Rappel sur la théorie des circuits. année par Sylvain GERONIMI

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1 Formaon L..N..L. Oon lcronqu al sur la héor ds crcus anné 8 ar Sylan GONM

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3 al sur la héor ds crcus TABL DS MATS Crcus réssfs lémns d crcus Ms n équaons Lo d Krchhoff Méhod ds courans nsons d branch Méhod ds nouds Théorèms fondamnaux Théorèm d suroson Théorèm d Thénn Théorèm d Noron Théorèm d Mllman Théorèm d Knnly Crcus n régm dynamqu éons morll égm snusoïdal éabl égm qulconqu Théorèms fondamnaux Foncons d ransfr Défnon Proréés résnaon du comormn Condons d réalé hysqu Condons d sablé Foncons d ransfr d bas Sablé d sysèms élcronqus Sysèm élcronqu assr Condons rélls d un bon fonconnmn Comnsaon d un sysèm élcronqu assr Quadrôls résnaon d un quadrôl Caracérsaon dynamqu Msurs hysqus d caracérsqus dynamqus Méhod d raal our quadrôls n cascad Adaaon d médancs Annxs Défnons roréés d la ransformaon d Lalac Tablau ds ransformés d Lalac xrccs roblèms Théorèms fondamnaux ms n équaons éons d un crcu L Foncon d ransfr d un amlfcaur aux basss fréquncs Corrélaon nr ms d moné fréqunc d couur hau Sond ass d oscllosco Caracérsaon d un quadrôl Snsblé d un on d Whason Sylan Géronm Pag

4 al sur la héor ds crcus Sylan Géronm Pag

5 al sur la héor ds crcus Crcus réssfs Lors ds éuds saqu ou dynamqu qu l on nrrndra, l schéma élcrqu s comos d sourcs d nson d couran ndéndans déndans, d réssancs élémnars équalns. L nroducon d comosans à sockag d énrg s ffcura au aragrah suan. lémns d crcus - Un nœud s un on du crcu. - Un branch s un élémn du crcu comrs nr dux nœuds rarsé ar l mêm couran. - Un mall s un boucl formé ar ds branchs. - Un dôl s un oron d crcu nr dux nœuds (acfs ou assfs. Sourcs d nson d couran ndéndans G alm G G G G G sourcs déals sourcs rélls Sourcs d nson d couran conrôlés (déndans S α β λ δ sourc d couran conrôlé ar la nson (ou l couran d un aur branch sourc d nson conrôlé ar la nson (ou l couran d un aur branch éssanc dôl dôl r Connon d sgn or héorèm d Thénn ou Noron Sylan Géronm Pag

6 al sur la héor ds crcus Ms n équaons Los d Krchhoff Lo ds nœuds : la somm d ous ls courans qu nrn dans un nœud s égal à la somm ds courans qu qun l nœud. L nombr d équaons ndéndans égal l nombr n d nœuds mons l nœud d référnc (mass, so n- équaons. Lo ds malls : la somm d ous ls chus d nson l long d un mall s null. L nombr d équaons ndéndans égal l nombr m d malls ndéndans. Méhod ds courans nsons d branchs L analys du crcu condu à la résoluon d un sysèm d mn- équaons à mn- nconnus qu son ls courans d branch. xml : dsur d nson à d n régm saqu crcu à mall nœud, d où sysèm d équaon à nconnu ( ( S S S xml : dsur d nson n charg n régm saqu crcu à malls nœud, d où sysèm d équaons à nconnus (,, S S S Combnasons sér arallèl d réssancs L mêm couran arcour ls dux réssancs d l xml slon la lo d la mall : La réssanc oal d un crcu sér égal la somm ds réssancs. Sylan Géronm Pag 4

7 al sur la héor ds crcus La mêm nson s alqué aux borns ds dux réssancs d l xml slon la lo ds nœuds : S ' ' S La conducanc oal d un crcu arallèl égal la somm ds conducancs. rs d l xml : l crcu ds la nson ' S ' ' L crcu ds l couran // S xml : dux sourcs ndéndans crcu à malls, nœud, d où S sysèm d équaons à nconnus (,, Calcul d la nson d branch S Méhod ds nœuds S l nombr d nsons nodals s nférur au nombr d malls ndéndans, l analys du crcu condu à la résoluon d un sysèm d n- équaons à n- nconnus qu son ls nsons d nœuds, ls courans d branch éan défns ar la lo d Ohm. rs d l xml : crcu à nœud malls, so n- < m équaon du nœud ac S, S, S d où S (mêm résula Sylan Géronm Pag 5

8 al sur la héor ds crcus Ls héorèms fondamnaux Théorèm d suroson La réons d un crcu lnéar à lusurs sourcs ndéndans égal la somm ds réonss ds sourcs consdérés séarémn. Pour calculr la réons d un sourc, ls aurs sourcs son éns (unqumn ls sourcs ndéndans déals d nson d couran assmlés rscmn à ds cours-crcus ds crcus ours non ls sourcs conrôlés. rs d l xml : dux sourcs ndéndans, so dux réonss rmèr réons ( én S duxèm réons ( én S d où S Théorèm d Thénn Tou crcu lnéar, fournssan un nson connu ou alrna, s équaln à un sourc d nson n sér ac un réssanc us nr ss borns. Th dol Th Th : nson à d, Th : réssanc calculé n cour-crcuan ous ls sourcs d nson ndéndans n ouran ous ls sourcs d couran ndéndans. rs d l xml : ( Th Th ac Th Th // S S S Th Th rs d l xml : Sylan Géronm Pag 6

