Optique géométrique (CCP 2007 MP)

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1 MP Physique-himie. Devoir en temps libre DL n 6- : orrigé Optique géométrique (CCP 7 MP) I. DEFINITIONS. Systèmes optiques a. Qu appelle-t-on système optique entré? Un système entré est un système présentant un axe de symétrie que l on appelle «axe optique». b. Qu est-e qu un système atadioptrique? Un système optique atadioptrique est un système ontenant au moins un miroir.. Stigmatisme a. Stigmatisme rigoureux. Un point A est dit rigoureusement stigmatique d un point A si le hemin optique AA est rigoureusement le même pour tous les rayons traversant le système optique. b. Système optique rigoureusement stigmatique pour tout point de l espae. Il n existe qu un seul système de e type : le miroir plan.. Aplanétisme a. Aplanétisme rigoureux. Un point A est dit rigoureusement aplanétique d un point A si l image B d un point B voisin de A tel que AB soit transverse est voisine de A et telle que A B soit transverse. b. Système optique rigoureusement aplanétique pour tout point de l espae. Il n existe qu un seul système de e type : le miroir plan. A. Approximation de Gauss a. Conditions de Gauss. Deux onditions doivent être réalisées : - Les rayons doivent être peu éloignés de l axe optique. - Les rayons doivent être peu inlinés par rapport à l axe optique. b. Stigmatisme dans l approximation de Gauss. Dans l approximation de Gauss, tout point A admet une image A dans une ondition de stigmatisme approhé : les différents hemins optiques (AA ) ne diffèrent que d une quantité petite par rapport à la demi longueur d onde. II. ETUDE DES MIOIS SPHEIQUES. Caratère onvergent ou divergent d un miroir sphérique a. Miroir onvexe Un miroir onvexe (i.e. plus épais au entre que sur les bords) est divergent. b. Quel miroir (m) ou (m) est-il divergent? Le miroir (m) est onvexe, don divergent. Jean Le Hir, 4 janvier 8 Page sur 9

2 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6-. Le miroir (m) est-il onvergent ou divergent? B A S F ( m) Ce miroir est divergent (l image formée est virtuelle).. elations de onjugaison et de grandissement. a. elation de onjugaison de Desartes. a.. elations liant α, α et β aux grandeurs algébriques SA, S, SC et HI dans l approximation de Gauss. HI α = ; SA HI HI α ' = ; β =. S SC a.. Exprimer la relation entre α, α et β. D après la loi de Desartes relative à la réflexion, nous avons α ' + α = β. a.. En déduire la relation de onjugaison au sommet du miroir. β α = α ' β, ou enore : La relation α ' + α = β s érit aussi bien : + =. On en déduit don k = S SA SC a.4. Expressions des distanes foales. Le foyer image F est l image d un objet à l infini sur l axe : déduit : SC f ' = SF' =. + = =. On en SF' SC f ' Le foyer objet F a son image rejetée à l infini sur l axe : + = =. On en déduit : SF SC f SC f = SF = JLH 4//8 Page sur 9

3 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6- b. elation de onjugaison de Newton. b.. Constrution géométrique. F = F' I I' b.. elation de onjugaison de Newton. Nous obtenons ette relation en exprimant le grandissement de deux façons différentes ; F SI' FS γ = = et γ = = et don FA F = FS = FA F' = f f ' SI FS AB FA. elation de onjugaison : origine au entre... elations. FA = CA CF = CA CS et F = C CF = C CS.. Déduire la formule de onjugaison ave origine au entre. FA F = CA CS C CS = CS soit : CS C + CS CA = CA C 4 Nous obtenons la relation de onjugaison en multipliant haque membre par qui donne : + = CA C CS Nous retrouvons la formule attendue, ave k = d. Grandissement. d.. En fontion de SA et S. S Observons les triangles SAB et SA B : γ = = AB SA d.. En fontion de FA, F et FS. F FS Nous avons déjà démontré à la question b.. : γ = = FS FA d.. En fontion de CA et C. C Observons les triangles CAB et CA B : γ = = + AB CA. Correspondane objet-image pour des miroirs onaves et onvexes. a. Constrution géométrique de l image A B d un objet AB transverse. a.. Miroir (M ) CS CA C deux quelonques des quatre rayons représentés ii font l affaire, e JLH 4//8 Page sur 9

