EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE"

Transcription

1 EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues à vleurs dns C, définies sur un intervlle [, b[ de R. On considère l intégrle impropre g(x) = que l on suppose convergente, et les intégrles propres g (x) =,. On dit que l intégrle g(x) converge uniformément en x, si g tend uniformément vers g sur A lorsque tend vers b. On peut donner des définitions nlogues pour des intervlles ], b] ou ], b[. Critère de Cuch de convergence uniforme des intégrles Proposition 1 L sitution étnt l même que ci-dessus, l intégrle converge uniformément, si et seulement si, pour tout ε >, il existe b tel que, si b < < < b, on it, pour tout x de A < ε. Ceci n est utre que le critère de Cuch de convergence uniforme ppliqué à l fmille de fonctions (g ) lorsque tend vers b, puisque = g (x) g (x).

2 EB 2 Convergence normle Définition 2 On dit que l intégrle [, b[ telle que converge normlement, s il existe f continue sur () (b) f(t)dt converge, Quel que soit x dns A et t dns [, b[, on f x (t) f(t). Critère de Weierstrss Proposition 2 Si l intégrle converge normlement, elle converge uniformément. Cel résulte du critère de Cuch. En effet, si l intégrle converge normlement, il existe f intégrble sur [, b[, telle que pour tout x et tout t f x (t) f(t). Alors, pour tout ε >, il existe b tel que, si b < < < b on it f(t)dt < ε. On en déduit que f(t)dt < ε, ce qui prouve l convergence uniforme de d près le critère de Cuch.

3 EB 3 Critère d Abel Proposition 3 Si x pprtient à un ensemble A, on considère des fonctions u x et v x définies et continues sur [, [, et l on suppose que ) les fonctions v x sont décroissntes, et lorsque t tend vers l infini, v x (t) tend vers zéro uniformément en x; b) il existe M tel que, pour tout x de A et tout de [, [ u x (t)dt M. Alors l intégrle u x (t)v x (t)dt converge uniformément. Ce critère résulte du critère d Abel pour les fonctions numériques. En effet, sous les hpothèses cidessus, l intégrle u x (t)v x (t)dt converge, et pour tout x, on u x (t)v x (t)dt Mv x(). Mis, lorsque tend vers l infini, v x () tend vers zéro uniformément en x. Il en résulte donc que u x (t)v x (t)dt tend uniformément vers zéro en x, c est-à-dire que u x (t)v x (t)dt tend uniformément vers u x (t)v x (t)dt en x, ce qui n est utre que l définition de l convergence uniforme de cette dernière intégrle. Pssge à l limite sous le signe d intégrtion Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues définies sur un intervlle I, dépendnt d un prmètre x tendnt vers x dns R. Pr exemple x est un nombre entier et tend vers + : dns ce cs on une suite de fonctions. Mis x peut être un nombre réel tendnt vers x fini ou non. On suppose que f x tend vers f simplement sur I lorsque x tend vers x et l on cherche des conditions suffisntes pour que tende vers f(t)dt.

4 EB 4 Proposition 4 Lorsque l intervlle I est fermé borné, l convergence uniforme de f x vers f sur I lorsque x tend vers x implique que lim = f(t)dt. x x L fonction f est continue sur I, et si I = [, b], on f(t)dt f x (t) f(t) dt f t f (b ). Dns le cs où l intervlle I n est plus fermé borné, l sitution n est plus si simple. On le théorème suivnt. Théorème 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues sur un intervlle I de bornes et b ( < b). On suppose ) que f x tend vers f uniformément sur tout intervlle fermé borné inclus dns I, lorsque x tend vers x b) que l intégrle converge uniformément en x. Alors l intégrle f(t) dt converge, et g(x) = lim = f(t)dt. x x Remrquons tout d bord que, puisque f est limite uniforme d une fmille de fonctions continues sur [, ] lorsque cet intervlle est inclus dns I, elle est continue sur [, ], et ceci quel que soit [, ] dns I. Donc f est continue sur I. Supposons pr exemple que I = [, b[. On prt de l inéglité f(t)dt f(t) f x (t) dt +.

