2. Performances d'un Système : Stabilité - Précision - Rapidité

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1 . Performanes d'un Sysème : Sabilié - Préision - Raidié STBILITE Condiion générale de sabilié Sabilié au sens sri (sysème asymoiquemen sable, sabilié au sens de Lyaunov) Il y a reour à l'équilibre arès disariion de la erurbaion. Il es insable s il n y revien as ou s il s'en éare. Exemle : endule simle ure définiion de la sabilié (au sens large) : enrée bornée orresond une sorie bornée our le sysème. Crière général de sabilié des sysèmes à TC δ () Tems h() y() h() Fréquene H() Y() H() Théorème : (hyohèse de ausalié) TC : Un sysème linéaire à TC es sable si e seulemen si ous les ôles de sa FT on leur arie réelle sriemen négaive. TD : TC TD : z e T (T : ériode d éhanillonnage) Un sysème linéaire à TD es sable si e seulemen si ous les ôles de sa FT on leur module sriemen inférieur à. TR.

2 Les ôles d'un sysème araérisen sa dynamique (sabilié). Les zéros déerminen sa raidié (hase minimale). Lieu des ôles de la FT e sabilié (sysèmes à TC) Plus les ôles de la FT son éloignés de l'axe imaginaire (ave arie réelle < ), lus le sysème es sable (e raide). Exemle : nd ordre ( ôles) Pôles Modes (régime libre) (RI) Sabilié Ym() y Sable Ym() Re() Re() y Sable Ym() y Juse insable (osillan) Re() Ym() y sauraion Insable Re() Ym() Re() y sauraion Insable Ym() Re() y sauraion Insable Ym() y Juse insable (asaique) Re() TR.

3 Exemle : 3ème ordre (3 ôles) onsiué d un sous-sysème du er ordre (ôle ) e d un sous-sysème du nd ordre (ôles e ) Im * Re * Crière algébrique de sabilié de Rouh des sysèmes à TC Soi H ( ) N( ) D( ) la FT d'un sysème linéaire oninu ( à TC) Q ( ) : olynôme araérisique de la sabilié Sabilié de H( ) : H() Q ( ) D ( ) H( ) N( ) D( ) Sabilié du Sysème Boulé H ( ) : H() H'() - N( ) H( ) D ( ) N( ) H ( ) H( ) N( ) N( ) D( ) D ( ) Q ( ) N( ) D ( ) TR. 3

4 n n Q ( ) a a L a a a n > n n Crière de Rouh. Si erains oeffs a i, Q ( ) a des raines à arie réelle Le sysème es don insable (as où au moins un a i < ), ou juse insable (as où au moins un a i ave les aures oeffs ).. Tableau de Rouh On éri n : n - : a n - a n - a n - a n - 3 a n - 4 a n n a si n imair ou a si n air a si n air ou a si n imair n - : 3... On alule n - 3 :. B B B : M M M 3... : N N N 3... : O O O 3... Caluls Pivo : a n : Pivo : :... Pivo : N : On analyse B O a a a a a n n n n 3 n an an 3 NM MN N B a a a a a n n 4 n n 5 n an an 5 3 TR. 4

5 Théorème Une CNS de sabilié du sysème es que ous les oeffiiens de la ère olonne du ableau de Rouh soien >. Le nombre de hangemens de signe des oeffiiens de la ère olonne es égal au nombre de ôles insables. Cas ariuliers. Il aaraî un dans la ère olonne seulemen : Un oeff. nul dans la ère olonne indique la résene d une (ou des) raine(s) juse insable(s) ou insable(s) de Q ( ) Poursuie de la onsruion du ableau : On remlae ε << e osiif. Si la onsruion du ableau de Rouh fai aaraîre une ligne de sur la ligne i : Un oeff. nul dans la ère olonne indique la résene d une (ou des) raine(s) juse insable(s) ou insable(s) de Q ( ) Poursuie de la onsruion du ableau : i i On forme : ( ) q q L (uissanes de ). i i ( ) r r L (uissanes de ) La ligne de remlaemen i es : i : r r... TR. 5

