régulation et régulation Maher CHAABENE (Maître assistant GEII) Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII)

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1 K t LP e ( K )! at = ( a ) k ds( t τ dt ) + s( t ) = K.e( t ) H( ) = S( E( ) ) = K +τ. t s( t ) = K e τ u( t ) Automatique Ste Resonse G db wo f.f.8 z=..logk Pulsation W z=. -3 db.6 - z= z= z=.3 z= z=.5-4 db/dec z=.5-6. z= t y( t ) = Ka. ( t τ ) + τ.ex -3.u( t ). τ et - - régulation Dehasage wo Pulsation W z= -5 z= z=.7 z=.5 z=. l.8 z=.6 z= Re( H(jw)) = K Time (sec) jkτ H(j.w) = K + + τ²w² + ( τ.w ) ² + ( τ.w ) ² Im( H(jw)) = Kτ + τ²w² H( ) = S( ) = E( ) Automatique a K.w K = +.z.w. + w.z + + w.e zwt s( t ) = K.sin z et régulation Cours, Travaux dirigés et et Travaux ratiques Maher CHAABENE (Maître assistant GEII) Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII) n m a dy dy dy dx dx dx n a + a + a.y = bm b + b + b n m dt dt dt dt dt dt Cours, Travaux dirigés et Travaux ratiques w ( w z.t ) + ϕ Pour le technicien suérieur. Maher CHAABENE (Maître assistant GEII) Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII) Institut Suérieur des études technologiques de Sfax Amlitude.x

2 Plan du cours Nomenclature Chaitre : Notion de systèmes lineaires asservis. Notion de systèmes..... Définition..... Classification des systèmes Les systèmes linéaires Les systèmes invariants Les systèmes à modèle déterministe Les systèmes asservis Performances des systèmes asservis Notion de stabilité Notion de raidité Notion de récision Notion de signal Définition Signaux canoniques Réonses articulières d un système scalaire Réonse imulsionnelle Réonse indicielle Réonse à un signal quelconque... 7 Chaitre : Les systèmes linéaires continus. Présentation..... Définition..... Princie de roortionnalité Princie d'additivité ou de suerosition.... Mise en équation d un système linéaire Transformée de Lalace Formulation mathématique Proriétés et théorèmes Table des transformées de Lalace Exemle Série de TD N... 9 Cours d automatique et régulation - I -

3 Chaitre 3 : Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus. Fonction de transfert.... Diagramme fonctionnel..... Définition..... Exemle de schéma bloc d un système en boucle fermée Règles de simlification Mise en série Mise en arallèle Structure en boucle fermée Délacement des nœuds d informations Permutation de deux nœuds successifs Délacement de sommateurs Permutation de deux sommateurs successifs Princiales transmittances électriques et mécaniques Alications Système électronique Moteur à courant continu Lieux de transfert Introduction Interrétation dans le lan comlexe Les lieux de transfert Lieu de Bode Lieu de Nyquist Lieu de Black Abaque de Black Série de TD N... 3 Chaitre 4 : Etudes des systèmes élémentaires. Etude d'un système de remier ordre Etude temorelle Définition Réonse imulsionnelle Réonse indicielle Alication Relation tems fréquence Etude harmonique Rerésentation de Bode Rerésentation denyquist Rerésentation de Black Etude d'un système de second ordre Définition Etude temorelle Réonse imulsionnelle Réonse indicielle Cours d automatique et régulation - II -

4 .3. Etude harmonique Diagrammes de Bode Rerésentation dans le lan de Nyquist Rerésentation dans le lan de Black Exemle Série de TD N... 5 Chaitre 5 : Performances des systèmes linéaires asservis. Introduction Stabilité Définition Condition de stabilité Critère de Routh Alications Critère de Nyquist Critère de Nyquist simlifié Marge de gain Marge de hase Critère de Black Critère de Black Abaque de Black Nichol s Critère de Bode Critère de Rivers Critère de Bode Précision Définition Classe d un système Raidité Rael et définition Critère de Naslin Série de TD N Série de TD N Chaitre 6 : Les régulateurs. Généralités Tâches du régulateur Inventaire Rôles des régulateurs ou correcteurs Réglage roortionnel Princie Statisme Correcteur à action Proortionnelle Correcteur à action Dérivée Correcteur à action Intégrale Cours d automatique et régulation - III -

5 4. Tyes de correcteurs Correcteur à action Proortionnelle Dérivée Correcteur à action Proortionnelle Intégrale Correcteur à action Proortionnelle Intégrale Dérivée Série de TD N Problèmes. Problème n Problème n Problème n Problème n Problème n Problème n Problème n Travaux Pratiques TP d'initiation : Equiement du laboratoire TP : Étude d un système de remier ordre TP : Étude d un système de second ordre... TP3 : Simulation d un système de remier et de second ordre... 9 TP4 : Simulation de la régulation de vitesse d un moteur... 4 Annexe Bibliograhie Cours d automatique et régulation - IV -

6 Nomenclature Arg Argument. C Caacité. α Classe d'un système. z Coefficient d amortissement d'un système de second ordre. τ Constante du tems ou tems de réonse d'un système de remier ordre. D k Déassement relatif d ordre k. ϕ Déhasage en degrés. u () t Échelon de osition unitaire. e(t) Entrée d'un système. ε Erreur ou écart. f.e.m Force électromotrice. f c Fréquence de couure d'un système de remier ordre. G db Gain en décibels. τ d Gain statique du régulateur Dérivée. τ i Gain statique du régulateur Intégral. K P Gain statique du régulateur Proortionnel. K Gain statique d'un système de remier ordre ou de second ordre. δ (t) Imulsion de Dirac. L Inductance. A m Marge de gain. ϕ m Marge de hase. J Moment d'inertie. C ch Moment du coule de charge. k Ordre du déassement relatif. Im Partie imaginaire. Re Partie réelle. m Pôles de l équation caractéristique d'un système. Ta Pseudo ériode. wa Pulsation amortie. w c Pulsation de couure d'un système de remier ordre. w R Pulsation de résonance. w Pulsation rore non amortie d'un système de second ordre. w Pulsation. Cours d automatique et régulation - V -

7 D Régulateur Dérivée. I Régulateur Intégral. PD Régulateur Proortionnel Dérivée. PID Régulateur Proortionnel Intégral Dérivée. PI Régulateur Proortionnel Intégral. P Régulateur Proortionnel. R ch Résistance de charge. R Résistance. s(t) Sortie d'un système. t m Tems de montée. T ic Tems de ic. t % Tems de réonse à %. t 5% Tems de réonse à 5%. t 9% Tems de réonse à 9%. Ts Tems de stabilisation t k Tems du déassement relatif d ordre k. LP - LP Ω n Transformée Lalace inverse. Transformée Lalace. Variable de Lalace Vitesse de rotation angulaire. Zéros de l équation caractéristique d'un système. Cours d automatique et régulation - VI -

