Réponse d un système linéaire

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1 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller Physique aliquée Réonse d un système linéaire Edwin H. Armstrong Haut-arleur graves Lalace

2 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller Sommaire - Les systèmes linéaires - Caractérisation d un système 3- Pôles et zéros d une transmittance 4- Calcul de la réonse à une entrée donnée 5- Proriétés de la transformée de Lalace 6- Réonse imulsionnelle d un système 7- Stabilité d un système linéaire 8- Les ôles dominants d un système 9- Alication : comaraison de deux systèmes - Les systèmes asse-bas - Réonse indicielle d un asse-bas du er ordre - Réonse en fréquence d un asse-bas du er ordre 3- Réonse indicielle d un asse-bas du ème ordre ( 4- Réonse indicielle d un asse-bas du ème ordre ( 5- Influence de m sur le tems de réonse 6- Influence de m sur le déassement 7- Réonse en fréquence d un asse-bas du ème ordre ( 8- Réonse en fréquence d un asse-bas du ème ordre ( 9- Modélisation d un système linéaire

3 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller - Les systèmes linéaires Un système hysique électronique ou électromécanique est linéaire si e(t et s(t sont liés ar une équation différentielle linéaire. entrée e(t il ne résente aucune non-linéarité comme la saturation des amlificateurs les moteurs n ont as de seuil de démarrage, et le système ne contient ni trigger, ni relais l étude mathématique d un disositif linéaire est lus simle que celle d un système réel on commence donc toujours, si c est ossible, ar négliger les non-linéarités la régulation de chauffage «tout ou rien» est un exemle de système non-linéaire imossible à linéariser système hysique sortie s(t Exemle : groue amlimoteurgénératrice tachymétrique sortie s(t caractéristique linéarisée entrée e(t amlificateur moteur V à courant Ω génératrice continu tachymétrique sortie s(t seuils de démarrage caractéristique réelle Linéariser ce système revient à négliger : entrée e(t la saturation si e(t déasse,v les frottements qui emêchent le moteur de tourner si e(t <,7V l hystérésis qui dédouble la caractéristique saturation de l amlificateur Alet : simulation de quelques systèmes linéaires

4 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller - Caractérisation d un système Il y a lusieurs façon des caractériser un système hysique linéaire dans le but de révoir sa réonse à une entrée donnée : ar sa réonse à un signal de forme simle (imulsion, échelon, rame T db log(iti sortie ar son diagramme de Bode qui donne le module et l argument de la transmittance ϕ arg(t f entrée f Im(T ar l équation différentielle linéaire reliant e(t et s(t qui ermet de trouver la réonse s(t our une entrée e(t quelconque ar son diagramme de Nyquist qui décrit la transmittance comlexe ϕ Re(T s ( t. e( t e' ( t 3s' ( t s' '( t T ar sa transmittance comlexe T(j qui relie l entrée et la sortie en régime sinusoïdal j T( j 3 j ar sa transmittance de Lalace T( qui lie les transformées de Lalace de l entrée E( et de la sortie S( T( 3

5 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller 3- Pôles et zéros d une transmittance Le numérateur et le dénominateur de la transmittance de Lalace euvent se factoriser et T( eut se mettre sous la forme générale suivante : T ( K ( z ( ( z (...( z n...( m degré n degré m ordre du système les n racines zi du numérateur sont réelles ou comlexes conjuguées et s aellent des zéros les m racines j du dénominateur sont réelles ou comlexes conjuguées et s aellent des ôles La transmittance du système est entièrement déterminée ar la constante K, les zéros zi et les ôles j. Exemle : système du second ordre Im ( 3 (,5 T 5 (,5 j,94(,5 j,94,94 ôle zéro Cette transmittance est caractérisée ar : une constante K un zéro z -,5 deux ôles -,5 j,94 et -,5 j,94 -,5 -,5 - -,94 Re La rerésentation des ôles et des zéros dans le lan comlexe s aelle diagramme des ôles et des zéros. Alet : calcul des ôles et des zéros d une transmittance

