Marges de stabilité et performances des systèmes linéaires asservis

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1 UV Cour 5 Marge e tabilité et performance e ytème linéaire aervi ASI 3

2 Contenu! Robutee e la tabilité " Notion e robutee e la tabilité " Marge e tabilité marge e gain et e phae! Performance e ytème aervi " Préciion e ytème aervi # Erreur en régime permanent liée à la conigne # Rejet e perturbation " Rapiité e ytème aervi " Dilemme tabilité, rapiité, préciion

3 Robutee e la tabilité 3! Introuction " Caractéritique e critère e Routh et e Nyquit # Déterminer i le ytème et table, ocillant ou intable en BF # Déterminer le conition limite e tabilité # Ne permettent pa e ire i le ytème table en BF et plu ou moin proche e l'intabilité point critique " Concept e marge e tabilité ytème à tabilité abolue # Intuitivement, la tabilité et atifaiante i le lieu e Nyquit ou e Black u ytème en pae loin u point critique - Stabilité atifaiante Im Marge e tabilité faible Im - Re - Re

4 Robutee e la tabilité 4! Marge e tabilité Elle permettent 'etimer la proximité e la répone fréquentielle jω u point critique π " Marge e phae m ϕ Soit ω c la pulation telle que jω c. La marge e phae et la ifférence entre ϕ ω c et π mϕ ϕ ωc π avec jω ϕ ωc arg C " Marge e gain m g Soit ω -π la pulation telle que arg jω -π π. La marge e gain et l'écart entre B et le gain à la pulation ω -π m g log jω π avec ϕ ω π π

5 Robutee e la tabilité 3! Interprétation e marge e tabilité $ Un ytème et table en BF i la marge e phae et poitive $ La marge e gain correpon au gain upplémentaire maximum que l'on peut onner au ytème en an riquer e le renre intable en BF $ Plu le marge ont grane, plu robute et la tabilité! Remarque $ Pour une bonne tabilité, on conière atifaiante le valeur minimale : m ϕ π/4 à π /3 45 à 6 et m g B à 5B $ On éfinit aui la marge e retar m r comme le retar maximal amiible an étabilier le ytème en BF m r m ϕ ω c e τ introuit un éphaage e τω Conition e tabilité : τω ϕ ω c c π τ lim m ω ϕ c 5

6 Robutee e la tabilité 4! Détermination e marge e tabilité ω -π A Im m g log A G B ω c - m ϕ O Re Cercle e rayon unité ω c B ω log m g G B ϕ ra ω c m ϕ ω -π ω log m g -π -π/ ϕ ω -π π m ϕ 6

7 Performance e ytème aervi! Introuction En boucle fermée, on éire que : $ le ytème uive la conigne en régime établi préciion $ le ytème élimine le perturbation rejet e perturbation $ le ytème ait une ynamique rapie! Préciion e ytème aervi y u c C y Coniéron le chéma implifié 'aerviement F La préciion et éfinie à partir u ignal 'erreur : t yc t y t On 'intéree à l'erreur en régime permanent : lim t t 7

8 8 Préciion e ytème aervi! Sortie u ytème aervi! TL e l'erreur C D F Y Y c avec Y Y t E c D F Y Y t E c c D F Y E c C

9 Préciion e ytème aervi! Erreur 'aerviement F E Y D c L'erreur et fonction e eux terme : " Un terme relatif à l'écart avec la conigne E Y c c " Un terme 'erreur û à la perturbation E F D Le ytème et 'autant plu préci que l'erreur en régime permanent et proche e lim t t 9

10 Préciion e ytème aervi 3! Erreur relative à la conigne c lim E c c lim t c t c lim Y c c D N α Ecrivon ou la forme lim D N avec lim Y D N c c α lim Y c c α lim Y c c α α a a b b D N n n m m L L α α

11 Préciion e ytème aervi 4! Erreur relative à la conigne c L'étue peut être menée pour tout ignal e conigne. En pratique, on 'intéree à l'erreur pour e conigne uivante : y c t Γ t " : conigne échelon. On parle 'erreur e poition ou erreur tatique y c t v t " : conigne rampe. On parle 'erreur e vitee ou erreur e traînage y c t t " : conigne parabole. On parle 'erreur 'accélération Remarque Un ytème ayant α intégrateur et it e clae α ou e type α

12 Préciion e ytème aervi 5! Erreur relative à la conigne c " Conigne échelon erreur tatique ou e poition # # y c t Γ t α Y c c, p lim pa 'intégrateur en, ytème e clae c, p avec p p lim Si le ytème n'a pa 'intégrateur en, le ytème en BF préente une erreur tatique permanente. Cette erreur et 'autant plu petite que le gain en et grane α c, p au moin un intégrateur en α Si le ytème a au moin un intégrateur en, le ytème en BF a une erreur tatique nulle. α

13 Préciion e ytème aervi 6 3! Erreur relative à la conigne c " Conigne rampe erreur e vitee # y c t v t α Y c c, v lim α ytème e clae, pa 'intégrateur en α # # c,v α α c, v ytème e clae, intégrateur en v avec v lim ytème e clae ou upérieure Gain en vitee c, v

14 Préciion e ytème aervi 7 4! Erreur relative à la conigne c " Conigne parabole erreur 'accélération y c t t # α Y c 3 c, a au plu intégrateur en lim α α c,a # # α c, a ytème e clae, intégrateur en a avec a lim α 3 plu e intégrateur en Gain en accélération c, a