8 Notion de systèmes linéaires asservis Chaitre Cours d automatique et régulation - A -

9 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis Chaitre : Notion de systèmes lineaires asservis. Notion de systèmes.. Définition Un système eut être défini comme un ensemble d éléments exerçant collectivement une fonction déterminée. Un système communique avec l extérieur ar l intermédiaire de grandeurs, fonctions du tems, aelés signaux. Dans la suite, on essaiera de garder les notations suivantes : x (t) x N (t) our les signaux d entrée de commande. y (t) y M (t) our les signaux de sortie. Les signaux de sortie d un système sont aussi aelés réonse du système. x (t) y (t) SYSTEME x N (t) y M (t) Remarque Les systèmes à une entrée et à une sortie sont aelés systèmes monovariables ou systèmes scalaires. Un système est connu ar son action sur le milieu extérieur. Lorsqu on alique certains signaux d entrée, le système se manifeste en émettant des signaux de sortie articuliers. Le système est arfaitement connu ar la connaissance des relations liant les entées avec les sorties. Exemle Soit le circuit électrique suivant : R x() t = R.i() t + i()dt t. C i( t) x( t) C y () t avec y() t = i()dt t. C. dy( t) On a donc l équation du système : R.C. + y() t = x() t. dt.. Classification des systèmes... Les systèmes linéaires Un système est linéaire si la réonse de ce système à une combinaison linéaire de signaux d entrée est égale à la combinaison linéaire des réonses. x (t) SYSTEME y (t) x (t) SYSTEME y (t) Si on alique à l entrée : x() t a.x ( t) + b.x ( t) On obtient en sortie : () t = a.y ( t) b.y ( t). =. y + Cette roriété des systèmes linéaires est aussi aelée rincie de suerosition. Cours d automatique et régulation

10 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis... Les systèmes invariants Un système est dit invariant (stationnaire) si la réonse du système à un signal x(t) différé d un tems τ est la même que la réonse y(t) du système mais différée deτ. Entrée x ( t) Entrée x ( t τ ) t t t-τ Sortie y ( t) Sortie y ( t τ ) t τ t τ t-τ Un système invariant est aussi aelé système à aramètres constants localisés ou à constantes localisées. Cette roriété des systèmes invariants est aussi aelée rincie de ermanence. Exemle: Moteur Courant MOTEUR Coule Si on néglige l usure, le moteur n évolue as dans le tems : le système est invariant...3. Les systèmes à modèle déterministe Un modèle déterministe ( stochastique) ossède des entrées et des aramètres non bruités de telle façon que son comortement soit arfaitement révisible en avance...4. Les systèmes asservis L étude des systèmes est destinée à commander au mieux les différents rocessus rencontrés. Il existe deux solutions our commander un système :. Commande en boucle ouverte Dans ce cas, la commande est envoyée en entrée sans contrôle sur les sorties. Exemle : Rhéostat Résistance chauffante Four Pour utiliser ce tye de commande, il est nécessaire de connaître le système et les réonses aux commandes envoyées. Malgré tout, de multiles erturbations euvent modifier l action de ces commandes : si la orte du four reste ouverte, les graduations du rhéostat ne corresondent lus à la temérature intérieure.. Commande en boucle fermée Pour améliorer les erformances d une commande, il est indisensable d observer les sorties du système our les comarer à ce que l on désire obtenir. Dans ce deuxième tye de commande, les sorties du système sont contrôlées. C est à ce niveau que l on rencontre la notion de système asservi. Cours d automatique et régulation 3

11 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis Un système asservi est un système dont le rôle consiste essentiellement à établir une corresondance définie entre une ou lusieurs grandeurs d entrée, de faibles niveaux énergétiques, et une ou lusieurs grandeurs de sortie de niveaux énergétiques lus élevés. Un système asservi est caractérisé ar la résence de : Chaînes directes: Elles comrennent des éléments amlificateurs et éventuellement, des convertisseurs de uissance, en liaison avec la source d énergie. Chaînes de retour : Elle sont constituées d éléments de récision généralement assifs. Ce ne sont as des chaînes de uissance ; elles transmettent à l entrée des informations sur les grandeurs de sortie. Ces informations sont comarées aux signaux d entrée au moyen de comarateurs. Ces derniers élaborent les différences ou écarts entre les signaux d entrée et les informations images des signaux de sortie. Exemle : Chauffage d un immeuble θ e T Système θ Figure A θ e θ e θ + - a T Système θ Figure B θ e θ e θ C + - a T Système θ - + P Figure C La figure A rerésente le système. La temérature θ à l intérieur de l immeuble est fonction de la temérature T de l eau chaude envoyé dans les radiateurs et de la temérature extérieureθ e. Nous rerésentons cette descrition, volontairement simlifiée ar une boite munie d une sortieθ, d une entrée de commande T à la disosition de l oérateur et d une erturbationθ e. Le rayonnement solaire dans l immeuble, le vent ou d autres grandeurs agissant aussi sur la temératureθ. C est volontairement que ces grandeurs ne sont as rises en comte ar notre modèle qui doit, avant tout, être simle. C est l utilisateur qui règle T, en Cours d automatique et régulation 4

12 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis vue d obtenir θ = 9 C ar exemle (en régime ermanent). Il sait, ar exérience, qu il obtient un bon résultat en réglant T. La figure B rerésente alors une remière tentative de réglage automatique de T, tel que T = a. ( θ θe ). Dans cette configuration, l oérateur n aura lus besoins de retoucher T en fonction de la temérature extérieure. En effet, T va varier automatiquement en sens inverse deθ e. Quand θ = θe on a T=, ce qui signifie qu on doit bien entendue, couer le chauffage. Cette commande en boucle ouverte donne de bons résultats. La figure C rerésente une amélioration du réglage automatique de T. Suosons que ar tems froide le soleil énètre à l intérieur de l immeuble. La temératureθ va s élever sans our autant que la temérature T de l eau des radiateurs ne soit réduite uisqu il ne déend queθ e. Il se roduira une surchauffe et on doit modifier T, c est à dire our diminuerθ. Il est clair que cette oération eut s effectuer de façon automatique en rendantθ déendant de la temératureθ effectivement atteinte dans l immeuble. Pour cela θ est comarée à une consigneθ C, réglable ar l utilisateur à l aide d une boucle d asservissement..3. Performances des systèmes asservis.3.. Notion de stabilité On dit qu un système est stable, lorsque celui-ci tend à revenir à son état d équilibre lorsqu on lui alique une erturbation de courte durée..3.. Notion de raidité La raidité quantifie le tems de réonse du système. Le tems mis ar la réonse our ne lus déasser ±5% de la valeur finale. Ce tems est retenu comme critère de raidité : t 5% Cours d automatique et régulation 5

