EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE

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1 EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues à vleurs dns C, définies sur un intervlle [, b[ de R. On considère l intégrle impropre g(x) = que l on suppose convergente, et les intégrles propres g (x) =,. On dit que l intégrle g(x) converge uniformément en x, si g tend uniformément vers g sur A lorsque tend vers b. On peut donner des définitions nlogues pour des intervlles ], b] ou ], b[. Critère de Cuch de convergence uniforme des intégrles Proposition 1 L sitution étnt l même que ci-dessus, l intégrle converge uniformément, si et seulement si, pour tout ε >, il existe b tel que, si b < < < b, on it, pour tout x de A < ε. Ceci n est utre que le critère de Cuch de convergence uniforme ppliqué à l fmille de fonctions (g ) lorsque tend vers b, puisque = g (x) g (x).

2 EB 2 Convergence normle Définition 2 On dit que l intégrle [, b[ telle que converge normlement, s il existe f continue sur () (b) f(t)dt converge, Quel que soit x dns A et t dns [, b[, on f x (t) f(t). Critère de Weierstrss Proposition 2 Si l intégrle converge normlement, elle converge uniformément. Cel résulte du critère de Cuch. En effet, si l intégrle converge normlement, il existe f intégrble sur [, b[, telle que pour tout x et tout t f x (t) f(t). Alors, pour tout ε >, il existe b tel que, si b < < < b on it f(t)dt < ε. On en déduit que f(t)dt < ε, ce qui prouve l convergence uniforme de d près le critère de Cuch.

3 EB 3 Critère d Abel Proposition 3 Si x pprtient à un ensemble A, on considère des fonctions u x et v x définies et continues sur [, [, et l on suppose que ) les fonctions v x sont décroissntes, et lorsque t tend vers l infini, v x (t) tend vers zéro uniformément en x; b) il existe M tel que, pour tout x de A et tout de [, [ u x (t)dt M. Alors l intégrle u x (t)v x (t)dt converge uniformément. Ce critère résulte du critère d Abel pour les fonctions numériques. En effet, sous les hpothèses cidessus, l intégrle u x (t)v x (t)dt converge, et pour tout x, on u x (t)v x (t)dt Mv x(). Mis, lorsque tend vers l infini, v x () tend vers zéro uniformément en x. Il en résulte donc que u x (t)v x (t)dt tend uniformément vers zéro en x, c est-à-dire que u x (t)v x (t)dt tend uniformément vers u x (t)v x (t)dt en x, ce qui n est utre que l définition de l convergence uniforme de cette dernière intégrle. Pssge à l limite sous le signe d intégrtion Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues définies sur un intervlle I, dépendnt d un prmètre x tendnt vers x dns R. Pr exemple x est un nombre entier et tend vers + : dns ce cs on une suite de fonctions. Mis x peut être un nombre réel tendnt vers x fini ou non. On suppose que f x tend vers f simplement sur I lorsque x tend vers x et l on cherche des conditions suffisntes pour que tende vers f(t)dt.

4 EB 4 Proposition 4 Lorsque l intervlle I est fermé borné, l convergence uniforme de f x vers f sur I lorsque x tend vers x implique que lim = f(t)dt. x x L fonction f est continue sur I, et si I = [, b], on f(t)dt f x (t) f(t) dt f t f (b ). Dns le cs où l intervlle I n est plus fermé borné, l sitution n est plus si simple. On le théorème suivnt. Théorème 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues sur un intervlle I de bornes et b ( < b). On suppose ) que f x tend vers f uniformément sur tout intervlle fermé borné inclus dns I, lorsque x tend vers x b) que l intégrle converge uniformément en x. Alors l intégrle f(t) dt converge, et g(x) = lim = f(t)dt. x x Remrquons tout d bord que, puisque f est limite uniforme d une fmille de fonctions continues sur [, ] lorsque cet intervlle est inclus dns I, elle est continue sur [, ], et ceci quel que soit [, ] dns I. Donc f est continue sur I. Supposons pr exemple que I = [, b[. On prt de l inéglité f(t)dt f(t) f x (t) dt +.