4 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6- a.. Miroir (M ) deux quelonques des quatre rayons représentés ii font l affaire b. Position de l image A B et grandissement transversal. Note : ette onstrution géométrique n était pas demandée B C F A S Utilisons la formule de onjugaison ave origine au sommet : 4 = = = + = + don S S SC SA SF = m = Le grandissement transversal est don égal à +. Note : ette onstrution géométrique n était pas demandée B S 4 F 4 C 4 A Utilisons la formule de onjugaison ave origine au entre : S4A + 4 = = = = C C S C A C S C S + S A + S A S A ( ) et don : Grandissement : ( ) ( ) 4 S4A C4 = = = = 6,67 m S A C C AB C A S A γ = = = = = ( ) JLH 4//8 Page 4 sur 9

5 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6-4. Système réfleteur : le télesope de Cassegrain a. Observation de la Lune a.. Image de la Lune f Après réflexion sur ( M ), l image de la Lune est à une distane F = = FA 4 DTL Autant dire que ette image est dans le plan foal du miroir à la position SF = a.. Diamètre apparent de la Lune DL 456 Le disque lunaire est vu sous l angle ε = = = 9 rad =,56 =,9' DTL 84 a.. Dimension de l image de la Lune S D L 6 = AB = S = ε = 9 =, 7 m SA D TL b. Télesope de type Cassegrain b.. Image intermédiaire de la Lune L image de la Lune dans le miroir ( M ) doit être virtuelle et située en arrière du miroir ( M ) au point F onjugué de l image A"B". b.. Position du foyer image F' + = et don = = = SF' SF SC SF' SC SS + SF d + d ( d + ) Finalement : SF' = d + ( ) emarque : dans ette formule, les deux rayons sont négatifs. b.. Grandissement transversal de à travers ( M ) A"B" S A" S F' S F' S S F S S + S C γ = = = = = b.4. Appliations numériques 4( 8 6) SF' = = m ( ) b.5. Foale d une lentille simple équivalente Une lentille onvergente de distane foale image ( d + ) ( + ) ( d + ) ( d + )( d + ) ; γ =,5 et A"B" = γ =,5, 7 =, 675 m f L donnerait de la Lune une image de diamètre f L ε. Nous en déduisons : A"B", 675 fl = = = 75 m. ε 9 Commentaire : Le montage optique de type Cassegrain est bien plus ompat ( m au lieu de 75 m). F JLH 4//8 Page 5 sur 9

6 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6- III. ETUDE DES LENTILLES MINCES. Caratère onvergent ou divergent d une lentille mine. a. Formes des lentilles sphériques mines La lentille bionave est la lentille ( l ), la lentille ménisque onvergent est la lentille ( 4 ) lentille plan onave est la lentille ( l 6 ). b. Observation d un objet éloigné. l et la Comme le montrent les onstrutions i-dessous, si l image d un objet lointain est inversée, la lentille est onvergente. S il s agissait d une lentille divergente, l image serait virtuelle et droite. Lentille onvergente : image réelle inversée. Déplaement transversal. Lentille divergente : image virtuelle droite Si l image se déplae dans le même sens que la lentille, ela veut dire qu elle se trouve entre l est don divergente. l objet et la lentille : la lentille ( ) 8. elations de onjugaison et de grandissement. a. elation de onjugaison de Newton. Constrution de l image : F' Le foyer image F' est le symétrique de F par rapport à O. JLH 4//8 Page 6 sur 9

