MÉCANIQUE ANALYTIQUE & VIBRATIONS. Systèmes Hamiltoniens

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1 MÉCANIQUE ANALYTIQUE & VIBRATIONS Systèmes Hamiltoniens Mohamed EL KACIMI Université Cadi Ayyad - Faculté des Sciences Semlalia Département de Physique Année Universitaire 2016/2017

2 Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 1. Introduction 2. Equation HJ à partir du principe variationnel 3. Démarche à suivre Séparation des variables Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 1/ 32

3 Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 1. Introduction 2. Equation HJ à partir du principe variationnel 3. Démarche à suivre Séparation des variables Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 2/ 32

4 Introduction L introduction des transformations canoniques a pour but de trouver le jeux de variables conjuguées où l on a le plus de variables cycliques, ce qui de loin simplifie les équations régissant la dynamique et fait émerger les intégrales premières du système de manière directe. la situation la plus optimale serait que toutes les variables conjuguées soient cycliques = H = 0. Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 3/ 32

5 Comme nous venons de le mentionner, les nouvelles variables (Q k,p k ) sont cycliques, ce qui permet d écrire Q k P k = H P k = 0 = H Q k = 0 Soit G la fonction génératrice de la transformation canonique associée, sachant que H = 0, nous avons H(q i,p i,t) p k q k + dg = 0. dt k Prenons G = G 2(q,P;t) et dérivons par rapport au temps dg 2 = ( ) G2 q k + G2 P k + G2 dt q k P k t k comme nous avons P k = 0 et p k = G2 q k H(q k, G q k,t)+ G t = 0 Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 4/ 32

6 Equation HJ à partir du principe variationnel Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 1. Introduction 2. Equation HJ à partir du principe variationnel 3. Démarche à suivre Séparation des variables Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 5/ 32

7 Equation HJ à partir du principe variationnel Définition On appelle l équation de Hamilton-Jacobi, l équation donnant la fonction génératrice de la transformation canonique où toutes les nouvelles variables conjuguées (Q k,p k ) sont cycliques, H(q k, G q k,t)+ G t = 0 G(q k,t;p k ) fonction de n variables généralisées et du temps t est appelée la fonction principale de Hamilton. Quel sens donner à la fonction principale de Hamilton? = dg dt = k G q k + G q k t = k p k q k H = L Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 6/ 32

8 Equation HJ à partir du principe variationnel Quel sens donner à la fonction principale de Hamilton? Nous pouvons écrire ainsi dg(q k,p k ;t) dt = L(q k, q k ;t) = δs(q k;p k,t). δt et on voit bien que cette dérivée n est d autre que le lagrangien du système, lui même par définition la dérivée totale par rapport au temps de l action S. Considérons un système à un seul degré de liberté : S(q,t;P) = Ldt. t 1 L action hamiltonienne = q(1) fixe = δq(1) = 0 alors que q(2) est libre. Tous les chemins entre q(1) fixe et q(2) libre peuvent être empruntés = vérifient les équations de Lagrange t Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 7/ 32

9 Hamiltonien d un système Equation HJ à partir du principe variationnel Soit l action hamiltonienne Equation HJ à partir du principe variationnel S(q,t;q 1,t 1 ) = L(q, q,t)dt t 1 Tous les q(t) obéissent aux équations de Lagrange. Différentions S(q k ;P k,t) ds = S dq k + S dt = Ldt q k t k Calculons cette fois-ci l accroissement de S entre deux chemins voisins t t [ L δs = δldt = δq k + L ] δ q k dt t 1 t 1 q k q k t [( ) d L = δq k + L ] t [ ] d L δ q k dt = δq k dt t 1 dt q k q k t 1 dt q k = L(q k(t), q k (t),t) δq k (t) = p k δq k q k (t) t Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 8/ 32

10 Hamiltonien d un système Equation HJ à partir du principe variationnel Equation HJ à partir du principe variationnel Or, nous avons δs(q k ;P k,t) = S δq k = S = p k q k q k et en substituant le dernier résultat dans la différentielle de S, p k dq k + S t dt = Ldt = p k q k + S t = L k k = p k q k L+ S S = 0 = H(qi,,t)+ S t q i t = 0 k L action hamiltonienne est l action calculée sur une trajectoire physique dont le point de départ est fixé alors que le point d arrivée est libre. Elle est la fonction génératrice de la transformation canonique pour laquelle toutes les nouvelles variables conjuguées sont cycliques Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 9/ 32