5 EB 5 Du fit de l convergence uniforme de l intégrle g(x), il existe b tel que, si b < < < b, on it, pour tout x de A, < ε 2. Fixons lors et. L fmille f x tend uniformément vers f sur [, ], donc il existe x tel que On en déduit donc que sup f(t) f x (t) < 1 t f(t)dt < ε, ce qui, d près le critère de Cuch, montre que l intégrle Pour montrer l utre prtie du théorème, on prt de l inéglité f(t)dt f x (t) f(t) dt + Comme l intégrle Comme l intégrle ε 2. f(t) dt converge. f(t)dt +. converge uniformément, il existe b tel, que, si est compris entre b et b, < ε 3. f(t)dt converge, il existe b tel que, si est compris entre b et b, f(t)dt < ε 3. Soit lors fixé supérieur à b et b. Comme f x tend uniformément vers f sur [, ], il existe un voisinge V de x tel que, si x est dns V et t dns [, ], on it Alors, si x pprtient à V on f(t) f x (t) < 1 ε 3. f(t)dt < ε,

6 EB 6 ce qui prouve que Exemple Soit f n définie sur [, 1[ pr Si t pprtient à [, ], lim = f(t)dt. x x f n (t) = f n (t) e t 1 + n(1 t) n(1 ). Comme le membre de droite tend vers zéro, celui de guche tend uniformément vers zéro sur [, ]. (L convergence n est ps uniforme sur [, 1[). D utre prt et 1 e t dt converge. Alors, l intégrle 1 1 lim n f n (t) e t f n (t)dt converge normlement, donc uniformément, et f n (t)dt = 1 dt = Remrque : dns l exemple précédent, on peut rriver u résultt sns utiliser le théorème. En effet, on ussi 1 f n (t) 1 + n(1 t), et en intégrnt 1 f n (t)dt 1 dt ln(n + 1) =, 1 + n(1 t) n et le membre de droite tend vers zéro, donc celui de guche églement. Interversion des signes et Soit (u n ) une suite de fonctions continues sur un intervlle I de bornes et b. Si l intervlle I est fermé borné, et si l série de terme générl u n converge uniformément sur I, on ( ) u n (t) dt = u n (t)dt. n= Lorsque l intervlle I n est ps fermé borné, on pplique le théorème de pssge à l limite sous le signe d intégrtion à l suite des sommes prtielles n s n = u k. k= n=

7 EB 7 Théorème 2 On suppose que l série de terme générl u n converge uniformément sur tout intervlle fermé borné de I et qu il existe une fonction h, continue sur I telle que, pour tout t de I u n (t) h(t), et, telle que l intégrle n= h(t)dt converge. Alors ( ) u n (t) dt = n= n= u n (t)dt. L première condition signifie que l suite (s n ) converge uniformément vers s = sur tout intervlle fermé borné de I. Pr illeurs Comme h(t) dt converge, l intégrle n= u n n s n (t) u k (t) u k (t) h(t). k= k= s n (t)dt converge normlement, donc uniformément. Les conditions du théorème de pssge à l limite sous le signe d intégrtion sont donc stisfites, et lim n s n (t)dt = s(t)dt. Mis s n (t)dt = n k= u k (t)dt, et on obtient bien l formule voulue : interversion des signes et. Fonctions définies pr des intégrles Dns ce qui suit I est un intervlle de R de bornes et b : l intervlle d intégrtion, et J est un utre intervlle de R. On étudie tout d bord le cs où I est fermé borné.

