DM n o 17 : Intégration

Transcription

1 Lycée Louis-Le-Grnd, Pris Pour le 14/05/2015 MPSI 4 Mthémtiques A. Troesch DM n o 17 : Intégrtion Correction du problème 1 Intégrle de Lebesgue Prtie I Intégrtion pr rpport à une mesure 1. Soit f = α k 1 Ak une fonction étgée, les A i étnt 2 à 2 disjoints (sinon, on peut s y rmener fcilement en considérnt toutes les intersections possibles des A i et leurs complémentires. Quitte à regrouper certines prts (ce qui n est ps gênnt, l tribu étnt stble pr union, on peut même supposer que les α k sont deux à deux distincts. L fonction f ne prend lors que les vleurs {α 1,...,α n }, et pour tout k [1,n], f 1 (α k =. On lors, pour tout borélien X, f 1 (X =, k α k X qui est bien un élément de l tribu T, pr stbilité pr union. Ainsi, f est mesurble. 2. Soit f et g mesurbles positives. Notons (f les fonctions étgées minornt f. ( Si 0 fleg, lors toute fonction étgée minornt f minore g : (f (g. On en déduit que ( n ( n α k 1 Ak sup α k 1 Ak, αk 1 Ak (g c est-à-dire f dµ sup αk 1 Ak (f g dµ. De plus, 0 est une fonction étgée minornt f, donc, pr définition de l borne supérieure, f dµ 0. (b Supposons A B. On considère f A = 1 A f et de même pour f B. Soit h = α k 1 Ak une fonction étgée minornt f A. Cette fonction est nécessirement nulle en dehors de A, et minore donc f B en-dehors de A. lle minore ussi f B sur A, puisque f A et f B coïncident sur A. Ainsi, h (f B. On en déduit que (f A (f B, et en pssnt à l borne supérieure, il vient : A f dµ B f dµ. (c Cette propriété résulte du fit que si h = α k 1 Ak est étgée, lors ussi ch, et sum n cα k µ( = c α k µ(. Pr illeurs, suf si c = 0 (mis dns ce cs, le résultt est trivil, h minore f ssi ch minore cf. On obtient l églité voulue en pssnt ux bornes supérieures : cf dµ = c f dµ. 3. Soit f une fonction mesurble positive telle que f dµ = 0. 1

2 ( Soit A n = f 1 ([ 1 n,+ [. L fonction f étnt mesurble, A est un ensemble mesurble. Pr illeurs, de fçon évidente, 1 n 1 A n minore f, et est étgée. Ainsi, pr définition, de l intégrle, 0 1 n µ(a n f dµ = 0. On en déduit que µ(a n = 0. (b On 4. Soit s = On obtient lors f 1 (R = f 1 (R + = f 1 ([ 1 n,+ [ µ(f 1 (R = lim n + f 1 ([ 1 n,+ [ = 0 Pour cette dernière ffirmtion, on utilise une propriété clssique des mesures, ffirmnt que si (B n est une suite croissnte d ensembles mesurbles, µ A n = lim µ(a n. n + Cette propriété s obtient en écrivnt B n = A n \A n 1 (en posnt A 0 =, et en remrqunt que l on A n = n = n B k et = mis cette fois, les B i sont 2 à 2 disjoints. Ainsi, l propriété d dditivité et de σ-dditivité fournit : ( n ( n µ = µ(b k = lim µ(b k = µ B k = lim µ(a n. n + n + α i 1 Ai une fonction étgée, et B T. ( s étnt une fonction étgée se minornt elle-même, on s dµ α i µ(a i. Soit t une fonction étgée minornt s, t = m β i 1 Bi, les B i étnt supposés disjoints. Comme t minore s, t est nulle en dehors de l union des A j. Pr conséquent n n B i = B i = B i A j. A j Les B i A j étnt disjoints, on, pour tout (i,j tel que B i A j soit non vide, β i α j (obtenu en évlunt s et t en un point de l intersection, donc β i µ(b i A j α i µ(b i A j. Cette églité reste trivilement vrie sur B i A j =. Ainsi, pr dditivité, on obtient : ( ( m m m m m m β i µ(b i = β i µ(b i A j α i µ(a j B i = α i µ A j B i α i µ(a j. On en déduit, pr pssge à l borne supérieure sur t, que m s dµ µ(a j. Les deux inéglités obtenues mènent : s dµ = m µ(a j. B k, 2