7 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6- OF F' Grandissement transversal : Γ = = = AB FA OF' Nous en déduisons la relation de onjugaison de Newton : FA F' = OF OF' b. elation de onjugaison de Desartes. FA F' = ( OA OF) ( O OF' ) = OA O OF O OF' OA + OF OF' = OF OF' Nous en déduisons la relation OF' O + OF' OA = OA O qui devient, en divisant par OA O OF', la relation de onjugaison de Desartes : Expression du grandissement : O Γ = = AB OA + = OA O OF'. Correspondane objet-image pour des lentilles mines onvergente et divergente. a. Constrution géométrique. a.. Lentille ( L ) a.. Lentille ( L ) b. Position de l image A B et grandissement transversal Note : ette onstrution géométrique n était pas demandée B F O A F' D après la relation de onjugaison de Newton : Appliation numérique : L image est réelle et droite. F' = = m 5 + f f f F' = = = F A O A O F O A + f ; F' Γ = = +. f JLH 4//8 Page 7 sur 9

8 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6- Note : ette onstrution géométrique n était pas demandée B A F' 4 O 4 F 4 D après la formule de onjugaison de Desartes : Et don ( ) ( ) O4F' 4 O4F' 4 AF' = + O O F' O F' + F' A O4 = = = = 8,75 m O F' AF' 4 O4 O4 8,75 Grandissement : Γ = = = = +,7 O4A O4F' 4 AF' 4 L image est virtuelle et droite. 4. Système réfrateur : la lunette de Galilée a. Nature distanes foale des lentilles. La lentille ( L ) est onvergente, de distane foale image f = =, m = m V La lentille ( L ) est divergente, de distane foale image f = =,5 m = 5 m V b. La lunette est de type «afoal» Le foyer image L doit oïnider ave le foyer objet La distane d est alors : d = f + f = 5 = 5 m F' de ( ) F de ( ) L. L intérêt d une lunette afoale réside dans le onfort de l observation : l œil doit alors aommoder à l infini. θ F' = F O O θ θ' θ' JLH 4//8 Page 8 sur 9

9 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6- θ' f Grossissement : G = = = 4 θ f Coperni : Clavius : θ = =,5 rad < rad, invisible à l œil nu 84 4 θ ' = Gθ = rad > rad, visible à l aide de la lunette θ = = 6, rad > rad, visible à l œil nu 84 4 θ ' = Gθ =,5 rad > rad, a fortiori visible à l aide de la lunette θ = =, 7 rad < rad : Jupiter sera vu à l œil nu omme un point θ ' = Gθ =,8 rad > rad : Jupiter sera vu dans la lunette omme un disque. JLH 4//8 Page 9 sur 9

10 MP Physique-himie. Devoir en temps libre DL n 6- : orrigé Életromagnétisme (CCP 7 MP) I. CONDUCTEUS CONDENSATEUS CAPACITES. Conduteurs Propriétés. a. Distintion entre onduteur métallique et isolant? Dans un onduteur métallique existent des életrons de ondution non liés aux atomes tandis que dans un isolant les életrons sont liés aux atomes. Les métaux, le orps humain et l eau du robinet (hargée d ions) sont des onduteurs életriques. Les plastiques, le verre et l eau pure sont des isolants (l eau pure est très légèrement ondutrie). b. Conduteur en équilibre életrostatique. Un onduteur est en équilibre életrostatique s il ne s y produit auun ourant. Dans un tel onduteur, le hamp életrique E est nul, la densité volumique de harge ρ est nulle et le potentiel életrostatique V i est uniforme et onstant. i Si l on apporte des harges exédentaires à un tel onduteur, elles se plaent en surfae définissant en haque point une densité surfaique de harge σ telles que le hamp életrique intérieur reste nul.. Conduteur métallique reu. Dans une telle avité, E =, ρ =, σ = et V est uniforme et onstant, de même valeur que le potentiel du onduteur. Si l on ajoute des harges exédentaires, elles-i se plae sur la surfae extérieure du onduteur. d. Théorème de Coulomb. Énoné : Étant donné un onduteur plaé dans le vide et un point M de sa surfae extérieure, le hamp életrique en un point M ext extérieur au onduteur, immédiatement voisin de M, est orthogonal à la surfae et a pour valeur algébrique le rapport entre la densité surfaique de harge σ au point M et la permittivité du vide ε. Formulation : n ext étant le hamp de veteur normal à la surfae et dirigé vers l extérieur,. Conduteurs Capaités. Q a. Expression de la apaité : C = V σ E = n ext ε emarque : il faut bien entendu préiser, ela n est pas fait dans l énoné, que le potentiel est hoisi nul à l infini. C est une ondition néessaire pour pouvoir parler de la apaité d un onduteur seul dans l espae. n ext i Jean Le Hir, 6 janvier 8 Page sur

