Les calculatrices sont interdites

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1 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES Ls calculatrics sont intrdits L épruv st composé d dux problèms indépndants décrivant ls princips physiqus d dispositifs vibrants (microphons t sismograph). Il st consillé d passr nviron dux tirs du tmps sur l prmir problèm t un tirs sur l duxièm. L candidat répondra aux qustions posés n justifiant ss calculs d façon clair t précis mais concis. Lorsqu un application numériqu dmand un ordr d grandur, on donnra l résultat sous form d un puissanc d dix n unités du systèm intrnational (unités SI). Formulair mathématiqu : Pour un vctur s écrivant A= Ax ux+ Ayuy+ Au n coordonnés cartésinns dans un bas (O, u x, u y, u ), on a : A A x div A = + x y y A + 1 / 13

2 PROBLEME I : MICROPHONES Important : Ls trois partis d c problèm puvnt êtr traités indépndammnt. L but d c prmir problèm st d montrr qu on put utilisr un condnsatur ou un bobin pour fabriqur un microphon. Un microphon st un transductur qui transform un son, c'st-àdir un ond d prssion (donc un ond mécaniqu), n un signal élctriqu (tnsion ou courant) d mêm form. Dans ls microphons élctrostatiqus, l ond d prssion, n faisant vibrr l armatur d un condnsatur inclus dans un circuit RC, n modifira la capacité, c qui modifira l courant du circuit. Dans ls microphons élctrodynamiqus, l ond d prssion, n déplaçant un bobin dans un champ magnétiqu, créra un courant induit. Ls courants élctriqus ainsi générés dans ls dux cas, pourront êtr soit nrgistrés soit amplifiés, pour nsuit rstitur l son initial par un haut-parlur par un procssus invrs. La prmièr parti propos donc d fair l étud général d un condnsatur indépndammnt d son fonctionnmnt n microphon, la duxièm parti étudira l fonctionnmnt du microphon élctrostatiqu t la troisièm parti étudira l fonctionnmnt du microphon élctrodynamiqu. Prmièr parti : Etud d un condnsatur On s propos d calculr l champ élctriqu créé par un plan infini uniformémnt chargé avc un dnsité surfaciqu σ. C plan corrspond au plan (Oxy) d un systèm d coordonnés cartésinns (Ox, Oy, O) classiqu muni d un bas orthonormé (O, u x, u y, u ). La position d un point M st rpéré par ss coordonnés cartésinns (x, y, ). On s plac tout d abord dans l cas d l élctrostatiqu (σ = constant).. M (x,y,) σ y O x Figur 1 : Plan infini uniformémnt chargé. I.1. Montrr, par ds considérations d symétri, qu l champ élctriqu (M) créé n M par l plan uniformémnt chargé st prpndiculair au plan n tout point d l spac. On écrira donc E(M) = E(x,y,)u. Justifir l fait qu l champ élctriqu (M) n put E E 2 / 13

3 pas dépndr ds coordonnés x t y du point M, soit E(M) = E()u. Montrr par ds considérations d symétri qu la fonction E() st impair. I.2. Montrr, n utilisant l équation d Maxwll-Gauss, qu l champ st uniform au dssus t n dssous du plan. En appliquant l théorèm d Gauss sur un surfac qu on précisra clairmnt n faisant un schéma, détrminr la valur du champ élctriqu n fonction d σ, ε o (constant diélctriqu du vid) t d un vctur unitair judiciusmnt choisi qu on précisra (on distingura ls dux cas : > 0 t < 0). Un démonstration très précis st attndu. I.3. Toujours par ds considérations d symétri, détrminr la valur E(0) du champ élctriqu dans l plan uniformémnt chargé. I.4. Détrminr l potntil élctriqu V() n tout point d l spac n fonction d σ, ε 0 t (on prndra l potntil nul n = 0). On distingura toujours ls dux cas : > 0 t < 0. On supposra la continuité du potntil n = 0. I.5. Tracr l allur ds courbs E() t V() n précisant ls valurs aux points rmarquabls. On considèr maintnant un condnsatur plan infini formé par dux plans infinis t parallèls ntr ux, distants d. L plan supériur st situé dans l plan = + 2 t l plan infériur dans l plan = - 2. L plan supériur st chargé avc un dnsité surfaciqu σ positiv t l plan infériur st chargé avc un dnsité surfaciqu opposé (donc négativ) - σ. = 2 σ O y = 2 - σ x Figur 2 : Condnsatur plan infini. I.6. I.7. I.8. Détrminr l champ élctriqu total créé par l nsmbl ds dux plans n tout point d l spac n fonction d σ, ε ο t d un vctur unitair qu on précisra (on distingura ls trois ons délimités par ls dux plans). Portr sur un schéma l sns du champ élctriqu. Calculr l xprssion du potntil élctrostatiqu V() pour, 2 2 n fonction d σ, t ε o. On prndra toujours l potntil nul n = 0. Calculr la différnc d potntil U ntr ls dux plans infinis n fonction d σ, t ε o. Exprimr la norm du champ élctriqu total n fonction d U t. Application numériqu : ls condnsaturs ds microphons élctrostatiqus pour la pris d son, sont soumis à ds tnsions d l ordr d qulqus diains d volts t ls armaturs sont séparés d qulqus diains d micromètrs. Donnr l ordr d grandur du champ élctriqu régnant dans cs condnsaturs. Qul problèm pratiqu pos un champ élctriqu trop grand? 3 / 13

