Université Denis Diderot Paris 7 septembre 2012-janvier Examen : correction

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1 Université Denis Diderot Paris 7 septembre 1-janvier 13 M1 ISIFAR : Probabilités Examen : orretion durée : 3 heures Les douments et alulatries ne sont pas autorisés. On prendra soin de bien justifier les réponses. Le barême est provisoire, et n est donné qu à titre d indiation de l importane relative des questions. Exerie 1 Les questions de et exerie sont indépendantes. De façon générique on se plae sur un espae filtré Ω, F, F n, P pt Enoner le théorème de onvergene p.s. des martingales. Soit M une F n -martingale telle que sup n E[ M n ] <. Alors il existe une variable intégrable M telle que lorsque n, M n M presque sûrement pt On suppose que X n n est une F n -sous-martingale bornée. Pour tout n N, on pose Y n = expx n. Montrer que Y n n est également une F n -sous-martingale. Le théorème de onvergene s applique-t-il à Y n? La fontion x expx est ontinue don mesurable, ainsi pour tout n, Y n est F n -mesurable puisque X n l est. La suite X est bornée, i.e. pour un ertain K on a sup n X n K. On a don sup n Y n expk. En partiulier pour tout n la variable Y n est intégrable ar Y n expk. Par Jensen onditionnel, on a pour tout n, E[expX n+1 F n ] exp[e[x n+1 F n ]] expx n, où, pour la deuxième inégalité i-dessus, on a utilisé la propriété de sous-martingale de X et la roissane de la fontion exponentielle. Finalement, Y est une F n -sous-martingale. Elle est bornée, don bornée dans L 1, ainsi le théorème de onvergene s applique et il existe Y L 1 telle que Y n Y presque sûrement lorsque n. 3. pts Soit S n n la marhe aléatoire simple issue de, ave ii F n = σs i, i n. On définit τ = inf { n : S n { 4, 8} }. Montrer que τ est un F n -temps d arrêt fini p.s., puis aluler PS τ = 8. 1

2 On a, pour tout n N, {τ n} = n {S i = 4} {S i = 8} F n, i=1 et don τ est bien un F n -temps d arrêt. Si la marhe n a pas enore atteint l une des barrières et effetue 11 pas onséutifs vers le haut elle atteint forément le niveau 8, et don pour tout n N, Pτ n + 11 τ > n ainsi d après le lemme du ours, τ <, p.s. La marhe simple est bien entendu une F n -martingale, et don la marhe arrêtée S τ := S τ reste une F n -martingale. Mais de plus S τ est bornée puisque pour tout n, S n τ 8. On peut don appliquer un théorème d arrêt la version du ours à S τ au temps τ, pour obtenir = ES τ = 8PS τ = 8 41 PS τ = 8, e qui onduit à PS τ = 8 = 1/ pts A nouveau on onsidère S n n la marhe aléatoire simple issue de, F n = σs i, i n, et ette fois T = inf{n : S n = 1}. On admet que T < p.s. Pour λ R, on pose Montrer que M λ est une martingale, Lorsque λ, en déduire que M λ n := expλs n n lnoshλ, n. E[exp lnoshλt ] = exp λ. Expliquer pourquoi l égalité i-dessus permet finalement d exprimer E[exp ut ], pour tout u il n est pas néessaire d effetuer le alul expliite de ette quantité en fontion de u. Comme dans la question préédente T est un temps d arrêt fini presque sûrement. Fixons λ R. Pour tout n, la fontion x expλx n lnoshλ est bien entendu ontinue et don M λ n reste F n -mesurable. Comme, pour tout n, S n n, il est également évident que M λ n est intégrable. Enfin, 1 E[expλS n+1 n + 1 lnoshλ F n ] = xs oshλ M n λ E[expλS n+1 S n F n ],

3 en utilisant simplement que M λ n est F n -mesurable. Mais omme S n+1 S n est indépendant de F n, on a finalement E[M λ n+1 F n ] = 1 oshλ M λ n E[expλS n+1 S n ] = M λ n, en utilisant que E[expλS n+1 S n ] = 1 eλ + e λ = oshλ. On onlut que M λ est une F n -martingale. Notons alors W n = Mn T λ, n, qui est la martingale M λ arrêtée au temps d arrêt T, et qui est don également une F n -martingale. Lorsque λ, omme on a S n T 1 et oshλ, on voit que sup W n expλ. n Pour λ, la martingale W est don bornée, on peut don appliquer le théorème d arrêt au temps T < p.s. pour obtenir E[W T ] = W = 1. Comme S T = 1, E[W T ] = E[expλ T lnoshλ] = 1, et don E[exp lnoshλt ] = exp λ. La fontion x lnoshx est paire, et elle réalise une bijetion déroissante de R vers R +, et une bijetion roissante sur R + vers R +. Pour u > fixé, l équation lnoshλ = u possède don exatement deux solutions, disons λ u > et λ u. Comme E[exp lnoshλt ] 1, il nous faut néessairement hoisir la solution positive, et on trouve E[exp ut ] = exp λ u. Exerie On onsidère le veteur gaussien X X X 3 X 4 N, X On introduit d autre part les veteurs X 1 Y = X X4, Z = X X 5 3 X 4 /4, V = X 4 /. 3X 4 /4 3