6 Exemle : Sabilié du SB (à reour uniaire e omaraeur /-) de BO H( ) en fonion du gain de l amlifiaeur de la BO : H( ) Sysème en Boule Ouvere (BO) : ( 5 ) Sysème en Boule Fermée (BF) : H ( ) 3 5 Polynôme araérisique : Q ( ) 5 3 Tableau de Rouh : 3 : : : : 5 5 Le Sysème Boulé (SB) H ( ) es sable si : < <. TR. 6

7 Crière de sabilié de Nyquis des sysèmes à TC X() - E() H() Y() X() H'() Y() H( ) H ( ) H( ) Soi : n : le nombre de ôles à arie réelle > de H ( )) n : le nombre de ôles à arie réelle > de H() : le nombre de ours omés algébriquemen dans le sens rigonomérique du lieu de H() auour du oin -. On a : n n' ou enore : n' n Theorème de Nyquis Un Sysème Boulé es sable ( ( n' ) ) si e seulemen si le nombre de ours auour du oin - du lieu de la BO es égal au nombre de ôles à arie réelle > ( n ) de la BO. TR. 7

8 Exemle : H( ) Im[H()] ( a)( b)( ) - Re[H()] Sysème sable (sens large) en BF ( n ' sable (sens large) en BO, or ii n SB sable ) si sysème Exemle : H( ) Im[H()] ( b)( ) - Re[H()] Sysème insable en BF ( n ' n >, ar n ne eu êre <) TR. 8

9 Exemle 3 : Im[H()] H ( ) a - Re[H()] Sysème sable (sens large) en BF ( n ' ) si sysème insable en BO ave ôle insable, or ii n Crière du revers (rière simlifié, moins général que le rière de Nyquis) Soi à déerminer si un SB H ( ) de BO H( ) es sable (SB à omaraeur /- : H ( ) H ( ) ) H ( ). On se resrein à des sysèmes sables en BO (au sens large, esà-dire els que n ). On limie le raé du lieu de Nyquis de la BO our resrein à la branhe i ( > ) du onour de Bromwih TR. 9

10 Crière du revers dans le lan de Nyquis Si lorsqu'on arour le lieu de la BO Hi ( ) dans le sens des ( varie de à ), on laisse sur sa gauhe le oin - lorsqu on se rouve à elle que rg[ H( i )] π, le SB es sable Exemle : H( ) ( a)( b)( ) Im[H()] Im[H()] Im[H()] - Re[H()] Re[H()] - - Re[H()] SB sable SB limie sable SB insable Crière du revers algébrique Soi elle que rg[ H( i )] π.si Hi ( ) < : SB sable.si Hi ( ) : SB limie sable.si Hi ( ) > : SB insable Crière du revers dans le lan de Bode Hi ( ) Hi ( ) Hi ( ) rg[ H( i)] rg[ H( i)] rg[ H( i)] π π π SB sable SB juse sable SB insable ( ) Hi ( ) < Hi Hi ( ) > : ulsaion elle que rg[ H( i )] π TR.

11 Crière du Revers dans le lan de Blak Hi ( ) Hi ( ) Hi ( ) π rg[ H( i)] π rg[ H( i)] π rg[ H( i)] SB sable SB juse sable SB insable Hi ( ) < Hi ( ) ( ) > : ulsaion elle que rg[ H( i )] π Lieu des Raines (lieu d'evans) Hi FTBO : H N ( ) ( ) D( ) Sabilié de la FTBF : raines de : D( ) N( ) Polynôme araérisique Q() : Q() D(). N() Lorsque le gain varie de à, les raines du olynôme araérisique dériven dans le lan omlexe le lieu des raines. Exemle : BO : H( ) ( a) Polynôme araérisique : Q() ( a) a TR.