4 Dans un condnsatur rél, ls dux armaturs n puvnt pas êtr ds plans infinis mais ont ds surfacs finis idntiqus S. On supposra qu ls résultats trouvés pour l champ élctriqu t l potntil n diffèrnt pas ds résultats trouvés dans ls qustions précédnts, pourvu qu on n s plac pas trop près ds bords ds armaturs. L armatur supériur port alors la charg total + Q t l armatur infériur la charg total Q. I.9. Après avoir xprimé σ n fonction d Q t S, n déduir la différnc d potntil U ntr ls dux armaturs n fonction d Q, ε o, t S. Définir t xprimr la capacité C du condnsatur formé n fonction d ε o, t S. Donnr l ordr d grandur d la capacité d un condnsatur utilisé dans un microphon élctrostatiqu pour lqul on prndra : S 1 cm², 10-5 m t ε o SI. I.10. Détrminr la dnsité volumiqu w d énrgi élctriqu dans l condnsatur n fonction d ε o, Q t S. On suppos maintnant qu σ t Q dépndnt du tmps. On admt qu ctt dépndanc st suffisammnt lnt pour qu l xprssion du champ élctriqu détrminé précédmmnt rst valabl. I.11. Montrr, n utilisant l équation d Maxwll-Ampèr, qu il doit nécssairmnt y avoir un champ magnétiqu ntr ls plaqus du condnsatur. I.12. En supposant qu ls armaturs sont ds disqus, on put montrr qu l champ magnétiqu st nul au cntr O du condnsatur t orthoradial aillurs. On rappll qu orthoradial signifi dirigé suivant l vctur unitair u θ ds coordonnés cylindriqus d cntr O t d ax O. On écrit donc (n coordonnés polairs) B B(r, ) u θ. Intégrr l équation d Maxwll-Ampèr sur un disqu d rayon r prpndiculair à l ax O t μ r dq montrr qu B(r, ) = 0 où μ o st la prméabilité magnétiqu du vid. On uuuuur 2S uur rappll qu rot B.dS = B.dl ur ur où (S) rprésnt un surfac d contour (C). (S) (C) I.13. En déduir la dnsité volumiqu w m d énrgi magnétiqu dans l condnsatur n fonction d μ o, Q, r t S. I.14. On suppos qu la charg Q vari d façon sinusoïdal avc un pulsation ω. A qull condition rliant ω, c (célérité d la lumièr) t S, ls ffts magnétiqus sont-ils négligabls dvant ls ffts élctriqus dans l condnsatur (w m << w )? I.15. Application numériqu : donnr l ordr d grandur d la plag d fréqunc pour laqull on put négligr ls ffts magnétiqus dvant ls ffts élctriqus pour la valur d S donné précédmmnt. Dans ls microphons élctrostatiqus (S 1 cm²), ls fréquncs maximals sont d qulqus diains d millirs d Hrt. Pourquoi? Ls ffts magnétiqus sont-ils alors négligabls? I.16. Donnr la rlation liant la capacité C d un condnsatur avc l courant i qui l travrs t la tnsion u à ss borns. On s placra dans la convntion récptur qu l on définira par un schéma. Montrr qu la puissanc élctriqu mis n ju dans un condnsatur put alors s mttr sous la form : 1 d ( Cu²) P = 2. = 4 / 13