3 (b On ν( = α i µ(a i = 0. Pr illeurs, si (B i i N est une fmille d éléments 2 à 2 disjoints de T, et B l union de ces ensembles, s 1 B = α i 1 Ai B. L ensemble B est dns T (stbilité pr union dénombrble, donc ussi les A i B, qui de plus, sont 2 à 2 disjoints. Ainsi, on toujours une fonction étgée, et B s dµ = Or, pr σ-dditivité, les B i étnt 2 à 2 disjoints, s 1 B = I(s 1 B = µ(a i B = j=0 α i µ(a i B. µ(a i B j, donc (on n ps de convergence à justifier : il peut y voir divergence vers l infini d une de ces séries mis dns ce cs, l églité est trivilement vrie dns R : Ainsi, ν est une mesure. B s dµ = j=0 α i µ(a i B j = j=0 B j s dµ = j=0 ν(b j. (c Quitte à jouter un terme nul 0 1 An+1 dns l définition de s, où A n+1 est le complémentire de l union des, on peut supposer que les A n forment une prtition de. De même pour les B n. Soit i,j = A i B j. Les i,j forment lors ussi une prtition (u plus dénombrble, et même finie de. On lors 1 i,j s = α i 1 i,j et 1 i,j t = β j 1 i,j, d où 1 i,j (s+t = (α i +β j 1 i,j. On en déduit de fçon immédite que (s+t dµ = (α i +β j µ( i,j = s dµ+ t dµ. i,j i,j i,j Notons ν s l mesure définie dns l question précédente, ssociée à l fonction étgée s. On lors, pour tout (i,j ν s+t ( i,j = ν s ( i,j +ν t ( i,j. Pr σ dditivité de ν s, ν t et ν s+t (on n utilise en fit que l dditivité, on donc = ν s +ν t, soit c est-à-dire ν s+t (s+t dµ = (i,j i,j (i,j i,j ν s+t ( = ν s (+ν s (, s dµ+ t dµ. 5. Théorème de convergence monotone de Lebesgue Soit (f n une suite de fonctions mesurbles positives, telles que pour tout x, (f n (x n N soit croissnte, et converge vers f(x. (i,j i,j 3

4 ( Soit y R. On, pour x R : f(x y lim n + f n(x y n N,f n (x y, l dernière ffirmtion provennt de l croissnce de l suite (f n. Ainsi, f 1 (],y] = + n=0 f 1 n (],y], ces derniers ensembles étnt mesurbles, pr mesurbilité des f n. T étnt stble pr intersection dénombrble, f 1 (],y] T. D près un point dmis dns l énoncé, les ],y] engendrnt l tribu des boréliens, f est mesurble. (b On, pour tout n N, 0 f n f n+1, donc, d près 2(, f n dµ f n+1 dµ. L suite ( Soit α s limite. f n dµ est lors croissnte donc convergente dns R. (c Pour tout n N, on f n f, donc f n dµ f dµ, cette inéglité étnt éventuellement à prendre dnsr. On psse à l limite dns cette inéglité : α (d On α f n dµ f n dµ c s(x dµ = cν s ( n. n n Or, pour tout x, si f(x = 0, f n (x ussi pour tout x, insi que s(x. On lors trivilement x n pour tout n N si f(x > 0, cs(x s(x f(x, l une u moins de ces deux inéglités étnt stricte. Ainsi, cs(x < f(x. Pr convergence de l suite (f n, il existe N tel que pour tout n N, f n (x cs(x. Ainsi, x n. On en déduit que n=0 n =. Pr illeurs, l croissnce de l suite (f n ssure imméditement que ( n est une suite croissnte. L propriété déjà utilisée en question 3, ppliquée à l mesure ν s, mène : ν s ( = lim n + ν s( n. Ainsi, en pssnt à l limite dns l inéglité obtenue ci-dessus, il vient : α cν s ( = c s dµ. (e n pssnt à l borne supérieure sur s étgée minornt f, il vient lors : α c f dµ. Ceci étnt vri pour tout c < 1, on peut psser à l borne supérieure sur c ]0,1[, et il vient donc : α f dµ. L inéglité opposée ynt déjà été justifiée, on donc : lim f n dµ = f dµ. f dµ. 4