11 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6- b. Calul de apaités de onduteurs. b.. Conduteur plan. Cette question n a ni queue ni tête : omment peut-on envisager un onduteur plan à l équilibre életrostatique, qui ne soit porteur de harges que sur une seule fae? La symétrie du onduteur implique que les deux faes soient également hargées. La symétrie impose aussi que la densité surfaique σ ne soit fontion que de la distane au entre du disque, mais en auun as ette densité surfaique ne saurait être uniforme à l équilibre életrostatique : le pouvoir des pointes se traduira par une densité de harge supérieure à la périphérie du disque qu en son entre. Si l on fait l hypothèse que les harges sont uniformément réparties sur une seule fae, alors Q = π σ, mais le potentiel réé par es harges n est pas uniforme sur la surfae du disque, il ne peut s agir d un onduteur et il est absurde de parler d une «apaité». b.. Conduteur ylindrique. La densité surfaique de harge ne saurait être uniforme que si la longueur l du onduteur est très grande par rapport au rayon du ylindre, de telle sorte que l on puisse négliger les «effets de bord». Pour l, nous avons alors : Q = πl σ. Nous ne savons aluler le potentiel que dans le as d un onduteur ylindrique de longueur infinie, mais dans e «problème d éole» nous sommes en présene de harges à l infini et le potentiel ne peut en auun as être hoisi nul à l infini. Il est don impossible de définir la apaité (même linéique) d un onduteur ylindrique seul dans l espae. Note : Je n ai pas onnaissane de la façon dont es deux questions absurdes qui initaient les étudiants à dire des bêtises ont pu être notées. b.. Conduteur sphérique. Cette fois il était inutile de préiser que la densité surfaique est uniforme : il s agit d une néessité en réponse à la symétrie sphérique. Nous avons alors Q 4 = π σ. Le théorème de Gauss nous permet de aluler le hamp életrique à l extérieur de la sphère, identique au hamp qui serait dû à une harge pontuelle Q plaée au entre O de la sphère, soit : Q σ E = e r = e r 4πε r ε r Le potentiel se alule alors par irulation du hamp : r r r Q Q Q V r V E dr dr ( ) = ( ) = = = 4πε r 4πε r 4πε Q À la surfae de la sphère, le potentiel a pour valeur V = et l on en déduit l expression de 4 πε la apaité de la sphère ondutrie seule dans l espae : Q C = = 4πε V r JLH 6//8 Page sur

