suites numériques 1 suites numériques, généralités activités à retenir exercices correction exercices...

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1 sites nmériqes Table des matières 1 sites nmériqes, généralités activités à retenir exercices correction exercices sites arithmétiqes sites de termes activités à retenir exercices corrigés exercices somme des termes activité : somme des entiers à retenir exercices corrigés exercices sites géométriqes site des termes activités à retenir exercices corrigés exercices somme des termes activité : somme des premiers termes corrigé activité : somme des premiers termes à retenir exercices corrigés exercices étdes des variations de sites nmériqes activités activité 1 : sens de variation corrigé activité 1 : sens de variation à retenir exercices corrigés exercices petite évalation corrigé petite évalation approche de la notion de limite à partir d exemples activités activité 1 : approche de la notion de limite à retenir exercices corrigés exercices

2 6 devoir maison corrigé devoir maison devoir maison corrigé devoir maison petite évalation corrigé petite évalation évalation corrigé évalation interrogation travax pratiqes tp tp tp

3 1 sites nmériqes, généralités

4 1.1 activités activité 1. site définie par ne formle explicite o ne formle de récrrence des gradins sont constités de potres comme ceci (voir dessin) on considères la site des nombres de potres par nivea en commençant par le hat qi sera appelé le rang 0, le nombre de potres de rang n N est noté n 1. formle de récrrence (a) donner les valer de 0, 1, 2, 3 (b) comment passe t-on de n à n+1? (donner ne relation entre ces dex termes) (c) en dédire les valer de 4, 5, 6 (d) tiliser la calclatrice por obtenir les valers de 10, 100 pis 200 (e) tiliser la calclatrice por trover la pls petite valer de n telle qe n formle explicite (a) trover ne formle qi donne directement n en fonction de n (commencer par 1, 2, 3, 4 pis généraliser à n) (b) retrover les valers de 10, 100 pis 200 (c) retrover algébriqement la pls petite valer de n telle qe n por aller n pe pls loin soit S n = n la somme des nombres de potres q il fat a total d rang 0 a rang n (a) donner les valers de S 0,S 1,S 2 et S 3 (b) observer la figre et expliqer porqoi S 3 = ( ) 4 2 pis vérifier qe l on retrove bien S 3 (c) calcler S 10 par n raisonnement analoge (d) montrer qe S n = (n+1) 2 (e) en dédire la hater maximale de gradin qe l on pet constrire avec 1000 potres a total et préciser le nombre de potres qi restent activité 2. site définie niqement { par ne formle de récrrence 1 = 200 soit la site définie par n+1 = 0,95 n calcler 1, 2, 3, 10, 100 et essayer de trover la pls petite valer de n telle qe n < n clb à 200 membres inscrits le premier mois, chaqe mois, 5% des membres partent, mais le responsable arrive tojors à obtenir 5 novelles inscriptions (a) montrer qe le nombre d inscrit le n e mois est n (b) qe semble devenir le nombre d inscrits à long terme? activité 3. site définie niqement par ne formle explicite soit la site définie par v n = ,95 n 1 1. calcler v 1, v 2, v 3, v 10, v 100 et v qe semble t-il por les sites v et où est la site de l exercice précédent?

5 1.2 à retenir définition 1 : (site nmériqe réelle) Une site nmériqe réelle notée est ne liste ordonnée et infinie de nombres réels exemples : 1. ordinal 1 er 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e... rangs des termes noms des termes termes de la site 10 11, , , ,5... le premier terme, (terme de rang 0) est 10, le second terme ( de rang 1) est 11, ordinal 1 er 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e... rangs des termes noms des termes v 2000 v 2001 v 2002 v 2003 v 2004 v termes de la site le premier terme, (terme de rang 2000) est remarqes : 1. en général on donne ax sites les noms, v, w, il y a tojors n premier terme, n second terme, por ne site par exemple, le rang d premier terme pet être choisit arbitrairement en fonction d sjet d étde ( 2000 por l an 2000 par exemple ) ne fois fixé le rang d premier terme (2000 par exemple) le nom d premier terme est nécessairement 2000 et le nom d sivant 2001 s obtient en agmentant le rang de 1 ainsi de site l ensemble des termes de la site est assi noté ( n ) 5. on pet assi "voir" ne site comme ne fonction de N dans R qi à tot n k (où k est le rang d premier terme) associe n réel noté { (n) o pls simplement n : N R n serait l image de n par la fonction et on note : n n définition 2 : (relation de récrrence) Une site nmériqe réelle est définie par récrrence signifie qe (1) on connaît la valer d on connaît ne relation de récrrence premier terme (2) qi permet de calcler le terme sivant à partir d n terme qelconqe exemple : { 0 = 100 ( 1 por la site définie por tot n N par er terme) : n+1 = 2 n 10 (relation de récrrence ) 0 = = = = = = = 370 por calcler 100 il fat calcler tos les termes qi précèdent 100 définition 3 : (formle explicite) Une site nmériqe réelle est définie explicitement signifie qe l on pet calcler n terme qelconqe directement à partir de son rang (de son indice) et d ne formle explicite exemple : por la site définie por tot n N par n = 2n 10 : 0 = = 10 1 = = = = 190

6 1.3 exercices exercice 1 : 1. soit la site définie par por tot n N par la formle explicite qi donne n en fonction de n : n = (2n 20)(60 3n) (a) calcler les 5 premiers termes de cette site (à la main pis avec la calclatrice pis avec n tabler) (b) déterminer 100 (c) por qelles valers de n cette site est-elle positive? (jstifier) 2. soit la site définie par por tot n N par son premier terme et par la formle de récrrence qi donne le terme sivant à partir d terme précédent : 0 = 6 et n+1 = ( n 2)(6 n ) (a) calcler les 5 premiers termes de cette site et essayer de déterminer 100 (à la main pis avec la calclatrice pis avec n tabler) (b) qe se passe t-il si cette fois 0 = 5?

