Chap. 6 : Problèmes de Sturm-Liouville

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1 Chap. 6 : Problèmes de Sturm-Liouville Jean-Philippe Lessard Dépt. de mathématiques et de statistique Université Laval, Québec, Canada 4 novembre 2014

2 Introduction Espaces de fonctions et produits scalaires Propriétés des valeurs et vecteurs propres

3 Équations à résoudre Équation de la chaleur généralisée (parabolique) m(t)r(x)u t [(p(x)u x ) x + q(x)u] = 0, a < x < b, t > 0 B a (u) def = αu(a, t) + βu x (a, t) = 0, t > 0 B b (u) def = γu(b, t) + ηu x (b, t) = 0, t > 0 Équation des ondes généralisée (hyperbolique) m(t)r(x)u tt [(p(x)u x ) x + q(x)u] = 0, a < x < b, t > 0 B a (u) = 0, t > 0 B b (u) = 0, t > 0

4 Hypothèses p C 1 ([a, b]), q, r C([a, b]), p(x), r(x) > 0, x [a, b] α + β > 0, γ + η > 0 (hypothèses de régularité) Méthode (séparation des variables): m(t) T T u(x, t) = T (t)x (x) (ou m(t) T ) = (p(x)x x) x + q(x)x T r(x)x = λ Problème aux valeurs propres de Sturm-Liouville régulier: (p(x)x x (x)) x + q(x)x (x) + λ r(x)x (x) = 0, B a (X ) = B b (X ) = 0 a < x < b

5 Opérateur de Sturm-Liouville: L(v) (p(x)v ) + q(x)v, a < x < b Ceci est un opérateur différentiel linéaire d ordre 2. Problème aux valeurs propres de Sturm-Liouville régulier: L(v) + λ rv = 0, B a (v) = B b (v) = 0 a < x < b Couple vecteur propre - valeur propre: (λ, v) est un couple valeur propre - vecteur propre si c est une solution du problème aux valeurs propres de Sturm-Liouville.

6 Espace vectoriel V de fonctions considéré : E(a, b) = {v : [a, b] R, continue par morceaux} Définition : Un produit scalaire (.,.) sur V est une application bilinéaire telle que (u, v) = (v, u) (v, v) 0 (v, v) = 0 = v = 0

7 Définition : La norme induite. est définie par u = (u, u) 1/2 Exemple : Pour r C([a, b]) une fonction positive, soit (u, v) r = u 2 = Propriétés : λu = λ u b a b a r(x)u(x)v(x)dx r(x)u 2 (x)dx u + v u + v (Inégalité du triangle) v = 0 v = 0 (u, v) u v (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

8 Définitions : u et v sont orthogonaux si (u, v) = 0 Une famille {v n } V orthogonale: (v n, v m ) = 0 pour n m Elle est orthonormale si, de plus, v n = 1, n Une suite {v n } n=1 V converge vers v V en norme si v n v 0 lorsque n Exemple : (u, v) = L 0 u(x)v(x)dx v n (x) = sin(nπx/l), n 1 (v n, v m ) = 0 si m n et (v n, v n ) = L 2 ( {v n} est orthogonale). ṽ n (x) = 2 L sin(nπx/l), n 1 (ṽ n, ṽ m ) = 0 si m n et (ṽ n, ṽ n ) = 1 ( {ṽ n } est orthonormale).

9 Théorème : Soit {v n } N n=1 V une famille orthonormale de vecteurs et V N = v 1,..., v N. Pour v V, on définit Alors u = N (v, v n )v n. n=1 v u = min w V N v w = v 2 N (v, v n ) 2 n=1 i.e. u est la projection orthogonale de v sur V N. Théorème : Soit {v n } N n=1 V une famille orthonormale de vecteurs (N fini ou infini) et v V. Alors, N (v, v n ) 2 v 2 n=1 lim (v, v n) = 0 n (Inégalité de Bessel) (Lemme de Riemann-Lebesgue)

10 Définition : Une famille orthonormale de vecteurs {v n } N n=1 V (N ) est dite complète dans V si N (v, v n ) 2 = v 2, v V (Égalité de Parseval) n=1 Théorème : Soit {v n } n=1 V une famille orthonormale. Alors les propositions suivantes sont équivalentes: 1. {v n } n=1 est complète 2. lim v N (v, v n )v n = 0 N n=1 Définition : Soit {v n } n=1 complète. Les termes (v, v n) sont les coefficients de Fourier et (v, v n )v n est la série de Fourier généralisée de v. n=1