12 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6-. Condensateurs Propriétés. a. Qu appelle-t-on ondensateur életrique? Un ondensateur életrique est un ensemble de deux onduteurs dont l un est sous l influene totale de l autre, est-à-dire que toutes les lignes de hamp issues de l un arrivent sur l autre. C est le as, en partiulier, lorsqu un onduteur est situé dans une avité d un autre onduteur. b. Parmi les ondensateurs (plans, ylindriques, sphériques), iter trois types de ondensateurs usuels. Quel est le sens de la question? Doit-on parler de différentes tehnologies usuelles? Par exemple en répondant : Les ondensateurs à air : deux simples plaques métalliques en regard. Les ondensateurs de tehnologie «mylar» ou «éramique», de faibles apaités. Les ondensateurs himiques, polarisés, dont les apaités peuvent être plus importantes.. Théorème de Gauss Énoné : Étant donnée un répartition quelonque de harges életriques dans le vide, le flux sortant φ du hamp életrique à travers une surfae fermée quelonque S est égal au rapport de E la harge életrique Formulation : Q int intérieure à la surfae S par la permittivité du vide ε. 4. Condensateurs Capaités. Q int φ = E n E ext ds = S ε a. elation entre les harges Q A et Q Bi. D après le théorème des éléments de surfae orrespondants, les harges portées par les surfaes A et Bi sont opposées : QA = QBi. b. Condensateur. La harge du ondensateur est égale à la harge de l une de ses életrodes, par exemple QA La apaité C est alors définie omme étant fondamentalement positive : C = V V. Détermination de apaités. A B Q = Q... Condensateur plan. S Sans démonstration, don : C = ε (Note : assurez-vous que vous sauriez le démontrer!) e Appliation numérique : La valeur de ε n est pas donnée dans l énoné, mais l on sait que 7 8 ε = ave = 4π N A et =, m s. ( 6 ) ( ) π π C = = = 4 = 4 pf 7 8 e 4π,5 9 Charge du ondensateur : Q = CV = 4 5 = 6 C = 6 nc A JLH 6//8 Page sur

13 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6-.. Condensateur ylindrique. Note : Nous ne savons faire e alul que dans le as où la hauteur h est très grande par rapport à, de telle sorte que les «effets de bords» puissent être négligés. Bien que ela ne soit pas préisé dans l énoné, nous ferons ette hypothèse. Si l on néglige les effets de bord, le ondensateur ainsi formé présente une symétrie d invariane par translation parallèle à l axe des ylindres et d invariane par rotation autour de et axe, omme si les ylindres étaient infinis. Soit, en oordonnées ylindriques : E = E r e r ( ) r Appliquons le théorème de Gauss sur une surfae fermée onstituée d une surfae latérale ylindrique oaxiale aux onduteurs et de hauteur h et de «ouverles» irulaires : le flux π rh E r à travers la surfae latérale, tandis sortant d une telle surfae se réduit au seul flux ( ) r que la harge intérieure est égale à Q. Le théorème de Gauss s exprime don ainsi : Q φ = E next ds = π rh E E r ( r) = S ε Et nous en déduisons l expression du hamp életrique entre les armatures du ondensateur : Q E = er πε rh La différene de potentiel s exprime par l opposé de la irulation du hamp : Q dr Q V V = E dr = = ln πεh r πεh Nous en déduisons l expression de la apaité du ondensateur ylindrique idéalisé sans effets de bord : πεh C = ln Dans le as où = + e ave e, nous pouvons exprimer ln par un développement e e e limité au premier ordre et érire : ln = ln + = + o. πεh S Nous en déduisons : C = ε e e Commentaire : dans ette limite, les ourbures sont très faibles et le ondensateur est alors assimilable à un ondensateur plan... Condensateur sphérique. Du fait de la symétrie sphérique du problème, nous savons a priori que le potentiel est une fontion salaire de la seule variable r. En l absene de harges volumiques, le potentiel V ( r ) est solution de l équation de Laplae : Nous en déduisons que dv r K d dv V = r = r dr dr dr = et don, par intégration : ( ) dr K te. V r = K = + C r r JLH 6//8 Page 4 sur