8 EB 8 Théorème 3 Soit f une ppliction définie et continue sur J I, à vleurs dns C. Alors l fonction F définie sur J pr est continue sur J. f(x,t)dt Soit x dns J. Soit [u, v ] un voisinge de x dns J. L ensemble [u, v ] [, b] est fermé borné dns R 2, et l fonction f est continue sur cet ensemble. Elle est donc uniformément continue. Alors, pour tout ε >, il existe η >, tel que x x < η et t t < η impliquent f(x,t) f(x,t ) < ε. Donc, si x x < η, et si t est dns [, b], on f(x,t) f(x,t) < ε. Ceci signifie que f(x,t) tend vers f(x,t) uniformément sur [, b], lorsque x tend vers x. Il résulte lors du théorème de pssge à l limite sous le signe d intégrtion dns le cs des intervlles fermés bornés, que F(x) tend vers F(x ) lorsque x tend vers x. Ceci montre que F est continue en x et ceci pour tout x de J. Donc F est continue sur J. Théorème de Leibniz : dérivtion sous le signe somme Théorème 4 Soit f une ppliction définie et continue sur J I à vleurs dns C. On suppose ) que pour tout t de I, l ppliction qui à x ssocie f(x,t) est dérivble dns J, b) que l ppliction qui à (x,t) ssocie f (x,t) est continue sur J I. x Alors, l fonction F définie sur J pr est continûment dérivble sur J et F (x) = f(x,t)dt f x (x,t)dt.

9 EB 9 En ppliqunt le théorème de Heine à f x, on obtient, comme dns le théorème précédent, l existence d un nombre η >, tel que si x x < η et t est dns I, f f (x,t) x x (x,t) < ε. D utre prt, si x x < η et t est dns I, d près le théorème des ccroissements finis, il existe c t tel que f(x,t) f(x,t) = f x x x (c t,t), où c est compris entre x et x. Alors f(x,t) f(x,t) x x Il en résulte que f(x,t) f(x,t) x x donc, en intégrnt F(x) F(x ) x x est dérivble en x, et que f x (x,t) = f x (c t,t) f x (x,t) < ε. tend vers f x (x,t) uniformément sur I lorsque x tend vers x et tend vers F (x ) = f x (x,t)dt lorsque x tend vers x. Ceci montre que F f x (x,t)dt. De plus, il résulte du théorème précédent que F est continue sur J. Théorème de Fubini Théorème 5 Soit I = [, b] et J = [c, d]. Soit f continue sur I J. Alors d f(x,t)dx dt = d c c f(x,t)dt dx. Posons Φ(x,) = f(x,t)dt et G() = En prticulier Φ(x, ) =, donc G() =. D utre prt est continue sur I J. Donc G est dérivble, et G (t) = d c Φ (x,) = f(x,) d c Φ(x,)dx. Φ d t (x,t)dx = f(x,t)dx. c

10 EB 1 Alors G(b) = G (t)dt = d c f(x,t)dx dt, mis ussi d d G(b) = Φ(x,b)dx = c c f(x,t)dt dx, d où le résultt. Cs des intervlles non fermés bornés Dns ce qui suit l intervlle I n est plus fermé borné. On lors les théorèmes suivnts. Théorème 6 Soit f une ppliction définie et continue sur J I, à vleurs dns C. Si l intégrle f(x,t)dt converge uniformément lorsque x pprtient à J, lors l fonction F insi définie est continue sur l intervlle J. En supposnt que I = [, b[, posons F (x) = f(x,t)dt. Comme f est continue sur J [, ], il résulte du théorème obtenu dns le cs d un intervlle fermé borné que F est continue sur J pour tout. Mis, dire que l intégrle F(x) converge uniformément, signifie que F tend uniformément vers F sur J. Donc F est une limite uniforme de fonctions continues et F est continue.