6 4- Calcul de la réonse à une entrée donnée si l entrée est sinusoïdale, la transmittance comlexe ermet de calculer facilement la réonse : entrée e(t système T(j sortie s(t SIT(jI.E ϕargt(j e(te.cos(t s(tt.e.cos(tϕ la sortie est aussi sinusoïdale, et de même fréquence que l entrée l amlitude de la sortie déend de l amlitude de l entrée et du module T de la transmittance à la fréquence de travail le déhasage ϕ entre l entrée et la sortie est égal à l argument de la transmittance à la fréquence de travail si l entrée est de forme quelconque, la transmittance de Lalace ermet de calculer la réonse : entrée e(t E( système T( sortie s(t S( E(.T( on commence ar calculer la transformée de Lalace E( du signal d entrée e(t on écrit S( E(.T( ( évident en aliquant la transformée de Lalace inverse, on calcule s(t à artir de S( Réonse d un système linéaire jean-hilie muller

7 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller 5- Les roriétés de la transformation de Lalace Le tableau ci-dessous raelle les transformées de Lalace de quelques signaux simles et utiles, ainsi que les roriétés les lus imortantes de cette transformée : our simlifier les calculs, on suosera que signaux d'entrée sont nuls avant l'instant t le système est toujours suosé initialement au reos la transformée de Lalace F( d'une fonction f(t s écrit : F t ( f ( t. e dt théorème de la valeur finale : lim f ( t lim F ( t théorème de la valeur initiale : lim f ( t lim F ( t

8 jean-hilie muller Réonse d un système linéaire 6- Réonse imulsionnelle d un système Pour voir si un système linéaire défini ar T( est stable, on lui alique une erturbation et on observe l évolution de s(t : si la sortie s(t retourne à la valeur au bout d un tems limité, on dira que le système est stable si s(t augmente indéfiniment, le système est instable Si la erturbation est une imulsion, la transformée de Lalace de la tension de sortie s écrit, uisque E( :...( ( (...( ( ( ( (. ( ( m n z z z K T E T S Si on décomose cette sortie en éléments simles, on trouve la forme générale de la réonse à une imulsion : i sont les ôles réels et mi ± jni sont les ôles comlexes conjugués ( jn m L jn m L K K S... ( (... ( n m m L K K S... cos(... ( t n e L e K e K t s m t t t En regrouant les termes relatifs aux ôles conjugués, on trouve : et la réonse à une imulsion s écrit : les arties réelles des ôles réels ou comlexes se retrouvent dans les termes exonentiels les arties imaginaires des ôles comlexes conjugués se retrouvent dans les ulsations des termes oscillants

9 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller 7- Stabilité d un système linéaire Pour que la sortie revienne au reos arès une erturbation imulsionnelle : tous les termes exonentiels doivent être décroissants les ôles réels doivent donc être négatifs, ainsi que la artie réelle des ôles comlexes Critère de stabilité : un système est stable si sa transmittance T( n a que des ôles à artie réelle négative, c est-à-dire situés dans la moitié gauche du lan comlexe. oscillant croissant oscillant décroissant Im décroissant raide oscillant Re ôle décroissant lent croissant lent croissant raide La figure montre la contribution d un ôle sur la réonse d un système en fonction de sa lace dans le lan comlexe. Alet : allure de la réonse en fonction de la lace des ôles

10 8- Les ôles dominants d un système Nous venons de voir que la réonse d un système linéaire est déterminé ar la osition de ses ôles dans le lan comlexe : un système du ème ordre a ôles et sa réonse s(t à une imulsion comorte au maximum termes lorsque le tems s écoule, ces termes s éteignent les uns arès les autres les termes de la réonse qui durent le lus longtems corresondent aux ôles les lus roches de l origine on aelle ces ôles les ôles dominants et ce sont eux qui fixent la forme de la réonse les ôles lus éloignés ne jouent que sur la forme du début du régime transitoire entrée sortie zone d influence des ôles dominants zone d influence de tous les ôles t Ce résultat a des conséquences ratiques très utiles: un système d ordre élevé a, sauf excetion, un ou deux ôles dominants et se comorte donc comme un er ou un ème ordre on eut simlifier la transmittance d un système d ordre élevé en ne conservant que le ou les ôles dominants un ôle eut être négligé dès qu il est 3 ou 4 fois suérieur au récédent négliger les ôles éloignés de l origine revient, sur le diagramme de Bode, à négliger les fréquences de couure élevées Réonse d un système linéaire jean-hilie muller