9 al sur la héor ds crcus S Théorèm d suroson Th S Th Th Th ac Th Th // Théorèm d Noron Tou crcu lnéar, fournssan un couran connu ou alrnaf, s équaln à un sourc d couran n arallèl ac un réssanc us nr ss borns. dol No No No : couran d cour-crcu, No : réssanc calculé n cour-crcuan ous ls sourcs d nson ndéndans n ouran ous ls sourcs d couran ndéndans. La dualé ds héorèms d Noron Thénn monr la ransformaon récroqu Th No No Th No No Th Th No No Th No No Th Th l fau rmarqur qu un sourc arfa n u êr rmlacé ar un sourc d l aur y. Théorèm d Mllman Lorsqu lusurs sourcs d nson son conncés n arallèl, on ls ransform n sourcs d couran ar ransformaon Thénn Noron. xml 4 : S S Sylan Géronm Pag 7

10 al sur la héor ds crcus S k k ac k k k rs d l xml : S (mêm résula C héorèm s ul our dérmnr un onl d nœud (calcul d flrs acfs ac AO, ar xml. Théorèm d Knnly C héorèm rm la ransformaon d un crcu n éol (ou n T n un crcu n rangl (ou n Π récroqumn. ' ' ' T Π Π T ', ' ' ', ', ' ac ' ' ', ' ' ' ac ' ' ' ' Sylan Géronm Pag 8

11 al sur la héor ds crcus Crcus n régm dynamqu n régm dynamqu ou arabl, on a ros écrurs ossbls : - écrur d la réons morll (arabl, - écrur magnar n régm snusoïdal (arabl j - écrur symbolqu n régm qulconqu (arabl d Lalac. xml 5 : crcu C ac kω, C µ F C éons morll éssanc ( ( Condnsaur C ( ( d C d nducanc L ( L ( d l fau résoudr un sysèm d équaons négro-dfférnlls. Lorsqu la soluon analyqu xs, la résoluon dmur dffcl. Ls smulaurs d crcus mn n œur ds méhods d négraon numérqus afn d fournr d façon xhaus ou arabl morll d un crcu comlx. Alcaon à l xml 5 : réons à un échlon d nson d amlud ac l condnsaur déchargé à. d ( C C ( d ( ( C ( d ( C ( C ( ac C d qu condu à la résoluon d l équaon dfférnll du ordr - équaon homogèn (équaon sans scond mmbr d d C ( C ( d C C d d d ( ( C C Log C d où λ C λ H ( ( - araon d la consan (équaon comlè λ λ λ ( '( ( λ '( d où λ( d - soluon arculèr d l équaon comlè C P ( λ( d où C P ( Sylan Géronm Pag 9

12 al sur la héor ds crcus - soluon global C ( C C H ( P ( λ ac ( C λ d où C (. (.8 C(.4 ms C 6. % d ms C 95 % d s.ms.ms.ms 4.ms Tms, ms, n à l orgn d d C (, C (. 6, C (. 95 Alcaon à l xml 5 : réons à un xcaon d nson snusoïdal d amlud crê ac l condnsaur déchargé à. L scond mmbr dffèr sn( (. - araon d la consan λ' ( sn ( j [ m ] λ( m cos( j sn( m sn j n osan cos α snα λ( cosα sn α d où ( j ( cos( sn( α d ac α arcg( j m j - soluon arculèr d l équaon comlè C P ( λ( d où ( cosα sn( α - soluon global C ( λ ( ac ( C C P C P λ cosα snα d où ( cosα snα cosα sn( α C L rmr rm corrsond au régm ransor l scond rm au régm éabl ou rmann. Sylan Géronm Pag

13 al sur la héor ds crcus. ( C ( régm ransor régm éabl -. s.ms 4.ms 6.ms 8.ms Tms f khz,, α arcg( π 8, cosα 57 m crê C On obsr ls condons nals nulls sur l condnsaur à l régm ransor qu s én radmn. Pour lus d déals sur l régm rmann (ou éabl, or la réons au aragrah suan. crê égm snusoïdal éabl ( So l couran snusoïdal ( sn θ. On calcul dans l doman comlx, l écrur dn j θ j jθ cos θ j sn θ ac l couran comlx. [ ( ( ] ( éssanc ac jθ j j (la nson n has ac l couran Condnsaur ac nducanc C π j θ j j C jc jc C (la nson n rard d π/ ar raor au couran C L j j jl jl L ac π j θ L (la nson n aanc d π/ ar raor au couran L Alcaon au crcu C : C jc jc C jc jc jc C ϕc ϕ arcg( C C C ac C C jϕ jϕ Sylan Géronm Pag