11 EB 11 Théorème 7 Soit f une ppliction définie sur J I à vleurs dns C. On suppose que pour tout t de I l ppliction qui à x ssocie f(x,t) est dérivble sur J, et que les fonctions f et f x sont continues sur J I. On suppose de plus que, pour tout x de J, l intégrle converge, et que l intégrle G(x) = f(x,t)dt f x (x,t)dt converge uniformément lorsque x est dns J. Alors, l fonction F est continûment dérivble sur J et F (x) = G(x). Si I = [, b[, on pose encore F (x) = f(x,t)dt. L fonction F tend simplement vers F. Pr illeurs F est dérivble sur J et, à cuse du théorème de Leibniz, on F (x) = f x (x,t)dt Or Cette fmille de fonctions tend uniformément sur J vers G. Il résulte lors du théorème de convergence uniforme des dérivées de fonctions que G est continue et que F = G. Remrque : si l on veut montrer qu une fonction est continue ou dérivble sur un intervlle ]c, d[, il suffit de montrer qu elle est continue ou dérivble sur tout intervlle de l forme [, ] inclus dns ]c, d[. On ppliquer en générl les théorèmes précédents dns le cs où J = [, ], et non directement à ]c, d[, cr il ne ser ps toujours possible de montrer l convergence uniforme de l intégrle pour tout x de ]c, d[.

12 EB 12 EXERCICES 1) Clculer l limite des suites d intégrles suivntes : ) 1 n t + sin(nt) nt + 1 2) Pour x > et b réel, on pose dt, b) e t(rctn(t n) π) dt, c) e tx sin(bt) dt t. Montrer que F est dérivble sur ], [. Clculer F (x). Clculer lim F(x). 3) Pour x > on pose 1 cos t t 2 e tx dt. x 2 1 t n 1 + t n dt. F(x) et en déduire l vleur de Montrer que F est continue sur [, [ et deux fois dérivble sur ], [. Clculer F (x). Clculer lim F (x) et lim F(x). En déduire l vleur de F(x) pour tout x >. Que vut F()? x x 4) Pour tout x réel on pose π/2 ln(cos 2 t + x 2 sin 2 t)dt. Montrer que F est continue sur R et dérivble sur R. Clculer F (x) et en déduire F(x). Que vut π/2 l intégrle ln(cos t)dt? 5) Pour x > on pose e tx dt 1 + t 2. ) Montrer que F est continue sur [, [, et deux fois dérivble sur ], [. Montrer que, pour tout x >, Clculer lim x F(x). F (x) + 1 x. b) Pour x on pose G(x) = sin t x + t dt.

13 EB 13 Montrer que cette intégrle est uniformément convergente, et que lim G(x) =. x Montrer que G est deux fois dérivble sur ], [, et que G (x) = En intégrnt pr prties, prouver que, pour x >, 2sin t (x + t) 3 dt. G (x) + G(x) = 1 x. c) Résoudre l éqution différentielle vérifiée pr F G, et en déduire que F = G. En déduire le vleur sint de l intégrle t dt. 6) Soit I n = π/2 cos n t dt. ) Montrer que l suite (I n ) n est décroissnte. Trouver une reltion de récurrence entre I n et I n 2. I n En déduire lim. n I n+1 b) Soit l série entière I n x n. Trouver son ron de convergence R et s somme pour x < R. n= c) Montrer que le suite (I n ) tend vers zéro. Qu en déduit-on pour l série entière si x = 1? Clculer ( 1) n I n. Est-ce que l série I n converge? n= n= 7) Quel est le ron de convergence de l série Clculer (On pourr montrer l inéglité f(x) = n= x n (n!) 2? e t f(tx)dt. k 1+n k n!, où k et n sont des nombres entiers positifs quelconques).

14 I = [, b] intervlle borné I = [, b[ I = ], b] I = ], b[ fermé intervlle non fermé ou non borné Conséquence f n tend vers f simplement sur I f n tend vers f uniformément sur I f n tend vers f uniformément sur tout intervlle fermé borné de I f n (t)dt converge uniformément f n (t)dt f(t)dt l série n= f n converge simplement sur I l série n= f n converge uniformément sur I l série n= f n converge uniformément sur tout intervlle fermé borné de I f n (t) Φ(t) n= où Φ est intégrble sur I ( ) f n (t) dt = n= n= f n (t)dt (x,t) f(x,t) est continue sur J I (x,t) f(x,t) est continue sur J I f(x,t)dt converge uniformément en x sur J F est continue sur J f(x,t)dt où x J (x,t) f(x,t) est continue sur J I. Pour tout t de I, f est dérivble pr rpport à x et (x,t) f x (x,t) est continue sur J I (x,t) f(x,t) est continue sur J I. Pour tout t de I, f est dérivble pr rpport à x et (x,t) f x (x,t) est continue sur J I f(x,t)dt converge pour tout x de J et f x (x,t)dt converge uniformément en x sur J F est de clsse C 1 sur J et F (x) = f x (x,t)dt EB 14