5 Prtie II Intégrle de Lebesgue et intégrle de Riemnn. 1. L ensemble Q est un borélien, cr union dénombrble de singletons, eux-même des boréliens puisqu ils s écrivent : =],] R ], 1 n ]. n fit, comme dmis dns l énoncé, tous les intervlles sont des boréliens, en prticulier les singletons. L intervlle [0,1] ussi (construction similire à ci-dessus, donc Q [0,1] est ussi un borélien. Ainsi, 1 Q [0,1] est étgée, donc mesurble. Pr illeurs, 1 Q [0,1] dλ = λ(q [0,1] = x Q [0,1] λ({x} = 0, pr définition de λ sur les intervlles (en prticulier les singletons. Ce risonnement est vlide pr σ dditivité, Q [0, 1] étnt dénombrble. Ainsi, le résultt obtenu étnt réel, 1 Q [0,1] est Lebesgue-intégrble. 2. Soit h une fonction en escliers, = σ 0 < σ 1 < < σ n = b une subdivision ssociée, et pour tout i [1,n], h i l vleur de h sur le plier A i =]σ i 1,σ i [. On note églement, pour i [0,n], h i l vleur de h en σ i. On lors : h = h i 1 Ai + h i 1 {σ i}, tous les ensembles intervennt étnt mesurbles (ce sont des intervlles et 2 à 2 disjoints. Ainsi, h est une fonction étgée, à support dns [,b], et [,b] h dλ = Les singletons étnt de mesure nulle, il reste : i=0 h k λ(a i + h iλ(σ i. i=0 h dλ = h k (σ i σ i 1 [,b] soit: h dλ = b [,b] h(t dt 3. Soit f une fonction Riemnn-intégrble sur [,b]. Pr crctéristion séquentielle de l borne supérieure, et pr définition de l intégrbilité u sens de Riemnn, il existe une suite ( g n de fonctions en esclier telles que b g n (t dt b f(t dt. On construit lors g n = sup g k. Ces fonctions sont encore en esclier, et minorent f. Pr contruction, l k [[0,n]] suite (g n (x est croissnte pour tout x. De plus, on : n N, b g n (t dt Ainsi, d près le théorème d encdrement, on églement b b g n (t dt g n (t dt b f(t dt. b f(t dt. On montre de l même mnière l existence d une suite décroissnte (h n de fonctions en esclier mjornt f telles que b h n (t dt b f(t dt. 5