14 al sur la héor ds crcus C θ ϕ arcg( C C π..ma nson d rfrnc ( A -. couran n aanc d 9 nson C n rard d 8 -.ma 6.ms 6.5ms 7.ms 7.5ms 8.ms ( C ( ( Tms crê, ϕ, C 57 m 4π π ma crê, θ arcg 9 4π π, ϕ arcg( π 8 crê C Noon d médanc d admanc L médanc (ou l admanc s un grandur comlx ssu du raor d la nson corll au couran corl. Z jx ac X rscmn réssanc réacanc. Y G jb ac G B rscmn conducanc suscanc. Z Alcaon au crcu C : médanc u d la sourc Z j C Admanc u d la sourc Y Z C C C j C égm qulconqu On uls ls arabls d Lalac our résoudr ls sysèms d équaons négro-dfférnlls à coffcns consans. La ulsaon généralsé s c σ j l régm snusoïdal s un cas arculr l qu j. L ablau ds ransformés d Lalac, donné n annx, sra l oul mahémaqu our l assag F( f(. S l on consdèr ds condons nals nulls ( L [ ( ], ( L[ ( ] X X Sylan Géronm Pag

15 al sur la héor ds crcus éssanc ( ( Condnsaur C ( ( C nducanc L ( L ( La méhod d raal s alors la suan : écrr ls équaons morlls assr n arabls d Lalac résoudr ls équaons our obnr la arabl souhaé 4 rnr à la foncon morll d c arabl. Alcaon au crcu C : A arr d l équaon dans l doman morl, on écr d d ( ( C ( C ( C ( ( C ou drcmn, d arès ls rlaons au-dssus : ( ( C C ( ( C ( C ( ac C - éons à l échlon d nson ( C ( ( Tablau ds ransformés F( f ( α u(, α d où C ( On érf ls héorèms d la alur nal d la alur fnal qu donnn mmédamn, sans qu l so nécssar d calculr C (, la alur d c foncon à l orgn au ms nfn : C ( lm C ( lmc ( lm C ( lm C ( - éons à l xcaon snusoïdal ( Sylan Géronm Pag

16 al sur la héor ds crcus ( C On os cos α snα ac α arcg(. cosα snα Tablau ds ransformés F( f ( sn( α d où ( cosα snα cosα sn( α C L alcaon du héorèm d la alur fnal n u s alqur dans c cas, car lm sn s ndérmné. D façon lus général, l fau qu la déré d la foncon morll décross quand, donc qu σ <. L ablau ds ransformés rm donc un résoluon lus sml du roblèm. D lus, l fau rmarqur qu c crcu C s un crcu ass-bas don la foncon d ransfr n C ( nson fourn un ôl qu dérmn la consan d ms C (or ( C C aragrah suan. Théorèms fondamnaux Ls héorèms fondamnaux rsn alabls our ous ls régms. L changmn d écrur s l qu : Z ou Z ( ( ou ( Alcaon au crcu C : Z n régm snusoïdal C ac Z Z Z Z jc Z( n régm qulconqu C ( ( ac Z Z ( Z ( ( Z ( C Sylan Géronm Pag 4

17 al sur la héor ds crcus Foncons d ransfr Défnon So un sysèm lnéar (monag élcronqu à un nré ( un sor s( rég ar un équaon dfférnll à coffcns consans ( ( ( ( ( ( s b s d d b s d d b a d d a d d a n n n n n n m m m m m m L L Dans l cas d condons nals nulls, on rnd la ransformé d Lalac ds dux mmbrs ac [ ] ( ( L [ ] ( ( s S L, so [ ] [ ] ( ( S b b b a a a n n n n m m m m L L ac ( ( ( H S ( b b b a a a H n n n n m m m m L L La foncon d ransfr H( (ou ransmanc caracérs l comormn du sysèm lnéar. S l on alqu à l nré du sysèm un mulson d Drac unar, on a d où. Ans, la foncon d ransfr n s rn d aur qu la ransformé d Lalac d la réons mulsonnll du sysèm. ( ( δ ( ( ( H S Proréés Condons d réalé hysqu Tous ls coffcns a k b son réls dans l cas résn d un sysèm lnéar. l n résul qu ls racns ds olynôms du numéraur du dénomnaur son rélls ou comlxs conjugués. On u donc décomosr la foncon d ransfr n rodus ( ( n m k k z K H ( Dans ou sysèm hysqu, l amlud d la réons nd rs zéro lorsqu la fréqunc nd rs l nfn. l n résul qu n régm snusoïdal rmann ( n m j K j H ( so m n K n m > Anon, s l on s nérss qu aux basss fréquncs d un monag élcronqu à larg band, la foncon smlfé sra ll qu (ass-hau. n m Ls rms, alés rscmn ls zéros ls ôls d la foncon, son réls ou comlxs conjugués. z k L nombr d ôls s suérur (ou égal our un ass-hau au nombr d zéros. Sylan Géronm Pag 5

18 al sur la héor ds crcus L ordr d l équaon dfférnll du sysèm corrsond au dgré n du olynôm du dénomnaur d la foncon d ransfr. La foncon d ransfr s donc d ordr n. Condons d sablé Un sysèm s d sabl s, lorsqu l s écaré momnanémn d l éa d équlbr ar un rurbaon, l y rn lorsqu la rurbaon dsaraî. La foncon H( rrésnan la réons mulsonnll du sysèm, on u décomosr S( n élémns smls s l on suos qu on a n ôls smls : A S K A An L n n ( s( K ( A A L A - cas d un ôl rél σ A σ A σ - cas d dux ôls comlxs conjugués σ j A A σ A cos σ j σ j - cas d dux ôls magnars j ( ϕ j σ j A A A cos( ϕ l amlud du sgnal rs consan (oscllaur j j - cas arculr ds ôls réls mulls d ordr k A A A k L A k A σ σ σ L A k k ( ( ( k! σ n L sysèm lnéar sra sabl s ous ss ôls son à ar réll néga, so σ <. Cs drs cas son llusrés our un foncon d ransfr d ordr d la form H( ζ, don ls racns d l équaon caracérsqu son ζ ± ζ. ( Sysèm sabl s < ζ > : - ζ > - s( A A s( A A ζ ( ζ - <ζ < s( A cos ζ ϕ - ζ ( Acos( ϕ (cas arculr d l oscllaur s Sylan Géronm Pag 6