11 Démarche à suivre Séparation des variables Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 1. Introduction 2. Equation HJ à partir du principe variationnel 3. Démarche à suivre Séparation des variables Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 10/ 32

12 Démarche à suivre Séparation des variables Cas général Reprenons l équation HJ et remplaçons p i = G q i : H(q k, G ;t)+ G = 0. q k t C est une équation aux dérivées partielles dans l espace des fonctions à n+1 variables G(q 1,,q d,p 1,,P d ;t) = d +1 constantes d intégration α k = P k ;k = 1,,d,α d+1 (= E). Aussi, en considérant une tranformation de type 2, la solution générale peut s écrire sous la forme : { pi = G q G(q k ;P k,t) = S(q k ;α k = P k ;t) avec i = S q i Q i = G P i = S α i Si H ne dépend pas explicitement du temps, alors S(q k ;α k = P k ) = S 0 (q k ;α k = P k ) Et cette équation est appelée l équation caractéristique de Hamilton-Jacobi. Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 11/ 32

13 Démarche à suivre Séparation des variables Démarche à suivre On cherche une fonction F solution des équations HJ : Etape 1 : écrire l équation de HJ ( H q 1,,q d ; F,, F ) ;t + F = 0 q 1 q d t Etape 2 : Chercher la solution générale S(q 1,,q d ;α 1,,α d ;t) = F, en omettant α d+1. Etape 3 : Chercher G telle que G(q 1,,q d,p 1,P d ;t) = S(q 1,,q d,α 1 = P 1,α d = P d ;t) Exprimer les q i et p i en fonction de Q i et P i à l aide des équations { pi = G q i Q i = S α i Comme les Q i et les P i sont constantes, la solution du problème initial, et qui consiste à trouver G est ainsi résolu. Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 12/ 32

14 Démarche à suivre Séparation des variables Exemple : Oscillateur harmonique à une seule dimension Nous avons le hamiltonien suivant H = p2 2m + mω2 2 q2. On cherche une fonction F(q,t) qui satisfait [ ( F ) ] 2 1 +m 2 ω 2 q 2 + F 2m q t = 0 Cherchons une solution de la forme [ F(q,t) = F 1 (t)+f 2 (q) = df 1 dt + 1 ( F2 ) ] 2 +m 2 ω 2 q 2 = 0 2m q { F1 (t) = αt+β = df 2 dq = ± 2mα m 2 ω 2 q 2 Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 13/ 32

15 Démarche à suivre Séparation des variables Exemple : Oscillateur harmonique à une seule dimension La solution générale est S(q,α;t) = ± et la fonction génératrice est G(q,P;t) = S(q;α = P,t) = ± = q 0 q 0 dq 2mα m 2 ω 2 q 2 αt dq 2mP m 2 ω 2 q 2 Pt p = G q = 2mP m 2 ω 2 q 2 Q = G P = ± q 0 dq m t 2mP m 2 ω 2 q 2 = t+ 1 ω Arcsinq mω 2 2P = q = 2P mω sin(t+q). 2 on a posé x = q mω 2 /2P et l intégrale précédente devient 1 q 2P/mω 2 ω dx 1 1 x. Le signe ± correspond respectivement à ce que p 2 varie dans le même sens ou le sens opposé que q. Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 14/ 32

16 Démarche à suivre Séparation des variables Séparation des variables Définition Une variable q 1 est dite séparable si l on peut chercher la solution de l équation de HJ sous la forme F(q 1,,q d ;t) = F 1 (q 1 )+F (q 2,,q d ;t). Remarques ( Si q 1 et F 1 apparaissent dans l équation de HJ sous forme φ q 1 q 1, F 1;α 1 q 1 k ), alors ( [φ 1 H = ),q 2,,q d, F F 1 q 1, q 1,α k ( H d 1 q i, F q i ;α 1,, φ 1 (q 1, F 1 q 1 ;α k ) ] + F t,, F ;α k q 2 q d ) + F = 0 pour i 1 t = α 1 = 0 Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 15/ 32