4 1. pts Montrer que le veteur V introduit i-dessus est σz-mesurable, et qu on a la déomposition Y = V + W, ave W indépendant de Z. En déduire E[Y Z]. On a 1/4 V = 1/ Z, 3/4 et don bien entendu V est σz-mesurable. On a don la déomposition souhaitée pourvu qu on pose W = Y V. De plus ovw, Z = ovy, Z ovv, Z 1 1 ovx 4 /4, X 4 ovx 4 /4, X 5 = ovx 4 /, X 4 ovx 4 /, X 5 =. 3 3 ov3x 4 /4, X 4 ov3x 4 /4, X 5 W Comme le veteur X est gaussien, il en est de même du veteur qui en est Z une transformation linéaire. On onlut don que W et Z sont indépendants. On a don finalement, d après les propriétés de l espérane onditionnelle, que ar W est entré. E[Y Z] = E[V Z] + E[W Z] = V + E[W ] = V,. pts Exprimer la loi onditionnelle de Y sahant Z. D après la déomposition de la question préédente il nous suffit de déterminer la loi de W pour onlure. Il suffit pour ela de aluler la matrie de ovarianes de e veteur. Par exemple ovx 1 X 4 /4, X X 4 /4 = 1 1/4 1/ + 1/4 = 1/. Des aluls en tous points similaires onduisent à la onlusion 3/4 1/ 1/4 W N, 1/ 1 1/. 1/4 1/ 3/4 On obtient don finalement que la loi onditionnelle de Y sahant Z est 3/4 1/ 1/4 N V, 1/ 1 1/. 1/4 1/ 3/4 4

5 Exerie 3 On onsidère le ouple de variables réelles T, Z de densité f T,Z t, z = 1 4z π t exp z 3 t z 1 {t>} pt Montrer que pour tout R, a > on a t exp a dt = 3 t a, t exp a dt = π t a. On rappelle que Γ1/ = u 1/ exp udu = π. On a t exp a [ dt = 3 t a exp a ] t = a. D autre part, en effetuant le hangement de variables a = u, on trouve t t exp a a dt = t a u exp u du u3/ = a a u 1/ exp udu = a Γ1/ = π a.. 1 pt En déduire la loi de Z, puis une expression de f T Z t z, t, z R. On alule la marginale de Z en intégrant par rapport à t la densité jointe. On obtient don d après la question préédente f Z z = 1 4z π t exp z 3 t z dt = exp z / z π 1 z = 1 π exp z /, et don Z N, 1. Notons au passage que notre raisonnement permet en partiulier de vérifier que la densité jointe proposée est bien une densité de probabilité. On a alors, pour tout t, z R, f T Z t z = 4z t 3 exp z t 1 {t>}. 5

6 3. 1 pt Conlure finalement que E[T Z] = π Z. On a E[T Z] = φz ave φz = tf R T Zt zdt. D après les deux premières questions on a Problème φz = 4z t exp z e qui onduit à la onlusion souhaitée. t dt = 4z π z = π z, On onsidère une suite U n n=1,,... de variables aléatoires i.i.d de loi Unif[, 1] sur un espae de probabilité Ω, F, P. On note F = {, Ω} et F n := σu 1,..., U n pour n 1. On fixe p, 1, θ, 1 et on onstruit par réurrene la suite X := X n n : X = p, et pour n, X n+1 := θx n + 1 θ1 { Un+1 X n} pt Montrer que < X n < 1 pour tout n. On prouve l assertion par réurrene. Puisque p, 1 l assertion initiale pour n = est vrai. Si elle est vraie pour un ertain n, alors < X n < 1, et par définition, X n+1 {θx n, θx n + 1 θ}. Mais puisque θ, 1, et X n, 1, < θx n < X n = θx n + 1 θx n < θx n + 1 θ < θ + 1 θ = 1, et don forément X n+1, 1, e qui ahève la preuve...5 pts Montrer que X est une F n -martingale. Par réurrene on montre tout d abord que pour tout n, X n est F n -mesurable. Pour n = est évident puisque X est déterministe. Si est vrai au rang n, alors X n est F n -mesurable et omme U n+1 est F n+1 -mesurable, X n+1 = θx n + 1 θ1 { Un+1 X n} est également F n+1 -mesurable, e qui ahève la preuve par réurrene. D après la question 1, < X n < 1 pour tout n, et don en partiulier X n est intégrable pour tout n. Enfin, reste à montrer la propriété de martingale. Pour ela, observons tout d abord que E[1 { Un+1 X n} F n ] = E[fX n, U n+1 ] F n ave fx, y = 1 { y x} une fontion mesurable, X n une variable F n -mesurable et U n+1 une variable indépendante de F n. On est don dans le adre de l EF4 du ours sur l espérane onditionnelle, et don EfX n, U n+1 F n = gx n, 6