7 1.4 correction exercices corrigé exercice 1 : 1. soit la site définie par por tot n N par n = (2n 20)(60 3n) (a) 1 = (2 1 20)(60 3 1) = = = = = 450 (b) 100 = (c) valers de n por lesqelles cette site est positive il sffit de résodre l inéqation (2n 20)(60 3n) 0 soit 6n n Les annlations sont 10 et 20 et la règle d signe d n binôme donne n 0 n [10;20] 2. 0 = 6 et n+1 = ( n 2)(6 n ) (a) 1 = ( 0 2)(6 0 ) = (6 2)(6 6) = 0 2 = ( 1 2)(6 1 ) = (0 2)(6 0) = 12 3 = = = Les limites de la calclatrice sont dépassées por calcler 100 (trop grand en valer absole) (b) si cette fois 0 = 5 on a 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 3 la site semble être constante

8 2 sites arithmétiqes 2.1 sites de termes activités activité 1 : (site logiqe) 1. déterminer a moins dex termes sivants de la site logiqe et compléter la phrase (a) 8; 5; 2; 1; 4;...;... por passer d n terme à l atre, on... (b) 11; 7; 3; 1;...;... por passer d n terme à l atre, on ajote... (c) 2,7; 4,1; 5,5;...;... por passer d n terme à l atre, on on dit qe ces sites sont de natre... car, por passer d n terme à l atre, on : la site sivante est-elle arithmétiqe? : 1; 3; 6; 10; 15;... activité 2 : (terme qelconqe) 1. soit ne site arithmétiqe de premier terme 10 et de raison 5 (a) calcler le 2 e le 3 e et le 4 e terme 2 e terme =... 3 e terme =... 5 e terme =... (b) calcler le 10 e terme : 10 e terme =... (c) combien de fois ajoter 5 por obtenir le 100 e terme? :... (d) combien de fois ajoter 5 por obtenir le n e terme où n > 1 est n entier natrel? :... (e) qe remarqe t-on? 2. soit ne site arithmétiqe de 1 er terme 20 et de raison 2 calcler le 1000 e terme : 1000 e terme =... activité 3 : (noms des termes) 1. soit ne site arithmétiqe notée o «( n )» et de raison notée «r = 2» où le 1 er terme est noté 0 = 10 (a) comment est noté le 2 e? le 3 e? le 10 e terme? 2 e terme =... 3 e terme = e terme =... (b) qel est le rang de n? :... (c) exprimer chacn des termes précédents en fonction de 0 et r 2 e terme =... 3 e terme = e terme =... (d) qe remarqe t-on? : 2. soit ne site arithmétiqe notée o «( n )» et de raison notée «r = 2» où le 1 er terme est noté 1 = 10 (a) comment est noté le 2 e? le 3 e? le 10 e terme? (b) qel est le rang de n? (c) exprimer chacn des termes précédents en fonction de 1 et r (d) qe remarqe t-on?

9 2.1.2 à retenir définition 4 : (site arithmétiqe et formle de récrrence) qelle qe soit la site de nombres réels : est ne site arithmétiqe de raison r et de premier terme 0 qel qe soit n N : n+1 n = r n N : n+1 = n +r } {{ } formle de récrrence remarqe : la différence entre dex termes conséctifs qelconqes de la site est constante et reste égale à n nombre noté r et appelé raison de la site on dit assi qe "por passer d n terme à n atre, on ajote tojors le même nombre" appelé raison de la site exemples : i. 7; 4; 1; 2; 5; 8;... est ne site arithmétiqe de raison r = 3 et de 1 er terme 7 car on passe d n terme a sivant en ajotant 3 ii. 17,5; 15,8; 14,1; 12,4;... est ne site arithmétiqe de raison r = 1,7 et de 1 er terme 15,8 car on passe d n terme a sivant en ajotant 1,7 propriété 1 : (site arithmétiqe et formle explicite en fonction de n) qelle qe soit la site notée o ( n ) de nombres réels : si est arithmétiqe de 1 er terme noté 0 et de raison notée r alors n = 1 er terme+raison (écart entre 0 et n) n = 0 +nr n est le (n+1) e terme où le terme après n variations si est arithmétiqe de 1 er terme noté 1 et de raison notée r alors n = 1 er terme+raison (écart entre 1 et n) n = 1 +(n 1)r n est le n e terme où le terme après n 1 variations remarqes : i. l écart entre dex nombre a et b avec a b est b a ii. si est arithmétiqe de 1 er terme noté k et de raison notée r alors n = 1 er terme+raison (écart entre k et n) avec (n k) soit exemples : i. soit ne site arithmétiqe de 1 er terme 1 = 10 et de raison 1,5 le n e terme en fonction de n est n = 1 +(n 1)r = 10+1,5(n 1) par exemple 100 = 1 +(100 1) 1,5 = ,5 = 158,5 n = k +(n k)r ii. soit ne site arithmétiqe de 1 er terme 0 = 10 et de raison 1,5 le (n+1) e terme en fonction de n est n = 0 +nr = 10+1,5n par exemple 100 = 0 +(100 0) 1,5 = ,5 = 160

10 2.1.3 exercices exercice 2 : voici n graphiqe «corrigé» d évoltion des demandes et des places disponibles por ne certaine filière de BEP dans n département. ( la 1ère année est l année 2001) effectifs demandes offres n soient d n et p n les nombres respectifs de demandes et de places l année 2000+n où n est n nombre entier 1. les nombres de places et de demandes constitent des sites de qelles natres? (jstifier), donner le premier terme et la raison 2. calcler d 6 et p 6 pis d 7 et p 7 3. donner les "formles de récrrence" d n+1 en fonction de d n ainsi qe p n+1 en fonction de p n 4. calcler d 10 et p donner les "formles explicites" de d n et p n en fonction de n 6. déterminer par calcl l année à partir de laqelle la demande devrait atteindre 0 7. éte déterminer par calcl l année à partir de laqelle l offre devrait atteindre résodre l inéqation : d n < p n et en dédire l année où la demande sera satisfaite (vérifier graphiqement) exercice 3 : en 2006, ne personne place n capital C 0 = 1000 eros à t = 3% d intérêts simples annels cette personne ne toche pls à son compte par la site ( «intérêts simples» signifie qe : chaqe année, les intérêts sont de t% d capital initial ) 1. calcler les intérêts «I» annels en eros 2. soit C n le montant d compte l année 2006+n (a) calcler C 1,C 2,C 3 et C 10 (b) exprimer C n+1 en fonction de C n et préciser la natre le 1er terme et la raison de la site (C n ) (c) exprimer C n en fonction de n (d) déterminer l année à partir de laqelle le capital ara doblé (e) calcler le capital à placer por avoir 2000 eros après 10 ans avec t = 3% (f) calcler le tax t por avoir 2000 eros en 10 ans avec n capital initial de 1000 eros.

