GEOMETRIE ELEMENTAIRE PLANE : CORRIGES

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1 GEOMETRIE ELEMENTIRE PLNE : CORRIGES Exercice GEP : (N Enoncé Soient d et d dex droites d éqations respectives ax + by + c = et ax ' by ' c' ( a b ( ', ', + + = avec ( ab, (, a qelle condition ces dex droites sont-elles parallèles? orthogonales? b Soit V l angle orienté de ces dex droites. Donner ne expression de tanv et Soient d et d dex droites d éqations respectives y = mx+ p et y = m' x+ p'. qelle condition ces dex droites sont-elles parallèles? orthogonales? Soit V l angle orienté de ces dex droites. Donner ne expression de tanv Exercice GEP : (N Corrigé aun vecter directer de d est ( b, a et n vecter directer de d est '( b', a' d et d sont parallèles si et selement si ( ba, et '( b', a' sont colinéaires c est à dire Det ( v, = soit a a' encore ab' a ' b b b ' = = d et d sont orthogonales si et selement si ( ba, et '( b', a' sont orthogonax c est à dire. ' = soit aa ' + bb ' = b Petit rappel : l angle orienté de dex droites d et d est défini à π près par l angle orienté ( vv, ' où v est n vecter directer de d et v ' n vecter directer de d. Ici V= (, '[ π ] donc si d et d sont parallèles tan V= et, sinon tan V= cos aa' + bb' = = sin Det ab' a' b (, '. ' (, ' (, ' a d et d sont parallèles si et selement si m=m (même pente (résltat q ont pet retrover avec les vecters directers v(, m et v'(, m' d et d sont orthogonales si et selement si v(, m et v'(, m' sont orthogonax c est à dire vv. ' = soit mm ' = cos( vv, ' vv. ' + mm' Ici V= ( vv, '[ π ] donc tan V= si d et d sont parallèles et, sinon tan V= = = sin vv, ' Det vv, ' m' m ( ( Exercice GEP : (N Enoncé Dans n repère (O, i, j d plan, on considère dex droites d et d. d est donnée par son éqation cartésienne = + t x+ y 4= et d est donnée par ne représentation paramétriqe :. = 4 + 4t Déterminer les coordonnées d point d intersection I de ces dex droites. Déterminer ne valer approchée de la mesre en degrés de l angle de ces dex droites. Déterminer ne éqation cartésienne de la droite orthogonale à d passant par C(, Exercice GEP : (N Corrigé d = + t M ( x, y d t / = 4 + 4t Ce point M appartient assi à d si ses coordonnées vérifient l éqation de d ( t ( t,donc si =

2 On trove t = donc = 4 4 y = Un vecter directer de est Un vecter directer de est v d (, 4 d (, 4 (-b,a por ne éqation ax + by + c = (coefficients de t dans représentation paramétriqe Une mesre de l angle ( v v. Det v,, pet se calcler avec cos ( v ; = et sin( v, = v Ici cela donne cos ( ; v. v = v = = différente 8,79 o de -8,79. Det ( v, = 4 4,6 donc l angle ( v ; = 4 < v ; L angle orienté entre les dex droites est donc égal à ( 8,79 d ( ( v a ne mesre en degrés très pe donc sin( v, < donc ( 8,79 ( à 8 près v ; Un vecter directer de est dv, 4, c est n vecter normal à donc ne éqation de d est d type x+ 4y+ c=. En écrivant qe passe par C(,, on trove c = 8 d où x+ 4y 8 = d Exercice GEP : (N Enoncé Dex forces F et F d intensité respectives 5N et 78N sont appliqées en n même point P. L angle entre ces dex forces est de α =5, β = 6 Donner ne valer approchée de l intensité de la résltante F de ces dex forces. Déterminer ne valer approchée de la mesre en degrés de F F l angle (, Répondez ax qestions et en tilisant le repère ( P, i, j Exercice GEP : (N Corrigé F orthonormé direct P α β F i ( F = F + F = F+ F = F + F. F + F donc F = F + F. F co sα + F F = ( cos( 5 + ( 78 d où F 85,N Dans le triangle P, on connaît les longers de trois côtés et on cherche ne mesre d angle. On pet donc tiliser la Relation de Pythagore généralisée (l Kashi a = b + c bccos qi donne ici : F = F + F FFcosθ θ = où P F + F F On a donc cosθ = soit cosθ,9788 d où θ,8 FF F Dans le repère ( P, i, j orthonormé direct : cos β ( F et F sin β F F cos α + β F sin ( α β donc + F P F α β F i