12 Raines de Q() : ( ) : a a 4 a a 4 ( < ) : a i a 4 a i a 4 Im(, ) a 4 -a a Re(, ) Sysème boulé Sable > TR.

13 Marges de sabilié Marges de sabilié dans le lan de Nyquis Mg' g Im[ Hi ( )] - Mϕ Re[ Hi ( )] erle unié Hi ( ) Soi elle que : rg[ H( i )] π :. Mg log log g log H( i ) g Soi elle que : Hi ( ) :. Mϕ π rg[ H( i )] Marges de sabilié dans le lan de Bode Hi ( ) Mg rg[ H( i)] Mϕ π Soi elle que : rg[ H( i )] π :. Mg H( i ) Soi elle que : Hi ( ) :. Mϕ π rg H i [ ( )] TR. 3

14 Marges de sabilié dans le lan de Blak Hi ( ) Mϕ π rg[ H( i)] Mg Soi elle que : rg[ H( i )] π :. Mg H( i ) Soi elle que : Hi ( ) :. M rg H i ϕ π [ ( )] Valeurs de Mϕ e Mg assuran une bonne marge de sabilié : Mϕ 45 Mg (valeurs usuelles) baque de Blak Leure de l abaque de Blak X() - T() Y() X() T ( ) Y() T( ) : FTBO T'( ) T( ) T( ) : FTBF Traé BO Ti ( ) (oordonnées reangulaires) baques T ( i ) e rg[ T ( i )](oordonnées urviligne) TR. 4

15 - 8-9 Ti ( ) Ti ( ) rg[ T( i)] 8-3 rg[ T( i)] Exemle : Ti ( ) -3 M Ti ( ) rg[ T( i)] baques de gain baques de hase M M M, Ti ( ) es el que : baques BF : Ti ( ) rg T( i) 9 T ( i) 3 rg T ( i) 45 TR. 5

16 Résonane en BF Le onour de l'abaque (en ) que le lieu de la BO Ti ( ) angene, indique la valeur maximale du module du gain de la BF T ( i ) e don le faeur de résonnane Q de la BF e la ulsaion de résonnane r de la BF : Exemle ave une BO résonane : r r Ti ( ) T rg[ T( i)] Ti ( ) r :ulsaion de résonane (BO) r :ulsaion de résonane (BF) T : gain saique de la BO : T T i our ( ) T : gain saique de la BF : T T ( i ) our : T T T T T ( i ) asse ar un maximum our r Dans e exemle: Q 3 T ve : T : Q. Comme Q m m. Q T ( i ) T 3 BF) si on assimile la BF à un nd ordre., on a : m 4. (amorissemen de la max TR. 6

17 PRECISION - RPIDITE Exemles - sservissemen de osiion de l objeif d un aareil hoo (auo-fous) Préision y ε H() y - Préision inverse de l'erreur ε () y () y() ε Préision saique erreur saique ε ( ) lim ( ) lim Ε ( ) Préision dynamique erreur dynamique (ransioire) Ex.:réonse indiielle d un SB du nd ordre seudo-osillan y ( ) y() ε( ) Erreur dynamique y ( ) ε( ) Erreur saique La réision si ε () ε () y () y() TR. 7

18 Préision des Sysèmes sservis Linéaires (SL) Soi le SB de BO H( ) (SB à omaraeur /-) y ε H() y - Erreur ε () y () y() Ε ( ) TL[ ε ( )] H( ) Ε( ) Y ( ) Y( ) Y ( ) ( ) ( ) H( ) Y Y H( ) TL Erreur absolue ε () y () y() Ε( ) Y ( ) H( ) e Erreur relaive ( y () C y ) ε( ) relaive y () y() y () (%) Préision saique ε ε( ) lim ε( ) lim Ε( ) ε lim Y ( ) H( ) Inégraeur (ur) ( ) ossède un inégraeur (ur) si ( ) ( ) ( ) omore n inégraeurs (urs) si ( ) ( ) n TR. 8

19 Gain en BO e gain en BF BO u () H ( ) y BO () BF ε() y () - H ( ) y BF () H gain saique de BO H gain saique de BF H H H Réonses indiielles non uniaires : BO BF H U y BO () U u() Y H ε Y y () y BF () H ε H H H TR. 9

20 Préision saique d un Sysème Boulé n nombre d inégraeurs (urs) de la BO H( ) H( ) H n n ( ) Enrée de onsigne onsane ( en éhelon) ε () erreur de osiion ε () ε erreur saique de osiion ε Consigne: éhelon d amliude Y y () Y Γ () de TL Y Y ( ) Ex. : réonse indiielle d un SB du nd ordre seudo-osillan y ( ) y() y Y () ε ε lim Y ( ) H( ) ε lim Y H( ) n : ε Y ave : H lim H( ) : Gain saique de la BO n : ε TR.