6 4. Tel qu il est écrit, l énoncé suppose qu on générlise l construction de l intégrle ux fonctions de signe quelconque, et qu on générlise le théorème de convergence monotone à cette sitution. Afin de ne ps voir à fire ces générlistions et à rester vec les notions démontrées jusque là, nous ne suivrons donc ps totlement l énoncé pour terminer cette prtie. Pour commencer, on suppose f positive, pour rester dns le cdre étudié jusqu ici. Pr illeurs, f est bornée, cr Riemnn-intégrble. n notnt m et M un minornt et un mjornt de f, quitte à considérer g n = sup(g n,m et h n = inf(h n,m, on peut supposer que les fonctions g n et h n sont elles ussi toutes minorées pr m et mjorées pr M. On peut choisir m = 0, ce que nous fisons désormis. Considérons l suite g n h n +M. Il s git lors d une suite de fonctions en esclier (donc Lebesgue-intégrbles, croissnte (cr (g n est croissnte et (h n décroissnte. Notons pour tout x R, g(x l limite de l suite croissnte(g n (x eth(x l limite de l suite décroissnte(h n (x. On lors, d près le théorème de convergence monotone de Lebesgue : Pr illeurs, d près l question 2, [,b] On donc (g n h n +M dλ = b [,b] (g n h n +M dλ g n (x h n (x+m dx = [,b] b [,b] (g h+m dλ. g n (x dx+ g h+m dλ = (b M. b h n (x+(b M (b M. On ne peut ps se rmener directement à l question I-3, cr cel nous obligerit à générliser le résultt à des fonctions négtives. Nous llons donc dpter son rgument. On sit ici que k = g h+m est mesurble (cel provient du théorème de convergence monotone de Lebesgue, et mjorée pr M. Soit lors n N, et A n = k 1 (],M 1 n ]. Soit s une fonction étgée minornt k. On lors s k M 1 n sur A n, et s k M illeurs. On lors s (M 1 n 1 A n +M1 [,b]\an, donc, pr monotonie de l intégrle, et pr description de l intégrle des fonctions étgées : s dλ M(b 1 n λ(a n. [,b] n pssnt à l borne supérieure, il vient donc M(b = [,b](g h+m dλ M(b 1 n λ(a n, ce qui n est possible que si λ(a n = 0. On donc λ(k 1 (],M 1 n ] = 0 pour toutn N, donc en considérnt l union dénombrble de ces ensembles, pr le même rgument qu en I-3, λ(k 1 (],M[ = 0. Comme k est toujours inférieure à M, il en résulte que k = M suf sur un ensemble k 1 (R \ {M} de mesure nulle. Ainsi, g h+m = M suf sur un ensemble de mesure nulle, donc g = h suf sur un ensemble de mesure nulle. Comme f est coincée entre g et h, on lors f = g suf sur un ensemble de mesure nulle. Pr illeurs, g est mesurble d près le théorème de convergence monotone de Lebesgue, et [,b] f dλ = [,b] g dλ = lim g n dλ = lim n + [,b] n + Ainsi, si f est Riemnn-intégrble, elle est Lebesgue-intégrble, et [,b] f dλ = b f(x dx. b g n (x dx = b f(x dx. Évidemment, si on dispose des générlistions pour les fonctions non nécessirement positives, l rgument est le même, mis sns voir besoin de trnslter pour se rmener à des fonctions positives, ce qui simplifie un peu l rgument. 6

7 Prtie III Théorème de Crthéodory 1. Pour tout X P(S, on Ainsi, M. Soit A M. On lors, pour tout X M : m ( X+m ( X = m ( +m (X = m (X. m (X = m (A X+m (A X = m (A X+m (A X. pr conséquent, A M. Ainsi, M est stble pr complémenttion. 2. Soit A et B dns M ( On : X (A B = (X A (X B = (X A ((X B\(X A = (X A (X (B \A, d où X (A B = (X A (X B A. (b Pour commencer, l sous-σ-dditivité implique l sous-dditivité : il suffit pour cel de compléter une fmille finie en une fmille dénombrble pr jout de l ensemble vide, et d ppliquer l sous-σ-dditivité à cette fmille dénombrble. On lors, d près l question précédente : m (X (A B m (X A+m (X B A, puis m (X (A B+m (X (A B m (X A+m (X B A+m (X A B. Or, B étnt dns M, en ppliqunt l définition de l m -mesurbilité vec X = X A, on obtient : m (X A+m (X B A+m (X A B = m (X A+m (X A = m (X, l dernière églité provennt de l m -mesurbilité de A. Ainsi (c D un utre côté, l sous-dditivité mène : m (X (A B+m (X (A B m (X. m (X = m ((X (A B (X A B m (X (A B+m (X A B. Ainsi, l inéglité opposée ynt été démontrée dns l question précédente, A B M. On en déduit que M est stble pr union de 2 éléments, puis pr récurrence, M est stble pr union finie. Puisque M est ussi stble pr complémenttion, d près les lois de De Morgn, on obtient lors églement l stbilité de M pr intersection finie. 3. Soit ( k N une fmille d éléments de M deux à deux disjoints. ( On : ( n+1 A n+1 = ( A n+1 soit: n+1 les ensembles A n+1 étnt vides pour k n+1. De même, ( n+1 A n+1 = A n+1, ( n+1 A n+1 = ( A n+1 soit: n+1 ( n+1 A n+1 = n, puisque +1 pour k n+1, et A n+1 A n+1 =. 7