13 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis.3.3. Notion de récision La récision quantifie l erreur lorsque l équilibre est atteint. e () ( t) Avec t et comarateur. s de même nature. Autrement, l erreur est mesurée à la sortie du. Notion de signal.. Définition Un signal dans un système de commande automatique rerésente une grandeur hysique qui eut être une temérature, une force, une ression, une vitesse, une tension, un débit. Ce signal eut être sous forme logique (binaire), analogique, numérique (codé), selon la nature de commande : analogique ou numérique. Dans notre cas, nous étudions les signaux analogiques relatif à la commande linéaire continue des rocessus. En ratique, un signal est une tension entre et 5V ou un courant entre et ma, cas de rocessus industriels. Un signal () t Un signal () t Un signal () t.. Signaux canoniques s est causal si s ( t) = t <. s est déterministe si ( t) s est aléatoire si t tel que ( t) s est connu. s est inconnu. Imulsion de Dirac Si ε alors. ε Si ε alors. ε e est une imulsion de Dirac idéale. () t ε e(t)=δ(t) ε t Echelon de osition Si t > : e () t = e. Si t < : e () t =. Si e = : e() t est un échelon de osition unitaire noté u t. () e e(t) t Echelon de vitesse e() t = tgα.t.u () t. Si tg α = : e () t = t.u () t e () t est aelée échelon de vitesse unitaire. e(t) α t Cours d automatique et régulation 6

14 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis Echelon d accélération e() t = a.t.u () t. Si a= : e() t aelée échelon d accélération unitaire. Sinusoïde e t = Em.sin ω t.u t. () m ( ) () e() t aelée Si E m = : sinusoïde unitaire. e(t) e(t) t t 3. Réonses articulières d un système scalaire On considère ici un système scalaire, c est à dire à une entrée et à une sortie. x(t) Système y(t) Pour connaître le comortement du système et le comarer à d autres systèmes, on étudie les réonses à quelques signaux articuliers. 3.. Réonse imulsionnelle On aelle réonse imulsionnelle, la réonse notée h ( t), obtenue ar l alication d une imulsion de Dirac δ (t) à l entrée du système, celui- ci étant initialement au reos. y(t)=h(t) δ(t) t t 3.. Réonse indicielle échelon unité On aelle réonse indicielle, la réonse notée ω ( t), obtenue ar l alication d un u() t u() t à l entrée du système, celui-ci étant initialement au reos. y ( t) = ω( t) t t 4. Réonse à un signal quelconque Définition de la convolution temorelle On considère un système scalaire linéaire invariant de réonse imulsionnelle ( t) Pour un système scalaire, linéaire et invariant, initialement au reos, la réonse y() t h. à un Cours d automatique et régulation 7

15 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis x () () signal d entrée quelconque t est donnée ar le roduit de convolution entre x t et la réonse imulsionnelle du système : y + () t = x( v).h( t v).dv = x() t h() t Cette exression est fondamentale. Elle ermet, en connaissant le système ar sa réonse imulsionnelle h () t et l entrée x ( t), de déterminer y ( t). Elle eut donc remlacer totalement l équation différentielle régissant le système. Cette exression se note de façon condensée : y( t) = x( t) h( t). est l'oérateur de convolution ; y() t est la convolution du signal d'entrée avec la réonse imulsionnelle du système. Remarques Le roduit de convolution est commutatif : y ( t) = x( t) h( t) = h( t) x(t ). L imulsion de Dirac et la réonse imulsionnelle (si x et y ont la même dimension) sont homogènes à l inverse d un tems. Ce sont des éléments mathématiques qui ermettent de formaliser les comortements des systèmes mais qui n ont as de réalité hysique. Si l imulsion de Dirac est aliquée à l instant zéro, la réonse imulsionnelle est forcément nulle our t < v car h ( t v) =, le système étant suosé causal (cas des systèmes hysiquement réalisables). De lus, si le signal est lui-même causal (aliqué au tems t = ), alors x () v = si v <. Les bornes de l intégrale de convolution se simlifient et le roduit de convolution s écrit : y + () t = x( v).h( t v) Exemle: Calcul de la réonse indicielle d un circuit RC à artir de sa réonse imulsionnelle. t τ La réonse imulsionnelle d un circuit RC s écrit : h( t ) =.ex avecτ = R. C. τ On se roose d utiliser la convolution our déterminer la réonse indicielle ω () t du circuit RC à un échelon d amlitude E à artir de sa réonse imulsionnelle h t. w( t ) = h( t ) E.u( t ) = Soit.dv + + h( t ν ).E.u( ν ).dν = E t ν E t ν w( t ) = E..ex( ).dν = τ.ex( ) τ τ τ τ () h( t ν ). dν + +. t = E. ex( τ ) Cours d automatique et régulation 8

16 . Les systèmes linéaires continus Chaitre Cours d automatique et régulation 9

17 Chaitre Les systèmes linéaires continus Chaitre : Les systèmes linéaires continus. Présentation On aelle système dynamique un système dont l'étude ne eut être réalisée qu en renant en comte les valeurs assées du hénomène. Les grandeurs de sortie déendent des valeurs résentes et assées des grandeurs d'entrées. Les hénomènes d'inertie (inertie mécanique, inertie thermique...) influent sur le comortement du système. Nous limiterons notre étude aux seuls systèmes linéaires continus et invariants... Définition Un système linéaire est un système our lequel les relations entre les grandeurs d'entrée et de sortie euvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'équations différentielles à coefficients constants. Les systèmes linéaires se caractérisent rincialement ar deux roriétés, la roortionnalité et l additivité... Princie de roortionnalité L effet est roortionnel à la cause Remarque L'effet de roortionnalité n'est effectif que lorsque le système a atteint sa osition d'équilibre ou que le régime ermanent s'est établi. La caractéristique Entrée/Sortie d'un système linéaire est une droite dont la ente Y est aelée gain du système. X Cours d automatique et régulation

18 Chaitre Les systèmes linéaires continus La réonse, en régime définitif, d un système linéaire à une entrée donnée est un signal de même nature que l entrée..3. Princie d'additivité ou de suerosition Le rincie de suerosition est imortant car il va nous ermettre, connaissant la réonse d'un système à des sollicitations simles de déterminer ar additivité et roortionnalité la réonse à des sollicitations lus comlexes.. Mise en équation d un système linéaire Un système dynamique linéaire eut être rerésenté ar une équation différentielle à coefficients constants liant les grandeurs d entrée et de sortie. Entrée x Système linéaire L équation générale d un système linéaire est de la forme : n n Sortie y dy dy dy dy dx dx dx dx an + a... a a a.y b b... b b b.x n n = m + m m + + n m + + dt dt dt dt dt dt dt dt Nous ne savons résoudre dans le cas général que les équations différentielles du remier et du second ordre et dans quelques cas articuliers des équations d ordre suérieur. Le roblème de l automatisation est lus comlexe que la résolution uisqu il s agit de déterminer la loi d entrée x qui ermet d obtenir la sortie désirée y. La rerésentation ar l'équation différentielle nécessite our connaître la réonse à une entrée de résoudre l'équation. Princie de la résolution La solution d une équation différentielle est la somme d une solution générale et de la solution articulière. La solution générale rerésente la comosante transitoire, la solution articulière rerésente la comosante ermanente. La solution générale est m m Cours d automatique et régulation