19 al sur la héor ds crcus. ôls magnars urs (oscllaur (ζ ôls réls ôls comlxs conjugués (ζ (ζ. ar réll d < sysèm sabl -. s 5ms ms 5ms ms s( Tms Sysèm nsabl s ( > ζ < - ζ < - : s( A A s( A A ζ ( ζ - < ζ < s( A cos ζ ϕ 5 5 ôls réls (ζ - -5 ôls comlxs conjugués (ζ -. ar réll d > sysèm nsabl -5 s 5ms ms 5ms ms s( Tms résnaons du comormn L sgnal muscal résné à l nré d un sysèm audo u allr d Hz à khz. Son amlfcaon do êr sans dsorson d amlud d has. l fau donc connaîr l amlud (ou l modul l déhasag (ou l argumn d la foncon d ransfr H( du crcu our chaqu fréqunc. ou ( H ou H( S ou S ( Sylan Géronm Pag 7

20 al sur la héor ds crcus n régm qulconqu S ( H( ac condons nals nulls ( S n régm snusoïdal H a( jb( b ac H a b ϕh arcg a Alcaon au crcu C : H H( j ac C j H ϕ H arcg On u rrésnr l comormn d la foncon d ransfr d lusurs manèrs : résnaon d Bod : dux racés ndéndans - dagramm du modul H défn n abscss ar la fréqunc ou la ulsaon sur échll logarhmqu n ordonné ar log H n db sur échll lnéar. - dagramm d l argumn ϕ H défn n abscss ar la fréqunc ou la ulsaon sur échll logarhmqu n ordonné ar l argumn n dgrés ou radans sur échll lnéar. résnaon d Nyqus : un sul racé dans l lan comlx du lu ds xrémés ds curs, our chaqu fréqunc ou ulsaon. Cs curs son défns ar l modul H l argumn ϕ H résnaon d Black : un sul racé dans un lan défn n abscss ar l argumn n ordonné ar l modul log H dans ls dux cas sur échll lnéar. n élcronqu, la rrésnaon d Bod s rnu our dérmnr l comormn n fréqunc d un crcu. n ff, la naur ds dagramms rm d racr smlmn ds caracérsqus aroxmas alés dagramms asymoqus d Bod. D lus, ou foncon d ransfr éan l rodu d foncons d bas, l suff d rrésnr ndéndammn chacun d lls n modul n has, us d n far d un ar, la somm ds moduls à caus ds alurs logarhmqus d aur ar, la somm ds argumns à caus ds roréés ds nombrs comlxs, cc afn d obnr l résula global. Foncons d ransfr d bas On éud c ls foncons d ransfr d bas ls lus ulsés. H A ( n régm snusoïdal ( j A j H db H log A ϕ Sylan Géronm Pag 8

21 al sur la héor ds crcus H ( n régm snusoïdal H ( j j H log db ϕ 9 log db log db log db 4 f, db n db/décad -4.Hz Hz Hz.KHz KHz db(h (j Fréqunc Hz Hz Hz.KHz KHz arg(h (j Fréqunc H ( n régm snusoïdal H ( j j H log db ϕ arcg Sylan Géronm Pag 9

22 al sur la héor ds crcus Aux basss fréquncs << Aux haus fréquncs >> log db (asymos horzonals log ϕ (dro d n db ar décad log db ϕ 84. log 4 db ϕ log db 45 ϕ 4 f, db n db/décad.hz Hz Hz.KHz KHz db(h (j Fréqunc f, 45 5.Hz Hz Hz.KHz KHz arg(h (j Fréqunc H( n régm snusoïdal H( j j H log db ϕ arcg Sylan Géronm Pag

23 al sur la héor ds crcus Ls rrésnaons d H ( son symérqus d clls d H ( ar raor à l ax ds abscsss. C cas corrsond à l alcaon au crcu C, crcu ass-bas don la foncon d ransfr n C ( nson fourn un ôl qu dérmn la consan d ms ( C C C. - - f, - db n - db/décad Hz Hz Hz.KHz KHz db(h (j Fréqunc - -5 f, Hz Hz Hz.KHz KHz arg(h (j Fréqunc H4( ζ ζ rrésnan l coffcn d amorssmn la ulsaon du sysèm non amor. Sylan Géronm Pag

