de ayer calculée au II- : écoulement isentroique r, l exression de la vitesse du son a r et les relations qui lient les grandeurs thermodynamiques en, on obtient l équation suivante : ette équation orte le nom d équation de Barré de Saint Venant (BSV). Les tables en annexe à la fin de ce cours donnent, entre autre, les résultats numériques de cette équation our,45. III- Etat critique et vitesse limite a) Etat critique L état d un fluide en un oint où la vitesse est sonique est aelé «état critique» et noté «c». Il est facile de calculer les caractéristiques de cet état grâce à l équation de BSV en reortant dans cette équation : c c c.guilié janvier

6 6 a a c c AN : our l air,45 d où : b) Vitesse limite :,836 a c, c, 9, c, 575,, 6343 a La vitesse limite d un écoulement comressible est atteinte lorsque la détente est oussée jusqu à donc. L équation de conservation de l enthalie totale devient : L L ette vitesse est intéressante à lusieurs titres : Elle est déjà la vitesse maximum que euvent atteindre les gaz d échaement d une fusée dans le vide, elle conditionne donc la oussée maxi des moteurs de fusée. D autre art, d un oint de vue de la théorie cinétique des gaz, cette vitesse rerésente la vitesse désordonnée des molécules dans le gaz. En effet, lorsque l on détend le gaz sans erte d énergie jusqu à une ression et temérature nulle : l énergie cinétique des molécules l une ar raort à l autre devient alors nulle. L énergie cinétique de l ensemble des molécules fixes l une ar raort à l autre est égale à l énergie avant la détente donc à l énergie cinétique désordonnée des molécules dans le gaz (hyothèse de gaz arfait). III-3 Barré de Saint Venant Bernoulli Nous avons vu que l équation de Barré de Saint Venant est l équation de conservation de l énergie our un fluide comressible comme l est l équation de Bernoulli our les fluides incomressibles. On eut se demander à artir de quand on doit utiliser l équation de BSV à la lace de celle de Bernoulli. Pour cela nous allons montrer que l équation de Bernoulli eut être considérée comme un déveloement limité d ordre un de BSV. De l équation du III- on tire : n( n ) 3 Nous raelons que : ( x) n nx x O( x ) où O(x 3 ) est un terme etit! d ordre 3. Donc en osant x et n et en reortant dans l équation de BSV, on obtient : 4 6 O( ) 8 En multiliant ar et en factorisant ar on obtient : c.guilié janvier

7 7.Guilié janvier )) ( 4 ( 4 O Or : r a D où : )) ( 4 ( 4 O L équation de Bernoulli se résente donc comme un déveloement au remier ordre de l équation de BSV avec un coefficient d erreur égal à 4 qui vaut % our, et 6% our,5. Au-delà de,7 et même si l erreur sur le calcul de la ression est relativement faible, le fluide doit être considéré comme comressible car des assages locaux en suersonique euvent affecter l écoulement comlet ar les ondes de choc qui se roduisent localement. III-4 héorème d Hugoniot Le roblème est ici de déterminer les caractéristiques de l écoulement à un endroit quelconque d une tuyère dont on connaît l évolution de la section. En utilisant le P et les équations de BSV : S S D où : ) ( a a S S Or BSV s écrit : Donc finalement : ) ( S S En utilisant l état critique «c» (on fait et ), on obtient : ) ( S S ette équation est aelée «théorème d Hugoniot». omme our l équation de BSV, les tables en annexe donnent les valeurs numériques.