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de maths spé MP

Résumé du cours d analyse de maths spé MP 1 TOPOLOGE Résumé du cours d nlyse de mths spé MP 1 Topologie 1) Normes, normes équivlentes Une norme sur l espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x). x E, (N(x) = x = ) (xiome

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers l dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chpitre Chpitre 20 Intégrtion Sommire 20.1 Continuité uniforme.................................

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet Le Clcul Intégrl niveu mturité Dniel Frquet Eté 8 Tble des mtières Introduction Intégrle indéfinie 3. Définitions et générlités................................ 3.. Déf. d une primitive..............................

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Intégration sur un intervalle quelconque MP

Intégration sur un intervalle quelconque MP ntégrtion sur un intervlle quelconque MP 9 décembre 22 Dns ce chpitre, on définit l notion de fonction continue pr morceu et intégrble sur un intervlle quelconque. Cel nous permettr de donner un sens à

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

M42. Compléments d analyse (résumé).

M42. Compléments d analyse (résumé). Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1 Grenoble INP Pgor 1ère nnée Exercices corrigés Anlyse numérique NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durnt les sénces de cours. Les corrections données sont des corrections plus

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Chapitre 9: Primitives et intégrales

Chapitre 9: Primitives et intégrales PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Chpitre 9: Primitives et intégrles Prérequis: Limites, dérivées Requis pour: Emen de mturité 9. «À quoi ç sert?» Un peu d histoire Isc Newton (64-77) Les clculs d ire de figures

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013 Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Préprtion à l'exmen écrit de mturité Mthémtiques 2013 1.Primitives et intégrles 1.1Primitives (CRM pp.77-80) Une primitive pourrit se définir

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Cours de Mathématiques L1. Résumé des chapitres. Hassan Emamirad

Cours de Mathématiques L1. Résumé des chapitres. Hassan Emamirad Cours de Mthémtiques L1 Résumé des chpitres Hssn Emmird Université de Poitiers Version 29/21 TABLE DES MATIÈRES 3 Tble des mtières 1 Nombres complexes 5 1.1 Le corps C.....................................

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique.

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique. C39211 Ecole Normle Supérieure de Cchn 61 venue du président Wilson 94230 CACHAN Concours d dmission en 3 ème nnée Informtique Session 2009 INFORMATIQUE 1 Durée : 5 heures «Aucun document n est utorisé»

Plus en détail

Séquence 7. Intégration. Sommaire

Séquence 7. Intégration. Sommaire Séquence 7 Intégrtion Sommire. Prérequis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur [ ; ]. Primitives 4. Primitives et intégrles d une fonction continue 5. Synthèse de l séquence Dns ce

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

mémento de mathématiques pour les ECE1

mémento de mathématiques pour les ECE1 mémento de mthémtiques pour les ECE1 Abdellh Becht Résumé L objectif de ce mémento est de permettre ux élèves de première nnée des clsses préprtoires ux Ecoles de Commerces, option économique, d voir un

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr

Plus en détail

Exercices de mathématiques MPSI et PCSI

Exercices de mathématiques MPSI et PCSI Exercices de mathématiques MPSI et PCSI par Abdellah BECHATA www.mathematiques.ht.st Table des matières Généralités sur les fonctions 2 2 Continuité 3 3 Dérivabilité 4 4 Fonctions de classes C k 5 5 Bijections

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

Du Calcul d Aire... ...Au Calcul Intégral

Du Calcul d Aire... ...Au Calcul Intégral Du Calcul d Aire......Au Calcul Intégral Objectifs Définir proprement l aire d une surface plane, au moins pour les domaines usuels (limités par des courbes simples) et fournir un moyen de la calculer.