5 I.17. En déduir l énrgi élctriqu total mmagasiné dans un condnsatur n fonction d C t u. Exprimr alors ctt énrgi n fonction d Q, ε o, t S. Rtrouvr alors l résultat d la qustion I.10. I.18. On suppos maintnant qu un opératur xtériur xrc prpndiculairmnt à l armatur supériur un forc F, prmttant d fair passr l épaissur d à ( + d) à charg constant t sans communiqur d énrgi cinétiqu. Détrminr la variation d énrgi élctrostatiqu contnu dans l condnsatur. On donnra l résultat n fonction d Q, ε o, S t d. En admttant qu ctt variation d énrgi st égal au travail fourni par l opératur xtériur pour fair passr l épaissur d à ( + d), n déduir la norm F d la forc xrcé par l opératur n fonction d Q, ε 0 t S. En déduir la norm F a d la forc xrcé par un armatur sur l autr n fonction ds mêms paramètrs. On placra clairmnt ctt forc sur un dssin. I.19. On s propos d rtrouvr c drnir résultat par un calcul à partir du champ élctriqu. Qul st l champ élctriqu E i créé par l armatur infériur sur l armatur supériur? On xprimra l résultat n fonction d Q, S t ε ο t d un vctur unitair qu on précisra. En déduir la forc F a xrcé par l armatur infériur sur l armatur supériur n fonction ds mêms paramètrs. Comparr avc l résultat obtnu dans la qustion précédnt. Duxièm parti : Microphon élctrostatiqu Ctt parti put êtr traité indépndammnt d la prmièr si on admt qu la capacité d un condnsatur plan, dont ls armaturs ont un surfac S t sont séparés par un distanc, st S donné par la formul C = ε 0 t qu la forc xrcé par un armatur sur l autr st un forc Q² attractiv qui vaut n norm F =. 2ε 0 S On put utilisr un condnsatur plan comm microphon (voir figur 3 ci-après). En fft, un son étant un ond d prssion, supposons qu ctt ond d prssion arriv sur l armatur gauch du condnsatur t provoqu un déplacmnt y d ctt armatur par rapport à la position dit au rpos du condnsatur. La distanc ntr ls dux armaturs s trouvra modifié t par voi d conséqunc sa capacité. On pourra donc transformr un signal acoustiqu n un signal élctriqu n utilisant la variation d la capacité. On supposra qu la fac gauch d l armatur gauch st soumis à un prssion total P T = P a + p(t), P a rprésntant la prssion atmosphériqu t p(t) la surprssion acoustiqu du au son (p(t) positif ou négatif). La fac droit d l armatur gauch st soumis à la prssion atmosphériqu P a. Sous l fft d la surprssion p(t), l armatur s déplac d y(t) (y positif vrs la droit t négatif vrs la gauch). En l absnc d surprssion acoustiqu, ls dux armaturs sont séparés d (comm dans la prmièr parti), l armatur gauch étant dans un plan vrtical passant par l origin O d l ax Oy. Chacun ds armaturs a un surfac S comm dans la prmièr parti. L armatur gauch port un charg + Q(t) t l armatur droit - Q(t). L armatur gauch st rapplé vrs sa position d équilibr y = 0 par un forc élastiqu d rappl d typ rssort, proportionnll à l écart y avc un constant d raidur k, soit n projction sur l ax Oy : F r = - k y. L dispositif xrçant ctt forc n st pas rprésnté sur la figur. 5 / 13