11 exercice 4 : n batea remorqer est en train de ramener n iceberg de 1000 tonnes d pôle sd et cet iceberg fond en perdant 0,65 tonnes par here en moyenne on note n la masse de l iceberg dans n heres ( n est n nombre entier ) 1. préciser la natre de la site nmériqe ( n ), son premier terme 0 et sa raison 2. déterminer la masse de l iceberg après 10h pis 3 jors pis ne semaine. (... =...) 3. exprimer la masse de l iceberg dans n heres en fonction de n ( n =...) 4. dans combien de temps la masse de l iceberg passera t-elle sos les 600 tonnes? ( conclsion en jors et heres à 1 here prés ) exercice 5 : à n péage atorotier, n caissier a déjà enregistré le passage de 300 véhicles et a remarqé q il enregistrait 6 véhicles par minte en moyenne on note v n le nombre moyen de véhicles enregistrés par le caissier dans n mintes 1. préciser la natre de la site nmériqe (v n ), son premier terme v 0 et sa raison 2. déterminer le nombre de véhicles enregistrés par le caissier dans 3 heres. (v... =...) 3. exprimer le nombre de véhicles enregistrés dans n mintes en fonction de n (v n =...) 4. dans combien de temps le nombre de véhicles enregistrés dépassera t-il 2000? ( conclsion en heres et mintes à 1 minte près ) exercice 6 : la poplation d ne ville a cette année n effectif de habitants, et il est prév n accroissement annel absol de la poplation de 1500 habitants par an 1. déterminer selon ces prévisions l effectif de la poplation de la ville dans 1 an, dans 10 ans. 2. exprimer l effectif de la poplation dans n années, noté P n 3. déterminer le nombre d années por qe la poplation dépasse habitants. 4. qe devrait être l accroissement annel de la poplation por qe l effectif de soit atteint dans 16 années. 5. ne atre ville (Ville B ) avec n accroissement absol annel de 1500 atteindra les habitants dans 10 années, qel est alors l effectif de la ville B ajord hi? exercice 7 : Monsier X vient d obtenir n prêt en s engageant à en remborser 70 eros ce mois pis 75 eros le mois prochain, pis 80 eros le mois sivant et ainsi de site. on note n la somme remborsée dans n mois ( n entier ) 1. Préciser la natre de la site ( n ) ainsi qe son premier terme 0 et sa raison 2. déterminer la mensalité remborsée dans 2 ans. (... =...) 3. exprimer la mensalité remborsée dans n mois en fonction de n( n =...) 4. déterminer le nombre de mois à attendre por qe la mensalité dépasse les 120 eros 5. déterminer la somme totale remborsée en n an.

12 2.1.4 corrigés exercices corrigé exercice 2 : voici n graphiqe «corrigé» d évoltion des demandes et des places disponibles por ne certaine filière de BEP dans n département. ( la 1ère année est l année 2001) effectifs demandes offres 0 n soient d n et p n les nombres respectifs de demandes et de places l année 2000+n où n est n nombre entier 1. La site des offres est de natre arithmétiqe car, por passer d n terme à l atre on ajote tojors le même nombre r = = 45 son premier terme est p 1 = 150 et sa raison est r = 45 La site des demandes est de natre arithmétiqe car, por passer d n terme à l atre on ajote tojors le même nombre r = = 42 son premier terme est d 1 = 668 et sa raison est r = d 6 = d 1 +( 42) (6 1) = 668+( 42) 6 = 458 o bien d 6 = 500+( 42) = 458 p 6 = p (6 1) = = 375 o bien p 6 = = 375 d 7 = 668+( 42) 6 = 416 o bien d 7 = 458+( 42) = 416 p 7 = = 420 o bien p 7 = = d n+1 = d n +( 42) en fonction de d n p n+1 = p n +45 en fonction de p n 4. d 10 = d 1 +( 42) (10 1) = 668+( 42) 9 = 248 p 10 = p (10 1) = = d n = 668+( 42) (n 1) = n+42 = n en fonction de n p n = (n 1) = n 45 = n en fonction de n 6. déterminer par calcl l année à partir de laqelle la demande devrait atteindre n = 0 n = ,9 soit = déterminer par calcl l année à partir de laqelle l offre devrait atteindre n = 800 n = ,4 soit = résodre l inéqation : d n < p n et en dédire l année où la demande sera satisfaite n n n = ,95 soit = 2007 (ce qi est cohérent avec le graphiqe)

13 corrigé exercice 3 : en 2006, ne personne place n capital C 0 = 1000 eros à t = 3% d intérêts simples annels cette personne ne toche pls à son compte par la site ( «intérêts simples» signifie qe : chaqe année, les intérêts sont de t% d capital initial ) 1. calcler les intérêts «I» annels en eros I = = soit C n le montant d compte l année 2006+n (a) C 1 = = 1030 C 2 = = 1060 C 3 = = 1090 C 10 = = 1300 (b) C n+1 = C n +30 en fonction de C n la natre de la site est arithmétiqe le 1er terme est 1000 la raison de la site est r = 30 (c) C n = n en fonction de n (d) déterminer l année à partir de laqelle le capital ara doblé C n = n = n = ,3 soit = (e) calcler le capital à placer por avoir 2000 eros après 10 ans avec t = 3% x x 10 = 2000 x = 100 1,3 1538, 46 (f) calcler le tax t por avoir 2000 eros en 10 ans avec n capital initial de 1000 eros t = t = 2000 t = = 10 soit %

14 corrigé exercice 4 : n batea remorqer est en train de ramener n iceberg de 1000 tonnes d pôle sd et cet iceberg fond en perdant 0,65 tonnes par here en moyenne on note n la masse de l iceberg dans n heres ( n est n nombre entier ) la site est de natre arithmétiqe 1. son premier terme est 0 = 1000 la raison est r = 0,65 masse de l iceberg après 10h : 10 = 1000+( 0,65) 10 = 993, 5 tonnes 2. masse dans 3 jors = 3 24 = 72h : 72 = 1000+( 0,65) 72 = 953, 2 tonnes masse dans ne semaine = 7 24 = 168h : 168 = 1000+( 0,65) 168 = 890, 8 tonnes 3. masse de l iceberg dans n heres en fonction de n n = ,65n 4. dans combien de temps la masse de l iceberg passera t-elle sos les 600 tonnes? il sffit de résodre l inéqation sivante : ,65n ,65n 600 0,65n ,65n 400 n 400 0,65 n 615, 38 soit environs 615 heres 615, 38 25,64j = 25j +0,64j 25j +0,64 24h 25j +15,36h 14 soit 25 jors et 15h environs ( conclsion en jors et heres à 1 here prés )