19 Chaitre Les systèmes linéaires continus déterminée ar la résolution de l'équation sans second membre. La solution articulière est x t. déterminée en fonction de la forme de ( ) Exemle circuit RC R u e C u s En utilisant la loi des mailles on obtient : ue( t ) us( t ) = R.i( t ) dus i = C. dt D où l équation différentielle en substituant i dans la remière équation : dus ue ( t ) us( t ) = R.C. dt dus ue ( t ) = R.C. + us( t ) dt La solution générale est solution de l équation suivante : dus R.C. + us( t ) = dt at La solution est de la forme s g ( t ) = K. e Par identification, on détermine le coefficient «a». a = = RC τ Le coefficient K sera déterminer en fonction des conditions initiales. La solution comlète est la somme des deux solutions : t RC La solution articulière dans le cas où u e( t ) = U est solution de l équation cidessous : dus R.C. + us( t ) = U dt La solution articulière est de la même forme que l entrée. Ici s ( t ) = U u s( t ) = sg ( t ) + s ( t ) = K.e + U La dernière constante est déterminée en fonction des conditions initiales (on suose ici que le condensateur est comlètement déchargé). u ( t = ) = K = s U t D oùu = RC s( t ) U e. 3. Transformée de Lalace L'étude des systèmes s'accomagne inévitablement de la maniulation d'équations différentielles. Or les oérations liées à cette maniulation sont souvent délicates et la résolution des équations n'est as toujours simle. Pour faciliter les calculs, on utilise un outil mathématique uissant: la transformée de Lalace. Cours d automatique et régulation

20 Chaitre Les systèmes linéaires continus 3.. Formulation mathématique () Soit f t une fonction réelle de la variable réellet, définie our toute valeur det, sauf éventuellement our certaines valeurs, en nombre fini dans tout intervalle fini, et nulle our t <. La transformée Lalace de f t est définie ar l'égalité : () étant une variable comlexe. On note : ( ) [ ( )] F + t ( ) = e.f ( t) [ ] F = LP f t et f ( t) = LP F( ). On dit que est la transformée de t f t est l'original de F. Pour résoudre les équations différentielles grâce à la transformée de Lalace, il est t F mais aussi de à f t..dt F ( ) f ( ) et que ( ) nécessaire de savoir effectuer le assage de f ( ) à ( ) ( ) F ( ) () 3.. Proriétés et théorèmes Les roriétés de la transformée de Lalace sont réunies dans le tableau ci-arès : Proriété Originale f(t) Transformée de Lalace F() Linéarité a.f ( t ) + b.f ( t ) a.f ( t ) + b.f ( t ) Dérivation () t Dérivation d ordre n f +.F( ) f ( ) f n () t (n>) Intégration f ( t ). dt n n + n + n +.F( ). f ( ).... f F( ) Retard f ( t θ ) e θ.f( ) ( ) f ( ) Changement d échelle f ( a.t ).F a a A ces roriétés, on doit joindre les théorèmes suivants : Théorème de la valeur finale : Théorème de la valeur initiale : Théorème de Borel : Si ( t) Lalace F ( ) et ( ) ( ) F( ) H = lim.f( ) = lim f ( t ) lim t.f( ) = lim f ( t ) t f et ( t) G, alors h( t) f ( t) g( t) ( ).G. g ont resectivement our transformée de = a our transformée : Cours d automatique et régulation 3

21 Chaitre Les systèmes linéaires continus Théorème du déveloement de Heaviside : Pour trouver l originale d une fraction F( ) rationnelle, où le degré de F ( ) est inférieur au degré de G ( ), on la G( ) décomose en éléments simles de remière esèce, et l on alique la formule: K t LP e ( K )! at = ( a ) k 3.3. Table des transformées de Lalace Il est souvent lus simle de calculer la transformée de Lalace d une fonction à artir de la transformée connue d une autre fonction en utilisant les roriétés et théorèmes énoncés. A artir de quelques résultats de base, on eut ainsi retrouver raidement les Transformées de Lalace de la luart des fonctions utilisées en électronique ou en automatique dans les asservissements. Afin d éviter le calcul systématique de ces fonctions de base, on les regroue dans des tables de Transformées de Lalace. Une table résumée des Transformées de Lalace les lus usuelles en électronique est la suivante : t T n t ( n )! T f () t F ( ) δ ( t ) ( n ) δ ( t ) n n > T A A.t n entier n.e e t T t T t T t T + Te T T e T.e t t T T e t t T T T.e ( ) T T + T T.e T. e T T t T t A A ² A n + T ( + T ) ²( + T ) ( + T ).( +.( + T ).( + ².( + T ).( T + T T ) ) ) Cours d automatique et régulation 4

22 Chaitre Les systèmes linéaires continus f () t F ( ) t (T t ).e T 3 T T t. e T t + t T.e t T t T + ( t + T ).e w zwt.e z².sin θ = π Arc cos z t T ( w z²t + θ ) ( w z²t) < z w zw.e t.sin z² < w z.w.t.e.sin w z²t + Ψ z² Ψ = Arc cos z z z.w.t t +.e.sin w w z² Si b : (( b ( ) ( w z²t Ψ ) + ( + T ) ( + T ).( + T ) ( + T ) z w + w z w + w z w + w z. + + w w + b at a )t + ).e ( + a ) n t n+ cos wt + w cos( wt.cosϕ wsinϕ + ϕ ) + w w sin wt + w sin( wt t t a > ( e e ) avec = a + = a Si a = b : t.e at a a at b b Si a < b :.e.sin wt avec w = w.sinϕ + wcosϕ + ϕ ) + w b a n! + a + b Cours d automatique et régulation 5

23 Chaitre Les systèmes linéaires continus f () t F ( ) Si a > b : + t t b e e = a + a b = a a b at at a = ( e a.t.e ) avec Si b : a Si a < b : b avec = b e w at b.e w w = b a et ( a.sin wt at w tg ϕ = a.sin( wt + w.cos wt ) + ϕ ) ( + a + b ) at e + ( b a )( c a ).e at.sin( wt ) w ( a) + w a e at.cos( wt ) ( a) + w.sh( wt w ) w ch ( wt ) w.e at.sh( wt ) w ( a) w a e at.ch( wt ) ( a) w bt e e b a bt at b.e a.e b a bt at ( c a ).e ( c b ).e b a ( a sin( wt bt e + b )( c b ) ) w.t.cos( wt 3.w at ( a ) ct e c )( b c ) ( a) ( b ) ( a) ( b ) + c ( a) ( b ) ( + a )( + b )( + c ) ( + w ) Cours d automatique et régulation 6