6 Ls divrs frottmnts dans l air introduisnt un forc d frottmnt fluid proportionnll à la dy dy vitss d la form (toujours n projction sur l ax Oy) : Ff = -a (a constant positiv). Si l condnsatur st polarisé par un tnsion V o, tout variation d la capacité ntraînra l apparition d un courant élctriqu, c qui modifira la charg Q d l armatur. On suppos qu lorsqu ls armaturs sont au rpos (y = 0, dy 0 = ), Q = Q o, i = 0, la forc xrcé par l armatur droit sur l armatur gauch st compnsé par un dispositif non rprésnté. On posra donc lorsqu ls armaturs bougnt : Q(t) = Q o + q(t) où Q o st la charg statiqu t q(t) la charg induit par l déplacmnt y d l armatur. On supposra, pour ls calculs, qu ls grandurs q(t) y(t) t sont ds infinimnt ptits donc très infériurs à 1. Q 0 Armatur mobil Armatur fix + Q(t) - Q(t) Ond sonor O y y(t) Figur 3 : Microphon élctrostatiqu. I.20. Exprimr (sans approximation) la forc élctriqu F xrcé par l armatur droit fix sur l armatur gauch n mouvmnt (y différnt d 0, i différnt d 0) n fonction d Q o, q, ε o, S t d un vctur unitair qu on précisra. Simplifir ctt xprssion n supprimant l trm infinimnt ptit d ordr 2 n q (dévloppmnt limité au prmir ordr). Il n doit plus rstr qu un trm constant t un trm variabl proportionnl à q. Exprimr alors la composant variabl f (t) d la forc n fonction d q, Q o, ε o, S t d un vctur unitair qu on précisra. Sul ctt drnièr composant sra utilisé dans la suit ds calculs. Pourquoi? I.21. Qull st la forc total f p (t ) subi par l armatur gauch d la part d l air situé d part t d autr? On donnra l résultat n fonction d p(t) (surprssion acoustiqu), S t d un vctur unitair qu on précisra. I.22. En projtant l princip fondamntal d la dynamiqu sur l ax horiontal Oy, n déduir l équation différntill donnant y(t) n fonction d m (mass d un armatur), k, a, ε o, S, Q o, q(t) t p(t). Ctt équation sra par la suit noté l équation (1). 6 / 13

7 L condnsatur st inclus dans l montag élctriqu suivant, dans lqul l génératur d tnsion st parfait, d forc élctromotric V o constant. + Q(t) - Q(t) i V o R Figur 4 : Circuit élctriqu du microphon élctrostatiqu. I.23. Exprimr V o n fonction d Q o, ε o, S t lorsqu y t i sont nuls (microphon au rpos). Exprimr, sans approximation, la capacité C du condnsatur n fonction d ε o, S, t y(t) lorsqu l microphon vibr. I.24. Qull rlation li q(t) t i(t)? Justifir clairmnt. En appliquant la loi ds maills, n déduir la rlation liant V o, i(t), R, Q o, q(t), ε o, S, t y(t). I.25. En partant d l équation précédnt t n négligant l trm n qy dvant ls autrs, Q0 1 montrr qu on obtint : y(t) = Ri(t) + i(t) ε0s C où C o rprésnt la capacité du o condnsatur au rpos. Ctt équation st noté (2). On détaillra clairmnt l calcul t ls simplifications faits. On considèr maintnant qu p(t), y(t) t i(t) sont ds fonctions sinusoïdals d pulsation ω. On utilisra à partir d maintnant la notation complx avc j² = -1. A chaqu grandur sinusoïdal x(t), on associra la grandur complx x(t)tll qu x(t) soit la parti réll d x(t). I.26. Réécrir l équation (1) n notation complx t n déduir un rlation liant k y(t), i(t)t p(t) t ls divrs paramètrs. On posra Z = a + j ( mω ) t on ω xprimra Zm y(t)n fonction d S, ω, Q o, ε o, p(t) t i(t). I.27. D mêm, réécrir l équation (2) n notation complx t n déduir qu y(t) t i(t) sont rliés n notation complx par un rlation du typ y(t) = A i(t) où A st un 1 grandur complx qu on xprimra n fonction d Z = (R + ) jcoω, Q o, S t ε o. I.28. En déduir, toujours n notation complx, qu p(t) t i(t) sont liés par un rlation du SEo typ i(t) = B p(t) avc B =, où E 2 o st la norm du champ élctriqu dans E0 jωzzm j ω l condnsatur au rpos. m 7 / 13