15 corrigé exercice 5 : à n péage atorotier, n caissier a déjà enregistré le passage de 300 véhicles et a remarqé q il enregistrait 6 véhicles par minte en moyenne on note v n le nombre moyen de véhicles enregistrés par le caissier dans n mintes 1. la site est de natre arithmétiqe son premier terme est v 0 = 300 la raison est r = 6 2. nombre de véhicles enregistrés par le caissier dans 3 heres = 3 60 = 180h : v 180 = = 1380 véhicles 3. nombre de véhicles enregistrés dans n mintes en fonction de n : v n = 300+6n 4. dans combien de temps le nombre de véhicles enregistrés dépassera t-il 2000? il sffit de résodre l inéqation sivante : 300+6n n n n 1700 n n 283, 33 soit environs 283 mintes 283, 33 4,72h = 4h+0,72h 4h+0,72 60mn 4h+43mn 60 soit 4 heres et 43mn environs ( conclsion en heres et mintes à 1 minte près )

16 corrigé exercice 6 : la poplation d ne ville a cette année n effectif de habitants, et il est prév n accroissement annel absol de la poplation de 1500 habitants par an { effectif de la poplation de la ville dans 1 an = = habitants dans 10 ans : = effectif de la poplation dans n années, noté P n = n 3. déterminer le nombre d années por qe la poplation dépasse habitants. il sffit de résodre l inéqation sivante : n n n n n n 13,33 soit environs 13,3 ans 4. qe devrait être l accroissement annel de la poplation por qe l effectif de soit atteint dans 16 années il sffit de résodre l éqation sivante : r 16 = r 16 = n = = 1250 soit 1250 habitants par ans 5. ne atre ville (Ville B ) avec n accroissement absol annel de 1500 atteindra les habitants dans 10 années, qel est alors l effectif de la ville B ajord hi? il sffit de résodre l éqation sivante : x = x = = soit habitants

17 corrigé exercice 7 : Monsier X vient d obtenir n prêt en s engageant à en remborser 70 eros ce mois pis 75 eros le mois prochain, pis 80 eros le mois sivant et ainsi de site. on note n la somme remborsée dans n mois ( n entier ) 1. la site est de natre arithmétiqe son premier terme est 0 = 70 la raison est r = 5 2. mensalité remborsée dans 2 ans = 2 12 = 24 mois 24 = = 190e 3. mensalité remborsée dans n mois en fonction de n n = 70+5n 4. déterminer le nombre de mois à attendre por qe la mensalité dépasse les 120 eros il sffit de résodre l inéqation sivante : 70+5n n 120 5n n 50 n 50 5 n 10 soit 10 ans 5. somme totale remborsée en n an il fat calcler S = = ( ) = 1170e 2

18 2.2 somme des termes activité : somme des entiers 1. soit, ne site arithmétiqe de 1 er terme 1 et de raison 1 les 10 premiers termes sont alors : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 on cherche la valer de la somme des 10 premiers termes, soit : S = mais assi S = (a) en additionnant membre à membre les égalités précédentes, écrire 2S à l aide d n prodit (b) en dédire la valer de S (c) procéder de même por déterminer la somme des 100 premiers nombres entiers non nls 2. soit, ne site de 1 er terme 10 et de raison 5 (a) écrire la somme des 6 premiers termes (b) déterminer cette somme en tilisant la méthode précédente (c) déterminer de même la somme des 100 premiers termes de cette site. 3. comment faire por trover la somme des premiers termes d ne site arithmétiqe? à retenir propriété 2 : (formle de la somme) qelle qe soit la site notée o ( n ) de nombres réels : si est arithmétiqe de 1 er terme noté n premier + dernier alors S = n = (n+1) = (nombre de termes) 2 2 S est la somme des n+1 premiers termes si est arithmétiqe de 1 er terme noté n premier + dernier alors S = n = n = (nombre de termes) 2 2 S est la somme des n premiers termes remarqes : i. por la somme S des n k +1 termes conséctifs de la site arithmétiqe S = k + k n avec n > k, on a assi : S = premier +dernier 2 (nombre de termes) = k + n 2 (n k +1) exemples : i. soit ne site arithmétiqe de 1 er terme 1 = 10 et de raison 1,5 S = =? { 1 = = 10+1,5 19 = 38,5 donc S = = 10+38,5 2 ii. soit ne site arithmétiqe de 1 er terme 0 = 10 et de raison 1,5 S = =? { 0 = = 10+1,5 20 = 40 donc S = = = = 525 iii. soit ne site arithmétiqe de 1 er terme 0 = 10 et de raison 1,5 S = =? { 10 = 10+1,5 10 = = 10+1,5 20 = 40 donc S = ( ) = = 357,5

19 2.2.3 exercices exercice 8 : calcler astciesement la somme sivante en jstifiant votre méthode 1. S = S = exercice 9 : on laisse tomber ne pierre dans le vide : elle parcort 5 mètres la première seconde, 15 mètres la 2 e seconde, 25 mètres la 3 e,... soit ne agmentation de la distance parcore chaqe seconde de 10 mètres par rapport à la distance précédente ( en fait sr terre c est 9,81m/s ) Soit d n la distance parcore la n ième seconde 1. donner les valers de : d 1, d 2, d 3 et d 10 et dire ce qe représente d exprimez d n en fonction de n 3. calcler la distance totale S 10 = d 1 +d d 10 parcore pendant 10 secondes 4. calcler la distance S 20 totale parcore pendant les 20 premières secondes. 5. montrer qe la distance totale parcore por n secondes est S n = 5n 2 6. cette pierre met 4 secondes por atteindre le fond d n pits, qelle est la profonder de ce pits? exercice 10 : n sportif fait 2 tors de piste ajord hi pis 5 tors demain pis 8 tors après demain et ainsi de site... soit n le nombre de tors de piste effecté dans n jors ( le n ième incls). 1. donner les valers de : 0, 1, 2 et calcler le nombre de tors S 29 = parcors pendant les 30 premiers jors. exercice 11 : ne personne décide de d arrêter de fmer Ce mois ci elle a dépensé 430 eros en tabac, chaqe mois, elle dimine sa dépense en tabac de 7 eros. Soit v n la dépense en tabac le n ième jor avec v 1 = donner les valers de v 2 et v calcler la somme totale dépensée por les 5 prochaines années ( 60 mois)