11 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller 9- Alication : comaraison de deux systèmes Le système A est caractérisé ar : système du second ordre ossède deux ôles comlexes conjugués déassement 68% ic à,5 seconde Le système B est caractérisé ar : système du cinquième ordre ôles dominants identiques aux ôles de A déassement 56% ic à, seconde ôles ôles réonse indicielle réonse indicielle Remarque : les réonses à un échelon de ces systèmes sont voisines sans être tout à fait identiques. On ourra donc dans la luart des cas assimiler ce 5ème ordre à un ème ordre, avec toutes les simlifications de calcul qui en découlent.

12 - Les systèmes asse-bas La luart des systèmes électriques ou électromécaniques rencontrés dans la ratique sont des asse-bas : les comosants actifs (transistor, amlificateur oérationnel ont toujours une fréquence limite de fonctionnement l inertie des ièces en mouvement emêche les systèmes électromécaniques de suivre aux fréquences élevées ils ont un gain statique un système est asse-bas si T( l amlification en continu se mesure en régime ermanent elle se calcule en faisant dans la transmittance T( elle se calcule en faisant dans T(j 5 sortie entrée Amlification en continu : 5 T db log(iti ils ne «assent» as les fréquences élevées un système est asse-bas si T( quand le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur le module de la transmittance chute aux fréquences élevées le diagramme de Nyquist finit en si la fréquence augmente ϕ arg(t f f Im(T ϕ T Re(T Réonse d un système linéaire jean-hilie muller

13 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller - Réonse indicielle d un asse-bas du er ordre Les systèmes asse-bas qui ont une réonse de ce tye sont ceux qui ont : un seul ôle réel négatif ou lusieurs ôles,, 3 avec un ôle dominant soit II, I3I >>II la transmittance de Lalace eut toujours se mettre sous la forme «standard»: T ( A τ Ao amlification statique τ constante de tems la réonse à un échelon d amlitude E a our exression : s( t A E(e t τ la valeur finale vaut Ao.E et le tems de réonse tr à 5% vaut tr3.τ s(t Ao.E tangente valeur finale 63 % sortie,95.ao.e Au bout d un tems t τ la tangente à l origine coue la valeur finale la réonse est à 63% de la valeur finale tems de réonse à 5%

14 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller - Réonse en fréquence d un asse-bas du er ordre la transmittance comlexe s écrit facilement sous une forme standard classique : avec une ulsation de couure τ T( j Ao j le diagramme de Bode a l allure suivante : T/Ao /o ente : db/dec le diagramme de Nyquist est un cercle : Im ϕ /o Ao Re

15 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller 3- La réonse indicielle d un asse-bas du ème ordre ( Un système du second ordre a une transmittance qui eut toujours s écrire sous la forme standard : T ( A m avec Ao : amlification statique m : amortissement o : ulsation rore si m >, T( a deux ôles réels et la transmittance eut se factoriser cas eu intéressant, le système est tro lent la transmittance s écrit : Ao.E.95Ao.E T ( ( A ( P tr5% t t s( t K e K e t si m, T( a un ôle double o la transmittance eut se factoriser ce cas corresond au régime critique cas souvent jugé tro lent la transmittance s écrit : Ao.E t T ( A ( P t r,75.to 5 % t s( t e ( t

16 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller 4- La réonse indicielle d un asse-bas du ème ordre ( Un système du second ordre a une transmittance qui eut toujours s écrire sous la forme standard : T ( A m avec Ao : amlification statique m : amortissement o : ulsation rore si m <, T( a deux ôles comlexes conjugués et la transmittance ne eut as se factoriser les régimes transitoires sont satisfaisants si,3 < m < le déassement vaut d A/B la transmittance s écrit : Ao.E A T 5% -5% A T ( m les deux ôles ont our exression: B tr5% t m j m m j m seudo-ériode: T To m t e s( t sin( t ϕ m m m avec cos(ϕ m