11 Exemples Exemple 1 V = E(0, π), (u, v) = π 0 u(x)v(x)dx, v n (x) = 2/π sin nx, n = 1, 2,... Pour v(x) = x sin x, on obtient ( π ) 3/2 (v, v 1 ) =, (v, vn ) = π/2 4n ( ( 1) n+1 1 ) 2 π(n + 1) 2 (n 1) 2, n 2 Donc, la série de Fourier de v(x) = x sin x est donnée par v(x) = π 2 sin x + n=2 4n ( ( 1) n+1 1 ) π(n + 1) 2 sin nx. (n 1) 2

12 Exemple 2 V = E(0, π), (u, v) = π v m = Pour v(x)=x, on obtient 0 u(x)v(x)dx, u n(x) = cos nx, n 0 0 n m π (u n, u m ) = 2 n = m 0 π n = m = 0 1 π u 1 0 = π et Donc {u n } n=0 est orthogonale. En posant, v 0 = 2 π u m, m 1, on a que la famille {v n } n=0 est orthonormale. (v, v 0 ) = π3/2 2/π 2, (v, v n) = n 2 (( 1) n 1), n 1 Donc, la série de Fourier généralisée de v(x) = x est donnée par v(x) = (v, v n )v n = π πn 2 (( 1)n 1) cos(nx) n=0 n=1

13 Propriétés des valeurs et vecteurs propres Théorème : Soient u λ et v λ deux fonctions qui forment une base du sous-espace des solutions de L(v) + λrv = 0, a < x < b Alors λ est une valeur propre du problème de Sturm-Liouville ssi B a(u λ ) B a (v λ ) B b (u λ ) B b (v λ ) = 0 Exemple : L(u) = u, a = 0, b = L, B a (u) = u(0), B b (u) = u (L). Pour λ > 0, par exemple u λ (x) = sin λx et v λ (x) = cos λx, on obtient l équation λ cos λl = 0. D où ( (2n 1)π λ = 2L ) 2

14 Propriété 1 : Symétrie. Pour toutes fonctions u, v C 2 ([a, b]) satisfaisant B a (u) = B b (u) = B a (v) = B b (v) = 0 on a : (L(u), v) = b a vl(u) dx = b a ul(v) dx = (u, L(v)) Preuve : On montre d abord que ul(v) vl(u) = (p(uv vu )) (identité de Lagrange) puis on intégre sur (a, b) en utilisant les conditions aux limites. Propriété 2 : Orthogonalité. Les vecteurs propres correspondant à des valeurs propres différentes sont orthogonaux au sens du produit scalaire (u, v) r = b a r(x)u(x)v(x)dx Preuve :... Remarque : On a pu le vérifier dans 2 exemples...

15 Propriété 3 : vap réelles. Les valeurs propres sont toutes réelles. Preuve : Si λ, complexe, est une vap alors λ l est aussi (et un vep correspondant est le conjugué d un vep associé à λ )... Propriété 4 : vap simples. Les valeurs propres sont toutes simples. Preuve : Soient v 1, v 2 deux vep associés à la vap λ. Alors v 2 L(v 1 ) v 1 L(v 2 ) = 0. Or, v 2 L(v 1 ) v 1 L(v 2 ) = ( p(v 2 v 1 v 1 v 2) ) (identité de Lagrange) Donc p(v 2 v 1 v 1v 2 ) est une constante. Or, elle s annule en x = a et x = b. Elle est donc nulle partout. Donc le Wronskien v 2 v 1 v 1v 2 est nul. D où v 1 et v 2 sont linéairement dépendantes.

16 Propriété 5 : Comportement asymptotique des vap. Il existe une infinité de vap et lim n λ n = + λ 0 < λ 1 <... < λ n <... Propriété 6 : Complétude des vep. Soit {v n } n=1 une famille orthonormée formée de tous les vep du problème de Sturm-Liouville. Alors {v n } n=1 est complète dans E(a, b) muni du produit scalaire (.,.) r. Rappel: cela implique la convergence en norme. r (seulement) de la série de Fourier.

17 Propriété 7 : Convergence uniforme Soit {v n } n=1 une famille orthonormée formée de tous les vep du problème de Sturm-Liouville. Alors: Si f est dérivable par morceaux sur [a, b] alors la série de Fourier généralisée de f par rapport au système {v n } n=1 converge vers (f (x + ) + f (x ))/2. Si f est continue, dérivable par morceaux, et satisfait les conditions aux limites du problème de Sturm-Liouville alors la série de Fourier généralisée de f par rapport au système {v n } n=1 converge uniformément vers f sur [a, b]. Rappel: cela implique la convergence en norme. r (seulement) de la série de Fourier.