Quelques exercices corrigés sur la déduction naturelle

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1 A Lecomte Quelques exercices corrigés sur la déduction naturelle 1- Démontrer que : { ( q (r s)), s} -- ( q) r Au déart, notre esace de déduction est le suivant : n ( q) r Les deux remières lignes sont occuées ar les deux rémisses La dernière (on ne sait évidemment as encore ce que sera la valeur de n) est la conclusion à laquelle on veut aboutir Pour remlir les lignes entre 2 et n, nous nous laissons guider ar la formule à laquelle nous voulons aboutir, et ar celles que nous avons déjà Au stade actuel, la formule qui nous sert de but a la forme d une imlication (son connecteur rincial est ), donc nous sommes obligés d utiliser la règle dite «introduction de» Cette règle consiste : 1- à oser comme othèse l antécédent de l imlication qu on veut démontrer, ouvrant ainsi un nouvel esace (une «fiction») à l intérieur du récédent, 2- à tenter de déduire le conséquent de l imlication dans ce nouvel esace, avec le droit d utiliser toutes les formules obtenues récédemment dans les esaces de déduction de niveau enchâssant D où le nouvel état de notre esace de déduction : q r n ( q) r A ce stade, nous avons simlifié notre travail La formule à rouver est simlement r Elle n a as de structure interne articulière qui ourrait nous aider à continuer Donc, our rouver r, nous allons maintenant nous laisser guider ar la forme des formules déjà obtenues, c est-àdire our l instant les deux rémisses et l othèse Sachant que r est à rouver et que r ne figure que dans la rémisse 1, quelque chose nous dit (!) qu on va devoir utiliser la formule qui se trouve à la ligne 1 Comme cette formule est une imlication, nous allons cette fois utiliser une formule imlicative our démontrer autre chose (une telle formule n est lus un but, elle est maintenant un moyen), donc nous utiliserons la règle dite «élimination de» Mais our cela, nous avons besoin de l antécédent de cette formule, autrement dit Or comment avoir? grâce à l othèse q Donc, avant d utiliser la règle d élimination de, il va falloir utiliser la règle d élimination de D où le nouvel état de notre esace de déduction :

2 A Lecomte q r n ( q) r On eut maintenant rééter le contenu de la ligne 1 dans la sous-déduction (règle reit), de manière à rendre clair le fait que, dans cette sous-déduction, on utilise la règle d élimination de à artir de la rémisse 1 et du contenu de la ligne q 5 ( q (r s)) e,, 5 r n ( q) r Maintenant, toujours our avancer, nous voyons que le r a rouver se trouve dans une formule lus simle qu avant, celle qu on a mise à la ligne 6 Or cette formule est une équivalence, donc il va falloir utiliser la règle d élimination de, mais avant cela, il nous faudra obtenir q, et our cela il faut encore rocéder à une élimination de à artir du contenu de la ligne q 5 ( q (r s)) e,, 5 r n ( q) r q 5 ( q (r s)) e,, 5

3 A Lecomte r s e, 6, 7 r n ( q) r A ce stade, la formule sur laquelle nous nous focalisons est la disjonction r s, donc il faut utiliser une règle d élimination du Etant donné ce dont nous disosons, nous utilisons la règle d élimination du qui consiste à surimer l un des deux termes de l alternative grâce à sa négation Donc nous réitérons la rémisse 2 et nous l aliquons our obtenir le résultat q 5 ( q (r s)) e,, 5 8 r s e, 6, 7 9 s reit, 2 10 r e, 8, 9 n ( q) r A ce stade, nous voyons que nous avons accomli notre rogramme : il s agissait de rouver r à artir de l othèse q : c est fait! Il nous reste à en tirer la conclusion : la formule ( q) r découle de la sous-déduction qui va de la ligne à la ligne 10, ar utilisation de la règle «introduction de» D où la déduction, une fois terminée : q 5 ( q (r s)) e,, 5 8 r s e, 6, 7 9 s reit, 2 10 r e, 8, 9 11 ( q) r i, _10 2- Démontrer que : -- (( q) ((q m) m)) Ici, on ne eut évidemment se laisser guider que ar la conclusion à laquelle on veut aboutir uisqu il n y a as de rémisses! (en ce cas, on démontre un «théorème» du système) Il s agit de rouver une imlication, donc on utilise la règle d introduction de

