2 Intégrales impropres

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1 COURS L, -. SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES Inégrles impropres. Générliés Soi R[, b] l ensemble des foncions inégrbles (u sens de Riemnn) sur l inervl compc (=segmen) [, b]. Pr définiion, ces foncions son oujours bornées sur [, b]; i.e. f R[, b], M > q. f() M [, b]. Définiion. Soi I R un inervlle quelconque. On di qu une foncion f : I C es loclemen inégrble sur I si elle es inégrble sur ou inervl compc [, b] I; noion: f R(I) loc. Eemple.. p.e. I = [, [, I =], b[, I = R ec. ) Toue foncion coninue f : I C es loclemen inégrble sur I; b) Toue foncion monoone f : I R es loclemen inégrble sur I; c) f R[, b] = f loclemen inégrble sur I = [, b]; d) L foncion de Dirc d() = si Q e d() = si R \ Q n es ps loclemen inégrble sur R. e) L foncion / es loclemen inégrble sur ], ]. Proposiion.. Soi, b R, f : [, b] R bornée e f R(], b[) loc. Alors f R[, b]. Preuve. Pr hypohèse, f() M [, b]. Soi ε >. Choisir > si proche de el que M ε/6. De même, choisir b < b si proche de b elque M b b ε/6. On : f R(], b[) loc = f R[, b ]. D près le crière de Riemnn il eise une décomposiion Z = { = < < < n < n = b } de [, b ] el que S Z (f) s Z (f) < ε/3, où S Z (f) = n j= I j sup Ij f e s Z (f) = n j= I j inf Ij f, e I j = [ j, j+ ] (sommes de Drbou.) Soi =, n+ = b e Z = { < < < n < n+ } une décomposiion de [, b]. Noons que pour I = [, ] on I sup I f M ε/6. De même pour l infimum e pour I n = [b, b]. Alors S Z (f) s Z (f) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε. Donc f R[, b].

2 Proposiion.3. Soi f R(I) loc e soi I fié. F () = f(), I, es coninue sur I. Preuve. Soi I. Monrons que F es coninue en. Alors l foncion F () F ( ) = f() f() = = f() f(). f R(I) loc = M >, J =] δ, + δ[: f() M J I. Donc, pour J I (=inervlle) on : F () F ( ) M. Ainsi, si, on obien F () F ( ). Si f es coninue, lors le prop..3 s méliore: Proposiion.4. Soi f : I C coninue e soi I fié. Alors F () = f(), I, es dérivble sur I de dérivée f; i.e. I, F () = f(). Preuve. Soi I. Pour I,, on : F () F ( ) f( ) = f() f( ) = (f() f( )). Soi ε >. f C(I) = J =] δ, + δ[: f() f( ) < ε J I. Donc pour J I on : F () F ( ) f( ) f() f( ) }{{} ε Eemple.5. I = R, f() = { si si <. <ε Soi R = R {, + }. Figure. primiive non dérivble

3 Définiion. Soien R, b R els que < b. Soi I = [, b[ e f R(I) loc. On di que l inégrle impropre f() es convergene si F () = f(), I, possède une limie finie qund end vers b, < b. S il n en es ps insi, on di que l inégrle impropre es divergene. Si l limie lim b F () eise dns C { } ou R, on noe f() = lim f() b (c es l vleur de l inégrle impropre.) Chercher l nure d une inégrle impropre, c es chercher si elle convergene ou divergene. Eemple.6. Discuer l nure de +. i) f() = + es coninue sur R, donc f R([, [) loc. ii) f() = rcn π/ si. Ainsi cee inégrle es convergene. S vleur es: + = π/. Discuer l nure de +. i) f() = + es coninue sur [, [, donc f R([, [) loc. ii) f() = log( + ) si. Ainsi cee inégrle es divergene. S vleur es Discuer l nure de. + =. i) f() = es coninue sur [, [; donc f R([, [ ) loc. ii) f() = si. Ainsi cee inégrle es convergene. S vleur es Discuer l nure de. =. i) f() = es coninue sur [, [; donc f R([, [ ) loc. ii) = log( ) si. Ainsi cee inégrle es divergene. S vleur es =. 3