24 Chaitre Les systèmes linéaires continus e wt 3.w wt e cos 3.w sin( wt cos( wt ) f () t F ( ).t.sin( wt w ) ) w.t.cos( wt ).w t.cos( w.t.sin( wt wt ) sin( ix ) = + i.sh( x ) avec cos(ix ) = ch( x ) 3 sin wt 3 3.wt cos 3.wt + 3 sin ) 3.wt + e wt 3 e 3 wt wt +.e bt.cos at ( b a ). π.t e a e πt e a² 4t π.t 3. 3.wt e 3.wt 3 a² e 4t bt at ( e e ) t ( ( ( ( + w + w 3 + w + w w Formules en ) ) ) ) w changer w en iw w + w w + a + e a e a b + a Ln + b 3.4. Exemle i(t) R u e C u s Cours d automatique et régulation 7

25 Chaitre Les systèmes linéaires continus Le comortement de chaque constituant est décrit ar les équations suivantes : ue( t ) u du i = C. dt s s ( t ) = R.i( t ) Passons dans le domaine symbolique On ose : L[us ( t )] = U s ( ), L[ue ( t )] = U e( ), L [ i( t )] = I( ). Nous savons que la dérivée remière d une fonction temorelle est : df ( t ) + L =.F( ) f ( ) dt, si L [ f ( t )] = F( ) de même our la dérivée seconde : df ( t ) + L =.F( ).f ( ) dt + f ( ) Nous suosons que les conditions initiales sont nulles : ue ( t ) us( t ) = R.i( t ) U e( ) U s( ) = R.I( ) dus i = C. dt I( ) = C.U. s ( ) En substituant I(), on obtient : U e( ) U s( ) = R.C U. s( ) U s( ) = U. e( ) +τ. U On rend our l entrée u e( t ) = U, donc dans le domaine symboliqueu e ( ) =. U U s( ) =. +τ. Décomosition en éléments simles : U A B s( ) =. = U + + τ. + τ. On déduit donc B = A = τ U ( ) = U U s τ La décomosition s écritu s( ) = U + + τ.. A. + B.( + τ. ) ( + τ. ) D où la solution : u ( t ) s e t = U RC Cours d automatique et régulation 8

26 Chaitre Les systèmes linéaires continus 4. Série de TD N Exercice n. s ( t ) =.ex(,5. t). s ( t ) = 4. ( ex(,.t )) 3. s 3 ( t ) = 3t² Calculer la transformée de Lalace des signaux causaux, on vérifiera les théorèmes des valeurs finale et initiale. Donner la réonse indicielle de ces trois fonctions. Exercice n Donner les transformées de Lalace des fonctions suivantes :. y ( t ) = t.ex( a.t ).u ( t).. y ( t ) = ex( a.t ).sin( w.t ).u ( t). 3. y3 ( t ) = sin ( w.t ).u ( t). 4. y ( t ) = sin. t.sin wt.u () t. 4 Ω Exercice n 3 Inverser la transformation de Lalace ( est la variable de Lalace) en utilisant la table de Lalace. 4. F () =., F () = ,5.ex( ) 3. F 3 () =. + 4( + ) 4. F 4 () =. ( + ) Si f 4 ( t ) est la réonse indicielle d un rocessus P, donner la réonse imulsionnelle. Exercice n 4 Calculer la transformée de Lalace inverse de chacune des fonctions suivantes :. F ( ) =. ² ² ² +. F ( ) =. ( + ) 3.( + + ) 3. F3 () = 4.( + 4). ex( 3 ) 4. F4 () =. (+ ) ( + + ) Cours d automatique et régulation 9

27 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus Chaitre 3 Cours d automatique et régulation

28 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus Chaitre 3 : Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus. Fonction de transfert Un système linéaire d entrée x ( t) et de sortie ( t) différentielle à coefficients constants du tye : n n y est régi ar une équation dy dy dy dy dx dx dx dx an + a... a a a.y b b... b b b.x n n = m + m m + + n m + + dt dt dt dt dt dt dt dt Si on écrit la transformation de la Lalace de l équation différentielle à conditions initiales nulles on trouve : Y( ) H ( ) = aelée fonction de transfert ou transmittance du système : X( ) H ( ) est aelée fonction de transfert du système. sortie x() t Le but de cette rerésentation est de ouvoir déterminer les caractéristiques de la t connaissant la fonction de transfert x t. y () H ( ) du système et le signal d entrée ( ) On eut mettre H ( ) sous la forme : H( ) H ( ) eut s écrire sous la forme : H LP ( ) LP( x( t) ) X = ( ) = H ( ) Y( ) bm. = X( ) a. n m n + b + a m n m.. m n m b a ( z ).( z )...( zm ) = k ; ( ).( )...( ) z ( ) L ensemble des i forme les zéros de H, l ensemble des i forme les ôles de H n est l ordre de système. y ( t) = LP ( Y ( ) ) LP ( ) H ( ).X ( ) Y = n ( ), et Exemle Le circuit intégrateur : circuit RC : R x () t = R.i() t + i( t ). dt. C dy(t) x () t = RC. + y() t. dt x(t) C y(t) avec y(t) = y () t = i( t ). dt C Cours d automatique et régulation

29 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus On aliquant la transformée de Lalace on trouve : ( ) + Y ( ) X ( ) ( RC. + ) Y. ( ) = X ( ) RC..Y = D où la fonction de transfert de ce système H ( ). Diagramme fonctionnel Y() = =. X() + RC... Définition Le diagramme fonctionnel ou schéma bloc, constitue une rerésentation grahique d un système asservi ou d une artie du système. Chaque diagramme fonctionnel est constitué d un certains nombre de symbole grahique qui sont : Elément ou groue d élément : X ( ) G ( ) Y ( ) * Comarateur algébrique * Branchement d un signal X ( ) ε ( ) + _ Y ( ) Y ( ) Y ( ).. Exemle de schéma bloc d un système en boucle fermée X ( ) + _ ε ( ) G ( ) Y ( ) Deux signaux de même nature G ( ).3. Règles de simlification.3.. Mise en série Soit un système formé ar la mise en série de deux sous systèmes de fonction de transfert et. La fonction de transfert de l ensemble est = G.G. Equivalent à : G ( ) G ( ) ( ) ( ) ( ) X ( ) ( ).G ( ) Y ( ) G Cateur X ( ) G ( ) ( ) Y ( ) G G Cours d automatique et régulation

30 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus.3.. Mise en arallèle Soit un système formé ar la mise en arallèle de deux sous systèmes de fonction de transfert G ( ) et G ( ). La fonction de transfert de l ensemble est : = G G. ( ) ( ) ( ) G + Equivalent à : X ( ) G ( ) G ( ) X ( ) ( ) G ( ) Y ( ) G Y ( ).3.3. Structure en boucle fermée X ( ) + _ ε ( ) G ( ) Y ( ) ( ) G Equivalent à : X ( ) F ( ) Y ( ) On a ( ) = ε ( ).G ( ) et ( ) = X ( ) Y ( ).G ( ) Y ε. Y( ) = ( X( ) Y( ).G ( )). G ( ). ( ).( + G ( ).G ( )) G ( ).X( ). Y = D où F( ) T ( ) ( ).G ( ) Y( ) G = = : Formule de Black. X ( ) + G ( ) = G ( ) : Fonction de transfert en boucle ouverte. F ( ): Fonction de transfert en boucle fermée. Remarques : * Dans le cas où ( ) G = F( ) F () a une chaîne de retour de transmittance. ( ) ( ) Y( ) G = =. X ( ) + G * Il est toujours ossible de ramener un système à retour non unitaire à un système à retour unitaire. Cours d automatique et régulation 3