24 al sur la héor ds crcus n régm snusoïdal H4( j ζ j H 4 log db ζ ϕ 4 arcg ζ Aux basss fréquncs << ζ << (dros asymoqus horzonals log db ϕ 4 Aux haus fréquncs >> ζ >> 4log (dro asymoqu d 4 db ar décad couan l ax ds abscsss our 8 (dro asymoqu horzonal ϕ 4 Pour la réons réll, ros cas : ζ (racns doubls H 4( H ( our log 6 db ϕ 9 ( fos modul argumn d H( 4 ζ > (racns rélls dsncs ' " H 4( H( H( ac ζ ζ, ζ ζ. ζ < (racns magnars dsncs S ζ <. 7, déassmn d log ζ ζ à la ulsaon d résonanc ζ. On all coffcn d surnson Q ( Q our ζ <<. ζ ζ ζ Sylan Géronm Pag

25 al sur la héor ds crcus ζ.5 f rsonanc ζ.7 f, - db -4 ζ 5 f, - db n - db/décad ζ f, -6 db n -4 db/décad ζ 5 f, - db -7.Hz Hz Hz.KHz KHz db(h 4 (j Fréqunc - -5 f, -45 ζ.5 ζ.7 ζ ζ f, -9 f, -5.Hz Hz Hz.KHz KHz arg(h 4 (j Fréqunc Sablé ds sysèms élcronqus Sysèm élcronqu assr Un sysèm élcronqu lnéar s, dans la luar ds cas, assr (ou conr-réaconné. ( - ε( G( S( B( G( : foncon d ransfr d la chaîn drc B( : foncon d ransfr d rour G(.B( : foncon d ransfr d la boucl our H( : foncon d ransfr d la boucl frmé S( G( H( ( G( B( Sylan Géronm Pag

26 al sur la héor ds crcus n régm snusoïdal H( j G G ( j ( j B( j Lorsqu G du sysèm. ( j B( j ou ncor G arg ( j B( j [ G( j B( j ], l dénomnaur s annul. l y a nsablé π Condons rélls d un bon fonconnmn Ls condons récés n son alabls qu dans l doman d la héor n régm éabl. Un sysèm assr do consrr ss rformancs n régm ransor, c qu mos d noulls condons qu l on u résnr ar dux méhods d éuds courammn rnconrés. - méhod : éud ds dagramms d Bod d G ( j B( j L sysèm s n boucl our. Pour G ( j B( j d 45, c s-à-dr arg[ G( j B( j ] 5. On u auss ulsr la marg d gan d db lorsqu arg[ G ( j B( j ] 8 rarmn ulsé n élcronqu., l fau un marg d has φ M mnmal, qu s lus - méhod : éud d la foncon d ransfr H( L sysèm s n boucl frmé la méhod dmand d connaîr l analyqu d la foncon H(. S l ordr d la foncon s moran, l éud dn radmn dffcl on s raba rs l racé d Bod. Tou foncon réll u s décomosr n rodus d foncons du rmr du scond ordr (forms canonqus : ζ l l l H( ζ k j k k Ls coffcns d amorssmn ζ ds foncons du scond ordr don êr lus grands ou égaux à.5 (our ls crcus élcronqus. Pour φ M 45 ( méhod corrsond à u rès ζ.5 ( méhod la réons mulsonnll du sysèm assr rodu un déassmn (orshoo d un u mons d % d l mulson xcarc (ou énullmn d un échlon. Alcaon à un A.O. d y : G( 5, 6.8 B ( - méhod (boucl our G( B( 6.8 Sylan Géronm Pag 4

27 al sur la héor ds crcus -5 4 fréqunc d cassur Hz 7 db, -45 n - db/décad khz db, marg d has d 9.5 sysèm sabl -4 mhz.hz Hz KHz arg(g(jb(j db(g(jb(j Fréqunc A la fréqunc d khz ( db, la marg d has s φ M 9. L sysèm s sabl (on n u défnr un marg d gan car la has n u andr 8. - méhod (boucl frmé 5 H( Un sysèm assr du rmr ordr s ncondonnllmn sabl. Alcaon à un A.O. d y : ( - méhod (boucl our G ( B( G, B( Hz, 97 db Hz, 97 db - db/décad - db sysèm comnsé (sabl sysèm non comnsé (nsabl 8 khz, db khz, db résau corrcur -4 db/décad -4 mhz.hz.khz.mhz db(g(jb(j db((j db(g(jb(j(j Fréqunc MHz Sylan Géronm Pag 5

28 al sur la héor ds crcus - sysèm comnsé marg d has d 5 (sabl résau corrcur (rard d has 8 khz, -9 ( db sysèm non comnsé marg d has d 8 (nsabl -5 khz, -6 ( db - mhz.hz.khz.mhz arg(g(jb(j arg((j arg(g(jb(j(j Fréqunc MHz A la fréqunc d khz ( db, la marg d has s φ M 8, donc rès nférur à 45. L sysèm s nulsabl car oscllaor amor. - méhod (boucl frmé H( On dnf à la form canonqu du scond ordr 6 rad / s ou ncor f 6 khz ζ. 6 La fabl alur d ζ ndqu qu l sysèm s oscllaor amor. La foncon d ransfr H( du sysèm assr corrsond à un amlfcaur oéraonnl moné n suur (rour unar nsabl (rad. Comnsaon d un sysèm élcronqu assr La duxèm alcaon monr un sysèm résnan dux ôls au-dssus d l ax db (sans résnc d zéro. L bu d la comnsaon s d délacr cs ôls n ulsan ds crcus corrcurs afn d obnr un marg d has corrc ( 45. φ M Alcaon à un A.O. d y : On uls un résau corrcur assf (, d à rard d has, our rndr l sysèm sabl. Ms n cascad ac ls aurs blocs, l bu s d osonnr l duxèm ôl d G(B( sur l ax db (-5. Pour cla, l zéro d ( nhb l rmr ôl d G(B( l ôl d ( dn l nouau rmr ôl d G(B( à délacr rs la gauch (c d un décad. ( Sylan Géronm Pag 6