17 Démarche à suivre Séparation des variables Séparation des variables Un système est dit complètement séparable si de proche en proche l on peut séparer toutes les variables. Nous avons alors F(q 1,,q d ;t) = ( avec φ d q d, df ) d ;α k dq d d F k (q k ;α 1,,α d )+F 0(t) k=1 = α d, H(α 1,,α d ;t)+ df0 dt = 0 si q k est cyclique ; on peut choisir φ k (q k, df k dq k ) = df k dq k. On en déduit que F k (q k ) = α k q k et P k = α k = constante = p k = F k (q k ) = p k q k Dans le cas où H ne dépend pas explicitement du temps, nous avons alors df 0(t) = H(α 1,,α d ) = Et dt Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 16/ 32

18 Démarche à suivre Séparation des variables Exemple : Potentiel U(r, θ, ϕ) Le hamiltonien d un point matériel soumis à un potentiel U(r,θ,ϕ) en coordonnées sphériques est de la forme ( ) 1 H(r,θ,ϕ,p r,p θ,p ϕ) = p 2 r + p2 θ 2m r + p2 ϕ 2 r 2 sin 2 +U(r,θ,ϕ). θ Si l on considère U(r,θ,ϕ) = a(r)+ b(θ)., alors l équation de HJ s écrit comme suit r 2 ( ) [ 2 ( F 1 F +a(r)+ 1 ) 2 ( ) 2 1 F +2mb(θ)] + 2m r 2mr 2 θ 2mr 2 sin 2 + F θ ϕ t = 0 H est indépendant du temps = F(r,θ,ϕ;t) = F (r,θ,ϕ) Et ϕ est cyclique = F (r,θ,ϕ) = F (r,θ)+p ϕϕ avec (p ϕ = constante). F (r,θ) satisfait l équation 1 2m ( F r ) 2 +a(r)+ 1 2mr 2 [ ( F θ ) 2 +2mb(θ)+ p2 ϕ sin 2 θ ] = E Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 17/ 32

19 Démarche à suivre Séparation des variables Exemple : Potentiel U(r, θ, ϕ) On sépare r et θ F (r,θ) = F 1(r)+F 2(θ) et en multipliant l équation précédente par r 2 alors on obtient { (df2 dθ 1 2m ) 2 p +2mb(θ)+ 2 ϕ ) 2 +a(r)+ β ( df1 dr sin 2 θ 2mr 2 = β = E Les constantes d intégration sont p ϕ, β et E et l action hamiltonienne est donnée finalement par S(r,θ,ϕ;p ϕ,β,e;t) = Et± β 2mb(θ) p2 ϕ sin 2 θ dθ + ± 2m(E a(r)) β r dr. 2 La suite de la résolution consisté à trouver (Q r,q θ,q ϕ) et d en déduire les équations horaires (r, θ, ϕ) Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 18/ 32

20 Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 1. Introduction 2. Equation HJ à partir du principe variationnel 3. Démarche à suivre Séparation des variables Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 19/ 32

21 Systèmes intégrables Définition Il est facile de résoudre numériquement, par ordinateur, les équations du mouvement de nombreux systèmes, une fois les conditions initiales fixées. Toutefois, dans certains cas nous nous intéressons seulement à certaines caractéristiques du mouvement d un système, comme par exemple connaître sa période et savoir à quelle(s) condition(s) celles(s)-ci reste(nt) stable(s). Définition Un système est dit intégrable si l on peut caractériser qualitativement son comportement, les trajectoires, dans l espace des phases. Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 20/ 32

22 Systèmes intégrables Théorème de Arnold-Liouville Rappelons que l on peut qualifier le comportement du système dans l espace de phases sans passer par les équations de mouvement si le système est dit intégrable, c est à dire si l on dispose d assez d intégrales premières pour le faire. Théorème de De Arnold-Liouville Un système mécanique à d degrés de liberté est intégrable s il possède les trois propriétés suivantes : 1 Il existe d intégrales premières I k (= {I k,h} = 0) ; 2 Les intégrales premières I k sont indépendantes (Chaque I k apporte une information supplémentaire) ; 3 Les intégrales première I k sont en involution ({I i,i j} = 0 i,j d). Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 21/ 32