8 (b On montre pr récurrence sur n N l propriété P(n suivnte : pour tout X P(S, on : ( n m (X = m (X. Pour n = 0, l églité se résume à m (X = k m (X, soit 0 = 0. On peut remrquer (mis ce n est formellement ps nécessire que l propriété u rng n = 1 est églement trivile : elle se résume à m (X A 1 = m (X A 1. Soit n 1 (n 0 suffit tel que P(n soit vrie. On lors, pr m -mesurbilité de A n+1 : m (X ( n+1 = m (X ( n+1 A n+1 +m (X ( n = m (X A n+1 +m (X. Pr hypothèse de récurrence, il vient lors : ( n+1 m (X = m (X A n+1 + ( n+1 A n+1 n+1 m (X = m (X. Ainsi, l propriété P(n+1 est églement vérifiée. D près le principe de récurrence, l propriété P(n est donc vrie pour tout n N. n (c On prend X = dns l propriété P(n. Les A i étnt deux à deux disjoints, on lors X =, pour tout k [1,n]. On obtient lors : ( n m = m (. Ainsi, m est dditive. 4. Les nottions étnt les mêmes que dns l question précédente, on pose A = n B n =. ( D près l question 2, B n est dns M, et et pour tout n N, m (X = m (X B n +m (X B n = m ( +m (X B n, d près l question 3. Pr illeurs, B n A, donc X A X B n. On déduit lors de l monotonie de m que : m (X m ( +m (X A. (b L inéglité précédente étnt vrie pour tout n, on peut psser à l limite lorsque n tend vers + (ce qui toujours un sens dns R : m (X pr sous-σ-dditivité. Ainsi, m (X m (X A+m (X A. L inéglité opposée s obtient simplement pr sous-dditivité, donc m ( +m (X A m +m (X A, (1 m (X = m (X A+m (X A. 8

9 L première chose qu on en déduit est que A M, et d utre prt, pour que l églité soit possible, l seconde inéglité de l expression (1 ne peut ps être stricte, donc m ( = m. 5. M contient, est stble pr complémentire, et d près l question précédente, pr union dénombrbles d ensembles deux à dexu disjoints. Soit mintennt ( k N une fmille d éléments de M non nécessirement deux à deux disjoints. On définit B n comme dns l question précédente, insi que B 0 =, et C n = B n \B n 1, pour n 1. Les B n sont dns M (on prouvé l stbilité pr union finie, donc ussi les C n (stbilité pr complémenttion et intersection finie. Or les C n sont 2 à 2 disjoints, et A n = Donc, d près l stbilité de M pr union dénombrbles d élément deux à deux dijoints, on en déduit qu on ussi A n M. Donc M est stble pr union dénombrble. Ainsi, M est une tribu. L propriété m ( et l question 4(b montrent que m se retreint en une mesure sur M. C n. Prtie IV Théorème de prolongement de Hhn 1. (i Toutes les sommes intervennt dns l définition de µ sont positives. Ainsi, pour tout X, µ (X 0. Pr illeurs, si X =, en prennt pour tout n N, A n =, on = X, et µ(a n = 0. Ainsi, µ ( 0. Les deux inéglités mènent µ ( = 0. (ii (Monotonie Soit A B. Notons A + l ensemble des fmilles ( d éléments de A telles que A de même B +. l inclusion A B mène lors de fçon évidente B + A +, donc ( + ( + µ(a n inf µ(a n, (A n A + inf (A n B + c est-à-dire µ (B µ (A. D où l monotonie de µ. (iii (Sous-σ-dditivité. Soit (A n n N une fmille dénombrble de sous-ensembles de S., et définissons Soitε > 0. Pr crctéristion de l borne inférieure, il existe une fmille(b n,k k N A + n (mêmes nottions que dns l question précédente telle que On lors : µ (A n + ε + 2 n µ(b n,k. µ 1 + (A n +ε 2 n µ(b n,k. Les termes étnt tous positifs, soit les fmilles considérées sont sommbles, soit les sommes sont infinies. Dns les deux cs, on peut écrire : µ (A n +ε (n,k N µ(b n,k. 9