3 ( ( Fcos β + Fcos α + β x F = F + F d où F 68,8 avec le point tel qe P = F F sin β + F sin α + β y 76,7 D où F 68,8 + 76,7 donc F 85,N ( β θ ( β θ x = Fcos + y = Fsin + donc cos( β θ x F + =, d où β θ + 7,8 donc θ,8 Exercice GEP 4 : (N Enoncé Soit n point et n vecter tel qe =. Préciser l ensemble E des points M tels qe M. = 6 Soit n point et n vecter non nl. Soit k n réel, préciser l ensemble Ek des points M tels qe M. Exercice GEP 4 : (N Corrigé Soit d la droite passant par et dirigée par. Soit tel qe =. Précisons le point de d qi appartient à E. Il doit vérifier. = 6. C est donc le point tel qe =. Et a lors il fat chercher les points M tels qe M. =. C est la droite orthogonale à ( qi passe par (d après le cors sr le prodit scalaire On pet le retrover rapidement en écrivant M. =. M.. = soit M. = k Même méthode q a. Il fat tiliser de d tel qe. = k soit = et ensite on trove la droite orthogonale à ( qi passe par Exercice GEP 5 : (N Enoncé M M. =. Le plan est rapporté à ne base orthonormée. Soit n vecter non nl de coordonnées ( ab, dans cette base. Préciser les coordonnées des vecters nitaires colinéaires à. Jstifiez la réponse. Distance d n point à ne droite Soit D ne droite d éqation ax by c avec,, M x ; y n point qelconqe. + + = ( ab ( et ( ax + by + c Montrez qe la distance de M à la droite D est égale à dm ( ; D = = + t Soit ne droite d donnée par ne représentation paramétriqe : et soit (,-. Déterminer la = 4 + 4t distance d( ; d = k Exercice GEP 5 : (N Corrigé Soit v n vecter colinéaire à. lors il existe n réel k tel qe v = k.donc v = k. On vet v nitaire donc k =. D où k = et donc il y a dex possibilités v = v = donc v = o v = o =

4 a b a b v, o v =, D est ne droite d éqation ax by c avec distance de M à la droite D. Soit wab (,. C est n vecter normal à D. Donc. M v =± d sivant la position de M + + = ( ab, (, et ( ; v = a + b M x y n point qelconqe. Soit d la w est nitaire et normal à D M v v d D Cas où M. v =+ d Cas où M. v = d D d M Donc = M. v d, M ( x; y, x (, y donc M. v = a ( x x ( + b y x a b + Or D donc ax + by + c = et donc c= ax by On en dédit qe M. v = [ ax + by c] + et finalement ax + by + c dm ( ; D = d donnée par ne représentation paramétriqe : = + t et soit (,-. = 4 + 4t Une éqation cartésienne de d est x y+ 4 = soit 4x y =. En appliqant la 4 formle précédente, on trove alors ( d( ; d 4 = = =, d Exercice GEP 6 : (N Enoncé Soit R= ( Oi,, j n repère orthonormé dans leqel l éqation d ne corbe C est : x + 4y 8y =. Soit I( ;, i ; et j ; Déterminer l éqation de C dans le repère (I, i, j. En dédire la natre de C. Donnez rapidement ne représentation graphiqe de C (sans tiliser de calclatrice Exercice GEP 6 : (N Corrigé O, i et j étant tels qe OI = j, i = i + j, j = i + j OM = xi + yj et IM = xi + yj 4

5 j or OM = OI + IM donc xi + yj = j + x i + j + y i + j De l nicité de la décomposition dans la base ( i, = x y j, en dédit qe y = + x + y On remplace alors dans l éqation de C Qe l on a d abord intérêt à écrire y ' = x + 4( y y = soit x + 4( y 4 = x' et on trove alors ( x y + 4 x + y 4= o encore j i ( x y + ( x + y 4= soit xy = o i y ' = x' Ceci montre qe C est ne hyperbole d éqation y ' = dans le repère (I, i, j x' x Remarqe : en écrivant l éqation initiale sos la forme + ( y =, on fait apparaître pls rapidement la 4 X Y X Y natre de la corbe (éqation d type = o =, hyperbole de centre I d asymptotes a b a b b y =± x=± x a Exercice GEP 7 : (N Enoncé Soient et dex points distants de 6 cm (soit 6 nités. Précisez l ensemble E des points tels qe M + M = Précisez l ensemble des points tels qe M M = 4 Répondez ax qestions et en tilisant n repère orthonormé direct Exercice GEP 7 : (N Corrigé Soit I le milie de[ ], alors M + M = ( MI + I + ( MI + I = MI + MI. I + I + I + I = ce qi donne MI = soit MI = Donc M E ( L ensemble E est donc le cercle de centre I et de rayon. Petite vérification (qi n est pas ne preve de la jstesse d résltat : le point P de [ I ] qi appartient a cercle est E tel qe P= et P=4, il vérifie bien P + P = M M = 4 ( MI + I ( MI + I = 4 donc M MI. ( I I = 4 d où M IM. = On cherche donc M tel qe IM. = avec = tel qe = 6 (cf exercice GE 4 5

6 Soit le point de qi appartient à la droite passant par I de vecter directer I. = soit I = et ensite on trove la droite orthogonale à ( qi passe par est tel qe =5 et Petite vérification (qi n est pas ne preve de la jstesse d résltat : le point de [ ] =, il vérifie bien = 4 Exercice GEP 8 : (N Enoncé Le plan étant rapporté à n repère orthonormé R= ( Oi,, j dirigé par n vecter ab,. Soit ( x, y (.Soit D ne droite passant par n point (, le projeté orthogonal de M(x,y sr D. Exprimer x et y en fonction de x et y Exercice GEP 8 : (N Corrigé x y et La méthode la pls rapide consiste à appliqer la formle de «géométrie élémentaire cors» I v =. v v où v est n vecter qi donne ici = ( nitaire, directer de la droite d. On pet choisir v = a b soit v, a b a b + + On a alors a b M. v = ( x x + ( y y =K a x = x + K = Kv b y = y + K M v nitaire 6