Pression mécanique d un fluide actif

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1 1/29 Pression mécanique d un fluide actif Alexandre Solon Gulliver, 20 septembre 2016

2 La matière active 2/29 Particule active = Particule autopropulsée: Energie stockée Mouvement

3 La matière active 2/29 Particule active = Particule autopropulsée: Energie stockée Mouvement À toutes les échelles dans le monde vivant sub-cellulaire cellulaire macroscopique

4 La matière active Particule active = Particule autopropulsée: Energie stockée Mouvement À toutes les échelles dans le monde vivant sub-cellulaire cellulaire macroscopique Matière active = Assemblées de particules actives? 2/29

5 La matière active 3/29 Systèmes hors d équilibre Phénoménologie riche Modèles simples Universalité De nombreuses expériences

6 La matière active 3/29 Systèmes hors d équilibre Phénoménologie riche Modèles simples Universalité De nombreuses expériences v Particules actives artificielles Disques vibrés Colloïdes Janus

7 La matière active Systèmes hors d équilibre Phénoménologie riche Modèles simples Universalité De nombreuses expériences v Particules actives artificielles Disques vibrés Colloïdes Janus Interactions controlées précisément Motifs bactériens Assemblées de robots 3/29

8 La matière active Systèmes hors d équilibre Phénoménologie riche Modèles simples Universalité De nombreuses expériences v Particules actives artificielles Disques vibrés Colloïdes Janus Interactions controlées précisément Nouveaux matériaux? Motifs bactériens Assemblées de robots 3/29

9 Forces actives 4/29 Cortex cellulaire Cicatrisation

10 Forces actives 4/29 Cortex cellulaire Cicatrisation Plus simple: un fluide de particules actives dans une boîte Pression mécanique

11 Pression passive et pression active 5/29 Dans un fluide à l équilibre: P = F wall S = Tr σ d = F V N

12 Pression passive et pression active 5/29 Dans un fluide à l équilibre: P = F wall S = Tr σ d = F V = f (ρ 0, T ) N F extensive Équation d état

13 Pression passive et pression active 5/29 Dans un fluide à l équilibre: P = F wall S = Tr σ d = F V = f (ρ 0, T ) N F extensive Équation d état Dans un fluide actif: pas d énergie libre P = F wall S =?

14 Pression mécanique 6/29 Particules confinées par un potentiel V w ρ(x) V w 0 x w x Pression mécanique: P = 0 dxρ(x)v w(x)

15 Pression mécanique 6/29 Particules confinées par un potentiel V w ρ(x) V w 0 x w x Pression mécanique: P = 0 dxρ(x)v w(x) Vw Gaz parfait: ρ(x) = ρ 0 e (x)/kt P = ρ 0 kt

16 Pression mécanique 6/29 Particules confinées par un potentiel V w ρ(x) V w 0 x w x Pression mécanique: P = 0 dxρ(x)v w(x) Vw Gaz parfait: ρ(x) = ρ 0 e (x)/kt P = ρ 0 kt P indépendante de V w Équation d état P(ρ 0, T )

17 ABPs et RTPs 7/29 Vitesse v constante Deux mécanismes de réorientation v v Particules Run and Tumble α =taux de tumble Particules browniennes actives D r =diffusion rotationnelle

18 ABPs et RTPs 7/29 Vitesse v constante Deux mécanismes de réorientation v v Particules Run and Tumble α =taux de tumble Deux effets des parois Particules browniennes actives D r =diffusion rotationnelle Γ w Force V w + Couple Γ w V w

19 Gaz parfait actif 8/29 Équation maîtresse Calcul de P = 0 dxρ(x)v w(x)

20 Gaz parfait actif 8/29 Équation maîtresse Calcul de P = 0 dxρ(x)v w(x) P = ρ 0 kt eff v D r + α v 2 kt eff = 2(D r + α) Gaz parfait: résultat exact 0 dx 2π 0 dθ Γ w (x, θ) sin(θ)p(x, θ)

21 Gaz parfait actif 8/29 Équation maîtresse Calcul de P = 0 dxρ(x)v w(x) P = ρ 0 kt eff v D r + α v 2 kt eff = 2(D r + α) Gaz parfait: résultat exact 0 dx 2π 0 dθ Γ w (x, θ) sin(θ)p(x, θ) P dépend des interactions aux parois: Pas d équation d état

22 Ellipses autopropulsées 9/29 Ellipses, axes a et b, diffusion rotationnelle (x xw )2 Potentiel harmonique aux parois V w (x) = λ 2 ŷ p ŷ θ ˆx p ˆx

23 Ellipses autopropulsées 9/29 Ellipses, axes a et b, diffusion rotationnelle (x xw )2 Potentiel harmonique aux parois V w (x) = λ 2 ŷ p ŷ θ ˆx p ˆx Couple: Γ w = λκ sin(2θ) κ = (a 2 b 2 )/8