31 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus X ( ) + _ ε ( ) G ( ) Y ( ) G ( ) Equivalent à : X ( ) G ( ) ε ( ) + _ ( ).G( ) G Y ( ).3.4. Délacement des nœuds d informations De l amant à l aval X() G() Y() = X() G() Y() De l aval à l amant X() G( ) X() X() G() Y() = X() G() Y() Y() G() Y().3.5. Permutation de deux nœuds successifs N N = N N.3.6. Délacement de sommateurs De l amant à l aval X () + + G() Y() = X () G() + + Y() X () X () G() Cours d automatique et régulation 4

32 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus De l aval à l amant X () G() + + Y() = X () + + G() Y() X () X () G( ).3.7. Permutation de deux sommateurs successifs X() Y() = X() Y() X () X () X () X ().4. Princiales transmittances électriques et mécaniques Résistance I() i R u=ri U() u R /R U() I() Inductance Condensateur L C u u i i u di u = L dt = idt C I() U() I() U() L /L /C C U() I() U() I() F=Kx X() K F() Ressort F F F() /K X() Frottement visqueux (amortisseur) F F = dx fv dt F X() fv. F() Masse m F d ² x F = m dt ² X() m.² F() Inertie en rotation w C = J dw dt Ω() J. C() Cours d automatique et régulation 5

33 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus.5. Alications.5.. Système électronique i (t) C R i (t) R 3 e(t) v(t) R u(t) C s(t) Les équations régissant ce système sont : I I ( ) ( ) = = E U ( ) V ( ) R ( ) S( ) R 3 V U ( ) = I C ( ). + ( ) ( ) = R ( I( ) I ( ) ) I ( ) ( ) S = C. U Le diagramme fonctionnel relatif à ces systèmes d équations : E() + _ R I () _ + R U() + _ R 3 I () C S() C V() + + C E() + _ R I () C _ + R U() + _ B R.C 3 S() V() + + Avec : B = R3.C. + R.C. 3 = + R.C 3. Cours d automatique et régulation 6

34 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus C E() + _ I () _ + R U() B S() R C B V() + + Avec : B = R.B + B.R.C. B E() I () + _ B R C S() V() + + B E() + _ R.B B.C S() V() + + B E() + _ B R S() V() B + B.C B 3 Avec : B 3 = + R R B R + B B.C. Cours d automatique et régulation 7

35 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus.5.. Moteur à courant continu Vu de l extérieur, la machine eut être rerésentée ar la mise en série d une résistance R, d'une inductance L et d une f.e.m à vide Ev donnée ar la relation Ev = K.Ω, si Ω est la vitesse de rotation. Nous suoserons que l'ensemble fixé à l'arbre de la machine est de moment d'inertie J et que le moment du coule de frottement est C = f.ω (frottement visqueux). Ve() di( t ) Equation électrique : V e( t ) = R.i( t ) + L. + K. Ω( t ) dt Soit en variable de Lalace ( ) = R.I( ) + L..I( ) + K. Ω( ) V e dω( t ) Equation mécanique : J. = K.i( t ) f. Ω( t ) Cch( t ) dt Soit en variable de Lalace J.. Ω ( ) = K.I( ) f. Ω( ) C ( ) C ch ( t ) est le moment du coule de charge. Si l on suose que la charge mécanique de notre moteur est une génératrice à courant continu débitant sur une charge R ch, alors on eut dire que : E K² K² Cch = K.I ch = K. =.Ω soit Cch =. Ω = K'. Ω. Rch Rch Rch Le système eut être rerésenté ar : C ch () ch V e () Système Ω ( ) On eut écrire alors : Ω ( ) = K Cch ( ) Ve( ) K.I( ) et I( ) =. Ω( ) f + J. f + J. R + L. R + L. Le digramme fonctionnel de ce système est le suivant : C ch () f + J. V e () I() K _ + _ + R + L. f + J. Ω( ) K R + L. Cours d automatique et régulation 8

36 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus 3. Lieux de transfert 3.. Introduction On alique au système une entrée harmonique : u( t ) = uo.sin( wt ). En régime ermanent ; on admet que la sortie est également un signal sinusoïdal déhasé ; on a donc : y( t ) = A.u o.sin( wt + φ ). On eut dire la même chose de l entrée u( t ) = u.cos( wt ). Donc également de l entrée u ( t ) = uo.cos( wt ) + j.u o.sin( wt ) = u théorème de suerosition nous donne la sortie : y( t ) = A( w ).u.cos( wt + φ ) + j.a( w ).u.sin( wt + φ ) = A( w ).u.e o Plus généralement ; on eut donc considérer une entrée de la forme donnera une sortie de la forme : A( w).u o.e. Aliquons cette entrée à l équation différentielle ; n n m dy dy dy du + a... a a.y bm b n n = + n m dt dt dt dt o jwt+φ o du dt o o. e jwt jwt+ φ dx dt. uo. e m an m b m + b On obtient : n a.( jw ) + a n j( wt+ φ ) [ n n.( jw ) a.( jw ) ].A.u o.e m m jwt = [ b.( jw ) + b.( jw ) b.( jw ) ].u.e m m o. qui ; d arès le.x jwt ; qui nous Ou bien : y( jw ) = u( jw ) A.e jφ = m m [ bm.( jw ) + bm.( jw ) b.( jw ) ] n n [ a.( jw ) + a.( jw ) a.( jw ) ] n n. Il aaraît dans cette exression que le terme de droite n est rien d autre que la fonction de transfert dans la quelle on a remlacé les "" ar des "jw". jφ On a donc : A( w ).e = H( = jw ) ; où A est le gain en amlitude du signal et φ le déhasage de ce signal. 3.. Interrétation dans le lan comlexe [ sin( wt + )] A( w ).u o φ Im φ [ cos( wt + φ ) + j.sin( wt + )] A( w ).u o φ [ cos( wt + )] A( w ).u o φ [ cos( wt ) j.sin( wt )] u o + Re A.u o. e j( wt+φ ) d origine : u.. est le vecteur d amlitude A et de déhasage φ ar raort au vecteur jwt o e Cours d automatique et régulation 9