8 I.29. On a donc fabriqué un transductur élctroacoustiqu ou microphon puisqu un surprssion p(t) va êtr transformé n courant élctriqu d mêm form i(t). L amplitud du courant dépnd-ll d la fréqunc? On choisira n pratiqu ds valurs 1 numériqus tlls qu R soit très supériur à, k très supériur à aω t très supériur C ω à mω² t kr très supériur à 2 E 0. Qul st l intérêt d un tl choix? ω Troisièm parti : Microphon élctrodynamiqu On s propos dans ctt parti d fabriqur un microphon n utilisant non plus un champ élctriqu dans un condnsatur mais un champ magnétiqu dans un bobin. Pour cla, l son fra vibrr un mmbran solidair d un bobin mobil dans un champ magnétostatiqu. L dispositif (d révolution autour d l ax ) st formé (voir figur 5 ci-après où suls ls partis utils pour l raisonnmnt ont été portés) : - d un aimant prmannt fix qui cré un champ magnétostatiqu B B u r radial (n coordonnés cylindriqus d ax ). Pour simplifir, on supposra qu la norm B du champ magnétiqu st uniform dans tout l spac où s déplac la bobin. - d un bobin mobil indéformabl comportant N spirs circulairs d rayon a, placé dans l ntrfr d l aimant annulair t élctriqumnt frmé sur ll-mêm. - d un mmbran solidair d la bobin t pouvant ffctur ds déplacmnts suivant l ax du schéma. La mmbran st ramné vrs sa position d équilibr par un forc élastiqu modélisé par un rssort d raidur k, solidair d l aimant à un xtrémité t solidair d la mmbran à l autr xtrémité. On supposra qu la fac droit d la mmbran st soumis à un prssion total P T = P a + p(t), P a rprésntant la prssion atmosphériqu t p(t) la surprssion acoustiqu du au son (p(t) pouvant êtr positiv ou négativ) comm dans la parti précédnt. La fac gauch d la mmbran st soumis sulmnt à la prssion atmosphériqu P a. On supposra qu la mmbran st assimilabl à un disqu d sction S. L nsmbl mobil (mmbran + bobin) d mass m st rpéré par son absciss (t). On supposra qu pour = 0, l rssort n st ni tndu ni comprimé. L nsmbl st donc soumis à son poids, à la réaction du support compnsant l poids, à la forc F r = k u d rappl élastiqu du rssort d raidur k, à la résultant ds forcs d prssion, à la résultant ds forcs d origin élctromagnétiqu t aux divrs frottmnts. Cs frottmnts sont d typ fluid t on admttra d qu ils sont proportionnls à la vitss, soit : Ff = β u, l vctur u étant l vctur unitair d l ax O. La position = 0 corrspond à la position d rpos du systèm, l rssort n étant ni tndu, ni comprimé, l courant ainsi qu la surprssion acoustiqu étant nuls. o = 8 / 13

9 Aimant Bobin i B Mmbran Rssort Figur 5 : Vu transvrsal du microphon élctrodynamiqu. B i(t) θ u u r B B Figur 6 : Vu d un spir d la bobin prpndiculairmnt à. I.30. Expliqur pourquoi, si la mmbran boug, il apparaît un courant élctriqu i(t) dans la bobin. Rapplr l xprssion d la forc élémntair d Laplac df L xrcé par un champ magnétiqu B agissant sur un élémnt qulconqu dl d fil élctriqu parcouru par un courant i n fonction d cs trois grandurs. Exprimr ctt forc df L pour un élémnt dl d la bobin n fonction d i, dl (norm d dl ), B t d un vctur unitair 9 / 13

10 qu on précisra. En déduir l xprssion d la résultant F L d la forc d Laplac xrcé par l champ magnétiqu sur l nsmbl d la bobin n fonction d N, a, i, B t d un vctur unitair qu on précisra. I.31. Détrminr, n coordonnés cylindriqus, l xprssion du champ élctromotur prnant d naissanc dans la bobin n fonction d, B t d un vctur unitair qu on précisra. En calculant la circulation du champ élctromotur l long d la bobin, montrr qu la d forc élctromotric prnant naissanc dans la bobin vaut = 2πNaB. On rspctra bin l orintation proposé sur l schéma (figur 5). La bobin a un résistanc R t un cofficint d autoinductanc L. Détrminr l équation différntill vérifié par l courant i dans la bobin. Ctt équation st applé équation (3). On rappll qu la bobin st bouclé sur ll-mêm. I.32. Exprimr la forc F P xrcé par l air sur la mmbran n fonction d p(t), S t d un vctur unitair qu on précisra. I.33. En appliquant l princip fondamntal d la dynamiqu à la mmbran, détrminr l équation différntill liant (t) t ss dérivés à l intnsité i(t) t à p(t). Ctt équation st applé équation (4). On suppos qu la surprssion acoustiqu p(t) st sinusoïdal d pulsation ω. On utilisra donc la notation complx avc j² = -1 t, comm dans la parti précédnt, ls grandurs complxs sront notés avc un barr. En régim forcé, l courant i t l déplacmnt sront donc ux aussi sinusoïdaux. I.34. Réécrir n notation complx l équation (3). On posra Zin fonction d N, a, B, ω t. I.35. Réécrir n notation complx l équation (4). On posra Z = (R+ jl ω) t on donnra k Z = ( β+ j(m ω )) t on ω donnra Zm n fonction d p, S, ω, N, a, B t i. I.36. Montrr, qu n notation complx, p(t) t i(t) sont rliés par un rlation du typ i(t) = Ap où A st un grandur complx qu, par analogi avc la duxièm parti, X l on mttra sous la form A =. Exprimr X t Y n fonction d N, a, B t S. Z m Z + Y I.37. L amplitud du courant dépnd-ll d la fréqunc? Comm dans la duxièm parti, put-on choisir ls divrs paramètrs du problèm pour qu cla n soit pratiqumnt pas l cas? Qul srait alors l intérêt? m FIN DU PROBLEME I 10 / 13