20 2.2.4 corrigés exercices corrigé exercice 8 : calcler astciesement la somme sivante en jstifiant votre méthode 1. S = S = (2+182) 10 2 = S = S = ( ) 11 2 = corrigé exercice 9 : on laisse tomber ne pierre dans le vide : elle parcort 5 mètres la première seconde, 15 mètres la 2 e seconde, 25 mètres la 3 e,... soit ne agmentation de la distance parcore chaqe seconde de 10 mètres par rapport à la distance précédente ( en fait sr terre c est 9,81m/s ) Soit d n la distance parcore la n ième seconde 1. d 1 = 5 d 2 = 15 d 3 = 25 d 10 = 5+10 (10 1) = 95 est la distance parcore par la pierre la dixième seconde 2. exprimez d n = 5+10(n 1) = 10n 5 en fonction de n 3. calcler la distance totale S 10 = d 1 +d d 10 parcore pendant 10 secondes S 10 = (5+95) 10 = calcler la distance S 20 totale parcore pendant les 20 premières secondes. S 20 = (5+( )) 20 = montrer qe la distance totale parcore por n secondes est S n = 5n 2 S n = (5+(10n 5)) n = 10n2 = 2 2 5n 2 6. cette pierre met 4 secondes por atteindre le fond d n pits, qelle est la profonder de ce pits? = 80 mètres

21 corrigé exercice 10 : n sportif fait 2 tors de piste ajord hi pis 5 tors demain pis 8 tors après demain et ainsi de site... soit n le nombre de tors de piste effecté dans n jors ( le n ième incls) = 2 1 = 5 2 = 8 29 = = calcler le nombre de tors S 29 = parcors pendant les 30 premiers jors. S 29 = (2+89) 30 2 = 1365 corrigé exercice 11 : ne personne décide de d arrêter de fmer Ce mois ci elle a dépensé 430 eros en tabac, chaqe mois, elle dimine sa dépense en tabac de 7 eros. Soit v n la dépense en tabac le n ième jor avec v 1 = v 2 = = 423 v 3 = = calcler la somme totale dépensée por les 5 prochaines années ( 60 mois) S 60 = (430+( )) 60 =

22 3 sites géométriqes 3.1 site des termes activités activité 1 : (site logiqe) 1. déterminer a moins dex termes sivants de la site logiqe et compléter la phrase (a) 0,5; 1; 2; 4;...;... por passer d ne terme à l atre, on... (b) 128; 64; 32; 16;...;... por passer d ne terme à l atre, on mltiplie... (c) 2; 1, 8; ; 1, 62; 1, 458 por passer d ne terme à l atre, on on dit qe ces sites sont de natre... car, por passer d ne terme à l atre, on : la site sivante est-elle géométriqe? : 1; 2; 6; 12; 36;... activité 2 : (terme qelconqe) 1. soit ne site géométriqe de premier terme 5 et de raison 10 (a) calcler le 2 e le 3 e et le 4 e terme 2 e terme =... 3 e terme =... 5 e terme =... (b) calcler le 10 e terme : 10 e terme =... (c) combien de fois mltiplier par 10 por obtenir le 100 e terme? :... (d) combien de fois mltiplier par 10 por obtenir le n e terme où n > 1 est n entier natrel? :... (e) qe remarqe t-on? 2. soit ne site géométriqe de 1 er terme 1000 et de raison 0,2 calcler le 20 e terme : 20 e terme =... activité 3 : (noms des termes) 1. soit ne site géométriqe notée o «( n )» et de raison notée «q = 1,1» où le 1 er terme est noté 0 = 100 (a) comment est noté le 2 e? le 3 e? le 10 e terme? 2 e terme =... 3 e terme = e terme =... (b) qel est le rang de n? :... (c) exprimer chacn des termes précédents en fonction de 0 et q 2 e terme =... 3 e terme = e terme =... (d) qe remarqe t-on? : 2. soit ne site géométriqe notée o «( n )» et de raison notée «q = 1,1» où le 1 er terme est noté 1 = 10 (a) comment est noté le 2 e? le 3 e? le 10 e terme? (b) qel est le rang de n? (c) exprimer chacn des termes précédents en fonction de 1 et q (d) qe remarqe t-on?

23 3.1.2 à retenir définition 5 : (site géométriqe) qelle qe soit la site de nombres réels : est ne site géométriqe de raison q et de premier terme 0 n+1 qel qe soit n N : = q n N : n+1 = q n } {{ n } formle de récrrence remarqe : le qotient entre dex termes conséctifs qelconqes de la site est constant et reste égal à n nombre noté q et appelé raison de la site on dit assi qe por passer d n terme à n atre, on mltiplie tojors par le même nombre appelé raison de la site exemples : i. 4; 8; 16; 32; 64;... est ne site géométriqe de raison 2 et de 1 er terme 4 car on passe d n terme a sivant en mltipliant par 2 ii. 50; 25; 12,5; 6,25;... est ne site géométriqe de raison 0,5 et de 1 er terme 50 car on passe d n terme a sivant en mltipliant par 0,5 propriété 3 : (formle explicite en fonction de n) qelle qe soit la site notée o ( n ) de nombres réels : si est géométriqe de 1 er terme noté 0 et de raison notée q alors n = 1 er terme raison (écart entre 0 et n) n = 0 q n n est le (n+1) e terme où le terme après n variations si est géométriqe de 1 er terme noté 1 et de raison notée q alors n = 1 er terme raison (écart entre 1 et n) n = 1 q n 1 n est le n e terme où le terme après n 1 variations remarqes : i. l écart entre dex nombre a et b avec a b est b a ii. si est géométriqe de 1 er terme noté k et de raison notée q alors n = 1 er terme raison (écart entre k et n) avec (n k) soit n = k q n k exemples : i. soit ne site géométriqe de 1 er terme 1 = 10 et de raison 1,5 le n e terme en fonction de n est n = 1 q n 1 = 10 1,5 n 1 par exemple 100 = 10 1,5 99 ii. soit ne site géométriqe de 1 er terme 0 = 10 et de raison 1,5 le (n+1) e terme en fonction de n est n = 0 q n = 10 1,5 n par exemple 100 = 10 1,5 100