8 8 S est la section critique, nous verrons qu elle corresond aussi à la section du col de la tuyère lorsque celle-ci est «amorcée» (voir lus loin) Sur le diagramme cicontre, nous traçons la fonction récédente. On eut tirer les conclusions suivantes (voir fig) : - En subsonique : lorsque la section décroît, la vitesse augmente et inversement. Le résultat est conforme à celui de la mécanique des fluides incomressible - Par contre, en suersonique, la vitesse augmente si la section augmente. - Pour asser de subsonique en suersonique, il faut donc que la tuyère résente une section minimale aelée «col». Dans le cas où la tuyère est «amorcée», c'est-à-dire que l écoulement est suersonique à un endroit, les conditions au col sont les conditions critiques. Dans ce cas le débit de la tuyère ne déend lus des conditions avales (l onde de ression ne eut as remonter l écoulement suersonique) : - e hénomène est aelé «hénomène d étranglement». Le débit «d étranglement» vaut : qm S e S ( ) a Il ne déend lus que des conditions génératrices et de la section du col. ette caractéristique est utilisée our les réacteurs ou les fusées our réguler leur fonctionnement. - Le retour en subsonique ne eut s effectuer que ar un col ou, nous verrons lus loin, ar une onde de choc. III-5 Amorçage d une tuyère Nous schématisons ci-dessous l évolution des ressions et des vitesses dans.guilié janvier

9 9 les différents cas que l on eut rencontrer dans une tuyère convergente divergente (tuyère de Laval). Pour faciliter la comréhension du hénomène, nous suosons que les conditions génératrices sont conservées constantes et que les conditions avales changent. ant que la tuyère est entièrement subsonique (non amorcée, cas ) les conditions avales modifient entièrement l écoulement dans la tuyère car les ondes de ression euvent remonter le courant. Dès que la tuyère est amorcée, les ondes de ression ne euvent lus remonter la artie suersonique de l écoulement qui «isole» l amont des conditions avales. Si l écoulement était entièrement suersonique, la ression de sortie deviendrait inférieure à la ression ambiante : la section croissant, le nombre de ach croîtrait aussi inéluctablement et la ression diminuerait tout au long de la tuyère vers l aval indéendamment de la ression ambiante. Le jet se ferait alors «écraser» ar la ression ambiante et une onde de choc remonterait le courant jusqu à se stabiliser à un endroit tel que la ression de sortie soit à nouveau égale à la ression ambiante (cas 3 et 4). ontrairement aux ondes élémentaires de ression, les ondes de choc se délacent à vitesse suersonique d autant lus vite que la discontinuité de ression est imortante. Nous verrons que l écoulement arès l onde de choc est forcément subsonique..guilié janvier

10 IV Notions d onde de choc IV- Onde de choc droite stationnaire Les conditions génératrices sont différentes de art et d autre de l onde de choc et seront indicées : et. Ecrivons les rincies : F P : PFD : Pour un etit domaine entourant l onde de choc, on eut écrire en rojetant sur un axe arallèle aux vitesses et dans le même sens, que : ext D ( ) S qm( ) ( ) S Donc er rincie : Attention : ici, comme nous le verrons lus loin, l écoulement n est as isentroique donc il n y a as de relation simle entre ression, masse volumique et temérature. Si connaissant les conditions amont du choc, nous recherchons les conditions en aval, nous avons 4 inconnues et 4 équations : les trois récédentes et l équation du gaz arfait qui lie,,. Grâce à ces équations, nous obtenons les équations du choc ci-dessous. La démonstration est longue et fastidieuse. Vous ouvez la trouver sur les livres de mécanique des fluides, en articulier «écanique des fluides de Ouziaux et Perrier aux éditions Dunod» en bibliothèque de l IU: Equation de Prandtl : ac ; P Par l équation des gaz arfait :.Guilié janvier

11 Et finalement : On montre ar cette équation que comme est toujours >, est toujours < es équations comme celles de BSV et d Hugoniot sont assez délicates à maniuler et en articulier à inverser. Nous fournissons, en annexe à la fin de ce cours, les tables tirées de ces équations our,45 lus faciles à maniuler. IV- Exemles d écoulements avec choc - Nous avons vu à la fin du aragrahe récédent le cas des tuyères amorcées non adatées. Une onde de choc droite stationnaire s établi alors à un endroit tel que la ression de sortie soit égale à la ression ambiante - Ecoulements externes autour d un bord d attaque ou l ogive d un rojectile, d un avion ou d une navette satiale en régime suersonique. Prises d air des remiers avions suersoniques On eut chercher le rendement isentroique de l onde de choc. Il est donné ar l équation (voir cours de thermodynamique): avec η is is is En reortant les équations du aragrahe récédent dans ces équations on obtient les courbes ci-contre..guilié janvier