24 Ellipses autopropulsées 9/29 Ellipses, axes a et b, diffusion rotationnelle (x xw )2 Potentiel harmonique aux parois V w (x) = λ 2 ŷ p ŷ θ ˆx p ˆx Couple: Γ w = λκ sin(2θ) κ = (a 2 b 2 )/8 P = ρ 0v 2 2λκ ] [1 e λκ Dr

25 Résultats numériques 10/29 Quand Γ w augmente, P diminue

26 Résultats numériques 10/29 Quand Γ w augmente, P diminue Γ w

27 Récapitulatif - Gaz parfait actif 11/29 Particules sphériques (Γ w = 0): équation d état Particules non-sphériques Couples Pas d équation d état

28 Récapitulatif - Gaz parfait actif 11/29 Particules sphériques (Γ w = 0): équation d état Particules non-sphériques Couples Pas d équation d état Autres moyens de perdre l équation d état?

29 Récapitulatif - Gaz parfait actif 11/29 Particules sphériques (Γ w = 0): équation d état Particules non-sphériques Couples Pas d équation d état Autres moyens de perdre l équation d état? Particules sphériques avec interactions

30 Interaction de coeur dur 12/29 20 P 10 0 λ = 2 λ = 4 λ = 6 λ = 0.1 λ = 1 λ = 10 non-interacting ρ Répulsion de coeur dur potentiel WCA

31 Interaction de coeur dur 12/29 20 P 10 0 λ = 2 λ = 4 λ = 6 λ = 0.1 λ = 1 λ = 10 non-interacting ρ Répulsion de coeur dur potentiel WCA Équation d état

32 Interaction de coeur dur 12/29 20 P 10 0 λ = 2 λ = 4 λ = 6 λ = 0.1 λ = 1 λ = 10 non-interacting ρ Répulsion de coeur dur potentiel WCA Équation d état Rôle dans la coexistence de phase

33 Quorum sensing 13/29 50 P λ = 0.1 λ = 1 λ = 10 non-interacting ρ Quorum sensing v(ρ), ρ densité locale

34 Quorum sensing 13/29 50 P λ = 0.1 λ = 1 λ = 10 non-interacting ρ Quorum sensing v(ρ), ρ densité locale Pas d équation d état Generalized thermodynamic variables [Solon, Stenhammar, Cates, Kafri, Tailleur, arxiv: ]

35 Alignement 14/29 8 P 6 4 λ = 0.1 λ = 1 λ = 10 non-interacting 2 0 ρ Alignement

36 Alignement 14/29 8 P 6 4 λ = 0.1 λ = 1 λ = 10 non-interacting 2 0 ρ Alignement Pas d équation d état

37 Auto-organisation aux parois 15/29 Bilan des forces À l équilibre F 1 = F 2

38 Auto-organisation aux parois 15/29 Bilan des forces Particules actives F 1 F 2

39 15/29 Auto-organisation aux parois Bilan des forces Particules actives F 1 F ρ(x) m(x) x Forces substrat-particules

40 Récapitulatif - Murs plans 16/29 L existence d une pression n est pas triviale dans les systèmes actifs P dépend en général de l instrument de mesure

41 Récapitulatif - Murs plans 16/29 L existence d une pression n est pas triviale dans les systèmes actifs P dépend en général de l instrument de mesure Propriétés inhabituelles Pression anisotrope: P(θ) si v(θ) Pression inhomogène: P(x) if v(x)

42 Récapitulatif - Murs plans 16/29 L existence d une pression n est pas triviale dans les systèmes actifs P dépend en général de l instrument de mesure Propriétés inhabituelles Pression anisotrope: P(θ) si v(θ) Pression inhomogène: P(x) if v(x) Équation d état Thermodynamique des systèmes actifs

43 Murs courbes 17/29 Les particules actives s accumulent dans les régions incurvées [Fily, Baskaran, Hagan, Soft Matter 2014]

44 Murs courbes 17/29 Les particules actives s accumulent dans les régions incurvées (DiLeonardo lab.) [Fily, Baskaran, Hagan, Soft Matter 2014]

45 Murs courbes 18/29 Pression inhomogène: Mur

46 Murs courbes 18/29 Pression inhomogène: Mur P Équation d état en moyenne

47 Murs courbes 18/29 Pression inhomogène: Mur P Équation d état en moyenne Mur Ratchet J y J y = µf y

48 Filaments 19/29 Filament semi-flexible dans un bain d ABPs Instabilité for q < q i (T, κ s, κ b ) 200 y y y t = 10 2 t = 10 3 t = Coarsening x x x