29 al sur la héor ds crcus On érf la sablé du sysèm ar ls dux méhods. - méhod (boucl our G ( B( ( La marg d has s alors φ M méhod (boucl frmé H( On dnf à la form canonqu du scond ordr rad / s ou ncor f khz ζ. 5 La alur d ζ s bn n accord ac la marg d has. Sylan Géronm Pag 7

30 al sur la héor ds crcus Quadrôls Un dôl s un crcu à un ar d borns (réssanc, médanc, admanc, crcu équaln d Thénn ou d Noron,. Un quadrôl s un crcu à dux ars d borns, un dôl d nré un dôl d sor, cs dôls n ayan as nécssarmn un on commun. L quadrôl s décr ar quar arabls qu son ls courans ls nsons ds dôls. On consdèr qu dux d cs arabls son ndéndans qu ls dux aurs son déndans, l sysèm d équaons éan lnéar. n régm saqu,,, n régm dynamqu,,,. C rrésnaon s surou ulsé n régm dynamqu : quadrôl résnaon d un quadrôl Ls combnasons d arabls rss dux à dux ossbls, condusn aux aramèrs z, y, h, h énullmn à la marc d ransfr T à la marc caracérsqu γ, L écrur d cs aramèrs s foncon d la ulsaon généralsé dans l doman fréqunl, c la noaon s smlfé. Paramèrs z z z z z z z z z Paramèrs y z médanc d nré, sor our z ransmédanc drc, sor our z ransmédanc nrs, nré our z médanc d sor, nré our y y y y y / y / y y Sylan Géronm Pag 8

31 al sur la héor ds crcus Paramèrs h y admanc d nré, sor n cour-crcu y ransadmanc drc, sor n cour-crcu y ransadmanc nrs, nré n cour-crcu y admanc d sor, nré n cour-crcu h h h h h h h / h Paramèrs h h médanc d nré, sor n cour-crcu h gan drc n couran, sor n cour-crcu h gan nrs n nson, nré our h admanc d sor, nré our h' h' h' h' h h h / h h ' admanc d nré, sor our h ' gan drc n nson, sor our h ' gan nrs n couran, nré n cour-crcu h ' médanc d sor, nré n cour-crcu Sylan Géronm Pag 9

32 al sur la héor ds crcus marqus : - ls aramèrs y h, défnssan un sourc déndan d couran n sor (schéma d Noron, son ulsabls our modélsr l comormn d crans comosans élcronqus (ranssors à ff d cham, ranssors bolars,, - ls aramèrs z h, défnssan un sourc déndan d nson n sor (schéma d Thénn, son ulsabls our l éud ds généraurs d nson (almnaons sablsés, régulés,. Caracérsaon dynamqu D manèr xhaus, caracérsr un quadrôl conss à éalur l médanc d nré Z, l médanc d sor Z S, ls dfférns ransfrs (gan n couran A, gan n nson A, gan n ussanc A P, ransmédanc Z T, ransadmanc Y T. So un quadrôl rrésné ar ls aramèrs h, xcé ar un sourc ndéndan d nson réll chargé ar un réssanc. La caracérsaon s ffcu c n régm dynamqu ac ds aramèrs réls. G G h h quaons du quadrôl h quaons ds dôls G h h G ( ( ( (4 - Gan n couran a h ( (4 h h a (5 h - médanc d nré z h h (, (4 (5 h h a z h (6 h - Gan n nson a (4, (5 (6 a z h a (7 ac h hh hh h h - médanc d sor z s La méhod d raal s l calcul d l médanc du dôl u aux borns d sor du quadrôl, la sourc ndéndan éan én la charg absn. h h h (, ( ( h (8 h z h G s G Sylan Géronm Pag

33 al sur la héor ds crcus - Gan n ussanc a a a (5 (7 a h ( h ( h h (9 L quadrôl xcé ar la sourc ndéndan réll u êr rrésné ar dfférns oologs. On rn c ls oologs où l dôl d sor aaraî sous son schéma d Thénn ou d Noron à d. On chang d noaon n osan Z z. L médanc d sor d l nsmbl quadrôl charg s alors ZS zs // la nson à d s A ac A a ( z. s G Z S Z G A o Z T Transformaon Thénn Noron Z Th Z No No A YT ac Y T (ransconducanc Z S G Z G Y T A Z S o A Lo d Ohm Z Z T A Z (ransréssanc A Z (gan n couran. Z S Msurs hysqus d aramèrs dynamqus A l nérur d sa band assan, un amlfcaur (qu l raall n nson ou n ussanc s défn ar ros aramèrs fondamnaux, à saor la réssanc d nré, la réssanc d sor S l gan n nson à d A. La caracérsaon qu n découl s radu sous la form du quadrôl suan : S S So A Sylan Géronm Pag

