Chapitre 3 Théorème de Gauss

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1 hpite 3 Théoème de Gss estions : #) be métlliqe vec ne chge ponctelle positive cente E Le chmp électiqe ppliqé s les pois d cbe condcte povoqe n movement de chges s celici. ependnt, le chmp n est ps le même s chqe point d cbe. En effet, les coins et les êtes d cbe sont pls éloignés de l chge ponctelle qe les égions centles de chcne des pois d cbe. est dns ces égions centles q on etove ne pls fote concenttion de chges négtives (électons) ttiées p l chge ponctelle positive. #) hge ponctelle à l intéie d n cbe de Gss : ) ien. À moins q on it spécifié qe l sfce été choisie de fçon à épose l distibtion de chges à l intéie. b) On pet le clcle vec le théoème de Gss : Φ enfemée c) ien. À moins q on it spécifié qe l sfce de Gss choisie sse n même chmp E, fisnt n même ngle vec tos les mocex da.

2 #5) Non. Il n est ps possible de fome ne sfce femée to o à l intéie d cecle qi pemette d sse qe le chmp électiqe it l même vle, en tos points, s cette sfce. Il y selement cente d cecle q on pet étbli qe le chmp est nl. #7) Sfce femée : ) Non. Voici ne sittion où l chge à l intéie d ne sfce est nlle tot en ynt l pésence d n chmp : E b) Oi si l sfce est femée. Véifions vec le théoème de Gss : enfemée Φ E i da enfemée #9) Vi. Po tove le chmp électiqe, on doit connîte l position des chges fin de choisi déqtement l fome qe doit pende l sfce de Gss. #) il y ne chge cente de l coqille qi étit globlement nete. Schnt qe le chmp électiqe est nl dns le mtéi condcte (là où on epésenté ne sphèe de Gss en pointillés jnes) : b Φ E Sphèe de Gss enfemée i da enfemée Il ft nécessiement qe l chge totle enfemée dns l sfce de Gss soit nlle.

3 Execices : #) Flx électiqe, fige 3.8: 45 N E i,m A π à 6 Φ E i A E A θ E π cos cos6, N m #3) L qntité de lignes de chmp tvesnt l hémisphèe est l même qe celle tvesnt l bse de celici (fige 3.3). P le fit même, il sffit de clcle niqement le flx électiqe tvesnt l bse pisq il est le même qe celi tvesnt l hémisphèe. Φ E i A E A cosθ Eπ cos E π #4) Soit les dex vectes : E ( 7i 9k ) N A,m k ( ) Φ E A m i k Φ,3 i 7 N (, ) ( i ) 9 N (,m) ( kik ) N m E A E A E A x x y y z z #5) lcl d flx électiqe q 6µ q 8µ,5m enfemée µ 5, 6 N m Φ 3

4 #6) be: Φ 3 fce,m 4 N m ) L chge dns le cbe: Φ 6 3,59 totl 4 N m enfemée enfemée µ b) Si ce n'étit ps le cs, le flx ne seit ps le même à tves les 6 fces d cbe. #9) ondcte de fome sphéiqe :,8m σ, n m ) On choisit ne sfce de Gss de fome sphéiqe, "collée" à l sphèe condctice: Φ E i enfemée σ A σ 4π da E da cosθ EA E 4π σ 4π E 4π σ E,3 N b) On choisit ne sfce de Gss de fome sphéiqe vec n yon de cm: Φ E i enfemée σ A σ 4π da E da cosθ EA E 4π E 4π σ 4 π σ 7, 3 N E 4

5 #) hge ponctelle q cente d'ne coqille condctice vec : q 6µ 8µ b) Étblissons tot d'bod l éptition des chges s l coqille: Sfce intene: 6µ tot comme l chge ponctelle cente. Sfce extene: n excédent de 8µ. ) Détemine le chmp électiqe: Φ E i da E da cosθ EA E 4π k E 4π enfemée enfemée enfemée À l'intéie de l coqille: 5 k enfemée k 6µ, 44 E N À l'extéie d l coqille: 5 k enfemée k 8µ, 7 E N c) Dessin des lignes de chmp: 6µ E 8µ 6µ 5