24 3.1.3 exercices exercice 12 : voici n graphiqe «corrigé» d évoltion des demandes et des places disponibles por ne certaine filière de BEP dans n département. ( la 1ère année est l année 2001) effectifs demandes offres n soient d n et p n dex sites approchant les nombres respectifs de demandes et de places l année 2000+n où n est n nombre entier 1. jstifier porqoi les sites (d n ) et (p n ) semblent constiter des sites géométriqes et donner por chacne le 1 er terme et la raison à 0,1 près 2. donner les valers de d 6 et p 6 pis d 7 et p 7 3. donner les "formles de récrrence" d n+1 en fonction de d n ainsi qe p n+1 en fonction de p n 4. calcler d 10 et p donner les "formles explicites" de d n et p n en fonction de n 6. déterminer par calcl l année à partir de laqelle la demande devrait atteindre déterminer par calcl l année à partir de laqelle l offre devrait atteindre résodre l inéqation : d n < p n et en dédire l année où la demande sera satisfaite (vérifier graphiqement) exercice 13 : en 2006, ne personne place n capital C 0 = 1000 eros à t = 3% d intérêts composés annels cette personne ne toche pls à son compte par la site ( «intérêts composés» signifie qe : chaqe année, les intérêts sont de t% d capital précédent ) soit C n le montant d compte l année 2006+n 1. calcler C 1,C 2,C 3 et C exprimer C n+1 en fonction de C n et préciser la natre le 1er terme et la raison de la site (C n ) 3. exprimer C n en fonction de n 4. déterminer l année à partir de laqelle le capital ara doblé 5. calcler le capital à placer por avoir 2000 eros après 10 ans avec t = 3% 6. calcler le tax t por avoir 2000 eros en 10 ans avec n capital initial de 1000 eros.

25 exercice 14 : n batea remorqer est en train de ramener n iceberg de 1000 tonnes d pôle sd et cet iceberg fond en perdant 2% de sa masse par here en moyenne on note n la masse de l iceberg dans n heres ( n est n nombre entier ) 1. préciser la natre de la site nmériqe ( n ), son premier terme 0 et sa raison 2. déterminer la masse de l iceberg après 10h pis 3 jors pis ne semaine. (... =...) 3. exprimer la masse de l iceberg dans n heres en fonction de n ( n =...) 4. dans combien de temps la masse de l iceberg passera t-elle sos les 600 tonnes? ( conclsion en jors et heres à 1 here prés ) exercice 15 : à n péage atorotier, n caissier a déjà enregistré le passage de 300 véhicles et a remarqé qe le nombre total de véhicles enregistrés agmentait de 5% par here en moyenne on note v n le nombre moyen de véhicles enregistrés par le caissier dans n heres 1. préciser la natre de la site nmériqe (v n ), son premier terme v 0 et sa raison 2. déterminer le nombre de véhicles enregistrés par le caissier dans 5 heres. (v... =...) 3. exprimer le nombre de véhicles enregistrés dans n heres en fonction de n (v n =...) 4. dans combien de temps le nombre de véhicles enregistrés dépassera t-il 2000? ( conclsion en heres et mintes à 1 minte près ) exercice 16 : la poplation d ne ville a cette année n effectif de habitants, et il est prév n accroissement annel relatif de la poplation de 4% par an 1. déterminer l effectif de la poplation de la ville dans 1 an, dans 10 ans. 2. exprimer l effectif de la poplation dans n années, noté P n 3. déterminer le nombre d années por qe la poplation dépasse habitants. 4. qe devrait être l accroissement annel de la poplation por qe l effectif de soit atteint dans 16 années. 5. ne atre ville (Ville B ) avec n accroissement relatif annel de 10% atteindra les habitants dans 10 années, qel est alors l effectif de la ville B ajord hi? exercice 17 : Monsier X vient d obtenir n prêt en s engageant à en remborser 70 eros ce mois pis 5% de pls le mois prochain et ainsi de site. on note n la somme mensalité remborsée dans n mois ( n entier ) 1. Préciser la natre de la site ( n ) ainsi qe son premier terme 0 et sa raison 2. déterminer la mensalité remborsée dans 2 ans. (... =...) 3. exprimer la mensalité remborsée dans n mois en fonction de n( n =...) 4. déterminer le nombre de mois à attendre por qe la mensalité dépasse les 120 eros 5. déterminer la somme totale remborsée en n an.

26 3.1.4 corrigés exercices corrigé exercice 12 : voici n graphiqe «corrigé» d évoltion des demandes et des places disponibles por ne certaine filière de BEP dans n département. ( la 1ère année est l année 2001) effectifs demandes offres n soient d n et p n dex sites approchant les nombres respectifs de demandes et de places l année 2000+n où n est n nombre entier 1. La site des offres est de natre géométriqe car, por passer d n terme à l atre on mltiplie tojors par le même nombre q = ,09 son premier terme est p 1 = 116 et sa raison est q = 1,09 La site des demandes est de natre géométriqe car, por passer d n terme à l atre on mltiplie tojors par le même nombre q = ,9 son premier terme est d 1 = 621 et sa raison est q = 0,9 2. d 6 = d 1 0,9 6 1 = 621 0, o bien d 6 = 407 0,9 366 (écart résltant de l approximation faite por q = 0,9 p 6 = p 1 0,9 6 1 = 116 1, o bien d 6 = 169 1, (écart résltant de l approximation faite por q = 1,09 d 7 = 621 0, p 7 = 116 1, d n+1 = d n q = d n 0,9 en fonction de d n p n+1 = p n q = p n 1,09 en fonction de p n 4. d 10 = d 1 0, = 621 0, p 10 = p 1 1, = 116 1, d n = 621 0,9 n 1 en fonction de n p n = 116 1,09 n 1 en fonction de n

27 6. déterminer par calcl l année à partir de laqelle la demande devrait atteindre ,9 n 1 = 10 0,9 n 1 = éqation qe l on ne sait pas résodre algébriqement sans tiliser la fonction logarithme népérien comme sit : 0,9 n 1 = ln(0,9 n 1 ) = ln( ) (n 1) ln(0,9) = ln( ) n = ln( ) +1 40,2 ln(0,9) n 40,2 soit drant l année = 2040 on pet retrover ce résltat en tilisant n tablea de valers n d n = 621 0,9 n 1 10,2 9,2 comparaison à 10 > 10 < déterminer par calcl l année à partir de laqelle l offre devrait atteindre 300 n on tilise n tablea de valers p n = 116 1,09 n comparaison à 300 < 300 > 300 soit drant l année résodre l inéqation : d n < p n et en dédire l année où la demande sera satisfaite n 9 10 p on tilise n tablea de valers n = 116 1,09 n d n = 621 0,9 n p n comparé à d n p n < d n p n > d n soit = 2010 (ce qi est cohérent avec le graphiqe)