14 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6- dv K Dès lors, le hamp életrique a pour expression E = gradv = er = e r. Par dr r K σ Q appliation du théorème de Coulomb, nous pouvons érire : = = et don : ε 4π ε ( ) V ( ) = = V Q Q 4πε C 4πε D où l expression de la apaité du ondensateur sphérique : C = = 4πε Enfin, dans le as où = + e ave e, la apaité C prend la forme approhée : C ( + ) 4π e S = πε ε = ε. e e e 4 Commentaire : Les ourbures étant très faibles, nous retrouvons l expression de la apaité d un ondensateur plan. II. CONDENSATEU SPHEIQUE : Système Terre-ionosphère. Exprimer le hamp életrostatique Comme nous l avons déjà vu à la question I.4..., le hamp életrostatique a pour expression : Q Q E = e r = e r 4πε r 4πε + z. Potentiel et apaité ( ) L expression de la différene de potentiel, déjà vue à la question I.4..., est : Q V ( ) V ( + z) = 4πε + z Ave V ( ) =, ela donne : V ( z) Q z + = 4 πε + ( z) Nous en déduisons l expression de la apaité : C = 4πε + z. Appliations numériques Ave z = 6 km et = 6 km, nous sommes bien dans l approximation z qui permet de onsidérer qu il s agit d un ondensateur plan : C 4πε = ε z S z L énergie életrostatique a pour expression Wel = CV = πε V z JLH 6//8 Page 5 sur

15 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6- σ CV V Au niveau du sol, le hamp életrique a pour valeur E = er = e r er ε 4πε z 6 ( ) 6 Appliations numériques : C 4πε = =,67 F 9 z 9 6 W E 4. Charge de la Terre el ( ),67 6 4, 9 CV J 4, GJ = = = = V 6 = = = 6, V m z 6 La densité surfaique se déduit du hamp par le loi de Coulomb σ = ε Er = ε E et don Q = 4π σ = ε E = 4πε E. r Appliations numériques : 5. Lors d un orage Les nouvelles valeurs numériques sont : 6 σ = E = = 5, C m 7 8 4π ( ) 4π 4 Q = E =, 4 C = 4 kc E 8 V = = = V m z 5 5 σ = E = =,88 C m 7 8 4π ( ) 4π 9 Q = E =, 4 C =, 4 GC Lors d un orage, les élairs orrespondent à des déharges életriques très rapides. 6 III. CONDENSATEU PLAN : Ciruit C (en quoi es ondensateurs sont-ils plans?). Ciruit C : Filtre du er ordre. a. Nature du filtre. En basse fréquene, le ondensateur équivaut à un interrupteur ouvert, le ourant dans la résistane est nul et la tension est don transmise. En haute fréquene, le ondensateur équivaut à un fil et la sortie est don ourt-iruitée : la tension de sortie est nulle. Il s agit d un filtre passe-bas du premier ordre. b. Fontion de transfert. Par division de tension : jcω H = = = = jc ω + + ω + j + jx jcω ω ave ω = C JLH 6//8 Page 6 sur

16 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6-. Diagramme de Bode. En haute fréquene, H soit : jx GdB lg x e qui orrespond à une pente de l asymptote de db/déade π ϕ,, G db x ( éhelle lg) 4,, ϕ x ( éhelle lg) π. Ciruit C : Filtre du eme ordre. a. Nature du filtre En basse fréquene, les ondensateurs équivalent à des interrupteurs ouverts, le ourant d entrée est nul et la tension n est don pas transmise. En haute fréquene, les ondensateurs équivalent à des fils et la sortie est don ourt-iruitée : la tension de sortie est nulle. Il s agit d un filtre passe-bande du seond ordre. U i JLH 6//8 Page 7 sur

17 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6- b. Fontion de transfert. Par division de tension, la tension de sortie s exprime omme une fration de la tension jcω U i U i U i intermédiaire U i : Us = U i = = = jc ω + + ω + j + jx jcω ω Cette tension intermédiaire s exprime en appliquant en e nœud le théorème de Millman : Us jcω+ + U i = + jcωu e Ce qui devient. Diagramme de Bode. En basse fréquene, H En haute fréquene, Us jx jx H = = = U e ( + jx )( + jx ) + jx x jx soit : H soit : jx jx U U jxu jx jx U soit ( + ) = + = ( + )( + ) GdB + lg x π ϕ + GdB lg x π ϕ i s e s,, G db x ( éhelle lg) 4 ϕ π +,, x ( éhelle lg) π JLH 6//8 Page 8 sur