6 #) Sphèe chgée:,m 8 N E ( à l sfce) ) L chge à l'intéie: k enfemée 8 N E 3,56 enfemée b) Possibilités:. chge ponctelle cente,. distibtion de chges nifome de fome sphéiqe centée milie de l sphèe. #4) plqes fites de mtéi isolnt, q'on considèe comme 4 plqes (les 4 sfces): σ σ 3 4 σ σ E E E3 E σ 4 x ) Le chmp ente les plqes: E 4 σ σ i i b) À l'intéie de l plqe E σ σ i i : 6

7 #5) plqes condctices: σ σ I II III E σ ) Dns l égion II: E σ σ i i x E σ b) Dns les égions I et III: E #6) Un cbe: ête L E b x i ( ) z E y x 7

8 ) Les lignes de chmp tvesent selement sfces d cbes: elle en x Φ E i da E da cos8 EA E L b x ( ) elle en x L Φ E i da E da cos EA E L b x L L L ( ) ( ) Le flx totl: Φ ( ) 3 totl b L L L b L L b L L b) L chge dns le cbe: enfemée Φ totl b L enfemée b L 3 3 #8) Long câble coxil de l fige 3.3 da b E E L σ σ ylinde de Gss da ) L sfce de Gss est n cylinde, de longe L et de yon, entont le câble cente. e cylinde de Gss est femé: ne ptie tblie femée p dex disqes x extémités. On sépe los le clcl d flx en 3 pties: 8

9 Φ Ei da Ei da Ei da Ei da E da cos disqe disqe Φ E da E A E π L σ E enfemée σ π L E da cos 9 disqe disqe b) L sfce de Gss est n cylinde, de longe L et de yon, entont l gine extéiee de yon b. e cylinde de Gss est femé: ne ptie tblie femée p dex disqes x extémités. On sépe los le clcl d flx en 3 pties: Φ Ei da Ei da Ei da Ei da E da cos8 E da cos 9 disqe disqe Φ E da E A E π L σ E ( b ) ( ) disqe disqe ( ) enfemée σ πb L π L σ π L b #) Long câble coxil de l fige 3.3 da b E L λ λ da ylinde de Gss 9

10 ) L sfce de Gss est n cylinde, de longe L et de yon, entont le câble cente. e cylinde de Gss est femé: ne ptie tblie femé p dex disqes x extémités. On sépe los le clcl d flx en 3 pties: Φ Ei da Ei da Ei da Ei da E da cos E da cos 9 disqe disqe Φ E da E A E π L λ kλ E π enfemée λ L disqe disqe b) L sfce de Gss est n cylinde, de longe L et de yon, entont l gine extéiee de yon b. e cylinde de Gss est femé: ne ptie tblie femé p dex disqes x extémités. On sépe los le clcl d flx en 3 pties: Φ Ei da Ei da Ei da Ei da E da cos8 E da cos 9 disqe disqe enfemée λl λl Φ E da E A E π L E disqe disqe #) onfigtion de l fige 3.3 da b Sphèe de Gss

11 ) Po < b l sphèe de Gss «enfeme» niqement l chge de l petite sphèe de yon : Φ E i enfemée σ 4π da E da cosθ E d A E 4π σ E b) Po > b l sphèe de Gss «enfeme» l chge totle de l configtion : Φ E i enfemée σ 4π σ 4π b da E da cosθ E d A E 4π σ E ( b ) #3) onfigtion de l fige 3.3 da E b Sphèe de Gss L sfce de Gss est ne sphèe de yon > b : Φ E i enfemée da E dacosθ enfemée Donc l chge de l petite sphèe doit ête l même qe celle de l coqille, de signe opposé:

12 elle de l petite sphèe: sphèe sphèe σ A πσ 4π sphèe 4 sphèe sphèe sphèe elle de l coqille: coqille coqille σ A πσ 4π b coqille 4 coqille coqille coqille On égle les dex chges: sphèe 4π σ sphèe σ σ sphèe coqille coqille 4 π σ b b coqille b #5) Un cylinde condcte de longe infinie: da E L λ ylinde de Gss da,m λ 3 n m E? à P sité à, m