11 PROBLEME II : SISMOGRAPHE HORIZONTAL Prmièr parti : Référntils non galiléns Soit un référntil noté (R 1 ) d origin O 1 t d axs orthogonaux O 1 x 1, O 1 y 1, O 1 1 t un autr référntil noté (R 2 ) d origin O 2 d axs orthogonaux O 2 x 2, O 2 y 2, O 2 2. Ls dux référntils sont n translation l un par rapport à l autr. On étudi l mouvmnt d un point matéril M d mass m dans cs dux référntils. II.1. Qu put-on dir ds dirctions rlativs ds axs (O 1 x 1, O 1 y 1, O 1 1 ) d un part t (O 2 x 2, O 2 y 2, O 2 2 ) d autr part pour traduir l fait qu ls dux référntils sont n translation l un par rapport à l autr? Détrminr la rlation liant la vitss V 1 du point matéril, calculé dans l référntil (R 1 ), t la vitss V 2 calculé dans l référntil (R 2 ). On fra intrvnir la vitss du point O 2 par rapport à (R 1 ) qu on notra vo ( 2 / R1). On justifira très clairmnt ls calculs faits. En déduir la rlation xistant ntr l accélération a 1 calculé dans l référntil (R 1 ) t l accélération a 2 calculé dans l référntil (R 2 ). On fra intrvnir l accélération du point O 2 par rapport à (R 1 ) qu on notra ao ( 2 / R1). II.2. A qull condition ls dux accélérations a 1 t a 2 sont-lls égals? Montrr qu alors l mouvmnt d (R 2 ) par rapport à (R 1 ) st rctilign t uniform. Un justification très précis st attndu. II.3. On suppos qu l référntil (R 1 ) st galilén. Qu signifi ctt définition? Donnr qulqus xmpls d référntils considérés comm galiléns n ls commntant. Montrr qu si ls conditions d la qustion II.2. sont rmplis alors si l référntil (R 1 ) st galilén, l référntil (R 2 ) st aussi galilén. II.4. On suppos maintnant qu (R 1 ) st galilén mais qu la condition d la qustion II.2. n st pas rmpli. On suppos qu dans (R 1 ) l point matéril st soumis à un nsmbl d forcs dont la résultant st F. Qull rlation li alors F, m t a 1? Montrr qu alors l référntil (R 2 ) n st pas galilén. Justifir très précisémnt. Montrr qu on put quand mêm appliqur la rlation fondamntal d la dynamiqu ou duxièm loi d Nwton dans l référntil (R 2 ) à condition d ajoutr à F un autr forc dont on donnra l xprssion n fonction d m t a(o2 / R1). Qul nom donn-t-on traditionnllmnt à ctt «psudo-forc» supplémntair? Duxièm parti : Fabrication d un sismograph horiontal Lors d un trmblmnt d trr, ls vibrations du sol font qu c drnir n st plus galilén l tmps d la scouss sismiqu. On put donc détctr ls vibrations du sol par ls ffts non galiléns qui sont ngndrés. Pour cla, on considèr un barr homogèn d mass m t d longuur L, d momnt d inrti J = 3 1 ml² par rapport à un d ss xtrémités. Ctt barr st lié n O à un bâti solidair du sol (voir figur 1). L mouvmnt (supposé plan) d la barr autour d l ax passant par 11 / 13