34 al sur la héor ds crcus - Dérmnaon du gan n nson à d Théorqumn : Praqumn : A S S S ac S A S S G S So G A On alqu, à l nré d l amlfcaur, un généraur d nson d amlud G d réssanc nrn G on récuèr l sgnal d sor non déformé. - Dérmnaon d la réssanc d nré Théorqumn : Praqumn : S G S So G A On s nérss à la nson d sor our un amlfcaur d nson ( S > afn obnr un lus grand récson ds msurs (fabl nau d nré, raor sgnal sur bru médocr,. Dux éas son nécssars : S S A G G A G Cas arculr s l on règl our obnr n sor G S S S S G s >> G. - Dérmnaon d la réssanc d sor Théorqumn : méhod d éaluaon d la réssanc d nré d un dôl. S G A Sylan Géronm Pag

35 al sur la héor ds crcus Praqumn : S G G S S A Dux éas son nécssars : >> S S S S S Cas arculr s l on règl our aor n sor S S S S. S S Dans ous ls cas, on s assur d oujours aor ds sgnaux sur l oscllosco à l mag du sgnal délré ar l généraur, afn d sasfar l conx d amlfcaon lnéar. Méhod d raal our quadrôls n cascad n raqu, un amlfcaur s consué d lusurs éags à foncons élémnars, caracérsés sous form d quadrôls. Pour chaqu éag n cascad, l dôl d sor, rrésné ar l schéma équaln d Thénn à d, s à l mag d un généraur d aaqu our l éag suan ans d su. G S S Sn n n S G A A A n n La méhod d raal, aux fréquncs moynns, conss - à décour la chaîn n n éags, - à calculr ls réssancs d sor d chaqu éag ac la résnc d la réssanc d S S Thénn à l nré d l éag ( ac S G ndéndammn d l éag qu su, n éran du rmr éag jusqu au drnr, - à calculr ls gans n nson d chaqu éag aaqué ar la nson à d d l équaln d A Thénn d l éag qu l récèd assocé à la réssanc d sor non chargé ar l éag qu su, n éran du rmr éag jusqu au drnr, - à calculr ls réssancs d nré d chaqu éag chargé ar la réssanc d nré d l éag qu su, n éran du drnr éag jusqu au rmr. S Sylan Géronm Pag

36 al sur la héor ds crcus La caracérsaon d la chaîn d amlfcaon sra ll qu - l gan n nson global A s égal au rodu ds gans n nson d chaqu éag n rnan n com ls aénuaons nr-éag A S - la réssanc d sor Z S d l amlfcaur s égal à la réssanc d sor du drnr éag n S Sn - la réssanc d nré Z d l amlfcaur s égal à la réssanc d nré du rmr éag A Adaaon d médancs So un sourc réll d nson ndéndan (généraur d foncons, ou déndan (dôl d sor d un amlfcaur sous form Thénn d forc élcromorc G d réssanc G un charg (réssanc ou dôl d nré d un amlfcaur. G G G G G G On calcul la ussanc ransms à la charg ud ds araons dp d G G ( G P Condon our qu la ussanc dans la charg so maxmal Pn à l orgn Tracz la courb P(. dp d G G G ( G dp d G G Pmax 4 G Sylan Géronm Pag 4

37 al sur la héor ds crcus - Adaaon au maxmum d ussanc G L adaaon d médancs s la condon nécssar our qu la ussanc ransféré d un crcu (équaln d Thénn dans un aur crcu (charg so maxmal. n H.F., our ransmr l énrg ar câbl coaxal, l fau qu clu-c so adaé, c s-à-dr qu l o à ss borns un réssanc égal à son médanc caracérsqu Z C. - Adaaon au maxmum d nson >> G l n y a as d aénuaon du au on d réssancs, la nson sur la charg s maxmal (, l couran mnmal l ransfr n ussanc mondr. G L aaqu d un éag collcur commun sur un amlfcaur à for médanc d nré ror la rsqu oalé d la nson. - Adaaon au maxmum d couran << G Cas dual du récédn, à saor couran maxmal, nson mnmal l ransfr n ussanc mondr. L couran d aaqu d un OTA sur un charg s, à u d chos rès, clu d cour-crcu. xml : n B.F., un amlfcaur audofréqunc d réssanc d sor d 4 Ω, ransmra l maxmum d ussanc à un charg d 4 Ω ou à dux chargs d 8 Ω n arallèl, mas l ourra fonconnr corrcmn sur un charg d 8 Ω. Cndan, un amlfcaur audofréqunc d réssanc d sor d 8 Ω, n ourra fonconnr corrcmn sur un charg d 4 Ω qu à olum rédu afn qu l couran d sor rs connabl à caus d la ussanc dssé dans ls ranssors ( anon au cour-crcu n sor!. Sylan Géronm Pag 5

38 al sur la héor ds crcus Sylan Géronm Pag 6

39 al sur la héor ds crcus Annxs Défnon roréés d la ransformaon d Lalac Transformé drc [ ] A un foncon f( corrsond F( L f ( f ( d. On rmarqu qu f( do êr null our <. f ( rrésnra la alur d f( au ms (condon nal. Lnéaré L [ k f ( ] k F( Addon L [ f f ( ] F ( F ( ( d Déraon L f ( F( f ( d n n d n Déraons mulls L f ( F( n d k n k f ( k ( négraon L F( f ( d λ Translaon d la arabl L [ f ( ] F( λ Produ d conoluon L [ f ( h( ] F( H( Théorèm d la alur nal lm F( f ( Théorèm d la alur fnal lm F( lm f ( Transformé nrs A un foncon F( corrsond f ( L [ F( ] Sylan Géronm Pag 7