49 Filament libre 20/29

50 Filament libre 20/ D κ b = 250 κ b = L f

51 20/29 Filament libre 200 D κ b = 250 κ b = L f Extraire du travail par brisure spontanée de symétrie Mécanisme de tri

52 Références 21/29 Julien Tailleur (Paris Diderot) Mehran Kardar (MIT) Michael Cates (Cambridge) Raphaël Voituriez (Jean Perrin) Joakim Stenhammar (Lund) Yariv Kafri (Technion) Nikolai Nikola (Technion) Aparna Baskaran (Brandeis) Yaouen Fily (Brandeis) Raphael Wittkowski (Dusseldorf) Pressure is not a state function for generic active fluids Solon, Fily, Baskaran, Cates, Kafri, Kardar, Tailleur Nature Physics (2015) Pressure and Phase Equilibria in Interacting Active Brownian Spheres Solon, Stenhammar, Wittkowski, Kardar, Kafri, Cates, Tailleur Phys. Rev. Lett. 114, (2015) Active particles on curved surfaces: Equation of state, ratchets, and instabilities Nikola, Solon, Kafri, Kardar, Tailleur, Voituriez Phys. Rev. Lett. 117, (2016) Generalized Thermodynamics of Phase Equilibria in Scalar Active Matter Solon, Stenhammar, Cates, Kafri, Tailleur arxiv: (2016)

53 Projet de recherche: Vers une thermodynamique des systèmes actifs 22/29

54 Transformations 23/29 Propriétés dans l état stationnaire (pression, potentiel chimique)

55 23/29 Transformations Propriétés dans l état stationnaire (pression, potentiel chimique) Thermodynamique Transformations W F

56 23/29 Transformations Propriétés dans l état stationnaire (pression, potentiel chimique) Thermodynamique Transformations W F? Aucun résultat, même pour un gaz parfait actif où P = ρk B T eff

57 Résultats expérimentaux 24/29

58 Résultats expérimentaux 24/29 Échec des concepts d équilibres: température effective, rendement, égalité de Jarzynski

59 Théorèmes de fluctuations 25/29 Égalité de Jarzynski [PRL 1997] Processus hors d équilibre entre deux états à l équilibre exp F W k B T = 1

60 Théorèmes de fluctuations 25/29 Égalité de Jarzynski [PRL 1997] Processus hors d équilibre entre deux états à l équilibre F W exp k B T = 1 W F

61 Théorèmes de fluctuations 25/29 Égalité de Jarzynski [PRL 1997] Processus hors d équilibre entre deux états à l équilibre F W exp k B T = 1 W F Égalité d Hatano-Sasa [PRL 2001] Processus entre deux états stationnaires hors d équilibre exp( τ φ 0 λ λ dt) = 1 φ(x, λ) = log P ss (x, λ), λ paramètre extérieur (volume)

62 Théorèmes de fluctuations 25/29 Égalité de Jarzynski [PRL 1997] Processus hors d équilibre entre deux états à l équilibre F W exp k B T = 1 W F Égalité d Hatano-Sasa [PRL 2001] Processus entre deux états stationnaires hors d équilibre exp( τ φ 0 λ λ dt) = 1 φ(x, λ) = log P ss (x, λ), λ paramètre extérieur (volume) Deuxième loi de la thermo. W ex F

63 Cas limites 26/29 Régime d équilibre effectif: persistance 0. ρ(x) exp [ V (x)/(k B T eff )] W F

64 Cas limites 26/29 Régime d équilibre effectif: persistance 0. ρ(x) exp [ V (x)/(k B T eff )] W F Ratchets [Di Leonardo et al, PNAS 2010] W < 0

65 Questions 27/29 Dans quels cas le travail extrait est-il contraint par une seconde loi? (lien avec le courant dans l état stationnaire)

66 Questions 27/29 Dans quels cas le travail extrait est-il contraint par une seconde loi? (lien avec le courant dans l état stationnaire) Quel processus optimise le travail extrait?

67 Questions 27/29 Dans quels cas le travail extrait est-il contraint par une seconde loi? (lien avec le courant dans l état stationnaire) Quel processus optimise le travail extrait? Comprendre les échanges d énergie

68 Questions 27/29 Dans quels cas le travail extrait est-il contraint par une seconde loi? (lien avec le courant dans l état stationnaire) Quel processus optimise le travail extrait? Comprendre les échanges d énergie Modèle microscopique pour un bain de bactéries

69 Changements d ensemble 28/29 Changements d ensembles (pression ou potentiel chimique constants)

70 Changements d ensemble 28/29 Changements d ensembles (pression ou potentiel chimique constants) Séparation de phase induite par la motilité P et µ généralisés

71 Dynamique intra-cellulaire 29/29

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