21 Enrée de onsigne en rame ε () erreur de viesse ε v () ε erreur saique de viesse ε v Consigne: rame de ene a y () a Γ () de TL Y a Ex. : réonse d un SB du nd ordre seudo-osillan ( ) y () ε v y() ε lim Y ( ) H( ) ε v lim a H( ) n : ε v n : ε v a v ave : v H lim H( ) n : ε v TR.

22 Enrée de onsigne en arabole ε () erreur d aéléraion ε a () ε erreur saique d aéléraion ε a b Consigne: arabole (aram. b ) y () Γ () de TL Y b Ex. : réonse d un SB du nd ordre non osillan y () ( ) 3 ε a y() ε lim Y ( ) H( ) ε a lim b H( ) n : ε a n : ε a b a ave : a H lim H( ) n 3 : ε a TR.

23 Résumé y () (les erreurs saiques uniaires s obiennen our Y a ) b n y () Y Γ () y () a Γ b () y () Γ () ε ε v ε a n ε Y ε ε v ε v ε a ε a n ε ε ε v a v ε v ε a ε a ε ε ε v ε a ε v ε a b a H lim H( ) : Gain saique de la BO H lim H( ) H lim H( ) v a TR. 3

24 Raidié des sysèmes Raidié e sabilié Exemle (lieu des ôles) : 3ème ordre (3 ôles) sous-sysème du er ordre (ôle ) * sous-sysème du nd ordre (ôles e ) Im Re * Sous-sysème du er ordre gouverné ar le ôle : moins sable e moins raide que le sous-sysème du nd ordre régi ar les ôles e *, ar es siué lus rès de l axe imaginaire. Les ôles dominans ( lens) son siués le lus rès de l axe imaginaire TR. 4

25 Raidié e sabilié dans le lan de Blak Exemle (lieu de Blak) : Module π Phase BO BO lus raide BF lus sable Raidié d un sysème en BO avane de ems avane de hase déalage vers la droie du lieu de la BO dans le lan de Blak sabilié à la BF TR. 5

26 Performanes dans le domaine fréqueniel Y ( ) - E() H() Y() Y ( ) H'() Y() Fréquene (Plan de Blak de la BO) Tems (réonse indiielle de la BF) y() y ε y( ) H y π.3 r r 3 3 H 3 π H (BO) H rg H H y( ) H y( ) H 3 y y y() y() y ε y ε 3-6 r y y H ( ) H y y H ( ) H y y H ( ) 3 H 3 y H y H y H 3 ε faible ( H élevé) H H 3 max. ε élevée ( H faible) H 8 H max ε nulle ( H 3 ) 6 H 3 H 3 3 max. TR. 6

27 On dédui le faeur de résonane de la BF assimilée à un nd ordre : H Q max ( H H ) m m H max en : Q m. 37 : Q m. 44 : Q m. 4 ( m < : régime seudo-osillan) (résonane si Q Q > ( m < 7. )) > Pulsaion de résonane e raidié La ulsaion de résonane r du SB ( de la BF) es obenue à la angene de la BO au onour de l abaque de Blak de gain (du fai que l abaque de gain roî de façon onenrique au fur e à mesure qu on s arohe du oin riique) La ulsaion de résonane r du SB radui sa raidié : lus un SB es raide, lus r es élevée. TR. 7

28 Raels sur la réonse en BO e en BF Réonse indiielle de la BO Réonse indiielle de la BF H faible : y BO () y BO ( ) H y BF ( ) H' y BF ε () H élevé : y BO ( ) H y BO () ( ) H' y BF y BF ε () H infini (résene d inégraeur ur sans la BO) : y BO ( ) H y BO () H ( ) H' y BF ε H H H ε y BF () TR. 8