Exemples de limites d une fonction en un réel. Interprétation graphique

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1 Eemples de limites d une fontion en un réel Interprétation graphique Définition Soit a et des nombres réels On dit que tend vers a et on note plus prohes de a, mais différentes de a a, lorsque prend des valeurs de plus en On dit que tend vers a par valeurs supérieures et on note a, lorsque prend des valeurs de plus en plus prohes de a et > a On dit que tend vers a par valeurs inférieures et on note prend des valeurs de plus en plus prohes de a et Lorsqu on érit < a a, lorsque a, il faut don s imaginer que le réel a est fié tandis que le réel est «en mouvement» vers a et qu il peut s en rapproher soit en venant de la gauhe, soit en venant de la droite Eemple Soit f : Lorsque affirmation par un tableau des images de la fontion f :, alors f( ) 4 Illustrons ette,9,99,999,9999,000,00,0, f( ) 3,6 3,960 3, , , , ,040 4,4 On dit que la limite de f, lorsque tend vers, est égale à 4 On note : ( ) lim f = 4 ou lim = 4 Remarquons que ette limite est préisément f () On dit que f est ontinue en De même, on a : lim f( ) = lim = 9= f( 3) 3 3 On dit que f est ontinue en 3 En fait, pour tout autre réel a : lim f ( ) = f( a) On dit que la fontion f est ontinue en le réel a

2 Définition a) Soit f une fontion numérique d une variable réelle On dit que : a) f est ontinue en le réel a du domaine de f si lim f( ) = f( a) b) f est ontinue à droite en le réel a du domaine de f si lim f( ) = f( a) ) f est ontinue à gauhe en le réel a du domaine de f si lim f( ) = f( a) Le domaine de ontinuité de f, noté dom f, est l ensemble des réels a tels que f est ontinue en a Pour la fontion f : i-dessus, on a : dom f = dom f= R, ar f est définie et ontinue en tout réel a Intuitivement, on traer G f sans lever le rayon Propriété Si a dom f alors a dom f En effet, si a dom f, alors on ne peut pas avoir lim f( ) = f( a) Don : dom dom f Attention : la ondition a dom f n est pas f suffisante pour que la fontion soit ontinue en a : si a dom f alors f n est pas néessairement ontinue en a Eemple Soit g : si 5 si = On a toujours : lim g( ) = 4, ar la valeur de la fontion g en = ne nous intéresse pas lorsque nous alulons sa limite en Par ontre g n est pas ontinue en ar g () = 5 4 : lim g( ) = 4 g() g est ontinue en tout réel sauf en Pour la fontion g, on a don : domg= R, mais dom g= R \{}

3 Eemple 3 Soit h : si / si = Le / dans la définition signifie que h n est pas définie en La limite de h en eiste, mais h n est pas ontinue en ar h ( ) n eiste pas : domh dom h R \{} lim h( ) = 4 = = Nous dirons que le graphe de h présente un point reu ou un trou en (,4) Eemple 4 Soit si k : 5 si < On a : ( ) lim k( ) = lim = 4= k On dit que k est ontinue à droite en Mais k n est pas ontinue à gauhe en ar : () lim k ( ) = lim( 5) = 3 k Comme lim k( ) lim k( ), on a lim k( ) n'eiste pas! La fontion k est ontinue en tout réel, sauf en : domk = dom k= R \{} Intuitivement, ela signifie qu on peut dessiner le graphe de k sans lever le rayon, sauf pour = Nous dirons que le graphe de k présente un saut d amplitude à l absisse 3

4 Eemple 5 Soit r : 4 la fontion dont le graphe est le demi-erle de entre l origine et de rayon On a : dom r= [,] r est ontinue à droite en et à gauhe en : lim r( ) = 0 = r( ) et lim r( ) = 0 = r() Par onvention, nous dirons aussi que r est ontinue en et en Nous avons le droit d érire : lim r( ) = 0 = r( ) et lim r( ) = 0 = r() En effet, le domaine de la fontion étant [, ], lorsqu on érit (resp ), il est sous-entendu que ela signifie (resp ) On peut don omettre le derrière (resp le derrière ) dans une telle situation Evidemment les deu limites domr= dom r= [, ] lim r( ) serait absurde de vouloir aluler 3 et lim r( ) n ont pas de sens De même, il lim r( ) Cette limite n eiste pas puisque 3 n appartient pas au domaine de la fontion et plus préisément : 3 n est pas adhérent au domaine de r Définition On dit que a est un réel adhérent au domaine d une fontion f si a dom f ou si a dom f et tout intervalle de la forme ] a ε, a ε[ ave ε> 0 arbitrairement petit ontient une infinité d éléments du domaine de f Intuitivement, si a dom f, alors est un point adhérent à dom f si est un point frontière du domaine Par eemple, 3 est un point adhérent des domaines suivants : ]3, [, ],3[, ]3,5], ],3[ Remarquons qu il ne suffit pas que le réel a soit adhérent au domaine de f pour que lim f( ) eiste, omme on l a déjà vu à l eemple 4 Un autre eemple pathologique est le suivant : Eemple 6 Soit sin si > 0 m : / sinon 4

5 Même si 0 est un point adhérent au domaine de m, limm( ) n eiste pas puisque la fontion m osille une infinité de fois entre - et sur tout intervalle de la forme ]0, α [, où α> 0 Voilà pourquoi ( ) variable tend vers 0, -à-d limm( ) m ne tend vers auun réel donné lorsque la n eiste pas En partiulier la fontion m n est pas ontinue en 0, mais elle est ontinue en tout autre réel de son domaine : dom m= R Eemple 7 Considérons le tableau des images suivant de la fontion n : ± ± ± 3 ± n( ) Nous observons que si tend vers 0, alors n( ) devient arbitrairement grand, -à-d tend vers Nous érivons : ( ) limn = Le graphe de n admet l ae des ordonnées omme asymptote vertiale (AV) Evidemment, la fontion n n est pas ontinue en 0 ar n (0) n eiste pas, mais n est ontinue en tout autre réel : domn= dom n= R 5

6 Eemple 8 Considérons les tableau des images suivants de la fontion n( ) 3 3 i : n( ) 3 3 Nous observons que si tend vers 0 par valeurs positives, alors i( ) tend vers, alors que si tend vers 0 par valeurs négatives, alors i( ) tend vers : lim = et lim = Bien sûr, puisque les deu limites diffèrent, on a : lim n'eiste pas Le graphe de i admet toujours l ae des ordonnées omme asymptote vertiale 6