18 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6- d. Pulsations de oupure à db Pour x =, nous avons, bande passante. G max =. Le gain en déibel est diminué de db lorsque le gain est divisé par, pour les valeurs de x solutions de l équation : G = = x + 9 x Ce qui s érit : x = 9, soit x x x = ± ou enore x ± x =. Nous avons affaire à deux équations du seond degré admettant haune une raine positive : ω + ω x = = et x = = (emarque : ωω = ω ) ω ω + La bande passante a pour expression : ω = ω ω = ω = ω = C IV. CONDENSATEU CYLINDIQUE : Câble oaxial.. Équation de Maxwell-Faraday sous forme loale. B En régime sinusoïdal et en oordonnées ylindriques, l équation de Maxwell-Faraday rot E = t s érit, le hamp életrique étant radial : ( ρ z) E E, ρ E ρ eθ ez = exp( jω t) eθ = jωb z ρ θ z Le hamp B, omme le suggère l énoné, est don bien orthoradial et a pour expression B = Bθ eθ, ave B θ ( ρ z) E, = exp ω jω z ( j t). Équation de Maxwell-Ampère sous forme intégrale. E L équation de Maxwell-Ampère s érit : rot B = j + ε t L intégration de ette relation sur une surfae S délimitée par un ontour fermé C donne le théorème d Ampère dans le as magnétostatique et le «théorème d Ampère généralisé» dans le as général. Il onvient alors de prendre en ompte les «ourants de déplaement». E rot B n+ ds = B dr = j n+ ds + ε n+ ds S C S S t Courant réel Courant de déplaement Dans le as présent, la densité de ourant de déplaement est radiale et son flux est nulle à travars la πρ B = I z exp jω t et l on en surfae S. Le théorème d Ampère généralisé s érit don ( ) ( ) déduit : ( z) I m B = exp( jωt) e θ πρ θ m JLH 6//8 Page 9 sur

19 LYCÉE DE KEICHEN MP-Physique-himie Devoir en temps libre n 6-. Équation de Maxwell-Ampère sous forme loale. La densité de ourant en volume étant nulle en tout point (sauf bien sûr sur les ylindres onduteurs où ette densité est infinie), l équation de Maxwell-Ampère s érit : E B E θ Bθ ρ rot B =, soit : e ρ + ( ρ Bθ ) ez = eρ = e ρ t z ρ ρ z t B E θ ρ jω Soit : = = E z t 4. Onde de ourant. Nous avions déjà démontré que : ρ, e qui s érit ii : En fontion du ourant, ette relation s érit : E B ρ θ ( z) d I m = exp ω jω πρ dz ( ) ( j t) Eρ I m z = = exp ω jω z πρ m ω + I m = d I dz ( j t) I m ( z ) est solution d une équation différentielle harmonique dont une solution est effetivement I m ( z ) = I exp ( jkz ), en posant k ω =. 5. Champs réels. I exp( ) πρ Nous en déduisons : E = j ( ωt kz) ρ Ces expressions orrespondent aux hamps réels : I E = os( ωt kz) e ρ et I B = os ( ωt kz ) e θ πρ πρ I exp( ) πρ et B = j ( ωt kz) Il s agit don d une onde progressive ylindrique pour laquelle nous pouvons définir un veteur d onde k = kez. Notons que le trièdre ( k, E, B ) est diret, omme dans le as d une onde plane. Notons que le rapport E B est égal à la vitesse de la lumière, omme dans le as d une onde plane. En bref, ette onde a loalement une struture loale d onde plane. 6. Veteur de Poynting. E B I Par définition : S = = ( os( ωt kz) ) ez. 4π ρ La valeur moyenne d un osinus au arré étant égale à, nous avons don I S = e z. 8 π ρ Le flux de S orrespond à la puissane transportée par l onde. P = = πρ ρ = = I I dρ I S ez ds d ln ouronne 8π ρ π ρ 4π θ. JLH 6//8 Page sur