5 EB 5 Du fit de l convergence uniforme de l intégrle g(x), il existe b tel que, si b < < < b, on it, pour tout x de A, < ε 2. Fixons lors et. L fmille f x tend uniformément vers f sur [, ], donc il existe x tel que On en déduit donc que sup f(t) f x (t) < 1 t f(t)dt < ε, ce qui, d près le critère de Cuch, montre que l intégrle Pour montrer l utre prtie du théorème, on prt de l inéglité f(t)dt f x (t) f(t) dt + Comme l intégrle Comme l intégrle ε 2. f(t) dt converge. f(t)dt +. converge uniformément, il existe b tel, que, si est compris entre b et b, < ε 3. f(t)dt converge, il existe b tel que, si est compris entre b et b, f(t)dt < ε 3. Soit lors fixé supérieur à b et b. Comme f x tend uniformément vers f sur [, ], il existe un voisinge V de x tel que, si x est dns V et t dns [, ], on it Alors, si x pprtient à V on f(t) f x (t) < 1 ε 3. f(t)dt < ε,

6 EB 6 ce qui prouve que Exemple Soit f n définie sur [, 1[ pr Si t pprtient à [, ], lim = f(t)dt. x x f n (t) = f n (t) e t 1 + n(1 t) n(1 ). Comme le membre de droite tend vers zéro, celui de guche tend uniformément vers zéro sur [, ]. (L convergence n est ps uniforme sur [, 1[). D utre prt et 1 e t dt converge. Alors, l intégrle 1 1 lim n f n (t) e t f n (t)dt converge normlement, donc uniformément, et f n (t)dt = 1 dt = Remrque : dns l exemple précédent, on peut rriver u résultt sns utiliser le théorème. En effet, on ussi 1 f n (t) 1 + n(1 t), et en intégrnt 1 f n (t)dt 1 dt ln(n + 1) =, 1 + n(1 t) n et le membre de droite tend vers zéro, donc celui de guche églement. Interversion des signes et Soit (u n ) une suite de fonctions continues sur un intervlle I de bornes et b. Si l intervlle I est fermé borné, et si l série de terme générl u n converge uniformément sur I, on ( ) u n (t) dt = u n (t)dt. n= Lorsque l intervlle I n est ps fermé borné, on pplique le théorème de pssge à l limite sous le signe d intégrtion à l suite des sommes prtielles n s n = u k. k= n=

7 EB 7 Théorème 2 On suppose que l série de terme générl u n converge uniformément sur tout intervlle fermé borné de I et qu il existe une fonction h, continue sur I telle que, pour tout t de I u n (t) h(t), et, telle que l intégrle n= h(t)dt converge. Alors ( ) u n (t) dt = n= n= u n (t)dt. L première condition signifie que l suite (s n ) converge uniformément vers s = sur tout intervlle fermé borné de I. Pr illeurs Comme h(t) dt converge, l intégrle n= u n n s n (t) u k (t) u k (t) h(t). k= k= s n (t)dt converge normlement, donc uniformément. Les conditions du théorème de pssge à l limite sous le signe d intégrtion sont donc stisfites, et lim n s n (t)dt = s(t)dt. Mis s n (t)dt = n k= u k (t)dt, et on obtient bien l formule voulue : interversion des signes et. Fonctions définies pr des intégrles Dns ce qui suit I est un intervlle de R de bornes et b : l intervlle d intégrtion, et J est un utre intervlle de R. On étudie tout d bord le cs où I est fermé borné.