40 al sur la héor ds crcus Tablau ds ransformés d Lalac F( f( δ ( n! n α. u (. u( n α. u(. u( ( α ( α ( β k ( α α α. u( β α β α [( k α ] k α ( k α ( k β ( α ( β ( α ( α ( β β α ( α α α β αβ αβ sn α α ( β α β β cosϕ ± snϕ cosϕ m snϕ cosϕ ± ( λ ( λ ( λ cosϕ m ( λ snϕ snϕ sn cos λ cos sn λ cos ( ± ϕ ( ± ϕ ( ± ϕ ( ± ϕ (à arr d la sèm lgn l rodu ar u( s sous-nndu Sylan Géronm Pag 8

41 al sur la héor ds crcus xrccs roblèms Théorèms fondamnaux ms n équaons Dsur d nson / couran S xrmz la nson n foncon d,,. S, xrmz l couran n foncon d,,., Alcaons d Thénn / Noron 5 aluz l couran. A B Donnz l généraur d Thénn équaln au dôl. Sylan Géronm Pag 9

42 al sur la héor ds crcus k charg Donnz l généraur d Thénn équaln au dôl. B A k k ac dc Mg 4 charg k - 5 B aluz ls élémns du généraur d Thénn équaln au dôl. Alcaon du héorèm d Mllman Y 4 Y 5 Y Y A B - Y s xrmz l raor ds nsons nson éan déal (nrés équonlls s n foncon ds admancs. Y du crcu, l amlfcaur d Sylan Géronm Pag 4

43 al sur la héor ds crcus éons d un crcu L So l crcu L ac condon nal null. L mh Un xcaon snusoïdal d amlud crê s alqué au crcu. L bu du roblèm s d obnr ls réonss du couran ( crculan dans la mall d la nson aux borns d l nducanc L ( ar ls ros chnqus suans : éons morll (arabl. crz l xrsson analyqu du couran.. crz l xrsson analyqu d la nson.. Démonrz qu la nson s n aanc d π/ ar raor au couran n régm rmann. égm snusoïdal éabl (arabl j 4. crz ls xrssons du modul d l argumn du couran d la nson. 5. Comarz cs résulas à cux obnus récédmmn n régm rmann. Transformés d Lalac (arabl 6. crz la foncon d ransfr n nson ( ( 7. Tracz ls courbs d réons dans l lan d Bod (modul argumn. 8. Par ransformés d Lalac, donnz l xrsson d la nson. L. Foncon d ransfr d un amlfcaur aux fréquncs basss So la foncon d ransfr 6 H ( Démonrz qu c foncon s décomosabl n foncons d ransfr d bas.. résnz ls réonss n fréqunc dans l lan d Bod n rnan comm arabl la ulsaon (modul argumn. Sylan Géronm Pag 4

44 al sur la héor ds crcus Corrélaon nr ms d moné fréqunc d couur So l crcu C ac condon nal null. C éons à un échlon uné d nson. crz l xrsson du ms d moné r défn ar la dfférnc ds ms our andr rscmn 9% % d la alur fnal. éons n fréqunc. crz la rlaon nr la fréqunc d couur f h du crcu ass-bas l ms d moné. (éons : r., f h.5 / r Sond ass d oscllosco So l schéma d rnc d un sond ass aénuarc. mbou d sond C S câbl d msur nré d l'oscllosco S C caacé C du câbl Mg C P L amlfcaur rcal d l oscllosco s rrésné ar l schéma équaln arallèl - C aux borns duqul xs la nson.. crz la foncon d ransfr ( (.. Donnz la condon our qu la foncon d ransfr so ndéndan d la fréqunc. aluz la réssanc our aor un aénuaon d raor / dédusz la alur d la caacé C S S découlan d la condon.. Dérmnz l médanc d nré d la sond branché sur l oscllosco, sous form d un schéma -C arallèl à la condon récédn. 4. Calculz racz ls réonss morlls d ( à un échlon d nson uné our un caacé d sond réglé aux alurs C ± S C S bands assans d la sond d l oscllosco son rès largs. (éons : S 9 MΩ, C So.56 F, MΩ //. F Sylan Géronm Pag 4 (on suosra qu C >> qu ls S C S

45 al sur la héor ds crcus Caracérsaon d un quadrôl L schéma suan rrésn un éag amlfcaur xcé ar un sourc réll d nson chargé ar un réssanc. G k G. crz l xrsson d la réssanc d nré du quadrôl chargé ar.. crz ls xrssons d la réssanc Th d la nson Th d Thénn consuan l dôl d sor chargé ar.. Dssnz l schéma équaln du quadrôl n ulsan ls élémns récédns. Snsblé d un on d Whason L schéma du on d Whason s l suan : M dc 4. crz l xrsson analyqu d la nson dfférnll M aux ons d msur dédusz la condon our qu c nson so null.. Dérmnz la snsblé du on écrr la condon sur ls réssancs our qu c snsblé so maxmal.. Pour ds réssancs à oléranc %, éaluz l rrur maxmal sur la nson M dans l cas d un snsblé maxmal du on. (éons : M m Sylan Géronm Pag 4

46 al sur la héor ds crcus Sylan Géronm Pag 44