28 corrigé exercice 13 : en 2006, ne personne place n capital C 0 = 1000 eros à t = 3% d intérêts composés annels cette personne ne toche pls à son compte par la site ( «intérêts composés» signifie qe : chaqe année, les intérêts sont de t% d capital précédent ) soit C n le montant d compte l année 2006+n 1. C 1 = ,03 = 1030 C 2 = ,03 2 = 1060, 9 C 3 = , , 73 C 10 = , , C n+1 = C n 1,03 en fonction de C n la natre de la site est géométriqe le 1er terme est 1000 la raison de la site est q = 1,03 3. C n = ,03 n en fonction de n 4. déterminer l année à partir de laqelle le capital ara doblé C n = ,03 n = 2000 n on tilise n tablea de valers C n = ,03 n comparaison à 2000 < 2000 > 2000 soit drant l année = calcler le capital à placer por avoir 2000 eros après 10 ans avec t = 3% x 1,03 10 = 2000 x = , , calcler le tax t por avoir 2000 eros en 10 ans avec n capital initial de 1000 eros 1000 (1+t) 10 = 2000 (1+t) 10 = (1+t) 10 = 2 1+t = 2 1/10 t = 2 1/10 1 soit 7,18%

29 corrigé exercice 14 : n batea remorqer est en train de ramener n iceberg de 1000 tonnes d pôle sd et cet iceberg fond en perdant 2% de sa masse par here en moyenne on note n la masse de l iceberg dans n heres ( n est n nombre entier ) la site est de natre géométriqe son premier terme est 1. 0 = 1000 la raison est q = = 0,98 masse de l iceberg après 10h : 10 = ,98 10 = , 5 tonnes 2. masse dans 3 jors = 3 24 = 72h : 72 = , , 49 tonnes masse dans ne semaine = 7 24 = 168h : 168 = , , 57 tonnes 3. masse de l iceberg dans n heres en fonction de n n = ,98 n 4. dans combien de temps la masse de l iceberg passera t-elle sos les 600 tonnes? on tilise n tablea de valers soit entre 25h et26h n n = ,98 n comparaison à 600 > 600 < 600

30 corrigé exercice 15 : à n péage atorotier, n caissier a déjà enregistré le passage de 300 véhicles et a remarqé qe le nombre total de véhicles enregistrés agmentait de 5% par here en moyenne on note v n le nombre moyen de véhicles enregistrés par le caissier dans n heres 1. la site est de natre géométriqe son premier terme est v 0 = 300 la raison est q = = 1,05 2. nombre de véhicles enregistrés par le caissier dans 3 heres : v 5 = 300 1, véhicles 3. nombre de véhicles enregistrés dans n heres en fonction de n : v n = 300 1,05 n 4. dans combien de temps le nombre de véhicles enregistrés dépassera t-il 2000? on tilise n tablea de valers soit entre 38h et39h n v n = 300 1,05 n comparaison à 2000 < 2000 > 2000

31 corrigé exercice 16 : la poplation d ne ville a cette année n effectif de habitants, et il est prév n accroissement annel relatif de la poplation de 4% par an { effectif de la poplation de la ville dans 1 an = ,04 = habitants dans 10 ans : , effectif de la poplation dans n années, noté P n = ,04 n 3. déterminer le nombre d années por qe la poplation dépasse habitants. on tilise n tablea de valers soit entre 28 et 29 ans n P n = ,04 n comparaison à < > il sffit de résodre l éqation sivante : (1+t) 16 = (1+t) 16 = = 3 t = 3 1/16 1 7,1% 5. il sffit de résodre l éqation sivante : x 1,1 10 = x = , ,29 soit habitants

32 corrigé exercice 17 : on note n la somme remborsée dans n mois ( n entier ) 1. la site est de natre géométriqe son premier terme est 0 = 70 la raison est q = = 1,05 2. mensalité remborsée dans 2 ans = 2 12 = 24 mois 24 = 70 1, ,76e 3. mensalité remborsée dans n mois en fonction de n n = 70 1,05 n 4. déterminer le nombre de mois à attendre por qe la mensalité dépasse les 120 eros on tilise n tablea de valers soit entre 11 et 12 mois n P n = 70 1,05 n 119,7 125,7 comparaison à 120 < 120 > somme totale remborsée en n an il fat calcler S = = , , ,2e

33 3.2 somme des termes activité : somme des premiers termes 1. soit, ne site géométriqe de 1 er terme 0 et de raison q on cherche la valer de la somme des n premiers termes : S = q+ 0 q q q n 1 observez la sccession de dédctions sivantes : S = q + 0 q q q n 1 qs = 0 q + 0 q q q q n (1ère ligne q ) S qs = 0 0 q n (2 e ligne moins 1ère ligne ) S(1 q) = 0 (1 q n ) ( on factorise) 1 q n S = 0 ( on isole S) 1 q S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme 1 raison 2. tiliser le résltat obten ci desss por calcler les sommes sivantes (a) S = S =... (b) S = S =...