37 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus On obtient donc le gain A ( w ) en renant le module du nombre comlexe H( jw ) et le sinφ déhasage φ en recherchant l angle φ ( tgφ = ) donc : cosφ * A = H( jw ).H ( jw ); Im( H( jw )) φ = arctg Re( H( jw )) Remarque : Attention à la définition de l arctg : on doit en considérer deux définitions différentes our les demi-lans réels ositifs et négatifs. Pour les arties réels ositifs : La définition récédente est bonne. Im( H( jw )) φ = arctg Re( H( jw )) Im( H( jw )) Pour les arties réels négatifs : φ = π + arctg. Re( H( jw )) Lorsque la artie réelle est nulle, on n a as besoin de cette définition, on considère directement l affixe (le vecteur est sur l axe des imaginaires). n m bm.( jw ) H( jw ) = n a.( jw ) + b + a m n.( jw ).( jw ) m n b a Pour un système hysique; le gain tend vers quand la fréquence tend vers ; on a donc : m<n; sauf si le modèle choisi est sécifique our une zone de fréquences donnée Les lieux de transfert On aelle lieux de transfert la rerésentation des évolutions de la sortie (tems fréquence) our toutes les ulsations de w = à w +. On a les évolutions de deux grandeurs à figurer dans un lan; aramétrées ar la troisième; lusieurs solutions sont donc ossibles. Trois rerésentations sont roosées ici; ortant chacune le nom de leur auteur : Black; Nyquist; et Bode. Ces rerésentations; utiles our connaître les évolutions des systèmes; ont chacune leur intérêt. L'équation du lieu à tracer s'obtient en se laçant en régime harmonique et en remlaçant les ar des ϕ dans la fonction de transfert. On est donc bien en train de rerésenter ce qui se asse dans l'esace de Lalace Lieu de Bode Rerésentation comortant deux grahiques ossédant les mêmes abscisses : les fréquences ou ulsations en échelle logarithmique. Le remier grahique orte le gain en échelle linéaire; mais exrimé en décibel ( G db =.log( H( jw ) ). Sur le second; on a en ordonnée le déhasage en échelle linéaire Lieu de Nyquist Le lieu de Nyquist est une rerésentation; aramétrée ar la ulsation; exrimée en coordonnées olaires : en rayon : le gain en échelle linéaire ; en angle : la hase en degrés. Cours d automatique et régulation 3

38 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus Dans le lan comlexe, le lieu de Nyquist rerésente our chaque oint (fréquence donnée); la artie réelle en l'abscisse; la artie imaginaire en l'ordonnée Lieu de Black Le lieu de Black est une rerésentation comortant en abscisse; la hase en échelle linéaire; et en ordonnée le gain; en échelle linéaire; mais exrimé en décibels Abaque de Black Le diagramme de Black est une rerésentation de la réonse harmonique du système, c'est à dire une rerésentation de H ( jw) quand w arcourt R, où H ( ) est la fonction de transfert du système. o o en abscisse: hase (en degrés) en ordonnée: gain (en décibels) Cours d automatique et régulation 3

39 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus 4. Série de TD N Exercice n : Déduire les diagrammes fonctionnels suivants afin de se ramener dans les deux cas à la structure suivante : E() + _ D() S() R() et donner les exressions de D() et de R(). Cas : H E() _ + _ + + G + _ G G S() H H 3 Cas : E() + _ + _ C R + _ C R S() Cours d automatique et régulation 3

40 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus Exercice n : Simlifier le schéma fonctionnel suivant et déterminer sa fonction de transfert. G E() + _ G G S() H _ + H G 4 Exercice n 3 : Déterminer la transmittance des circuits suivants : - I R R I I R 3 I 4 C e(t) V V I 3 C s(t) - R R e(t) C C s(t) Cours d automatique et régulation 33

41 Etudes des systèmes élémentaires Chaitre 4 Cours d automatique et régulation 34

42 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Chaitre 4 : Etudes des systèmes élémentaires. Etude d'un système de remier ordre.. Etude temorelle... Définition Un système hysique d entrée e(t) et de sortie s(t) est du remier ordre, s il est régi ar une équation différentielle du remier ordre à coefficients constants : ds(t ) τ + s(t ) = K.e(t ) dt où K est le gain du système et τ est la constante du tems. Si les conditions initiales sont nulles (s()=), la fonction de transfert dans le domaine de Lalace s écrit : ( τ. + ).S( ) = K.E( ) Soit H( ) = S( ) K = E( ) +τ.... Réonse imulsionnelle L entrée est définie ar e( t ) = δ( t ), soit dans le domaine de Lalace E()=. K K La sortie a donc our exression dans le domaine de Lalace : S( ) = = τ. + τ. + τ t K La réonse temorelle a donc our exression : s( t ) =.e τ.u( t ). τ La rerésentation grahique de la réonse imulsionnelle d un système de remier ordre est donnée ar la figure ci-dessous : Cours d automatique et régulation 35

43 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires..3. Réonse indicielle L entrée est définie ar e(t)=u(t), soit dans le domaine de Lalace E ( ) =. K La sortie a donc our exression dans le domaine de Lalace : S( ) =. ( +τ. ) A B K K. τ Une décomosition en éléments simles nous donne : S( ) = + =. + τ. + τ. t La réonse temorelle a donc our exression : s( t ) = K e τ u( t ). La rerésentation grahique de la réonse indicielle d un système de remier ordre est donnée ar la figure ci-dessous : K Pente à l origine : tg ( α ) = = s' ( ) τ α Particularités : Pente à l origine. t K s' ( t ).e τ K = d où lim s' ( t ) =. + τ t τ Tems de réonse à 5%. On cherche t 5% tel que s(t 5% )=.95.K. t 5%.5 = e τ soit Ln.5 t 5% = t 5% 3τ.. τ Détermination exérimentale des aramètres du modèle d ordre. Utiliser la valeur finale our déterminer le gain K. Utiliser la ente à l origine our déterminer la constante de tems τ. Utiliser 63% de la valeur finale our déterminer la constante de tems τ...4. Alication Réonse à un échelon de vitesse (rame) K a x(t) = a.t, on obtient alors : Y( ) =.. +τ. Ka K.a. τ K.a K.a. τ Y( ) =.. = +. τ + τ. + τ t D où y( t ) = Ka. ( t τ ) + τ.ex.u( t ). τ Cours d automatique et régulation 36

44 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires..5. Relation tems fréquence Le comortement dynamique d un système est entièrement décrit ar sa constante de temsτ. Cette dynamique est aussi aelé esace fréquentiel. On définie ulsation de couure w c =, donc la fréquence de couure est f c =. τ π.τ On aelle tems de montée du système : c est le tems nécessaire our asser de% de la valeur finale de la sortie à 9 % de la valeur finale our un échelon d entrée. t w( t ) = K( ex( ).u( t ). τ On a w ( t % ) =,.K et ( t ),9. k t = t t w 9 % = Or m 9% % Arès tout calcul fait on obtient t m =,τ..35 Donc t m =. f.. Etude harmonique K H ( ) +τ. c = et en osant =jw H ( jw) = + jτw. H ( H(j.w) j.w ) = = K.ex( jarctg + ( τw )² K jk τ + + ( τ.w ) ² + ( τ.w ) ² K ( τw )) = H.ex( Re ( H(jw) ) = K + τ²w² Im ( H(jw) ) = Kτ + τ²w² Dans la ratique trois méthodes de rerésentations sont utilisées. jϕ ). Cours d automatique et régulation 37