4 4 Discuer l nure de cos. i) f() = cos es coninue sur [, [; donc f R([, [ ) loc. ii) cos = sin. Mis l limie de sin si n eise ps. Donc l inégrle impropre cos es divergene. Remrque: De fçon nlogue on défini les inégrles impropres R(], b]) loc, R { }, b R. b f() où f Proposiion.7. Soien, b R e f R[, b]. Alors l inégrle impropre f() es convergene e on f() = b f(). Preuve. Soi [, b] e F () = f(). D près l proposiion.3, F : [, b] C es coninue. Pr suie F (b) = lim b F (). Proposiion.8. Soi R, b R { } e f R([, b[) loc. Soi ], b[. Alors les inégrles impropres f() e f() on même nure. Si elles convergen, lors f() = f() + f(). Preuve. Découle de l relion de Chsles si < <. f() = f() + f() Définiion 3. Soien, b R e < b. Si f R(], b[) loc lors on peu considérer les inégrles double impropres f(). On di qu une elle inégrle converge si pour un c ], b[ les deu inégrles impropres c f() e c f() convergen. L vleur de cee inégrle double impropre es lors c f() + f(). c f() es divergene, si u moins une des ces inégrles c f() diverge. c f() ou Remrque Les relions de Chsles impliquen que l nure e l vleur de ces inégrles double impropres ne dépenden ps de c, < c < b.

5 5 D près l proposiion., les vries inégrles impropres son donc b f(), f R(], b]) loc, g(), g R([, [) loc, b h(), h R(], b]) loc non bornée, k(), k R([, b[) loc non bornée, b F (), F R(], b[) loc non bornée proche de e proche de b G(), G R(], [) loc; Dns l suie on ne v ps oujours uilisé l noion f(), ec, mis ou simplemen b f(). Dns ous les cs, on doi d bord se rendre compe, lquelle/lesquelles des bornes son responsbles pour que l inégrle soi impropre. On les ppeler des bornes criiques (p.e. ou son oujours des bornes criiques.) Eemple.9. I := I = (Noons cependn que converge). es divergene cr + d es convergene e + d + = lim = lim + d = π. = lim ( ) =. = lim ( ) = Remrque Un chngemen de vrible peu prfois rnsformer une inégrle impropre en une inégrle ordinire. Eemple: d. En effe, soi < e F () =. On pose u = /. Alors du = /. Donc F () = / du = / du du = si. Rppel: Soi f : [, b[ C. Alors lim b f() eise e es finie ε > c ], b[: (u, v [c, b[ = f(u) f(v) < ε). Theorem.. (Crière de Cuchy) Soi R, b R, < b, f R([, b[) loc. f() es convergene si e seulemen si ε >, c ], b[: Alors l inégrle impropre ( v u, v [c, b[ = f() < ε ). Preuve. Il suffi d ppliquer le rppel ci-dessus à l foncion F () = f() e en non que F () F (y) = y f(). u

6 6. Nure de l inégrle impropre d une foncion posiive Soien R, b R, < b e f R([, b[) loc, f. On pose F () = f(). Alors F es croissne: y = F () F (y). Pr suie, F () dme oujours une limie qund. L vleur de l inégrle impropre ser donc f() = lim F () R {+ }. b L inégrle impropre converge donc si e seulemen si lim b F () <. Théorème.. (Théorème de comprison I) Soien f, g : [, b[ [, [ loclemen inégrble e f g. Si l inégrle impropre g() converge, lors f() converge. En d ures mos, si f() diverge (i.e. converge vers + ), lors g() diverge. Preuve. Il suffi de prouver le premier cs (le -me én l conrposée). Soi < b e G() = g(). Noons que f g = F G. Ainsi, en fisn b, lim b F () lim b G() <. Théorème.. (Théorème de comprison II) Soien f, g : [, b[ [, [ loclemen inégrble. Supposons que g sur [, b[ e que f() b g(). Alors les inégrles impropres f() e g() on même nure. Aenion: il es imporn que f e g soien posiives Preuve. f() b g() = ], b[ : f() g() < ], b[. Donc, pour ces : f() g() 3. Ainsi g() f() 3 g(), < b. Il suffi minenn d ppliquer le héorème. sur [, b[ à ces deu inégliés pour conclure. D où Soi α R. ) converge α >. α f() e 3. eemples Dém.: Soi e α. Alors = α+ α α + si α > e α si α <. = = g() on même nure. = α+ α + α

7 7 Si α = lors = log si. ) converge α <. α Dém.: Soi < e α. Alors si α < e α Si α = lors = α+ α α + si α >. = log si. α 3) Soien (α, β) R. L nure de l inégrle impropre donnée pr: α = e α > convergence ; α < divergence ; { β > convergence β divergence. α (log ) β es Dém.: Cs α >. Soi α ], α[. Comme α α (log ) β T : α (log ). β α D près l eemple ), e le héorème., Cs α <. Soi α < α <. Comme α α (log ) β T : α (log ) β α (log ). β α D près l eemple ), e le héorème., Cs α =. Pour on : (log ) = β (log ) β β log log = si, on que converge. si, on que α (log ) β diverge. = (log ) β = β si β = log log log log si β =. = (log ) β = ep(( β) log log ) { + si β < si β >