34 3.2.2 corrigé activité : somme des premiers termes 1. soit, ne site géométriqe de 1 er terme 0 et de raison q on cherche la valer de la somme des n premiers termes : S = q+ 0 q q q n 1 observez la sccession de dédctions sivantes : S = q + 0 q q q n 1 qs = 0 q + 0 q q q q n (1ère ligne q ) S qs = 0 0 q n (2 e ligne moins 1ère ligne ) S(1 q) = 0 (1 q n ) ( on factorise) 1 q n S = 0 ( on isole S) 1 q S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme 1 raison 2. tiliser le résltat obten ci desss por calcler les sommes sivantes (a) S = S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme 1 raison = = 1023 (b) S = S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme 1 raison = ,59 1 0,5 = 2044

35 3.2.3 à retenir propriété 4 : (formle de la somme) qelle qe soit la site notée o ( n ) de nombres réels : si est géométriqe de 1 er terme noté 0 alors S = n = 0 1 qn+1 = premier 1 q S est la somme des n+1 premiers termes 1 q(nombre de termes) 1 q si est géométriqe de 1 er terme noté 1 alors S = n = 1 1 qn 1 q(nombre de termes) = premier 1 q 1 q S est la somme des n premiers termes exemples : i. soit ne site géométriqe de 1 er terme 1 = 10 et de raison 1,5 S = =? S = premier 1 q(nombre de termes) 1 q = 1 1 q20 1 q = , , ii. soit ne site géométriqe de 1 er terme 0 = 10 et de raison 1,5 S = =? S = premier 1 q(nombre de termes) 1 q = 1 1 q21 1 q = , ,

36 3.2.4 exercices exercice 18 : calcler astciesement la somme sivante en jstifiant votre méthode 1. S = S = ,5 exercice 19 : 1. ne personne remborse n prêt selon les modalités sivantes : 50 eros la première mensalité les mensalités agmentent de 4% chaqe mois soit n le montant de la n ième mensalité (a) calcler la somme des mensalités por les 12 premiers mois (b) calcler la somme des mensalités por les 3 premières années 2. ne personne remborse n prêt selon les modalités sivantes : 500 eros la première mensalité les mensalités baissent de 4% chaqe mois soit n le montant de la n ième mensalité (a) calcler la somme des mensalités por les 12 premiers mois (b) calcler la somme des mensalités por les 3 premières années exercice 20 : Un sportif s entraîne 10 mn à la première séance pis 10% de pls à chaqe séance. soit n la drée d entraînement dans n séances 1. donner les valers de 0, 1, 2 et calcler la drée totale S 29 = por les 30 premières séances exercice 21 : ne personne décide de d arrêter de fmer Ce mois ci elle a dépensé 430 eros en tabac, chaqe mois, elle dimine sa dépense en tabac de 5% Soit v n la dépense en tabac le n ième mois avec v 1 = donner les valers de v 2 et v calcler la somme totale dépensée por les 5 prochaines années ( 60 mois)

37 3.2.5 corrigés exercices corrigé exercice 18 : calcler astciesement la somme sivante en jstifiant votre méthode 1. S = S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme 1 raison = = S = ,5 S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme 1 raison = ,58 1 0,5 = 3187, 5 corrigé exercice 19 : 1. ne personne remborse n prêt selon les modalités sivantes : 50 eros la première mensalité les mensalités agmentent de 4% chaqe mois soit n le montant de la n ième mensalité (a) calcler la somme des mensalités por les 12 premiers mois S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme = , raison 1 1,04 751, 29 (b) calcler la somme des mensalités por les 3 premières années S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme = , raison 1 1, , 9 2. ne personne remborse n prêt selon les modalités sivantes : 500 eros la première mensalité les mensalités baissent de 4% chaqe mois soit n le montant de la n ième mensalité (a) calcler la somme des mensalités por les 12 premiers mois S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme = , raison 1 0, , 1 (b) calcler la somme des mensalités por les 3 premières années S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme = , raison 1 0, , 8

38 corrigé exercice 20 : Un sportif s entraîne 10 mn à la première séance pis 10% de pls à chaqe séance. soit n la drée d entraînement dans n séances 1. donner les valers de 0, 1, 2 et 29 0 = 10 1 = 10 1,1 = 11 2 = 10 1,1 2 = 12,1 29 = 10 1, , calcler la drée totale S 29 = por les 30 premières séances S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme = ,130 1 raison 1 1,1 1644, 9 corrigé exercice 21 : ne personne décide de d arrêter de fmer Ce mois ci elle a dépensé 430 eros en tabac, chaqe mois, elle dimine sa dépense en tabac de 5% Soit v n la dépense en tabac le n ième jor avec v 1 = donner les valers de v 2 et v 3 v 1 = 430 v 2 = 430 0,95 1 = 408,5 v 3 = 430 0, , calcler la somme totale dépensée por les 5 prochaines années ( 60 mois) S = 1 er 1 raisonnombre de termes terme = , raison 1 0, , 8

39 4 étdes des variations de sites nmériqes 4.1 activités activité 1 : sens de variation 1. besoin d ne définition (a) soit la site ( n ) définie por tot n N par n = ( 1) n n i. est-elle croissante o décroissante? (on ara besoin de définir le sens de variation d ne site) ii. qe deviennent ses termes qand n tend vers +? (b) soit la site ( n ) définie por tot n N par n = ( 1) n n 1 = ( 1) n 1 n i. est-elle croissante o décroissante? (on ara besoin de définir le sens de variation d ne site) ii. qe deviennent ses termes qand n tend vers +? (c) étdier le signe de n+1 n por étdier les variations de la site définie por n 0 par n = 2n 8 (d) de même por la site définie por n 1 par n = n 2 2n+1 (e) de même por la site définie par n+1 = n +n avec 1 = 10 (f) de même por la site définie par n+1 = n +9 n avec 0 = 0 2. qand c est "pls facile" avec le qotient de termes positifs stricts pltôt q avec la différence (a) jstifier qe : qels qe soient les réels positifs stricts a et b, a < b 1 < b a (b) en dédire ne propriété por "fixer les variations" d ne site de termes positif stricts (c) tiliser cette propriété por déterminer le sens de variation des sites (vérifier qe ces sites sont à termes positifs stricts a préalable) i. n = 10 2n 3 n+1 por n 0 ii. n = 5n n por n 0 iii. n+1 = n 12n+1 10n+10 avec 0 = cas général por ne site explicite définie par ne fonction : n = f(n) (a) soit la site ( n ) définie por tot n N par n = f(n) où f est ne fonction définie sr R + strictement croissante. Cette site est-elle croissante o décroissante? ( à démontrer) (b) qel est le sens de variation de la site définie por n 0 par n = 3n+1? (c) de même por la site définie por n 1 par n = 6n 3 3n 2 4. n exemple où "ça marche" por ne site récrrente définie par ne fonction : n+1 = f( n ) soit la site définie par n+1 = 1 2 n +4 avec 0 = 2 (a) montrer qe : n N, n < 8 = n+1 < 8 (b) sachant qe : 0 < 8, q en dédire por tos les termes de la site? (c) exprimer n+1 n en fonction de n (d) montrer qe n N, n+1 n > 0 (e) en dédire le sens de variation de la site (f) qelle semble être sa "valer limite"