15 Préciion e ytème aervi 8! Récapitulation erreur ue à la conigne c,p c,v c,a α p v a α > Ce réultat ont valable i le ytème et table en BF!! α : nombre 'intégrateur e la fonction e tranfert en Remarque $ Dan le ca où l'erreur et non nulle mai bornée, cette erreur et 'autant plu petite que le gain en et gran $ Si le gain en et gran, il y a rique 'intabilité cf Routh : c'et le ilemme tabilité - préciion 5

16 Préciion e ytème aervi 9! Illutration α α α.5 5 c,p 4.5 c,p c,p 5 c,v 5 c,v c,v c,a c,a 5 5 c,a 6

17 Préciion e ytème aervi! Erreur relative à la perturbation On parle e rejet aymptotique e la perturbation i l'erreur ue à la perturbation ten ver en régime permanent E F D lim t Poon t lim E N N avec α D D N F N avec β D D lim α α β D 7

18 Préciion e ytème aervi 8! Erreur relative à la perturbation " Perturbation e type échelon D, p α lim α α β # ytème e clae. On a : Si β, on obtient, p L'erreur et bornée i F n'a pa 'intégrateur, p p lim β Si β, on obtient, p La préence 'intégrateur an F ne contribue pa à l'élimination aymptotique e la perturbation

19 Préciion e ytème aervi! Erreur relative à la perturbation " Perturbation e type échelon α # au moin un intégrateur On a, p lim Si α β, on obtient Si α β, on obtient α β, p, p L'erreur e poition,p ue à la perturbation et iminuée voire annulée i on augmente le nombre 'intégrateur α en amont u point 'application e la perturbation tout en veillant à ne pa étabilier le ytème 9

20 Préciion e ytème aervi 3! Erreur relative à la perturbation α β,p p v,v - v - a,a a Avec p lim v a lim lim 3 L'erreur totale en régime permanent et la omme e l'erreur par rapport à la conigne et e l'erreur ue à la perturbation

21 Préciion e ytème aervi 4! Rejet e la perturbation par compenation Si F et connue, on peut éliminer totalement la perturbation en réaliant une correction par compenation W F y u c C y C F W Y Yc D On élimine totalement la perturbation en prenant Le hic! W n'et pa toujour table ou phyiquement réaliable contrainte e caualité W F

22 Performance ynamique! Performance On apprécie le comportement ynamique e ytème aervi en terme e cf cour à 3 : " rapiité : temp e montée t m, temp e répone t r " épaement " réonance Ce performance peuvent être évaluée ur la répone inicielle ou fréquentielle u ytème aervi! Réultat qualitatif Peut-on éuire le performance e ytème aervi à partir e la connaiance e? $ Oui pour le ytème u er orre $ De réultat qualitatif pour le ytème u e orre

23 Performance ynamique! Sytème u premier orre en BF y c y T " Fonction e tranfert en BF BF T avec BF : gain tatique en BF T BF : contante e temp en BF BF T BF BF BF et T T BF Quan on boucle un ytème u er orre, on obtient en BF un ytème ayant le comportement 'un er orre 3

24 Performance ynamique 3! Sytème u premier orre en BF BF T BF BF avec BF et T T BF " Remarque # Le ytème u er orre en BF préente en régime permanent, une erreur tatique non nulle. Cette erreur et 'autant plu petite que le gain et gran mai attention à la aturation e actionneur!! # Temp e répone en BF t r, BF 3T BF 3T Le ytème et plu rapie en BF qu'en Le temp e répone et 'autant plu petit que et gran 4

25 Performance ynamique 4! Sytème u euxième orre en BF y c y ω n, ξ ω n,, " Fonction e tranfert en BF BF ω n, ξ ω n, BF ω n, BF BF ξ ω BF n, BF BF ξ BF ξ : gain tatique en BF : facteur 'amortiement en BF ξ < < BF ωn BF ωn,, : pulation naturelle en BF 5

26 Performance ynamique 5! Sytème u euxième orre en BF " Remarque # Le ytème en BF a une erreur tatique non nulle # Le ytème en BF a un comportement ocillatoire amorti # Le facteur 'amortiement ξ BF et faible i et gran la répone inicielle a un fort épaement # Le temp e montée t m et rapie i gran ωn,bf tm ξ BF Pour. ξ < < BF.8 ω n, t < 4 < BF m on a Pour le valeur courante e ξ BF, on peut obtenir un orre e graneur u temp e montée en BF à partir e élément e la 6

27 Performance ynamique 6! Sytème u euxième orre en BF " Relation empirique Si >>, on montre que ωn, BF ωn, ωc avec ω c la pulation telle que jω c ou Gω c B ω c et appelée aui pulation e coupure à B " Relation empirique : relation entre marge e phae et facteur 'amortiement en BF mϕ eg ré ξbf m ϕ : marge e phae mϕ ϕ ωc 8 Ce eux relation permettent e éuire le performance u ytème en BF à partir e la connaiance e caractéritique fréquentielle e 7

28 Performance ynamique 7! Sytème u euxième orre en BF " Influence u gain tatique en ur la BF # Augmentation e iminution e ξ BF, augmentation e ω n,bf onc e la BP épaement D BF important iminution e la marge e phae tabilité moin bonne augmentation u temp e montée en BF et e la préciion # Diminution e augmentation e ξ BF, iminution e ω n,bf onc e la BP iminution u épaement D BF augmentation e la marge e phae tabilité améliorée iminution u temp e montée en BF et e la préciion Il y a un compromi à trouver entre la rapiité, la tabilité et la préciion 8