12 ommentaires : - Au-delà de le rendement isentroique devient très faible. Nous verrons qu il est référable de recourir à des ondes de choc oblique. - On eut obtenir des taux de comression très élevés ar onde de choc. - A artir de 3 l échauffement des bords d attaque ( K) contraint à utiliser des matériaux réfractaires. - L onde de choc droite est très dissiative au-delà de. IV-3 Onde de choc oblique La figure ci-dessous rerésente un écoulement suersonique autour d un dièdre rovoquant une onde de choc oblique. omme our l onde de choc droite, our calculer les grandeurs arès le choc, on écrit les rincies. Le PFD donne cette fois deux équations en rojetant le vecteur vitesse sur l onde de choc et sur la normale à celle-ci. La rojection sur l onde s écrit : qm(v -v ) car il n y a as de forces dans cette direction, donc v v v. Les autres équations sont identiques aux équations de l onde droite. Ainsi, les grandeurs à l aval du choc oblique sont obtenues en remlaçant la vitesse amont ar la rojection de celle-ci sur la normale à l onde de choc u.sinδ. La trigonométrie nous donne une relation simle entre δ et ψ que la figure ci-dessous démontre :.Guilié janvier

13 3 On eut écrire : u tg( δ ) et v u tg( δ ψ ). Donc : v tg( δ ) tg( δ ψ ) u u. La figure ci-dessous donne le nombre de ach aval en fonction du nombre de ach amont et de l angle de dièdre ψ. On voit qu il existe une déviation maximum ψ m donnant une onde oblique our un nombre de ach amont donné. Par exemle, our et ψψ, il existe une solution d onde de choc oblique rerésentée ar le oint telle que,6 : cas ). Par contre, toujours à ach si ψψ alors la seule solution est subsonique : concrètement l onde est détachée vers l avant et se comorte comme un choc droit : cas ) comme our le bord d attaque émoussé : cas 3 ). Le tableau ci-dessous donne l angle de déviation maximum en fonction du nombre de ach amont:,,4,8,4 3,8 4,5 ψ m Du oint de vu du rendement, tout ce asse comme si le choc oblique était un choc droit à ach réduit.sinδ. Le rendement d une onde de choc oblique est donc très suérieur à celui d une onde de choc droite car le ralentissement au assage de l onde de choc est moindre (voir fig. bas de.). est ourquoi les avions suersoniques ont leurs ogives.guilié janvier

14 4 et leurs bords d attaque d aile et de rise d air très acérés. ela ermet de former une onde oblique même à un nombre de ach relativement faible. Pour exemle, la figure ci-dessous montre le fonctionnement d une rise d air d avion suersonique..guilié janvier

15 5 Annexe : tables des écoulements comressibles (,45) (Source : «écanique des fluides de Ouziaux et Perrier, éditions Dunod Université»).Guilié janvier

16 6.Guilié janvier

17 7.Guilié janvier

18 8 Les indices sont ceux utilisés dans le cours à savoir : - conditions génératrices - «c» conditions critiques - et conditions resectivement avant le choc droit et arès le choc droit - désigne la ression génératrice arès le choc..guilié janvier

19 9 Sommaire du cours de mécanique des fluides comressibles de ème année GE I Raels des Princies I- Princie de onservation de la asse (P) Page I- Princie Fondamental de la Dynamique (PFD), Euler I-3 er rincie de la thermodynamique I-4 Equations de comortement Page I-5 ème rincie de la thermo II Vitesse du son et nombre de ach Page 3 I- Vitesse du son I- Nombre de ach et régimes d écoulement Page 4 III Ecoulement isentroique III- Etat générateur, équation de Barré de Saint Venant III- Etat critique et vitesse limite Page 5 III-3 Barré de Saint Venant Bernoulli Page 6 III-4 héorème d Hugoniot Page 7 III-5 Amorçage d une tuyère Page 9 IV Notion d onde de choc IV- Onde droite de choc stationnaire IV- Exemles d écoulement avec choc Page IV-3 Onde de choc oblique Page Annexe : ables des écoulements comressibles Page 4.Guilié janvier