8 EB 8 Théorème 3 Soit f une ppliction définie et continue sur J I, à vleurs dns C. Alors l fonction F définie sur J pr est continue sur J. f(x,t)dt Soit x dns J. Soit [u, v ] un voisinge de x dns J. L ensemble [u, v ] [, b] est fermé borné dns R 2, et l fonction f est continue sur cet ensemble. Elle est donc uniformément continue. Alors, pour tout ε >, il existe η >, tel que x x < η et t t < η impliquent f(x,t) f(x,t ) < ε. Donc, si x x < η, et si t est dns [, b], on f(x,t) f(x,t) < ε. Ceci signifie que f(x,t) tend vers f(x,t) uniformément sur [, b], lorsque x tend vers x. Il résulte lors du théorème de pssge à l limite sous le signe d intégrtion dns le cs des intervlles fermés bornés, que F(x) tend vers F(x ) lorsque x tend vers x. Ceci montre que F est continue en x et ceci pour tout x de J. Donc F est continue sur J. Théorème de Leibniz : dérivtion sous le signe somme Théorème 4 Soit f une ppliction définie et continue sur J I à vleurs dns C. On suppose ) que pour tout t de I, l ppliction qui à x ssocie f(x,t) est dérivble dns J, b) que l ppliction qui à (x,t) ssocie f (x,t) est continue sur J I. x Alors, l fonction F définie sur J pr est continûment dérivble sur J et F (x) = f(x,t)dt f x (x,t)dt.

9 EB 9 En ppliqunt le théorème de Heine à f x, on obtient, comme dns le théorème précédent, l existence d un nombre η >, tel que si x x < η et t est dns I, f f (x,t) x x (x,t) < ε. D utre prt, si x x < η et t est dns I, d près le théorème des ccroissements finis, il existe c t tel que f(x,t) f(x,t) = f x x x (c t,t), où c est compris entre x et x. Alors f(x,t) f(x,t) x x Il en résulte que f(x,t) f(x,t) x x donc, en intégrnt F(x) F(x ) x x est dérivble en x, et que f x (x,t) = f x (c t,t) f x (x,t) < ε. tend vers f x (x,t) uniformément sur I lorsque x tend vers x et tend vers F (x ) = f x (x,t)dt lorsque x tend vers x. Ceci montre que F f x (x,t)dt. De plus, il résulte du théorème précédent que F est continue sur J. Théorème de Fubini Théorème 5 Soit I = [, b] et J = [c, d]. Soit f continue sur I J. Alors d f(x,t)dx dt = d c c f(x,t)dt dx. Posons Φ(x,) = f(x,t)dt et G() = En prticulier Φ(x, ) =, donc G() =. D utre prt est continue sur I J. Donc G est dérivble, et G (t) = d c Φ (x,) = f(x,) d c Φ(x,)dx. Φ d t (x,t)dx = f(x,t)dx. c

10 EB 1 Alors G(b) = G (t)dt = d c f(x,t)dx dt, mis ussi d d G(b) = Φ(x,b)dx = c c f(x,t)dt dx, d où le résultt. Cs des intervlles non fermés bornés Dns ce qui suit l intervlle I n est plus fermé borné. On lors les théorèmes suivnts. Théorème 6 Soit f une ppliction définie et continue sur J I, à vleurs dns C. Si l intégrle f(x,t)dt converge uniformément lorsque x pprtient à J, lors l fonction F insi définie est continue sur l intervlle J. En supposnt que I = [, b[, posons F (x) = f(x,t)dt. Comme f est continue sur J [, ], il résulte du théorème obtenu dns le cs d un intervlle fermé borné que F est continue sur J pour tout. Mis, dire que l intégrle F(x) converge uniformément, signifie que F tend uniformément vers F sur J. Donc F est une limite uniforme de fonctions continues et F est continue.

11 EB 11 Théorème 7 Soit f une ppliction définie sur J I à vleurs dns C. On suppose que pour tout t de I l ppliction qui à x ssocie f(x,t) est dérivble sur J, et que les fonctions f et f x sont continues sur J I. On suppose de plus que, pour tout x de J, l intégrle converge, et que l intégrle G(x) = f(x,t)dt f x (x,t)dt converge uniformément lorsque x est dns J. Alors, l fonction F est continûment dérivble sur J et F (x) = G(x). Si I = [, b[, on pose encore F (x) = f(x,t)dt. L fonction F tend simplement vers F. Pr illeurs F est dérivble sur J et, à cuse du théorème de Leibniz, on F (x) = f x (x,t)dt Or Cette fmille de fonctions tend uniformément sur J vers G. Il résulte lors du théorème de convergence uniforme des dérivées de fonctions que G est continue et que F = G. Remrque : si l on veut montrer qu une fonction est continue ou dérivble sur un intervlle ]c, d[, il suffit de montrer qu elle est continue ou dérivble sur tout intervlle de l forme [, ] inclus dns ]c, d[. On ppliquer en générl les théorèmes précédents dns le cs où J = [, ], et non directement à ]c, d[, cr il ne ser ps toujours possible de montrer l convergence uniforme de l intégrle pour tout x de ]c, d[.