13 Φ Ei da Ei da Ei da Ei da E da cos disqe disqe Φ E da E A E π L enfemée λ kλ E 45 N π λ L E da cos 9 disqe disqe #7) Sphèe condctice: E da Sphèe de Gss,m 8 N E à, m 3

14 Φ E i da E da cos8 4π enfemée kenfemée k σ 4π E 4π k 4 E 8 N σ π σ 7, 7 8 m E A E enfemée #3) Sphèe pleine isolnte nifomément chgée (occpnt tot le volme ρ m 3 ). E da Sphèe de Gss Φ E i da E da cos k E 4π enfemée enfemée E A E 4 π enfemée ) En schnt qe N E à,5m kenfemée E N 555 enfemée p 4

15 On clcle l densité volmiqe de chges : enfemée ρ,6 µ 3 3 4π m 3 b) Le modle d chmp électiqe à,m. Tovons tot d bod l chge totle potée p l sphèe : enfemée ρ,6 µ 3 3 enfemée 4,44n 4π m 3 Donc le chmp : kenfemée E 999 N Poblèmes : #) Sphèe pleine isolnte nifomément chgée (occpnt tot le volme ρ m 3 ). E da ρ Sphèe de Gss 5

16 Φ E i da E da cos k E 4π enfemée enfemée 4 E A E π enfemée ) Po ne sphèe de Gss vec < : 3 k 4π k ρ enfemée ( 3 ) E ρ E 3 ρ 4π 4 π 3 b) À l extéie de l sphèe : 3 k 4π k ρ ( 3 ) ρ 4π 4 totle π E 3 ρ E À note qe les dex éqtions d chmp, tovées po chcne des sittions, donne l même expession en. #3) oqille condctice : E ) da σ q σ Sphèe de Gss 6

17 ) En choisissnt ne sfce de Gss à l intéie d mtéi condcte, on s sse qe le chmp électiqe est nl en tos points de celleci. enfemée Φ E i da E dacosθ q σ 4π enfemée q σ 4π b) L chge totle : S l sfce intene de l coqille : q q 4πσ S l sfce extene de l coqille : q 4πσ hge totle : 4πσ coqille ( ) c) À l extéie de l coqille : 4πσ 4 πσ ( 4πσ ) k k enfemée E 4π 4π kσ σ 4π E σ 7

18 #5) Long cylinde isolnt vec l chge distibée nifomément dns son volme : da E L ρ ylinde de Gss da ) Po n point à l intéie d cylinde : Φ Ei da Ei da Ei da Ei da E da cos disqe disqe Φ E da E A E π L ρ E enfemée ρ π L E da cos 9 disqe disqe b) Po n point sité à l extéie d cylinde : Φ Ei da Ei da Ei da Ei da E da cos disqe disqe Φ E da E A E π L ρ E enfemée ρ π L E da cos 9 À note qe les dex éqtions pécédentes donnent l même expession d chmp en. disqe disqe 8

19 #6) Une cvité cente d ne coqille isolnte vec ρ m 3 E da ρ Sphèe de Gss ) Po n point sité à l extéie : 3 3 { ρ 4π 4 ( π 3 3 )} k k enfemée E π 4π kρ ( ) ρ E ρ π ( ) 3 3 ( ) b) Po n point sité à < < : 3 3 { ρ 4π 4 ( π 3 3 )} k k enfemée E π 4π kρ ( ) ρ E ρ π ( ) 3 3 ( ) 9

20 #) ylinde infini de l fige 3.35 E da L ylinde de Gss ρ da ) Po n point sité à < < : Φ Ei da Ei da Ei da Ei da E da cos disqe disqe Φ E da E A E π L ρ E ( ) nfemée ρ π ( ) L E da cos 9 disqe disqe b) Po n point à l extéie : Φ Ei da Ei da Ei da Ei da E da cos disqe disqe Φ E da E A E π L ρ E ( ) enfemée ρ π ( ) L E da cos 9 disqe disqe