7 où gx = E[fx, U n+1 ] = E[1 { Un+1 x}] = PU n+1 x = x. Finalement, en utilisant e qui préède, à nouveau le fait que X n est F n -mesurable, et la linéarité de l espérane onditionnelle, on obtient E[X n+1 F n ] = E[θX n + 1 θ1 { Un+1 X n} F n ] = θx n + 1 θx n = X n, de sorte que X est bien une F n -martingale pt Montrer que X onverge presque sûrement vers une variable aléatoire intégrable qu on notera X. X est bornée par la onstante 1 d après la première question, et don elle est bornée dans L 1, le théorème de onvergene s applique, et il mène exatement à la onlusion souhaitée pt Montrer que ette onvergene a également lieu dans L, et dans L 1. X est bornée par la onstante 1 don elle est bornée dans L : sup E[Xn] 1, n et le théorème de onvergene des martingales bornées dans L s applique don, e qui mène à la onlusion souhaitée pt Expliquer pourquoi ei entraîne en partiulier que lorsque n, E[X n ] E[X ], E[X n] E[X ], E[X n+1 X n ] Notons tout d abord que tout simplement on pourrait voir es trois limites omme des onséquenes immédiates de 3. et du théorème de onvergene dominée, puisque sup n X n 1, sup Xn 1 n sup X n+1 X n n De façon alternative, on propose ii une preuve plus générale qui ne fait appel qu à la définition des onvergenes L 1, L. Par définition lorsque n, E[ X n X ], E[X n X ]. 1 En utilisant la première limite i-dessus on obtient D autre part E[X n ] = E[X n X ] + E[X ] E[X ] E[X n] = E[X ] + E[X X n X ] + E[X n X ]. 7

8 Le dernier terme de la somme i-dessus tend vers d après 1. Quant au deuxième, on utilise Cauhy-Shwarz pour obtenir que E[X X n X ] E[X ]E[X n X ], qui tend don vers, à nouveau en utilisant 1, e qui entraîne don E[X n] E[X ]. Pour la dernière limite on fait un raisonnement similaire à elui de la question préédente, en déomposant X n+1 X n = X n+1 X + X X n et en majorant l espérane du double produit grâe à Cauhy-Shwarz pt Montrer que pour tout n Notons que et don E [ X n+1 X n ] = 1 θ E [X n 1 X n ]. X n+1 X n = 1 θ 1 { Un+1 X n} X n, E [ X n+1 X n ] = 1 θ E [ 1 { Un+1 X n} X n ] = 1 θ E [ [ ] 1 { Un+1 X n}] E Xn 1 { Un+1 X n} + E[X n ] Or, en utilisant le raisonnement de la question, E [ ] 1 { Un+1 X n} = [ [ ]] E E 1{ Un+1 X n} F n = E[X n ], et de même E [ ] [ [ ]] X n 1 { Un+1 X n} = E E Xn 1 { Un+1 X n} F n = E [ X n E [ ]] 1 { Un+1 X n} F n = E[X n], On obtient finalement E [ X n+1 X n ] = 1 θ E [X n ] E [ ] Xn + E[X n ] = 1 θ E[X n Xn] = 1 θ E[X n 1 X n ] pt Déduire des questions préédentes que E [X 1 X ] =, puis montrer que p.s., X {, 1}. En déduire la loi de X. 8

9 D après la question 5, on a d une part et d autre part E [ X n+1 X n ], E[X n 1 X n ] = E[X n ] E[X n] n E[X ] E[X ] = E[X 1 X ]. En passant à la limite dans les membres de gauhe et de droite de l égalité obtenue à la question 6, on déduit don que E[X 1 X ] =. Mais puisque < X n < 1 pour tout n, la limite presque sûre X vérifie don X 1 p.s., et don X 1 X p.s. L espérane de ette variable p.s. positive est nulle, est don que la variable onsidérée est p.s. égale à. On obtient don X 1 X = p.s, i.e. X {, 1} p.s. On a don trouvé que X suit une loi de Bernoulli. Pour déterminer ette loi il ne reste plus qu à trouver le paramètre. Mais d après la question 5, et une propriété de martingale, p = E[X ] = E[X n ] E[X ], ainsi E[X ] = p, et on onlut don que X Berp. 9