17 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller 5- Influence de m sur le tems de réonse Pour obtenir le tems de réonse tr à 5% du système our une valeur d amortissement m : lire le tems de réonse réduit T tr.o diviser cette valeur ar la ulsation rore : tr T/ o tems de réonse réduit T tr. o Passe-bas du second ordre : tems de réonse Exemle Un système est caractérisé ar : ulsation rore o rad/s amortissement m transmittance statique Ao 5 3mTo tr5 % π si m >> Son tems de réonse tr vaut : T (donné ar l abaque tr T/ o /, s Allure de sa réonse indicielle : s(t 5 4,75 tr,s t amortissement m

18 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller 6- Influence de m sur le déassement L abaque ci-dessous donne les déassements de la réonse indicielle our une valeur d amortissement m : déassements D5 Exemle D4 Un système est caractérisé ar ulsation rore o rad/s D3 amortissement m, transmittance statique Ao 5 Passe-bas du second ordre : déassements our la réonse indicielle D D Les déassements valent : D,5 5% D,8 8% D3,5 5% D4,4 4% D Allure de sa réonse indicielle : D3 D5 s(t 5% D D4 5 8% 5% 4% amortissement m amortissement m t

19 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller 7- Réonse en fréquence d un asse-bas du ème ordre ( Un système du second ordre a une transmittance comlexe qui s écrit sous la forme standard : T ( A m avec Ao : amlification statique m : amortissement o : ulsation rore si m >, la transmittance a deux ôles réels la transmittance se factorise le diagramme de Bode a cassures la courbe asse à -3dB sous les cassures la ente asse à, uis à 4dB/dec si m, la transmittance a un ôle double o la transmittance se factorise le diagramme de Bode a une cassure double la courbe asse à -6dB sous la cassure la ente est de 4dB/dec arès o Ao TdB T ( j ( Ao j ( j Ao TdB o T ( j ( Ao j o ϕ ϕ -π/ -π -π

20 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller 8- Réonse en fréquence d un asse-bas du ème ordre ( Un système du second ordre a une transmittance comlexe qui s écrit sous la forme standard : T ( A m avec Ao : amlification statique m : amortissement o : ulsation rore si m <, deux ôles conjugués et la transmittance ne eut as se factoriser à la cassure, le module vaut TAo/m si m <,77 le module asse ar un maximum l allure des courbes de gain et de hase déend de m la ente est de 4dB/dec arès o TdB Tmax Ao r TAo/m Ao T( j jm o le maximum de valeur Tmax se trouve à r ϕ r m -π/ T max m m -π

21 9- Modélisation d un système Plusieurs techniques ont été déveloées à l usage des industriels qui ont besoin de modéliser leur système our en connaître la transmittance T(. La méthode de Strejc, ar exemle, ermet de trouver l exression de T( à artir de l enregistrement de sa réonse indicielle dans le cas où le rocessus a une fonction de transfert : sans ôle à l'origine c est-à-dire as d'intégrateur sans ôles comlexes conjugués, c est-à-dire as d oscillations dans la réonse indicielle ayant n constantes de tems T admettant éventuellement un retard ur τ T ( K e τ ( T n s(t/e tangente au oint d inflexion Mode oératoire : K la valeur finale de s(t donne K on trace la tangente au oint d inflexion Q oint d inflexion Q on mesure les tems τ, Tu et Tb on calcule Ta Tb (Tu τ uis Tu/Ta si Tu/Ta alors n si Tu/Ta, alors n si Tu/Ta, alors n 3 Tu Tb si Tu/Ta,3 alors n 4 Réonse d un système linéaire jean-hilie muller

22 Physique aliquée Zillisheim - l étang en hiver FIN Reroduction interdite sans autorisation réalable. Réonse d un système linéaire jean-hilie muller