Chapitre 3 Compléments sur les fonctions

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1 A) Rappels Chapitre 3 Compléments sur les fonctions 1) Fonctions affines f(x) = a x + b La courbe est une droite, de coefficient directeur a et d'ordonnée à l'origine b. b est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe (Oy) des ordonnées. Toute droite non parallèle à (Oy) est la courbe d'une fonction affine. Pour trouver a et b, il suffit d'utiliser la définition ci-dessus pour b, et pour a de calculer le taux de variation (qui est constant pour les droites) à partir de deux points quelconques A(x ; y) et B(x' ; y') de la façon suivante : a= y' y x' x Si a = 0, la fonction est constante et sa courbe est une droite parallèle à l'axe (Ox) des abscisses. Si a > 0, la fonction est croissante et sa courbe est une droite qui monte. Si a < 0, la fonction est décroissante et sa courbe est une droite qui descend. Exemples : Dans la figure ci-dessous, tracer les droites f(x) = 2 x - 1 et g(x) = - x + 2 puis déterminer les fonctions h(x) et i(x) qui correspondent aux droites déjà tracées. Réponses : h(x)= - 2 x + 4 i(x) = ½ x + 3 2) Fonctions polynômes du second degré f(x) = a x² + b x + c Ces fonctions ont pour courbes des paraboles comme vu au chapitre sur le second degré. Page 1/6

2 3) Fonction inverse f(x) = 1 / x La courbe est une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine : 4) Fonctions trigonométriques f(x) = sin(x) et f(x) = cos(x) Leurs courbes sont des sinusoïdes comme vu au chapitre sur la trigonométrie : B) Fonction valeur absolue f(x) = x 1) Définition La valeur absolue d un nombre réel est obtenue en retirant le signe s il est négatif. Autrement dit, x = x si x > 0, et x = -x si x < 0. x est donc toujours positif (ou nul). Page 2/6

3 Exemples : 17,256 = 17,256-6 = 6-2,17 = 2,17 2) Sens de variation Comme f(x) = -x si x négatif et f(x) = x si x positif, la fonction sera décroissante quand x < 0 et croissante quand x > 0. En effet, y = -x est une droite décroissante (coefficient directeur négatif) alors que y = x est croissante (coefficient directeur positif). x f(x) 0 3) Courbe C) Fonctions, courbes représentatives et symétries 1) D'une courbe à l'autre par symétrie ou par translation Soit la fonction f(x) = x (x - 2) (x + 3) (x - 6) / 12 (polynôme du 4 degré) et sa courbe : Page 3/6

4 À partir de cette courbe, tracer la courbe des fonctions suivantes : a) g(x) = - f(x) ( Symétrie axiale / Ox) b) h(x) = f(-x) ( Symétrie axiale / Oy) c) l(x) = - f(-x) ( Symétrie centrale / O) d) m(x) = f(x) ( on "redresse" ce qui est négatif) e) n(x) = f(x-1) ( on décale la courbe de 1 vers la droite) f) o(x) = f(x) + 2 ( on décale la courbe de 2 vers le haut) 2) Symétries dans la courbe d'une fonction a) Symétries par parité de la fonction Fonction paire f(-x) = f(x) Fonction impaire f(-x) = - f(x) Courbe symétrique / (Oy) Courbe symétrique / O Exemples : x², x 3, sin(x), cos(x)... b) Symétrie par rapport une droite verticale x = a x, f a x = f a x ou encore x, f x 2a = f x Remarque : pour (Oy), d équation x= 0 (donc a = 0), on retrouve bien f(x) = f(-x). Exemples (trouver a!) : f(x) = 3 x² 4 x + 1, f(x) = 1 / (x - 3)². c) Symétrie par rapport la droite y = x x, y= f ( x)<=> x= f ( y ) Exemple : Fonction inverse f(x) = 1/x. d) Symétrie par rapport à un point A(a ; b) x, f a x f a x =2b ou x, f x 2a =2b f x Exemples (trouver a et b!) : f (x)= 2 x+1 x f (x)= x 1 2 x+3 (à faire avec geogebra si on n a pas fait les changements de repère) Page 4/6

5 3) Fonctions Polynômes f(x)=x (x - 2) (x + 3) (x - 6) / 12 g(x)=(x - 1) (x / 2 2) h(x)=(x + 1) (x - 3) (x + 3) / 8 4 i(x) =(x + 1) (x + 2) (x - 1) (x - 3) (x - 5) / ème degré 2ème degré (parabole) 3ème degré 5ème degré 4) Fonctions homographiques et changement de repère Un changement de repère permet d assimiler des familles de fonctions, comme les fonctions polynômes du second degré à la fonction carré, et les fonctions homographiques, c'est à dire du type f (x)= a x+b c x+d à la fonction f (x)= k x avec k = a, dont la courbe est une hyperbole comme pour c la fonction inverse, mais déformée si k est différent de 1. (commencer par un exemple chiffré (a = 1 et b = 2 comme sur la figure) Page 5/6

6 Ici, on a représenté la fonction carré et la fonction inverse, et en changeant l origine du repère, on va trouver l équation de ces courbes dans un nouveau repère d origine O : Repère xoy : f x =x² et g x = 1 x Changement de repère : X =x a et Y = y b Repère XO'Y : f X = X a ² b et g X = 1 X a b bx ab 1 soit f X = X² 2aX a² b et g X = X a On reconnaît donc ici une fonction polynôme du second degré et une fonction homographique. On voit au passage que pour l hyperbole (fonction homographique), a est la valeur qui annule le dénominateur et que b est le quotient des deux coefficients de x (numérateur sur dénominateur), et le point O (a ; b) est le point de symétrie (centre) de l hyperbole. Exemple : Que valent a et b pour f(x) = (x 1) / (2 x + 3)? Remarque : On peut généraliser ces familles en partant de f(x) = a x² (paraboles) et g(x) = a / x (hyperboles). Page 6/6