4 A Lecomte ( q) ((q m) m) n (( q) ((q m) m)) Comme la nouvelle formule à rouver est encore une imlication, on récidive : q 2 (q m) m ( q) ((q m) m) n (( q) ((q m) m)) La nouvelle formule à rouver est encore une imlication, d où : q 2 q m m (q m) m ( q) ((q m) m) n (( q) ((q m) m)) Il s agit maintenant de rouver m à artir de toutes les formules introduites dans l esace de déduction au-dessus et «à gauche» (au sens large) de la formule à rouver Etant donné qu il n y a que des, on ne va ouvoir utiliser que la règle d élimination de D où la déduction, à son état final : q 2 q m q reit, q e, 5 7 m e, 6 8 (q m) m i _7 9 ( q) ((q m) m) i 2_8 n (( q) ((q m) m)) i 1_9 - Démontrer que : -- ( (q m)) (( q) ( m)) Attention : ici, arès avoir introduit l othèse corresondant à l antécédent de l imlication, nous voyons que our rouver le conséquent de l imlication, il faudra utiliser la règle

5 A Lecomte d introduction du, mais nous ne ourrons utiliser que l othèse (q m), qui a la forme d une formule en, donc il faudra utiliser la règle d élimination du, qui consiste à se lacer tour à tour sous l othèse que c est le remier terme qui est vrai, et sous l othèse que c est le second 1 (q m) q i, 2 m i, 2 5 ( q) ( m) i,, 6 q m 7 q e, 6 8 m e, 6 9 q i, 7 10 m i, 8 11 ( q) ( m) i, 9, ( q) ( m) e, 2_5, 6_11 1 ( (q m)) ( q) ( m) i, 1_12 - Démontrer que : -- (( q) ( q)) Le conséquent de la formule à rouver est ici une négation, donc une fois que nous avons introduit l antécédent comme othèse, il faut utiliser la règle d introduction de la négation, laquelle consiste à oser comme othèse et à essayer d en déduire une formule et sa négation 1 ( q) ( q) ( q) ( q) q e, 1 5 q e, 1 6 q e, 2, e, 2, 5 8 i, 2_7 9 (( q) ( q)) i, 1_8 5- Démontrer que : reit 1 re 2 5 i, 2_ 6 i, 1_5 6- Démontrer que : -- (loi du tiers exclu) (lus difficile!)

6 A Lecomte A riori, il faudrait utiliser la règle d introduction du Mais our utiliser cette règle, il faudrait que l on ait démontré au réalable soit qu on a soit qu on a ce qui est imossible, donc il faut rocéder ar d autres moyens Si on n a aucune règle logique «directe» qui nous ermet d aboutir, alors on tente le cou en niant la conclusion, et en introduisant cette négation comme othèse En faisant cela, si nous arrivons à une contradiction, nous aurons démontré la négation de la négation au moyen de la règle d introduction de, et donc, grâce à la règle d élimination de la double négation, nous aurons démontré la formule C est ce que nous faisons dans ce qui suit : Premier as : 1 ( ) 1 A ce stade, nous ourrions utiliser la règle d élimination de, mais il faudrait our cela établir que nous avons aussi, ce qui est justement ce que nous cherchons! donc, il faut là aussi «rocéder ar l absurde» et suoser ar exemle que nous avons Deuxième as : 1 ( ) Mais alors on eut rouver (ar introduction de ), d où : 1 ( ) i, 2 Ce qui entre en contradiction avec l othèse 1 D où la suite de la reuve : 1 ( ) i, 2 ( ) 5 i, 2_ 6 i, 5 7 ( ) re, 1 8 ( ) i, 1_7 9 e, 8 On remarquera que la règle d élimination de la double négation était nécessaire our rouver ce théorème Il s avère que, de la même façon, dans un système où le rincie du tiers-exclu serait donné, mais as la règle d élimination de la double négation, on ourrait démontrer cette dernière Autrement dit tiers exclu et double négation sont équivalentes Un système qui ne ossèderait ni l une ni l autre ne serait as comlet ar raort à la logique classique, il définirait une logique lus faible, qu on aelle la logique intuitionniste 7- Démontrer que : -- ( q) ( q)

7 A Lecomte q q q e, 2, 5 q i, 2_ 8- Démontrer que : -- ( q) ( q) 1 q 1 2 ( q) 2 q i, 5 ( q) reit, 2 6 i, _5 7 e, 6 8 q 9 q e, 7, 8 10 q i, 9 11 ( q) re, 2 12 ( q) i, 2_11 1 q e, 12 1 ( q) ( q) i, 1_1