8 8 Eemple 3.. I = sin converge: Soi f() = sin. Noons que sin si. En plus, comme sin, on : sin. D où f(). Ainsi I converge. I = π log(cos ) converge. Soi f() = log(cos ). Comme cos(π/) =, on voi que /π e son des bornes criiques. Noons ussi que > cos(/) > si > /π; d où f es bien définie e coninue sur ]/π, [. Ainsi f <. Eude de I à l borne +. cos =! + O( ),, = f() = log( + O( )) on log( + ) log( + ) = + O() si ; d où f() = + O( ). Ainsi f() si (*). converge = ( f()) converge = I converge. (*) à vérifier pr l règle de l Hospil: lim log(cos ) = lim = lim cos sin ( ) cos 3 sin = Eude de I à l borne /π. Chngemen de vrible: s = / = J := /π f() = π/ es négif. = π s = J = π log(sin )d. Minenn sin si. Donc, pr de l Hospil: log(sin ) lim log = lim cos sin log(cos s) s ds. Noons oujours que l inégrnd = lim(cos ) lim sin =. Ainsi log(sin )d l même nure que log d. Prenn pour p.e. l vleur. Noons q une primiive de log es log. Donc ε On en dédui que log d = ε log ε + ε si ε. log d es convergene e donc ussi J. /π f() e f() én convergenes, on conclu que I = /π log(cos(/)) es convergene.

9 4. Nure de l inégrle impropre d une foncion quelconque Définiion 4. Soien R, b R, < b e f : [, b[ C loclemen inégrble. ) On di que l inégrle impropre f() es bsolumen convergene, si f() es convergene. b) On di que l inégrle impropre f() es semi-convergene, si elle es convergene sns êre bsolumen convergene. Proposiion 4.. Toue inégrle bsolumen convergene es convergene. Preuve. On v uiliser le crière de Cuchy, héorème.. converge = ε > c ], b[ el que, y [c, b[, < y = y f() f() < ε. Pr suie y f() y f() < ε = l inégrle es convergene. Eemple 4.. I = es convergene. sin es bsolumen convergene, cr sin e Il eise des inégrles impropres qui son seulemen semi-convergenes. Voir plus rd. Théorème 4.3 (Théorème d Abel). Soien R, b R, < b e p : [, b[ [, [ e g : [, b[ C deu foncions de clsse C (i.e. coninûmen différenible). On suppose: ) p es décroissne e lim b p() =. ) M >, u, v [, b[: v u g() < M. Alors l inégrle impropre p()g() es convergene e l on : [, b[: p()g() Mp(). Preuve. On pose G() = g() pour < b. différenible e G = g. Inégrons pr prie: (4.) p()g() = 9 g coninue = G p()g () = [p()g()] p ()G() = p()g() p ()G(). Hypohèse ) = G() M. Donc p()g() Mp() si b. De plus, K() := p ()G() M p () = M p () = M(p() p()) = M(p() p() ) Mp(). }{{} K() es une foncion croissne mjorée. Donc lim b K() eise e es finie. Donc p ()G() converge (même bsolumen). Donc (4.) donne: p()g() b p ()G().

10 Pr suie, l inégrle impropre p()g() converge e on : En plus, p()g() = p ()G(). p()g() p ()G() Mp(). Soi [, b[. En remplçn dns l inéglié précédene [, b[ pr [, b[, on obien b p()g() Mp(). Eemple 4.4. Soi α >. Discuer l nure de I α = e i α. Posons p() = α e g() = e i. Alors p () = α α < ; donc p es décroissne e lim p() =. Soien v u. Alors v e i = [ ie i] v = e iv e iu. u u D près Abel, I α es convergene e l on e i α α. D ure pr, I α converge bsolumen si α > (Noons que ei α = α ). Conclusion: I α es bsolumen convergene α >, I α es semi-convergene < α. Eemple 4.5. sin diverge, cr: sin = cos + n ps de limie si. De même pour cos. sin( ) e cos( ) son semi-convergenes (inégrles de Fresnel). Figure. sin( )