12 EB 12 EXERCICES 1) Clculer l limite des suites d intégrles suivntes : ) 1 n t + sin(nt) nt + 1 2) Pour x > et b réel, on pose dt, b) e t(rctn(t n) π) dt, c) e tx sin(bt) dt t. Montrer que F est dérivble sur ], [. Clculer F (x). Clculer lim F(x). 3) Pour x > on pose 1 cos t t 2 e tx dt. x 2 1 t n 1 + t n dt. F(x) et en déduire l vleur de Montrer que F est continue sur [, [ et deux fois dérivble sur ], [. Clculer F (x). Clculer lim F (x) et lim F(x). En déduire l vleur de F(x) pour tout x >. Que vut F()? x x 4) Pour tout x réel on pose π/2 ln(cos 2 t + x 2 sin 2 t)dt. Montrer que F est continue sur R et dérivble sur R. Clculer F (x) et en déduire F(x). Que vut π/2 l intégrle ln(cos t)dt? 5) Pour x > on pose e tx dt 1 + t 2. ) Montrer que F est continue sur [, [, et deux fois dérivble sur ], [. Montrer que, pour tout x >, Clculer lim x F(x). F (x) + 1 x. b) Pour x on pose G(x) = sin t x + t dt.

13 EB 13 Montrer que cette intégrle est uniformément convergente, et que lim G(x) =. x Montrer que G est deux fois dérivble sur ], [, et que G (x) = En intégrnt pr prties, prouver que, pour x >, 2sin t (x + t) 3 dt. G (x) + G(x) = 1 x. c) Résoudre l éqution différentielle vérifiée pr F G, et en déduire que F = G. En déduire le vleur sint de l intégrle t dt. 6) Soit I n = π/2 cos n t dt. ) Montrer que l suite (I n ) n est décroissnte. Trouver une reltion de récurrence entre I n et I n 2. I n En déduire lim. n I n+1 b) Soit l série entière I n x n. Trouver son ron de convergence R et s somme pour x < R. n= c) Montrer que le suite (I n ) tend vers zéro. Qu en déduit-on pour l série entière si x = 1? Clculer ( 1) n I n. Est-ce que l série I n converge? n= n= 7) Quel est le ron de convergence de l série Clculer (On pourr montrer l inéglité f(x) = n= x n (n!) 2? e t f(tx)dt. k 1+n k n!, où k et n sont des nombres entiers positifs quelconques).

14 I = [, b] intervlle borné I = [, b[ I = ], b] I = ], b[ fermé intervlle non fermé ou non borné Conséquence f n tend vers f simplement sur I f n tend vers f uniformément sur I f n tend vers f uniformément sur tout intervlle fermé borné de I f n (t)dt converge uniformément f n (t)dt f(t)dt l série n= f n converge simplement sur I l série n= f n converge uniformément sur I l série n= f n converge uniformément sur tout intervlle fermé borné de I f n (t) Φ(t) n= où Φ est intégrble sur I ( ) f n (t) dt = n= n= f n (t)dt (x,t) f(x,t) est continue sur J I (x,t) f(x,t) est continue sur J I f(x,t)dt converge uniformément en x sur J F est continue sur J f(x,t)dt où x J (x,t) f(x,t) est continue sur J I. Pour tout t de I, f est dérivble pr rpport à x et (x,t) f x (x,t) est continue sur J I (x,t) f(x,t) est continue sur J I. Pour tout t de I, f est dérivble pr rpport à x et (x,t) f x (x,t) est continue sur J I f(x,t)dt converge pour tout x de J et f x (x,t)dt converge uniformément en x sur J F est de clsse C 1 sur J et F (x) = f x (x,t)dt EB 14