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1 Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités Tble des mtières 1 Dénombrer et sommer 5 1.1 Rppels ensemblistes............................. 5 1.1.1 Opértions ensemblistes....................... 5 1.1.2 Bijections............................... 7 1.2

Plus en détail

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009 Université Joseph Fourier Premier semestre 9/ Licence première année - MATa - Groupe CHB- Contrôle Continu, le 9//9 Le contrôle dure heure. Questions de cours. ) Soit f :]a, b[ ]c, d[ unefonctionbijectiveetdérivabletelleque,pourtoutx

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Leçon 01 Exercices d'entraînement

Leçon 01 Exercices d'entraînement Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

3.8. 1 Estimation de l aire d une région curviligne. Exemple 1 Estimer l aire de la région sous une hyperbole. Solution

3.8. 1 Estimation de l aire d une région curviligne. Exemple 1 Estimer l aire de la région sous une hyperbole. Solution .8 Aperçu de l intégrle.8 APERÇU DE L INTÉGRALE Estimtion de l ire d une région curviligne Erreur d pproimtion Aire ecte d une région curviligne 4 Intégrle définie 5 Intégrle définie négtive 6 Propriétés

Plus en détail

Electromagne tisme 2 : Induction

Electromagne tisme 2 : Induction Electromgne tisme : Induction Induction de Neumnn Eercice 1 : Clcul d une force électromotrice induite n dispose d'un cdre crré fie de côté comportnt N spires d'un fil conducteur d'etrémités A et C dns

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral

Calcul différentiel et intégral Chapitre 27. Calcul différentiel et intégral 27 Limites... 27 2 Limite en un point fini... 27 2 Limite à droite ou à gauche... 27 2 Limite à l infini... 27 2 Utilisation de conditions... 27 2 Dérivation...

Plus en détail

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

gfaubert septembre 2010 1

gfaubert septembre 2010 1 Notes de cours Pour l e secondire Compiltion et/ou crétion Guyline Fuert Septemre 00 gfuert septemre 00 Géométrie------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES I. Précision d'une mesure directe Une mesure directe est une mesure lue sur un ppreil de mesure. Le résultt d'une mesure directe n'est jmis connu de fçon prfitement excte.

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Fonctions holomorphes

Fonctions holomorphes Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions holomorphes Christine Laurent-Thiébaut Ceci est le second volet de l étude des fonctions d une variable complexe, faisant suite au chapitre

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

TOUT SUR LE TRIANGLE

TOUT SUR LE TRIANGLE PROBLEME de niveu sup rédigé pr R. Ferreol ferreol@mthcurve.com TOUT SUR LE TRIANGLE. DONNÉES ET NOTATIONS 3 points A, B, C non lignés d un pln ffine euclidien P orienté de fçon à ce que (AB, AC ) soit

Plus en détail

Cours d informatique théorique de M. Arfi. FMdKdD fmdkdd [à] free.fr

Cours d informatique théorique de M. Arfi. FMdKdD fmdkdd [à] free.fr Cours d informtique théorique de M. Arfi FMdKdD fmdkdd [à] free.fr Université du Hvre Année 2009 2010 Tle des mtières 1 Reltions et lois de composition internes 2 1.1 Reltions.....................................

Plus en détail

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE 1GEN ciences et Techniques Industrielles Pge 1 sur 7 Automtique et Informtiques Appliquées Génie Énergétique Première 1 - LA VARIABLE BINAIRE L électrotechnique, l électronique et l mécnique étudient et

Plus en détail

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Mathématiques. Résumé du cours en fiches. MPsi MP. Daniel Fredon. Ancien maître de conférences à l université de Limoges

Mathématiques. Résumé du cours en fiches. MPsi MP. Daniel Fredon. Ancien maître de conférences à l université de Limoges Mathématiques Résumé du cours en fiches MPsi MP Daniel Fredon Ancien maître de conférences à l université de Limoges Dunod, Paris, 2010. ISBN 978-2-10-055590-1 Table des matières Partie 1 Analyse dans

Plus en détail