23 Théorème de Liouville Le lien entre la thermodynamique et la mécanique est basé sur la description statistique des systèmes à plusieurs degrés de liberté en terme de la probabilité de trouver le système dans un état donné. La description la mieux adaptée est l usage des coordonnées généralisées et les moment conjugués et donc de l espace de phase = l intérêt de cette description reside dans le comportement du volume de l espace des phases lors d une transformation canonique Théorème de Liouville Considérons un volume V = Ω Π idq i dp i où Ω est un domaine de l espace des phases. Si on fait une transformation canonique (q i,p i ) (Q i,p i ) alors V = Π i dq i dp i = V = Π i dq i dp i Ω Ω Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 22/ 32

24 Théorème de Liouville Démonstration En effet, le changement de variable engendré par la tranformation canonique permet d écrire Π i dq i dp i = M 1 Π i dq i dp i où M est la matrice jacobienne de la transformation. Comme M est symplectique, étant donné que la transformation est canonique, alors t MJM = J = t MJM = J = t M J M = J = M 2 = 1 = M = 1 = M 1 = 1. Ce qui implique que V = Ω M 1 Π i dq i dp i = Ω Π i dq i dp i = V. Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 23/ 32

25 Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 1. Introduction 2. Equation HJ à partir du principe variationnel 3. Démarche à suivre Séparation des variables Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 24/ 32

26 Position du problème Généralement les équations du mouvement, lorsque celui-ci est périodique, peuvent être mises à l aide d une transformation canonique sous une forme où Q k augmente de 2π pendant une période T alors que les P k sont constantes. Position du problème On suppose que le système est intégrable = d intégrales premières I k ; H = H (P 1,,P d ) = β 1 (P 1,,P d ) tel que Q k ;k = 1,,d sont cycliques = P k = 0. Nous avons également Q k = ω k t+q 0k et Q k (t+t) = Q k +2π (angles) ; Les équations canoniques : P k = H = 0 Q k = H = ω k (P k ) H = H(P 1,,P d ) Q k P k Il suffit de choisir les constantes d intégrations α k = P k = β k (I 1,,I d ) avec α 1 = E = Comment déterminer les β k =? Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 25/ 32

27 Résolution : Système conservatif La méthode de Hamilton-Jacobi, à ne pas confondre avec les équations HJ, consiste à prendre pour la fonction génératrice recherchée l action hamiltonienne : S(q 1,,q d ;α 1,,α d ;t) = W(q 1,,q d ;α 1 = β 1(I 1,,I k ),,α d = β d ) α 1t Aussi, nous avons p k = W(q q k 1,,q d ;α 1,,α d ) Q k = P k W(q 1,,q d ;α 1,,α d ) H (P 1,,P d ) = β 1(I 1,,I d ). Après la résolution de l action Hamiltonienne réduite, il suffit de déterminer β 1(I 1,,I d ). La transformation générale est de la forme F 2(q 1,,q d ;P 1,,P d ) = W(q 1,,q d ;α 1 = β 1(P 1,,P d ), ) Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 26/ 32

28 Variables angles-actions Système à 1 degré de liberté Les équations du mouvement d un système animé d un mouvement périodique peuvent faire l objet d une transformation canonique (q, p) (Q, P) telle que P reste constante et Q augmente de 2π pendant une période. Supposons que F 2 (q;p) = W(q;α = β(p)), le plus simple est d exprimer Q comme suit dq Q = dq = 2π dq où dq signifie que l on suit le mouvement sur un cycle. Or et la condition 2π = Q = F 2 P 2 F q P dq = P = dq dq = q ( ) F2 + 2 F 2 P P P 2 q = 2 F 2 q P W(q;α) W(q;α) dq il suffit de prendre dq = 2πP q q sachant que P = β 1 (α) ce qui donne finalement β 1 1 W(q;α) (α) = dq = 1 W(q;α) dq 2π q 2π q et le problème est résolu. Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 27/ 32