10 Or, A = A n élément de A +. On donc, pr définition de µ (A : B n,k. Ainsi, quitte à réindexer (B n,k sur N, on peut dire que (B n,k est un Ceci étnt vri pour tout ε > 0, il en découle que c est-à-dire l sous-σ-dditivité de σ. Ainsi, µ est une mesure extérieure. µ (A n +ε µ (A. µ (A n µ A n, Au pssge retenez l méthode employée pour découper un petit epsilon en une infinité de prts : il suffit de prendre des prts de plus en plus petites de sorte à ssurer l convergence de l somme de ces prts vers ε. C est un rgument souvent très utile. 2. Pr conséquent, d près l prtie III, µ se restreint en une mesure µ sur l tribu M. Cette tribu M contient en prticulier les ensembles µ -mesurbles. Une mesure µ sur une lgèbre A est monotone : si A B, on peut écrire B = A (B A. L ensemble B A est encore dns A, et pr dditivité, µ(b = µ(a+µ(b A µ(a. Pr illeurs, une mesure positive µ sur une lgèbre est sous-σ-dditive. n effet, soit (B n n 1 une suite d éléments de A dont l union est encore dns A. On définit C n = n Les C i sont 2 à 2 disjoints, pour tout n N, C n B n et C n = On lors, pr monotonie de µ et σ-dditivité : ( + µ B n = µ C n = Soit lors (B n une suite d éléments de A telle que A A = + n 1 B k \ B k. B n. A B n, µ(c n B n. On lors µ(b n. les A B n étnt dns A, insi que leur union. Pr sous-σ-dditivité, il vient donc µ(a µ(a B n µ(b n. Pr pssge à l borne inférieure, il vient µ(a µ (A. l inéglité réciproque s obtient simplement en considérnt l suite B 1 = A, B k = si k > 1. Ainsi µ(a = µ (A, donc µ et µ coïncident sur A. Soit A A et X S. L sous-σ dditivité de µ mène µ (X µ (X A+µ (X A. 10

11 Réciproquement, soit (B n une suite d éléments de A telle que X µ (X+ε µ(b n. B n et On lors X A (B n A et X A (B n A, tous les ensembles de ces unions étnt dns A. On lors µ (X A+µ (X A µ(b n A+ µ(b n A = µ(b n, pr dditivité. Ainsi µ (X A+µ (X A µ (X+ε. Ceci étnt vri pour tout ε > 0, il vient : µ (X A+µ (X A µ (X. Les deux points précédents permettent d ffirmer que A M. Pr conséquent, M étnt une tribu, pr minimlité, σ(a M. Ainsi, on peut encore restreindre µ en une mesure µ sur σ(a. Ainsi, il existe un prolongement µ de µ sur σ(a. 3. On montre dns cette question l unicité. Soit µ 1 et µ 2 deux prolongements de µ sur σ(a. On définit C = {A A, µ(a < + } ( Soit (A,B C 2. On lors A B A, et pr monotonie de µ, µ(a B µ(a < +. Ainsi, C est stble pr intersection finie. C est donc un π-système. (b µ étnt σ-finie, il existe (A n n N telle que pour tout tout n N, µ(a n < + et S = Soit lors A A. On donc : Or, pour tout n N, A A n est dns A, et A = n=0 A A n. µ(a A n µ(a n < +. Ainsi, A A n C. Pr stbilité d une σ-lgèbre pr union dénombrble, on en déduit que A σ(c. Pr minimlité de l σ-lgèbre engendrée pr A, il vient donc σ(a σ(c. L inclusion réciproque est immédite du fit que C A. Ainsi, σ(a = σ(c. (c Les mesures µ 1 et µ 2 définies sur σ(a = σ(c coincident sur le π-système C. On déduit du dernier point dmis dns l énoncé (théorème d unicité des mesures, découlnt du lemme de clsse monotone, que µ 1 = µ 2. L mesure de Lebesgue est lors construite insi : On commençe pr définir λ(i pour les intervlles I pr leur longueur. Ceci se prolonge ssez nturellement ux unions disjointes finies d intervlles, en fisnt tout de même ttention u fit qu un tel ensemble peut s écrire de plusieurs fçons différentes comme union finie d intervlles 2 à 2 disjoints : il fut donc montrer l invrince vis-à-vis de cette décomposition. On montre que l ensemble A des éléments de P(R s écrivnt comme union finie d intervlles disjoints est une lgèbre, et que λ insi définie est une mesure sur cette lgèbre (c est là le point délict, notmment pour montrer l σ-dditivité. On peut d illeurs noter que c est pour cette preuve précisément que Borel énoncé le fmeux théorème de Borel-Lebesgue pour les compcts en On définit lors λ sur B = σ(a pr le théorème de prolongement de Hhn. n=0 A n. 11