11 Preuve. En non que pour u(), v() : [, b[ R, [u() + iv()] es convergene ssi u() e v() son convergenes, il suffi d éudier e i cr e i = cos( ) + i sin( ). On fi un chngemen de vrible: = s, = ds s. Donc e is F () = e i = s ds. En uilisn l eemple (4.4), on voi que ce inégrle converge (α = /). Eemple 4.6. Discuer l nure de l inégrle impropre I α = sin. α Comme f() α, on si déj que I α es convergene si α >. Soi α. Noons que sin e que pour π/6 π/ on / sin ; donc π/+kπ k π/+jπ 4 f() α 4 k j= j= (π/ + jπ) α(π/ π/6) π Donc I α diverge si α. π/6+jπ k j= (π) α (j + ) α k 5. séries numériques e inégrles impropres Théorème 5.. Soi m N e f : [m, [ [, [ une foncion décroissne (donc loclemen inégrble). Alors le série n=m f(n) e l inégrle impropre f() son de même nure. m Aenion: il es imporn que f soi posiive e décroissne Preuve. Soi k N. Alors nore hypohèse implique que pour k k + on f(k + ) f() f(k). En inégrn sur [k, k + ] on obien: f(k + ) k+ k f() f(k). On en dédui que pour m + n < n + n n k f(k) f() = k=m+ k=m+ m k f() n f(k). k=m n m f() Les sommes prielles e f() én croissne, on en dédui que n=m f(n) e m f() son de même nure.

12 Applicions: ) séries de Riemnn n= Figure 3. série e inégrle n α. Pour α >, f() = α es décroissne e posiive; donc on peu ppliquer le héorème 5.. α es convergene pour α > e divergene pour < α ; donc n= n α convergene pour α > e divergene pour < α. b) séries de Berrnd n= n α (log n) β. Pour α > e, f() = α (log ) β es décroissne e posiive; donc on peu ppliquer le héorème 5.. Donc, d près l eemple 3) dns 3, n= converge pour les mêmes n α (log n) β prmères: α > convergence ; α = e { β > : β : < α < divergence ; convergence divergence.

13 3 An inproper inegrl Problem 85, Amer. Mh. Monhly (5), 84. (R. Brück, R.Morini) Find ll inegers p N = {,,,... } nd posiive numbers α for which he inegrl ( ) I(α, p) = log + sinp d α converges. Soluion We clim h I(α, p) converges if nd only if (α, p) ], [ N or (α, p) ], ] (N + ). Firs we discuss he behviour of he inegrnd he origin. For α > we hve ( ) log + sin p log ( + α ). Subsiuing α by, we obin log ( + α) d = log ( + α ), nd his inegrl is convergen. Hence, our inegrl I(α, p) converges for every α > nd p N. Now we discuss he behviour infiniy. Since lim =, we see h log (+) infiniy ( ) A() := log + sinp sinp =: B(). α α Hence A() d converges bsoluely if nd only if B() d does. Noe h by Riemnn s convergence es B() d d < whenever α α >. Hence, A() d is bsoluely convergen for α >. Now suppose h < α. On he inervls J k := [ π 6 + kπ, π + kπ], k, we hve sin nd. Hence sinp p α p π(k+). Therefore, 3 p B() d k + Jk. Since B() d k= J k B() d, we see h B() d nd hence A() d diverges (bsoluely) for < α. In priculr, A() d diverges whenever p is even, since in h cse A() = A().

14 4 To coninue, we my hus ssume h p = n + is odd. We use h for every α > nd n N he inegrl sin n+ d converges. Indeed, le α I m () := sin m nd le F α m be primiive of sin m wih F m () =. For m odd, F m is periodic, hence bounded. By pril inegrion we obin I n+ () = F n+() α + α nd we conclude h I n+ () converges s. Now we use he Tylor developmen log ( + u) = m k= ( ) k k F n+ () α+, u k + ( )m m um ( + ε(u)), where ε is coninuous funcion of u nd ε() =. In priculr, ε(u) < whenever u δ wih δ > sufficienly smll. Now, we se u = u() = sin n+, where > is so lrge h u δ. Then for sufficienly lrge rel α numbers M > N, we hve M ( ) I := log + sinn+ m ( ) k M ( sin n+ ) k d = d N α k k= N α M ( + ( )m sin n+ ) m m ( + ε(u())) d =: I m α k + Ĩm. N Choosing m N such h mα > nd (m )α, he boundedness of ε(u) yields he bsolue convergence of he ls inegrl Ĩm. If < α, hen m = nd hence I = I + Ĩ. Bu I nd Ĩ converge, nd hence I converges. If < α, hen m 3 nd les hird inegrl I bove ppers. Th inegrl is divergen, since he eponen of he sin is n even one (noe h by he choice of m, he eponen of is sill mos ). Since ll hose divergen inegrls I q come up wih he sme sign, we finlly ge he divergence of I + I + + I m, nd hus I diverges. Finlly, we noe h he emple p = nd α = yields emples of k= funcions f nd g such h infiniy, f g, bu for which f() d diverges nd ( ) g() d converges, nmely f() = log + sin nd g() = sin. version du: 8.. FIN DU CHAPITRE