12 O t parallèl à u st rpéré par l angl θ qu fait la barr avc la vrtical, u étant un vctur unitair vnant vrs l lctur. La liaison n O d la barr t d la parti haut du bâti st supposé parfait. Ls oscillations d la barr sont frinés par un dispositif non rprésnté qui xrc un dθ momnt n O, résistant au mouvmnt t d xprssion M = α u, α étant un constant positiv. O bâti u Barr (m,l) g θ sol u x Figur 1 : Princip du sismograph. L bâti du sismograph st solidair du sol. On suppos tout d abord qu l sol n vibr pas. II.5. Fair un bilan ds actions mécaniqus agissant sur la barr t calculr l momnt n O d chacun d cs actions. Montrr qu, lorsqu l sol n vibr pas, l angl θ st nul à l équilibr. II.6. On écart la barr d sa position d équilibr (θ = 0) t on la lâch sans vitss initial dpuis un position rpéré par l angl θ = θ 0 (supposé ptit). Détrminr l équation différntill vérifié par θ lors du mouvmnt d la barr n utilisant l théorèm du momnt cinétiqu pour d ptits angls. Rtrouvr l résultat précédnt n faisant un analys énrgétiqu du problèm. II.7. Détrminr ls rlations liant α, m, L t g pour qu l mouvmnt soit psudopériodiqu, critiqu, apériodiqu. Pour la suit d l xrcic, on s placra dans l cas où l mouvmnt st n régim critiqu. On rappll qu l régim critiqu corrspond au cas où l discriminant d l équation caractéristiqu associé à l équation différntill linéair du scond ordr à cofficints constants, st nul. Qul put êtr l intérêt d s placr n régim critiqu pour un sismograph? On suppos maintnant qu l sol vibr horiontalmnt, la vibration st caractérisé par un accélération horiontal du sol gauch (voir figur 1). a = a(t)ux, x u étant un vctur unitair horiontal dirigé vrs la 12 / 13

13 Lors d la vibration du sol, on put étudir l mouvmnt d la barr par rapport au bâti n utilisant ls forcs d inrti. Pour cla, on considèr un ptit élémnt d la barr, d longuur dr, situé à un distanc r du point O. II.8. Exprimr la mass dm d ct élémnt dr n fonction d m, L t dr (on rappll qu la barr st homogèn). Exprimr la forc d inrti élémntair df i agissant sur l élémnt dr d la barr n fonction d dr, m, L, a t d un vctur unitair qu on précisra. Exprimr l momnt dm i d ctt forc d inrti élémntair par rapport à l ax d rotation d la barr n fonction d m, L, dr, r, a t θ. En intégrant l xprssion précédnt sur tout la barr, calculr l momnt total M i ds forcs d inrti par rapport à l ax d rotation. Montrr qu tout s pass comm si un forc uniqu, dont on détrminra la valur, s appliquait au cntr d la barr. II.9. En tnant compt d touts ls actions mécaniqus appliqués sur la barr t n appliquant l théorèm du momnt cinétiqu pour un solid n rotation, détrminr l équation différntill vérifié par θ lors du mouvmnt. En déduir, n fonction d a t g, l angl θ lorsqu la barr trouv un position d équilibr par rapport au bâti si l accélération a st un constant. L hypothès a constant n st pas réalist dans l cas d un trmblmnt d trr. On va donc nvisagr un cas plus réalist d onds sismiqus où a vari suivant la form a = a o cos ωt où a o t ω sont ds constants. Il st consillé d utilisr la notation complx a = a o xp jωt t θ = θ o xp j(ωt+φ). II.10. Détrminr (toujours dans l cas ds ptits oscillations) l amplitud θ o ds oscillations forcés du sismograph n fonction d a o, ω, m, L, α t g puis n fonction d a o, ω, m, L t g (on rappll qu on st n régim critiqu). Détrminr égalmnt la phas φ n fonction ds mêms paramètrs. II.11. Rprésntr l allur général d l amplitud θ o n fonction d la pulsation ω. II.12. On considèr ds onds sismiqus d fréqunc très faibl. Montrr qu θ o st alors proportionnl à l amplitud d l accélération a o du sol. Qul st l cofficint d proportionnalité? Qull(s) condition(s) doit vérifir ω pour qu l hypothès soit valabl? II.13. On considèr ds onds sismiqus d fréqunc très élvé. Montrr qu θ o st alors proportionnl à l amplitud du déplacmnt du sol. Qul st l cofficint d proportionnalité? Qull(s) condition(s) doit vérifir ω pour qu l hypothès soit valabl? FIN DU PROBLEME II Fin d l énoncé 13 / 13

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