29 Variable action-angle Système à 1 degré de liberté Définition Pour un système à un degré de liberté animé d un mouvement périodique, on appelle variables actions-angles que l on note (θ, J) le couple de variables canoniquement conjugués telles que J est constante et θ augmente de 2π au cours d une période. Remarques Démarche à suivre : On résout l équation caractéristique selon la méthode de Hamilton Jacobi = W(q,α) (Attention H 0) On détermine β telle que J = β 1 (α) = 1 2π F 2 (q,j) = W(q;α = β(j)) = θ = F 2 J le nouvel hamiltonien est H (θ;j) = β(j). W q dq. Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 28/ 32

30 Variable action-angle Système à 1 degré de liberté : Oscillateur harmonique Le hamiltonien est donné par H(q,p) = p2 2m + mω2 2 q2. Nous avons établi auparavant que W(q,α) = ± q 0 dq 2mα mω 2 q 2. On cherche donc les nouvelles variables canoniques (θ,j). La variable action peut être déduite comme suit J = P = β 1 (α) = 1 W 2π q dq = 1 pdq 2π De par l expression de l hamiltonien, la trajectoire dans l espace des phases est une ellipse 2 q2 2α + p mω 2 2mα d équation = 1. Aussi, le chemin fermé sur lequel on intègre est une ellipse. Les extrémités sur l axe de q sont q ± = ± 2α mω 2, ces dernières valeurs sont celles du demi-grand axe de l ellipse. Une deuxième méthode consiste à calculer les valeurs de q pour lesquelles l énergie cinétique est nulle pour q ± = q max/min = p(q ± ) = 0, d où 2α 2α H(q,p = 0) = α = mω 2 q mω 2 Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 29/ 32

31 Variable action-angle Système à 1 degré de liberté : Oscillateur harmonique Notons que le chemin fermé que l on choisit est q q +, dans ce cas le mouvement se fait dans le sens positif et donc on prend la racine positive de W/ q ; ensuite on ferme le chemin en partant de q + q et la racine négative est utilisée dans ce cas, ce qui donne ( J = 1 2α mω 2 2mα m2 ω 2π 2 q 2 dq 2α mω 2 = 1 π 2α mω 2 2α mω 2 2mα m2 ω 2 q 2 dq. On fait le changement de variable sinu = mω 2 2α ) mω 2 2mα m2 ω 2 q 2 dq 2α mω 2 2α q = dq = 2α mω 2 cosudu ainsi J = 2α π/2 cos 2 udu = 2α π/2 1 πω π/2 πω π/2 2 (cos2u+1)du = α ω J = β 1 (α) = α = α = Jω = β(j) = θ = β = ω et c est le résultat attendu. ω J Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 30/ 32

32 Variable action-angle Système à d degré de liberté : systèmes séparables Considérons un système mécanique conservatif à d degrés de liberté intégrable, complétement séparable et que le mouvement est périodique par rapport à chaque paire (q k,p k ). L équation caractéristique de Hamilton s écrit alors comme suit W(q 1,,q d ;α 1,,α d ) = k W k (q k ;α 1,,α d ). On cherche une transformation canonique vers des variables angles-actions (θ k,j k ) telles que θ k (T k +t) = θ k (t)+2π et les J k sont constantes. On applique le même raisonnement alors, les variables actions sont données par J k = 1 Wk (q k ;α 1 = β 1, ) dq k = 1 p k dq k. 2π q k 2π Comme les variables sont séparables, il n y a pas de sommation sur les k! Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 31/ 32

33 Variable action-angle Système à d degré de liberté : systèmes séparables On obtient ainsi d équations à intégrer donnant les d variables actions J k = β 1 k (α 1,,α d ). On résout ce système d équations pour obtenir α k = β k (J 1,,J d ) On en tire β 1 (J 1,,J d ) qui nous intéresse et on en déduit les pulsations ω k comme suit θ k = ω k = β 1(J 1,,J d ) J k. Mohamed EL KACIMI Chapitre III : Systèmes Hamiltoniens 32/ 32