45 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires... Rerésentation de Bode On trace les deux courbes suivantes : H ( j. w) de la fonction H( j.w ) en fonction de la ulsation w. db ϕ = Arg( H( j.w )) de la fonction H( j.w ) en fonction de la ulsation w. Rerésentation du module en db K H( j.w ) =.log db + τ.w ( ) =.log [ ] ( K ).log + ( τ.w) Etude des asymtotes w Pour wc << H( j.w ) log K : Asymtote d équation K db db Pour w = H( j.w ) =.log K 3dB. db τ w Pour >> H( j.w ).log ( τ.w). db wc H( j..w ) H( j.w ) =.log ( τ..w ) (.log ( τ. w )) db db =. ( log ( τ..w ) log ( τ. w )) τ..w =.log =.log τ.w = C est une droite de ente db/décade. ou H( j..w = ( ) db ( τ..w ) (.log ( τ. )) ( log ( τ..w ) log (. )) ) H( j.w db ).log w db =. τ w τ..w =.log =.log τ.w C est une droite de ente 6dB/octave. ( ) = 6dB Rerésentation de la hase ϕ = Arg( H( j.w )) = arctgτ. w. Etude des asymtotes Pour w ϕ = : asymtote horizontale. π Pour w = ϕ = Arctg =. τ 4 π π Pour w ϕ = Arg( H( j.w )) = arctg = : asymtote horizontaleϕ =. Cours d automatique et régulation 38

46 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires -3 db w = τ Bode Diagram w.w Magnitude (db) db dec Phase (deg) Frequency (rad/sec)... Rerésentation de Nyquist On trace la courbe Im ( H( j. ω )) = f ( Re( H ( jw) ) Soient x = Re( H ( jw) ) et y = Im( H ( jw) ). K D où x = () ; + τ.w ( ) K. τ.w y = () + ( τ.w) (y < demi cercle négatif) K K () + ( τ.w )² = et( τ.w )² = x x K ( ) y = τ.w.x y² = ( τ.w )².x² = ( )x² = Kx x². x K K² Donc x² Kx + y² = x + y² = : 4 K K C est une équation d un cercle de centre (, ) et de rayon. Cours d automatique et régulation 39

47 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Im K/ K w w Re K/ wc Rerésentation de Black G db = f ϕ : C est un diagramme contracté obtenu en éliminant w. On rerésente ( ) Etude des asymtotes : Pour w H( j.w ).log K ; ϕ =. db π Pour w = H( j.w ) =.log K 3dB ; ϕ =. db τ 4 Pour w -3dB H( j.w ) db Nichols Chart wc et ϕ π.c est une asymtote. GdB Phase - - ( ) Cours d automatique et régulation 4

48 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Exemle Le circuit intégrateur : circuit RC : R x () t = R.i () t + x(t) i(t).dt C avec y () t = i(t).dt C dy () () t x t = RC. + y() t dt On conclue que τ = RC et K=. dy () () t x t = τ. + y() t dt A.N. : R=kΩ ; C=μF ; τ =, et K=. C y(t) W(rd/s) H H db ϕ R e( H( jw ) Im( H( jw ) Remlir le tableau. Faire l étude temorelle et dégager les différents aramètres (f c, t m, ). Effectuer l étude harmonique ar les trois méthodes.. Etude d'un système de second ordre.. Définition Un système hysique d entrée e(t) et de sortie s(t) est du deuxième ordre, s il est régi ar une équation différentielle du second ordre à coefficients constants : où w d s( t ).z ds( t ) s( t ) = K.e( t ) dt w dt K est le gain du système. w est la ulsation rore non amortie ositif. z est le coefficient d amortissement ositif. Cours d automatique et régulation 4

49 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Si les conditions initiales sont nulles (s()=s ()=), la fonction de transfert dans le z domaine de Lalace s écrit : + +.S( ) = K.E( ) w w Soit H( ) = S( ) = E( ) K.w +.z.w. + w = w + K.z w +.. Etude temorelle... Réonse imulsionnelle L entrée est définie ar e( t ) = δ( t ), soit dans le domaine de Lalace E()=. La sortie a donc our exression dans le domaine de Lalace : K.w S( ) =. +.z.w. + w z Discriminant : = 4w ( ) Δ. Cas : z> Δ >, le système est amorti est le dénominateur ossède deux racines réelles : ( z ± z ). = w < S() se décomose en eux éléments simle : K.w A B S( ) = = +. Arès identification, on trouve : ( )( ) K.w A = B =. z K.w t t La réonse temorelle a donc our exression : s( t ) ( e e ) =. z Cas : z= Δ =, amortissement critique. La sortie dans le domaine de Lalace s écrit : K.w S( ) =. + w ( ) w.t La réonse temorelle a donc our exression : s(t ) = K.w.e.t. Cours d automatique et régulation 4

50 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Cas 3 : z< Δ <, le système est sous amorti et le dénominateur ossède deux racines comlexes conjuguées : ( z ± j. ) = w z K.w t t La réonse temorelle a donc our exression : s( t ) ( e e ) =. z Soit, arès déveloement des exonentielles comlexes : K.w w zt s( t ) =.e.sin( w z t). z Rerésentation grahique :... Réonse indicielle L entrée est définie ar e(t)=u(t), soit dans le domaine de Lalace E ( ) =. La sortie a donc our exression dans le domaine de Lalace : K.w S( ) =. +.z.w. + w. ( ) Cas : z>, le système est amorti et la réonse est aériodique. S() se décomose en trois éléments simles : Kw A B C S( ) = = + + ( )( ).. Avec a=k ; K.w K.w K.w K.w B = = et C = =. ( )..w. z. ( )..w. z. t t w e e La réonse temorelle a donc our exression : s ( t ) = K. z Si on ose = et = où τ et τ sont les constantes du tems, la réonse τ τ temorelle s écrit : t t τ τ s( t ) = K τ e τ e. τ τ Cours d automatique et régulation 43

51 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Rerésentation grahique : s( )=K.E t % t m t 9% t 5% Particularités : Pente à l origine : Kw t t s' ( t ) = ( e e ) d où lim s' ( t ) = + z t Tems de réonse à 5% : Il n y as de formule simle. Tems de montée : t m =t 9% t % Cas : z=, amortissement critique. La sortie dans le domaine de Lalace s écrit : K.w K.w K K S( ) = = + +. ( + w ). ( + w ) + w La réonse temorelle a our exression : s( t ) K ( + w t) wt ( e ) =. Particularités : Pente à l origine. w t e w s' ( t ) = K.e w + w t w = K.w. d où lim s' ( t ) = Tems de réonse à 5%. Il n y as de formule simle. t ( ( ) ) + t Cas 3 : z<, le système est sous amorti et la réonse est seudo ériodique. La réonse a toujours our exression dans le domaine de Lalace : K.w S( ) =. ( +.z.w. + w ). A B + C On décomose cette exression sous la forme : S( ) = +. +.z.w. + w K K. +.K.z.w Arès identification des constantes, on trouve : S( ) =. +.z.w. + w Cours d automatique et régulation 44