La continuité. I Introduction 1. II Notion de continuité 1 1 Définitions Graphique Exemples et contre exemple... 2

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1 L continuité Tle des mtières I Introduction 1 II Notion de continuité 1 1 Définitions Grphique Exemples et contre exemple III Théorème des vleurs intermédiires 3 1 Théorème Corollire Exemple d utilistion ) Premier exemple ) Deuxième exemple IV Comment otenir un encdrement des solutions? 5 1 Méthode de lyge Méthode de dichotomie V Continuité et suite 7

2 L continuité I Introduction f étnt une fonction définie sur un intervlle [ ; ]. On s intéresse ux équtions du type f (x)=k comment choisir k pour que l éqution it des solutions? L fonction doit-elle posséder des propriétés prticulières pour grntir l existence ou l unicité des solutions? Une étude grphique v nous ider à cerner le prolème : f () k M f () x Figure 1 II Notion de continuité 1 Définitions Définition Dire qu une fonction f, définie u voisinge de, est continue en signifie que : lim f (x)= f () x Dire qu une fonction f, définie sur un intervlle I, est continue sur I signifie que f est continue en tout réel de l intervlle I. Grphique Fonction discontinue en Fonction continue sur [ 1 ; 3 ] Cours Pge 1/7

3 L continuité 3 Exemples et contre exemple Propriété Les fonctions usuelles, en prticulier les fonctions polynômes, les fonctions rtionnelles, l fonction rcine crré, l fonction sinus, l fonction cosinus et l fonction vleur solue sont continues sur leur ensemle de définition. L somme, l différence, le produit, le quotient et l composée de fonctions continues sont continues. Les fonctions dérivles sont continues, mis l réciproque est fusse : L fonction rcine crrée est continue sur [0 ; + [ mis elle n est ps dérivle en 0 ; l fonction vleur solue est continue surrmis elle n est ps dérivle en 0. L fonction prtie entière Définition L prtie entière d un réel x, que l on note E(x) est le seul entier reltif qui vérifie E(x) x < E(x)+1 C est le plus grnd entier inférieur ou égl à x L fonction prtie entière est continue sur tout intervlle ] k ; k+ 1 [ où k est un entier reltif, mis elle est discontinue en toutes vleurs entières Cours Pge /7

4 f () f () L continuité III Théorème des vleurs intermédiires 1 Théorème Théorème Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I Soit et deux réels de l intervlle I. Pour tout réel k compris entre f () et f (), il existe u moins un réel c compris entre et tel que f (c)=k. On peut le formuler en disnt que l éqution f (x)=k dmet u moins une solution dns [ ; ]. f () k M f () c Figure 1 L continuité de l fonction nous ssure que s coure représenttive coupe u moins une fois l droite d éqution y = k pour des vleurs de k comprise entre f () et f (). On remrque qu elle peut l couper plusieurs fois. Remrques : L hypothèse «f est continue» est essentielle comme le montre l exemple suivnt : L éqution f (x)=k n ps de solution, pourtnt le réel k est compris entre f () et f () cr elle n est ps continue en c, elle fit un sut. y = k c L hypothèse «f est définie sur un intervlle» est essentielle comme le montre l exemple suivnt : L éqution f (x) = k n ps de solution, pourtnt le réel k est compris entre f () et f (), l fonction est continue sur son domine de définition [ ; c ] [ d ; ]. Mis le domine de définition n est ps un intervlle, il un «trou». Cours Pge 3/7

5 f () f () L continuité y = k c d Corollire Corollire Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervlle I lors L ensemle de toutes les imges des réels de I est un intervlle dont les ornes sont les limites de f ux ornes de I, il se nomme l intervlle imge et on peut le noter f (I). Pour tout réel k de l intervlle imge, l éqution f (x)=k dmet une solution unique dns I. f () y = k + f () α 3 Exemple d utilistion ) Premier exemple On considère l fonction f définie sur ] 1 ; + [ pr f (x)= 1 x 1. Quel est le nomre de solutions de l éqution f (x)=? Même question pour l éqution f (x)=0. On le tleu de vrition suivnt : x 1 + f (x) f (x) + 0 Cours Pge 4/7

6 L continuité L fonction f est continue, strictement décroissnte sur l intervlle ] 1 ; + [, l intervlle imge est ] 0 ; + [ or pprtient à l intervlle imge donc d près le théorème des vleurs intermédiires l éqution f (x)= une unique solution dns l intervlle ] 1 ; + [. Pr contre, 0 n pprtient ps à l intervlle imge donc l éqution f (x) = 0 n ps de solution dns l intervlle ] 1 ; + [. ) Deuxième exemple On considère l fonction dont le tleu de vrition se trouve ci-dessous. Quel est le nomre de solution de l éqution g (x)=0? x g (x) g (x) 7 IV Comment otenir un encdrement des solutions? Le théorème des vleurs intermédiires nous permet de prouver l existence de solutions, mis il ne nous donne ps de vleurs pprochées de ces solutions. Nous llons utiliser deux méthodes pour otenir un encdrement des solutions : 1 Méthode de lyge Exemple : On cherche un encdrement à 10 de l solution de l éqution x 3 = 0, : L fonction f : x x 3 est continue, strictement croissnte surr, f ( 1)=1 et f ()=10 d où f (1)<3< f () donc d près le théorème des vleurs intermédiires l éqution x 3 + x = 3 une unique solution dns l intervlle ] 1 ; [. On définit l fonction dns l éditeur de fonctions : On initilise l tle de l clcultrice : On consulte l tle de l clcultrice : Cours Pge 5/7

7 L continuité On en déduit que l solution se trouve entre 1, et 1,3 cr f (1,)<3< f (1,3). On recommence vec un ps de 0,01 On en déduit que l solution se trouve entre 1,1 et 1, cr f (1,1)<3< f (1,). Méthode de dichotomie f étnt une fonction croissnte sur l intervlle [ ; ], on cherche un encdrement à 10 p de l solution de l éqution f (x)=k sur cet intervlle près s être ssuré que k se trouve entre f () et f () : f () y = k f () 1 α 1 On utilise un lgorithme que l on peut progrmmer : Algorithme Sisir et Sisir k Sisir p Tnt que >10 p c prend l vleur (+ )/ Si f (c) < k lors prend l vleur c Sinon prend l vleur c Finsi FinTntQue Afficher et Commentires On entre les ornes de l intervlle On entre l précision On prtge l intervlle en deux On détermine le nouvel intervlle contennt l solution On ffiche l encdrement Voici le progrmme sur TI83 et sur Grph 85 : Cours Pge 6/7

8 L continuité V Continuité et suite Propriété On considère un fonction f continue sur un intervlle I qui ne prend que des vleurs dns I { u0 = et l suite définie pr u n+1 = f (u n ) Si (u n ) est convergente lors s limite l vérifie f (l)=l Cours Pge 7/7