SYSTEME DU DEUXIEME ORDRE RESOLUTION D EQUATIONS DIFFERENTIELLES

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1 SYSTEME DU DEUXIEME ORDRE RESOLUTION D EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU DEUXIEME ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS APPLICATION EN SCIENCES PHYSIQUES VERSION..8 I- Equaions diffénills du scond od à cofficins consans On s inéss aux équaions diffénills du è od du yp : On suppos l sysè iniialn au pos : ( ) d( ) d () s un foncion d un vaiabl d () d() () d d En paiqu, pésn un andu physiqu (nsion élciqu, viss, péau ). désin l ps (n scond). d() d d () ou '() ou ou ''() ou & s la déivé d la foncion pa appo à la vaiabl & s la déivé duxiè d la foncion pa appo à la vaiabl d s l cofficin d aoissn du sysè (sans unié) ; > pou un sysè sabl s la pulsaion pop du sysè (n adians pa scond) f s la féqunc pop du sysè (n hz) π s un consan : ll cospond à la valu final ( ) C yp d équaion s ès couan n scincs physiqus : il caacéis ls «sysès du è od». Fabic Sincè hp://paspso-oan.f/fabic.sinc/ pa /

2 Fabic Sincè hp://paspso-oan.f/fabic.sinc/ pa / I-- Résoluion Equaion caacéisiqu : ² Disciinan : ) 4( 4 I--- Pi cas : > > ou bin < - Racins d l équaion caacéisiqu : ( ) ( ) Soluion énéal d l équaion diffénill : B A () > < < sysè sabl (éi apéiodiqu) < - > > sysè insabl A B son dux consans qui dépndn ds condiions iniials : B A B A B A d ) d( ) ( En définiiv : () () ) ( ) ( () ) ( ) ( (valabl pou > ou bin < -)

3 Répons indicill d'un sysè du è od Réi apéiodiqu ( > ),,8,,6,4,,,,3,4 ps (s) ( π ad/s) N.B. On pal d «épons indicill» ou «épons uniai» quand la valu final s. Répons indicill d'un sysè du è od Réi insabl ( < -) , ,,,3,4 ps (s) ( π ad/s) Fabic Sincè hp://paspso-oan.f/fabic.sinc/ pa 3/

4 I--- Duxiè cas : < - < < L équaion caacéisiqu a dux acins coplxs conjuués :, α ± βj α avc : β Soluion énéal d l équaion diffénill : () [ A cos( β ) Bsin( β ) ] < < α < sysè sabl (éi psudo-péiodiqu d pulsaion : ) α sysè oscillan (pulsaion ) - < < α > sysè insabl A B son dux consans qui dépndn ds condiions iniials : ( ) A A d( ) α αa βb B d β En définiiv : () α [ A cos( β ) Bsin( β ) ] α α cos( β ) sin( β ) β α ( ) sin( ) () cos (valabl pou - < < ) Fabic Sincè hp://paspso-oan.f/fabic.sinc/ pa 4/

5 Répons indicill d'un sysè du è od Réi psudo péiodiqu ( < < ),8,6,,4,4,,8,6,4,,,,3,4 ps (s) ( π ad/s) : sysè oscillan d pulsaion () ( cos( ) ) Répons indicill d'un sysè du è od Réi oscillan ( ),5,5,5,,,3,4 -,5 ps (s) ( π ad/s) Fabic Sincè hp://paspso-oan.f/fabic.sinc/ pa 5/

6 5 Répons indicill d'un sysè du è od Réi insabl ( - < < ) 4 -,5 3,,,3, ps (s) ( π ad/s) I--3- Toisiè cas : ou - L équaion caacéisiqu a un acin doubl éll : La soluion énéal s : () (A B) < sysè sabl (éi «ciiqu») - > sysè insabl A B son dux consans qui dépndn ds condiions iniials : ( ) B B d( ) A B A d Fabic Sincè hp://paspso-oan.f/fabic.sinc/ pa 6/

7 En définiiv : () (A B) () ( ( ) ) ( ( ) ) (valabl pou ou -) (éi ciiqu) : () ( ) ( ), Répons indicill d'un sysè du è od Réi ciiqu ( ),8,6,4,,,,3,4 ps (s) ( π ad/s) Fabic Sincè hp://paspso-oan.f/fabic.sinc/ pa 7/

8 L éi ciiqu fai la ansiion n l éi psudo-péiodiqu l éi apéiodiqu : Répons indicill d'un sysè du è od,8,6,4,,5,,8,6,4,,,,3,4 ps (s) ( π ad/s) I-- En ésué Cofficin d aoissn Réi < < Psudo-péiodiqu (pulsaion : ) Ciiqu > Apéiodiqu Réi oscillan (pulsaion ) < Insabl Fabic Sincè hp://paspso-oan.f/fabic.sinc/ pa 8/

9 II - Expl d applicaion : cicui élciqu RLC u() s la nsion élciqu aux bons d un condnsau C nf aliné à avs un ésisanc R Ω un bobin d inducanc L H pa un souc d nsion consan E V : R L E C u() Ls lois d l Elcicié donnn : d u() du() LC RC u() E d d On suppos l condnsau iniialn déchaé l couan nul : u( ) du( ) d Chchons la loi d évoluion d la nsion élciqu u() : L équaion s du yp : d () d() () d d Ls cofficins d l équaion diffénill donnn dicn : La pulsaion pop du cicui : ad / s LC L cofficin d aoissn : R C, 5 L La valu final d la nsion : u( ) E vols < < donc nous sos n éi psudo-péiodiqu. La psudo-péiod s : T π π 68µs Fabic Sincè hp://paspso-oan.f/fabic.sinc/ pa 9/

10 Gaphiqun : u() 8,5 6 4 nsion (V) 8 6 4,5,,5,,5,3,35,4,45,5,55,6 ps (s) (C) Fabic Sincè Fabic Sincè hp://paspso-oan.f/fabic.sinc/ pa /